反比例函数必考题型梳理总结
反比例函数常考题型梳理最新必考点1：反比例函数的概念
掌握一般地，形如y=k
x（k≠0）的函数称为反比例函数，反比例函数的等价形式
①y=k
x（k≠0）②y＝kx
﹣1（k≠0）③xy=k（k≠0）
例题1下列函数：①y＝x﹣2，②y=3
x，③y＝x
﹣1，④y=2
x+1，y是x的反比例函数的个数有（）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【解析】①y＝x﹣2，②y=3
x，③y＝x
﹣1，④y=2
x+1，y是x的反比例函数的是：②y=
3
x，③y＝x
﹣1，共2
个．选C．
变式1若函数y＝（m2﹣3m+2）x|m|﹣3是反比例函数，则m的值是（）
A．1B．﹣2C．±2D．2
【解析】由题意得，|m|﹣3＝﹣1，解得m＝±2，当m＝2时，m2﹣3m+2＝22﹣3×2+2＝0，
当m＝﹣2时，m2﹣3m+2＝（﹣2）2﹣3×（﹣2）+2＝4+6+2＝12，∴m的值是﹣2．选B．
变式2已知函数y＝（m+1）x m2?2是反比例函数，则m的值为．
【解析】∵y＝（m+1）x m2﹣2是反比例函数，∴m2﹣2＝﹣1，且m+1≠0，∴m＝±1，且m≠﹣1，∴m＝1；
变式3下列函数中，y是x的反比例函数有（）
（1）y＝3x；（2）y=?2
x；（3）y=
x
3；（4）﹣xy＝3；（5）y=
2
x+1；（6）y=
1
x2
；（7）y＝2x﹣2；（8）y=
k
x．
A．（2）（4）B．（2）（3）（5）（8）C．（2）（7）（8）D．（1）（3）（4）（6）
【解析】（1）y＝3x，是正比例函数，故此选项错误；（2）y=?2
x，是反比例函数，故此选项正确；
（3）y=x
3是正比例函数，故此选项错误；（4）﹣xy＝3是反比例函数，故此选项正确；
（5）y=
2
x+1，y是x+1的反比例函数，故此选项错误；（6）y=
1
x2
，y是x2的反比例函数，故此选项错误；
（7）y＝2x﹣2，y是x2的反比例函数，故此选项错误；
（8）y=k
x，k≠0时，y是x的反比例函数，故此选项错误．选A．
【小结】此题主要考查了正比例函数以及反比例函数的定义，正确把握相关定义是解题关键．
必考点2：反比例函数的图象（结合一次、二次函数）
对于一次函数的图象、反比例函数的图象以及二次函数的图象，掌握一次函数、反比例函数、二次函数图象与系数的关系是解题的关键．
例题2若函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则函数y＝ax+b和y=c
x在同一平面直角坐标系中的
图象大致是（）
A．B．C．D．
【解析】∵由函数图象交y轴的正坐标可知c＞0，∴反比例函数y=c
x的图象必在一、三象限，
故C、D错误；∵据二次函数的图象开口向上可知a＞0，对称轴在y轴的右侧，b＜0，∴函数y＝ax+b的图象经过一三四象限，故A错误，B正确．选B．
变式4一次函数y＝ax+b与反比例函数y=c
x的图象如图所示，则二次函数y＝ax
2+bx+c的大致图象是（）
A．B．C．D．
【解析】∵一次函数y＝ax+b图象过第二、三、四象限，∴a＜0，b＜0，∴x=?b
2a＜0，
∴二次函数y＝ax2+bx+c开口向下，二次函数y＝ax2+bx+c对称轴在y轴左侧；
∵反比例函数y=c
x的图象在第一、三象限，∴c＞0，
∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴交点在x轴上方．满足上述条件的函数图象只有选项D．
变式5函数y=k
x与y＝ax
2+bx+c的图象如图所示，则函数y＝kx﹣b的大致图象为（）
A．B．C．D．
【分析】首先根据二次函数及反比例函数的图象确定k、b的符号，然后根据一次函数的性质确定答案即可．【解析】根据反比例函数的图象位于一、三象限知k＞0，
根据二次函数的图象确知a＜0，b＜0，∴函数y＝kx﹣b的大致图象经过一、二、三象限，选D．
