全国大学生数学建模竞赛优秀论文选之手机“套餐”优惠模型

手机“套餐”优惠模型

摘要：随着通信业的飞速发展，手机资费已成为热点问题。面对琳琅满目的资费“套餐”，如何选择“就餐”方案，才能获得最大限度的优惠就显得尤为重要。

问题一中，分别针对北京和上海推出的“套餐”方案，首先建立了计算资费的话费时间模型（见模型一），其次以用户主叫通话时间为准则，得到了最佳消费方式：

问题二中，针对各种资费方案，提出了话费“相对优惠度”的评价准则，据此分别对北京和上海的“套餐”方案与现行的资费标准进行了分析比较，得到了如下结论：北京全球通“畅听99套餐”方案适合非漫游且接听多的青年用户；上海“全球通68套餐”方案比较适合非漫游且通话量大的商务人士。

问题三中，将“被叫全免费计划”和“畅听99套餐”方案进行了计算比较，得到如果本地主叫通话时间小于122.5分钟，即办理“被叫全免费计划”更优惠。但实际中绝大多数用户主叫时间都超过了122.5分钟，因而使用此“套餐”者极少，不受用户欢迎，并根据实际话费详单对所得结论的正确性进行了检验。

问题四中，提出了设计全球通手机资费方案时要考虑的因素：用户、运营商、竞争、已有的资费方案和通话时间分布规律。根据题设条件，为北京的“畅听99套餐”用户分别设计了月基本费不变和包含本地主叫时间不变的两种新“畅听99套餐”方案，其

其二见表8，并对前者进行了实例检验；同时也为上海的“全球通68套餐”用户设计了相应两种新“全球通68套餐”方案，分别见表9及表10。

关键词：非线性定价最佳消费曲线相对优惠度

1问题重述与分析

手机资费问题一直是人们关心的热点问题。手机“套餐”真得很实惠吗？是否是一种变相的收费花招？人们不禁要问：手机“套餐”究竟能够给广大消费者提供多大的优惠空间？这一直是悬而未解的问题。文章要求我们通过数学建模的方法对此问题加以深入研究。

在问题一中，要求我们分别给出北京和上海的资费计算方法，并根据不同的通话量需求，为每种用户推荐最适合自己消费水平的“套餐”方案，也就是求总话费=各类话费相加；再以此求得北京、上海各“套餐”方案适合的用户群。

在问题二中，要求我们提出各种资费方案的合理的评价准则以及评价方法；根据提出的评价准则，将北京、上海推出的“套餐”方案与现行的资费标准作分析、比较，并给出对着两种“套餐”方案的评价。

在问题三中，我们根据问题一中得出的资费计算方法模型，通过计算分析，对北京移动公司推出的“被叫全免费计划”方案的合理性给出评价。

在问题四中：要求我们站在移动公司的角度，帮助设计一个全球通手机的资费方案，并提出影响资费方案的一些实际因素；根据前面对北京和上海实际情况的研究，考虑现有“套餐”方案运营商的收入降低不超过10%的条件下,设计一个更加合理的“套餐”方案。

2模型假设

假设一：由于各个国家长途资费标准不同，因此在文中不考虑国际长途电话费用。

假设二：各类资费均以月为单位进行计算。

假设三：由于直拨长途资费高于IP长途资费，因此长途电话均采用IP拨打。

假设四：每个用户每月的通话总量相对稳定。

假设五：每个“套餐”方案具有相对稳定用户。

假设六：通话时间以累计的方式进行计算，不考虑电话的拨打次数。

假设七：每个用户的交际关系网络相对稳定。

假设八：不考虑分别闲时优惠，不区分忙、闲时。

3符号及变量说明

4模型的建立与求解

4.1问题一的模型建立与求解

经分析，为了解决问题一中所提出的问题，必须要考虑以下六项因素：月租费、本地通话费、漫游通话费、长途通话费、短信发送费和GPRS 流量费，建立了题目所要求的“套餐”方案的资费计算数学模型，并根据用户类型的不同，引入蛰伏系数，可将用户分为以下几种：

