高考数学 专题2.4 导数的应用(二)同步单元双基双测(B卷)文-人教版高三全册数学试题

专题2.4 导数的应用（二）（测试时间：120分钟满分：150分）一、选择题（共12小题，每题5分，共60分）1. 曲线x y ln =上一点P 和坐标原点O 的连线恰好是该曲线的切线，则点P 的横坐标为( ) A ．eB.e C ．e 2D ．2 【答案】A考点：导数的几何意义2. 已知函数y =2x 3＋ax 2＋36x －24在x =2处有极值，则该函数的一个递增区间是 A.(2，3)B.(3，＋∞)C.(2,＋∞)D.(－∞,3)【答案】B【解析】本题考查常见函数的导数，可导函数f ′(x )=0与极值点的关系，以及用导数求函数的单调区间.y ′=6x 2＋2ax ＋36.∵函数在x =2处有极值，∴y ′|x =2=24＋4a ＋36=0，即－4a =60.∴a =－15. ∴y ′=6x 2－30x ＋36=6(x 2－5x ＋6)=6(x －2)(x －3). 由y ′=6(x －2)(x －3)＞0，得x ＜2或x ＞3. 考点：导数与函数的单调性。

3.如图是函数()32f x x bx cx d =+++的大致图象,则2212x x +=（ ）A ．23 B ．43 C ．83 D ．123【来源】【百强校】2015-2016学年某某某某高级中学高二下期期末理数学试卷（带解析） 【答案】C 【解析】考点：利用导数研究函数的极值；导数的几何意义.【方法点晴】本题主要考查了导数研究函数的单调性与极值、导数的几何意义的应用，充分体现导数在函数问题解答中的应用，本题的解答中根据函数的图象()0f x =的根为0,1,2，求出函数的解析式，再利用12,x x 是方程23620x x -+=的两根，结合一元二次方程的根与系数的关系是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用.4.已知关于x 的不等式ln mx x <有唯一整数解，则实数m 的最小值为（ ） A.1ln22 B. 1ln33 C. 1ln23 D. 1ln32【来源】【全国校级联考】某某省百校联盟2018届高三九月联考数学（文）试题 【答案】A【解析】由ln mx x <，得：ln m x x <,令()ln g x x x =，∴()21ln g?xx x -=，()g?0,x <得到减区间为()e ∞+，；()g?0,x >得到增区间为()0e ，，∴()max 1g x e =，()1g 2ln22=，()1g 3ln33=，且()()g 2g 3<,∴要使不等式ln mx x <有唯一整数解，实数m 应满足11ln2m ln323≤<,∴实数m 的最小值为1ln22.故选：A点睛：不等式ln mx x <有唯一整数解问题可以转化为两个图像的位置关系问题，观察y m =与()ln g xx x=的图象的高低关系，只要保证y m =上方只有一个整数满足ln m xx<即可. 5.若函数()ln f x x x a =-有两个零点，则实数a 的取值X 围为（ ） A. 1,1e ⎛⎫- ⎪⎝⎭ B. 1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭ D. 1,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【来源】【全国市级联考】2018黔东南州高考第一次模拟考试文科数学试题 【答案】C【解析】函数的定义域为0+∞（，），由()ln 0f x x x a =-=，得ln x x a =， 故选C.点睛：本题主要考查函数零点的应用，构造函数求函数的导数，利用函数极值和导数之间的关系是解决本题的关键；根据函数零点的定义，()ln 0f x x x a =-=，得ln x x a =，设函数()ln g x x x =，利用导数研究函数的极值即可得到结论.6.对任意x ∈R，函数f (x )的导数存在，若f′(x )＞f(x)且 a ＞0，则以下正确的是（ ▲） A ．)0()(f e a f a⋅> B ．)0()(f e a f a⋅< C ．)0()(f a f > D ．)0()(f a f < 【答案】A 【解析】试题分析：设()()x e x f x g =，那么()()()()02>-'='x xx ee xf e x f xg ，所以()x g 是单调递增函数，那么当0>a 时，()()0g a g >，即()()0f ea f a>，即)0()(f e a f a⋅< 考点：根据函数的单调性比较大小7. 设f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(2)=0,当x>0时，有2()()0xf x f x x '-<恒成立，则不等式2()0x f x >的解集是A. (-2,0) ∪(2,+∞) B . (-2,0) ∪(0,2) C . (-∞,-2)∪(2,+∞) D . (-∞,-2)∪(0,2) 【答案】D 【解析】故选D考点：利用导数求不等式的解集。