1、是否经常在本地与人联系；

2、是否经常在漫游区与人联系；

3、是否经常进行长途联系；

4、是否经常进行GPRS 连接。

依据这四种类型作为区分用户种类的标准，从而分别得到蛰伏系数。

???=不经常在本地与人联系经常在本地与人联系,0,1γ ???=系不经常在漫游区与人联

经常在漫游区与人联系,0,1ε

???=不经常进行长途联系经常进行长途联系,0,1δ ???=连接

不经常进行连接经常进行GPRS GPRS ,0,1ω 通过以上分析，建立了“套餐”方案的资费计算数学模型——模型一，如下所示：

总费用=月租费+本地话费+漫游话费+长途话费+短信费用+GPRS 流量费

即

)()()()(2211430333'20'2'2'220222101111n m n m L a t b t a t b t a t b t a t b t a y y +++++++++++=ωδεγ总

其中1m 为网内短信发送资费，2m 为网外短信发送资费，1n 为网内短信发送条数，2

n 为网外短信发送条数。

4.1.1北京全球通“畅听99套餐”方案的资费计算方法及适用人群

由附件2，北京移动公司全球通“畅听99套餐”方案知，在缴纳一定月基本费的前提下，移动公司赠送一定数目的本地主叫通话时间，同时也给超出部分的本地主叫资费一定程度的优惠，并免费赠送一定量的GPRS 流量。

根据“套餐”方案优惠特点，按照模型一，得到其资费计算方法如下：

)

(])([ ])()([])([22114233'2032'232202221111n m n m a L L K t A t A B t A A t B t A A t t K y y S s ++-++++++++-+=ωδεγ总 其中

???≤=>=时，当时，当s s t t K t t K 111101 ???≤=>=时，当时，当s s L L K L L K 012

2 通过对“畅听99套餐”方案中各种资费的分析可知，它们的主要区别在于本地通话量上进行不同程度的优惠，这已成为用户选择资费方案的主要因素，其它业务作为参考可暂时不予考虑，即0,0,0,1====ωδεγ，从而可得

1111)(A t t K y y s -+=总

由上式：将99元“套餐”方案与139元“套餐”方案进行比较，可知当139≤总y 时，

139)(1111≤-+A t t K y s

带入已知参数值可得

13935.0)280(991≤?-+t

解之可得 3941≤t

所以，当通话时间在39401≤

其它“套餐”方案同理可得，如图1所示

图1“畅听99套餐”适用用户示意图

由图1可以看出一条“畅听99套餐”的最佳消费曲线，用户在此线的下方区域话费是最优的，所以可得以主叫时间为依据对用户进行了分类，得到了每一类用户的最佳“套餐”方案。如下

4.1.2上海“全球通68套餐”方案的资费计算方法及适用人群

由附件2知上海移动公司“全球通68套餐”方案，“套餐”赠送通话时间包括主叫通话时间和被叫通话时间两部分，即

被叫通话时间主叫通话时间包含本地通话时间+=

依照此“套餐”方案优惠特点，根据模型一，得“套餐”方案的资费计算方法：

)

( ])()([])([2211433'2032'232202221111n m n m La t A t A B t A A t B t A A t t K y y s ++++++++++-+=ωδεγ总 同上，设系数为0,0,0,1====ωδεγ，可得

1111)(A t t K y y s -+=总

根据上式：68元套餐方案与128元套餐方案之间相比较，可得128≤总y 时，

128)(1111≤-+A t t K y s

带入已知参数值可得

12818.0)360(681≤?-+t

解之可得 6931≤t

所以，当通话时间在69301≤

其它“套餐”方案同理可得，如图2所示

图2“全球通68套餐”方案适用用户示意图

由图2可以看出一条“全球通68套餐”的最佳消费曲线，用户在此线的下方区域话费是最优的，所以可得以主叫时间为依据对用户进行了分类，得到了每一类用户的最佳“套餐”方案。如下