8.已知函数()()()210x f f f x e x x ee='+- ，若存在实数m 使得不等式()22f m n n ≤- 成立，某某数n的取值X 围为 A. [)1,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭ B. ()1,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭C. ()1,0,2⎛⎫-∞⋃+∞⎪⎝⎭D. ()1,0,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭【来源】【全国百强校】某某某某市第三中学2018届高三下学期第三次模拟考试数学（文）试题 【答案】A 【解析】()()()101x f f x e f x e'+'=- ,()()()1101f f f =+'-' ,则()01f =，()()()10,1f f f e e''==，所以()212x f x e x x =+-，()1x f x e x ='+-， 令()0,0f x x ='=，当0x >时，()0f x '>；当0x <时，()0f x '<，则当0x =时，()f x 取极小值为1；若存在实数m 使得不等式()22f m n n ≤- 成立，只需221n n -≥ ，解得1n ≥或12n ≤-，实数n 的取值X 围是[)1,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭，选A. 9. 已知定义在R 上的函数()f x 满足：①()()4f x f x =-,②()()2f x f x +=,③在[0,1]上表达式为()21x f x =-,则函数()()3log g x f x x =-的零点个数为( )A. 4B. 5C. 6D. 7【来源】某某省某某市2017届高三下学期复习检测二（二模）数学（文）试题 【答案】A本题选择A 选项.点睛：1．函数零点的判定常用的方法有：(1)零点存在性定理；(2)数形结合；(3)解方程f (x )＝0.2．研究方程f (x )＝g (x )的解，实质就是研究G (x )＝f (x )－g (x )的零点．3．转化思想：方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数X 围问题可转化为函数值域问题． 10. 设函数()f x x ax bx c 3211=++2+32的两个极值点分别为12,x x ，若1(2,1)x ∈--，2(1,0)x ∈-，则2a b +的取值X 围为（ ）A ．(2,7)B ．(1,7)C ．(1,5)D ．(2,5) 【答案】A 【解析】试题分析：由已知'()f x x ax b 2=++2=0的解为12,x x ，且1(2,1)x ∈--，2(1,0)x ∈-,所以'()'()()'()()f b f a b f a b 220=2>0⎧⎪-2=-2-2+2>0⎨⎪-1=-1-+2<0⎩，即b a b a b >0⎧⎪--2<0⎨⎪-2-1<0⎩．画出其表示的点(,)a b 的平面区域及直线20a b +=（如图），平移直线20a b +=，当其经过(1,0)时，2a b +最小为2102,⨯+=经过(3,1)时，2a b +最大为2317⨯+=，故选A ．考点：1．导数在研究函数中的应用；2．简单线性规划的应用．11.【2018某某某某中学二模】已知函数在定义域上的导函数为，若无解，且，若在上与在上的单调性相同，则实数的取值X 围是（）A. B. C. D.【答案】A∵g（x）=sinx-cosx-kx，∴g′(x)＝cos x+sin x−k＝sin(x+)−k，又g（x）与f（x）的单调性相同，∴g（x）在R上单调递增，则当x , g'（x）≥0恒成立，则当x, x+,sin(x+) ,sin(x+)此时k≤-1，故选A．点睛：本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性，正弦函数的性质，辅助角公式，对于的处理主要是换元法，令，得出，易知f（x）为R上的增函数，这是本题的关键.12.