4.2问题二的模型建立与求解

4.2.1 评价准则和评价方法

对于各种资费方案，从不同角度出发则有不同的评价准则，但主要从运营商和用户角度分别进行考虑。

一、从运营商角度出发，以收益性做为评价准则。

就单个用户而言，他可能选择高于自己历史消费水平的资费方案，也有可能选择低于自己消费水平的资费方案。前者给运营商带来收入的增加，而后者则带来收入的下滑。

增量＝单用户增加收入×用户参加概率×用户数

减量＝单用户减少收入×用户参加概率×用户数

净增量＝增量－减量

如果净增量为正数，那么该套餐能给运营商增加收入。

二、从用户角度出发，偏重于使用“套餐”所带来的优惠程度。因此引入“相对优惠度”的概念做为评价准则。

假设用户每月通话量相对不变，将其使用某种套餐后的总费用进行对比，由此可建立“相对优惠度”的数学模型——模型二：

原先总费用

使用后总费用原先总费用-=P 得出一个相对值，即每种套餐的“相对优惠度”。

4.2.2北京、上海“套餐”方案与现行的资费标准的分析、比较

一、北京全球通“畅听99套餐”与现行的资费标准的分析、比较

由附件2可得

根据模型二可得

3

31011103310111133101110])([t a t b t a y t A t B t t A y t a t b t a y P S +++++-+-+++=

化简得 3101311131013.04.04.050]1.0)([3.04.04.050t t t t t t A y t t t P s ++++-+-+++=

由此式可得

1t 值越大，P 值越小，即主叫时间越长，用户的相对优惠度越小；

10t 值越大，P 值越大，即被叫时间越长，用户的相对优惠度越大。

结论：由此可知，北京“畅听99套餐”主要针对本地接听较多的用户，该套餐还包含GPRS 数据套餐，因此这类套餐适合非漫游接听多的青年客户。

二、上海的“全球通68套餐”方案与现行的资费标准的分析、比较

由附件2可得

[2]由于“全球通68套餐”中赠送的是本地通话时间（包括主叫、被叫两方面），对此，我们引入一个系数)10(<

?

??=通话全为主叫，超出套餐赠送部分的通话全为被叫，超出套餐赠送部分的10k 根据模型二得

3

3101110331011133101110}])[({t a t b t a y t A t t t kA y t a t b t a y P S ++++-++-+++=

化简 3

10131133.04.04.050}3.0{3.04.050t t t t t t kA y t t P S ++++-+-++=）（总总

由此式可得

总t 值越大，P 值越大，即通话时间越长，用户的相对优惠度越大。

结论：根据此准则可知，上海“全球通68套餐”比较适合非漫游通话量大的商务人士。

4.3问题三的模型建立与求解

4.3.1 我们首先将全球通“被叫全免费计划”和北京移动公司全球通“畅听99套餐”进行比较（如图3所示），同理采用类似的方法，也可以对其它类型套餐进行比较。通过数学分析可建立模型三：

0111y y a t -=

对模型三分析可知，办理99元一档的需要99元月租，99元减去50元月租还剩49元，用49元除以0.4元/分钟约得122.5分钟，也就可以理解为这49元可以免费打122.5分钟电话。

图3 各类“套餐”消费曲线对比示意图

因此，如果本地主叫通话时间超过122.5分钟时，办理“畅听99套餐”更合适，但如果本地主叫通话时间小于122.5分钟，甚至话费几乎全是接听产生时，那自然是办理“被叫全免费计划”更合适。但是，实际生活中绝大多数人的本地主叫通话时间都远远地超过了122.5分钟，因此，全球通“被叫全免费计划”方案是不受大家欢迎的，使用者很少。

4.3.2实例分析

下面我们用一位北京全球通用户4月份的话费详单进行详细的实例分析：

该用户话费详单具体情况如表5所示：

如果该用户办理“全球通被叫全免计划”，照常收取全球通月租，每月根据天数不同具体月租不一样，月租每天的费用=50元/月*12个月/365天≈1.64元，4月一共30天，月租约为49.2元，再加上需要按正常资费标准单独计费的主叫、本地国内长途、IP长途、呼叫转移费用，按详单中情况4月份共需170.53元话费。

根据该用户本地主叫213分钟的情况，如果办理全球通“畅听99套餐”中99元一档，接听不限时均免费，99元中包含280分钟本地主叫时间，而其实际情况才213分钟并未超出280分钟，拨打IP长途按0.1元/分钟计费，则IP长途费为4.8元，本地国内长途、呼叫转移需要按正常资费标准单独计费，加起来一共是125.53元。

相比之下，很明显像这位全球通用户办理全球通“畅听99套餐”中99元一档就比办理“被叫全免费计划”更加经济划算。

4.4问题四的模型建立与求解

4.4.1设计全球通手机资费方案应考虑的因素

设计全球通手机套餐方案，为实现用户和运营商的双赢，即用户得到优惠的同时，运营商也从套餐活动中增加收入或者提高用户忠诚度。

题中“全球通”是中国移动通信的旗舰品牌，知名度高，品牌形象稳健，拥有众多的高端客户。它已经成为国内网络覆盖最广泛、国际漫游国家和地区最多、功能最为完善的移动信息服务品牌。

根据“全球通”品牌理念来确定设计套餐的考虑因素：

（1）考虑用户的历史消费水平和对各种业务的需求，从而明确各套餐的目标用户群、基本资费以及主要业务。

（2）考虑运营商的成本、收入之比，从而建立以成本为基础的资费方案，制止价格战。

（3）考虑当地竞争对手的资费方案，从而使资费方案更具竞争力。

（4）考虑全球通品牌已有的资费方案，从而保持几个套餐之间相互衔接。

（5）考虑用户通话时间分布规律，从而使网络资源得以合理利用。

4.4.2针对北京地区设计的合理“套餐”方案

一、针对北京地区，以原有的“畅听99套餐”方案为基础，在较现有“套餐”方案运营商的收入降低不超过10%的条件下，我们来建立新“畅听99套餐”方案。

模型假设：

1．每个套餐方案具有相对稳定的用户群。

2．新“畅听99套餐”方案用户为原“畅听99套餐”的所有用户。通过对问题的

分析建立如下的数学模型——模型四：

%10)()()(1

2312≤+--+---C C t t C C y x t C t t s s 上式的分母12)(C C t t s +-表示使用原来的套餐运营商所获得的收入，分子中y x t C t t s )()(2---表示在新套餐下运营商因话费资费变化引起的收入减少量，31C C -表示因月租费变化引起的收入减少。