【2018某某45校联考】定义在上的函数与其导函数满足，则下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】()()()()()1''0'0x x xf x f x e f x f x e e f x e ex -⎡⎤⎡⎤+>⇔+->⇔->⎣⎦⎣⎦，令()()x x f x e ex ϕ=-，则()x ϕ为R 上的增函数，因此()()01ϕϕ<，故()()01f f e e <-，即()()01f e ef +<，从而()()()0101f f e ef +<+<，故选A.【方法点睛】本题主要考察抽象函数的单调性以及函数的求导法则，属于难题.求解这类问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.本题是根据①构造函数()()xx f x e ex ϕ=-后再结合条件判断出其单调性，进而得出正确结论.二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13. .f (x )=x (x －c )2在x =2处有极大值,则常数c 的值为____________. 【答案】6【解析】本题考查多项式函数的导数及函数极值的概念. 由f (x )=x (x 2－2cx ＋c 2)=x 3－2cx 2＋c 2x , ∴f ′(x )=3x 2－4cx ＋c 2=(3x －c )(x －c ). 令f ′(x )=0,得x 1=3c,x 2=c . (1)当c ＞0时,x (－∞,3c ) 3c (3c,c ) c(c ,＋∞) y ′ ＋ 0 － 0 ＋ y↗极大值↘极小值↗由题意知,3c=2,得c =6. (2)当c ＜0时,在x =c 处取极大值,不合题意.所以c =6. 考点：极值的应用 14.已知若使得成立，则实数a 的取值X围是.【来源】2015-2016年某某省某某市铅山一中高二下期中文科数学试卷（带解析） 【答案】【解析】.试题分析：由：，分别求导，求极值得；，而若使得成立，等价于：考点：存在性问题与极值思想.15.【2018某某某某九中联考】设函数()()()222ln 2f x x a x a=-+-.其中0,R x a >∈，存在0x 使得()045f x ≤成立，则实数a 的值为__________． 【答案】15考点：导数在研究函数最值中的应用.【方法点睛】本题主要考查了导数在研究函数最值中的应用，考查了转化的数学思想，属于中档题.把函数看作动点()2,ln M x x 与动点(),2N a a 之间距离的平方，利用导数求出曲线2ln y x =上与直线2y x =平行的切线的切点，得到曲线上点到直线的距离的最小值，结合题意可得只有切点到直线距离的平方等于45，然后由两直线斜率的关系式求得实数a 的值.16.已知函数()f x 的导函数为'()f x ，e 为自然对数的底数，若函数()f x 满足'ln ()()xxf x f x x+=，且1()f e e =，则不等式1()f x x e e->-的解集是_____________.【来源】【百强校】2017届某某省某某市高中毕业班摸底测试文科数学试卷（带解析） 【答案】(0,)e 【解析】试题分析：()()()()()22ln ln ln ,',,'22x x x ag x xf x g x g x a f x x x x===+=+，()11122a f e a e e e =+===，()2ln 122x f x x x=+，()()2ln 212x x h x f x x x-+=-=，()2222ln 4ln 42'04x x x h x x -+--=<，()h x 递减，原不等式转化为，()(),0h x h e x e ><<，故答案为(0,)e .考点：1、抽象函数的单调性；2、函数的求导法则.【方法点睛】本题主要考察抽象函数的单调性以及函数的求导法则，属于难题.求解这类问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.本题就是根据①构造出函数()()h x f x x =-，再根据其单调性解答的.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17. 设函数()2()1x f x x e ax =-- （Ⅰ）若12a =，求()f x 的单调区间； （Ⅱ）若当x ≥0时()f x ≥0，求a 的取值X 围．【答案】（I ）函数的增区间为（,1-∞-），（0,+∞），减区间为（－1,0）.（II ）a ≤1。