下面通过MATLAB 作图[3]得到y x C ，，3数据之间的函数关系

图4 1C 与2C 的函数关系 图5 s t 与2C 的函数关系

通过对图4、图5分析，我们发现存在着以下规律：

月基本费≈包含本地主叫分钟数?超出套餐部分本地主叫资费，即xy C ≈3 下面将模型四应用到“畅听99套餐”的四个不同的方案中

1．在99元套餐中：

此时，模型中的参数值分别为：,35.0,99,28021===C C t s 下面我们按照运营商的最大损失10%进行计算最佳的套餐方案，即

%1099

35.0)280(99)(35.0)280(≤+?--+--?-t xy y x t t 上式可化简为

9.01

35.0≥+t ty 由于用户的通话时间一般较大，在200分钟左右，为了便于求解将上式可简化为

9.01

35.035.035.0≥+>=t ty t ty y 所以可得

315.035.09.0=?>y （元）

即设计出的新套餐中超出套餐部分本地主叫资费最小值为315.0元/分钟。

由此规律可得

3315.0C x =，

所以

（1）若在新套餐中仍然保持月基本费不变，即993=C 元，可得包含本地主叫通话时间数为

29.314315

.099315.03≈==C x 取整加1可得

315=x

（2）若在新套餐中保持包含本地主叫分钟数不变，即280=x 分钟，则可得月基本费为：

882.88280315.0315.03≈=?==x C

同理，将这一模型分别应用到其它三个套餐中可得：

2．在139元套餐中

可求得新套餐中超出套餐部分本地主叫资费最小值为225.0元/分钟。

（1）若在新套餐中仍然保持月基本费不变，即1393=C 元，可得包含本地主叫通话时间为

78.617225

.0139225.03≈==C x 取整加1可得 618=x

（2）若在新套餐中保持包含本地主叫通话时间不变，即560=x 分钟，则可得，月基本费为

126560225.0225.03=?==x C

3．在199元套餐中

可求得新套餐中超出套餐部分本地主叫资费最小值为18.0元/分钟。

（1）若在新套餐中仍然保持月基本费不变，即1993=C 元，可得包含本地主叫通话时间为

56.110518

.019918.03≈==

C x 取整加1可得 1106=x

（2）若在新套餐中保持包含本地主叫分钟数不变，即1000=x 分钟，则可得月基本费为：

180100018.0100018.03=?=?=C 4．在299元套餐中

可求得新套餐中超出套餐部分本地主叫资费最小值为135.0元/分钟。

（1）若在新套餐中仍然保持月基本费不变，即2993=C 元，可得包含本地主叫通话时间为

81.2214135

.0299135.03≈==

C x ， 取整加1可得 2215=x ；

（2）若在新套餐中保持包含本地主叫分钟数不变，即2000=x 分钟，则可得月基本费为

2702000135.03=?=C 根据以上结果，将所设计出的新“畅听99套餐”方案表示如下：

二、为了验证我们所设计的新“畅听99

套餐”的合理性，我们再次选用一位北京全球通用户8月份的话费详单，进行详细的实例比较：

该用户的话费详单具体情况如表8所示：

如果办理全球通“畅听99套餐”中99元一档，接听不限时均免费，99元中包含280分钟本地主叫时间，而其实际情况为353分钟，超出了73分钟，超出费用为25.55元，IP 长途如果是直接拨打的17951则按0.1元/分钟计费，则IP 长途费为5.2元，本地国内长途、呼叫转移需要按正常资费标准单独计费，加起来一共是150.21元。

如果办理我们所设计的全球通新“畅听99套餐”中99元一档，接听不限时均免费，99元中包含315分钟本地主叫时间，而其实际情况为353分钟，超出了38分钟，超出费用为11.97元，拨打IP 长途则按0.1元/分钟计费，则IP 长途费为5.2元，本地国内长途、呼叫转移需要按正常资费标准单独计费，加起来一共是136.63元。

很显然使用我们所设计的全球通新“畅听99套餐”，该用户的话费支出将减少150.21-136.63=13.58（元）。所以，我们所设计的套餐在商家最大让利10%的条件下，使用户获得了更多的优惠，更具有合理性。

4.4.3在上海“全球通68套餐”中，由于包含本地通话时间中既有主叫通话时间，又有被叫通话时间，为了简单起见，我们假设月基本费用保持不变，即31C C =，通过调整包含本地通话时间和超出后本地通话资费来达到使运营商降低收入，从而使用户获得优惠，同时假设“全球通68套餐”中和新“全球通68套餐”中超出包含本地通话分钟的通话时间中，主叫通话时间和被叫通话时间的比例分别为21,k k ，因而模型四可以改进成下面的形式：

%10)()()(1

21221≤+----C C t t k y x t k C t t k s s 其中，x 为新方案中包含话费量，相对比较固定，t 为通话时间，下面将该模型运用到“全球通68套餐”中

1．在68元套餐中，此时，模型中的参数值分别为：,18.0,68,36021===C C t s

即

%106818.0)360(

)(18.0)360(121≤+?---?-t k y x t k t k 为简化计算，设运营商的收入降低10%，

%1068

18.0)360()(18.0)360(121=+?---?-t k y x t k t k 将上式化简可得

)1(8.6162.0)3601(21t

x k t t k y --?-= 显然y 和t 成反比例函数关系，随着t 的增大，y 不断趋于2

1162.0k k ，不失一般性，假设主叫和被叫的比例为1:1，即5.021==k k ，从而可得162.0min =y （元）。

同理，在128元套餐中可求得144.0min =y （元）；在188元套餐中可求得117.0min =y （元）。 下面我们来寻找月基本费和包含本地通话分钟的函数关系。

针对原来的“全球通68套餐”，做出散点图)1200

,188(),800,128(),360,68( 图6 月基本费与套餐包含的本地主叫分钟数的函数关系

由图6可知三点基本上共线，设直线方程为b ax y +=，其中x 表示包含本地通话分钟，y 表示月基本费，b a ,为待定系数，运用最小二乘法可得1.2,16.0156.0≈≈=b a ，函数关系之所以不是正比例函数是由定价的非线性性导致的，所以月基本费和包含本地通话时间的函数关系为1.216.0+=x y ，可以看出，它的斜率刚好等于超出后三个本地通话资费的平均值，据此，在新方案中，我们仍然假设月基本费和包含本地通话时间的函数关系为线性函数，其斜率值近似等于

141.03

144.0117.0162.0=++ 所以月基本费和包含本地通话分钟的函数关系为b x y +=141.0，其中b 是受定价的非线性性导致的一个较小的常数，考虑到定价的小范围波动性，为简单起见，可取0=b ，即

141

.0y x = 所以新方案中包含本地通话时间分别为：

（1）482141

.068141.011≈==y x （分钟） （2）908141

.0128141.022≈==y x （分钟） （3）1333141

.0188141.033≈==y x （分钟） 根据以上结果，将所设计出的新“全球通68套餐”方案表示如下：

同理如果保持包含本地通话分钟数不变，让月基本费发生变化，由x y 141.0=计算可以得到

5模型的评价与改进

本文对市场上推出的各种手机“套餐”方案，进行了分析、研究，定义了“相对优惠度”的概念，给出了合理性评价，并设计了满足题目条件的“套餐”方案，具有以下优点：

1. 模型符合实际情况，具有一定的实用价值。

2. 给出了最佳消费曲线图，很好的帮助用户选择适合自己的“套餐”方案。

3. 用实际情况对模型进行了检验。

4. 模型具有良好的可移植性。

不足之处：

1. 假定了每种“套餐”方案的用户相对稳定，没有考虑新“套餐”方案带来的业务增加。

2. 对用户通话时间是累计计费，跟实际通话时间计费有差异。

3. 设计“套餐”方案时，主要考虑通话量这一指标，没有考虑其它业务。

6模型的推广与应用

手机套餐资费方案反应出非线性定价概念，所谓非线性定价，也称为数量折扣或数量补贴，是指消费者支付的总价格不随购买量呈线性增加的一种定价方式。消费者每增加一单位购买量，该单位服务支付的价格（边际价格）就下降。最简单的非线性定价方案为两部定价，它要求消费者先支付一笔进入费，然后再根据消费量支付使用费，“全球通”定价方式为两部定价。更加复杂的非线性定价还包括三部定价甚至多步定价。随着工业化国家逐步放松对具有天然垄断属性的公用事业企业的规制，非线性定价在这些行业的价格政策制定中得到了广泛的应用，如电力，民航，邮政，天然气，交通运输等。所以，本文所建立的手机套餐优惠模型正是遵循了非线性定价的原则。这一模型可以推广运用到其它诸如电力、民航、交通运输等行业中，具有广泛的实用性。

7参考文献

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