变式6抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y＝bx+b2﹣4ac与反比例函数y= (a+b+c)(a?b+c)
x在同一坐标系内的图象大致是（）
A．B．C．D．
【解析】∵二次函数图象开口向上，∴a＞0，∵对称轴为直线x=?b
2a＞0，∴b＜0，
当x＝﹣1时，a﹣b+c＞0，当x＝1时，a﹣b+c＜0，∴（a+b+c）（a﹣b+c）＜0，
∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，
∴一次函数图象经过第一、二、四象限，反比例函数图象经过第二四象限．选D．
必考点3：反比例函数图象上点的坐标特征（比较大小）
反比例函数图象上点的坐标特征：当k＞0时，图象分别位于第一、三象限，横纵坐标同号；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限，横纵坐标异号．
例题3若（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）三点均在反比例函数y=m2+1
x的图象上，结论中正确的是（）
A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y1＞y2D．y2＞y3＞y1
【解析】∵m2+1＞0，∴反比例函数y=m2+1
x的图象在一、三象限，
∵点（﹣1，y1）的横坐标为﹣1＜0，∴此点在第三象限，y1＜0；
∵（2，y2），（3，y3）的横坐标3＞2＞0，∴两点均在第一象限y2＞0，y3＞0，∵在第一象限内y随x的增大而减小，∴y2＞y3＞0，∴y2＞y3＞y1．选D．
变式7函数y=?k2?1
x（k为常数）的图象经过点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3），若x1＜x2＜0＜
x3，则y1、y2、y3的大小关系是（）
A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y3
【解析】∵反比例函数y=?k2?1
x中，则﹣k
2﹣1＜0，∴此函数的图象在二、四象限，在每一象限内y随x
的增大而增大，∵x1＜x2＜0＜x3，∴y1＞0、y2＞0，y3＜0，∵x1＜x2，∴y1＜y2，∴y2＞y1＞y3．选C．
变式8已知点A（x1，2），B（x2，4），C（x3，﹣1）都在反比例函数y=k
x（k＜0）的图象上，则x1，x2，
x3的大小关系是（）
A．x3＜x1＜x2B．x2＜x1＜x3C．x1＜x3＜x2D．x1＜x2＜x3
【解析】∵点A（x1，2），B（x2，4），C（x3，﹣1）在反比例y=k
x（k＜0）的图象上，∴x1＜x2＜x3，选D．
【小结】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
变式9 若点A （a ﹣1，y 1），B （a +1，y 2）在反比例函数y =k
x
（k ＜0）的图象上，且y 1＞y 2，则a 的取值范围是（ ） A ．a ＜﹣1
B ．﹣1＜a ＜1
C ．a ＞1
D ．a ＜﹣1或a ＞1
【分析】根据反比例函数的性质分两种情况进行讨论，①当点（a ﹣1，y 1）、（a +1，y 2）在图象的同一支上时，②当点（a ﹣1，y 1）、（a +1，y 2）在图象的两支上时． 【解析】∵k ＜0，
∴在图象的每一支上，y 随x 的增大而增大，
①当点（a ﹣1，y 1）、（a +1，y 2）在图象的同一支上，∵y 1＞y 2，∴a ﹣1＞a +1，此不等式无解；
②当点（a ﹣1，y 1）、（a +1，y 2）在图象的两支上，∵y 1＞y 2，∴a ﹣1＜0，a +1＞0，解得：﹣1＜a ＜1，选B ．
必考点4： 反比例函数图象上点的坐标特征（与四边形结合）
反比例函数图象上点的坐标特征：当k ＞0时，图象分别位于第一、三象限，横纵坐标同号；当k ＜0时，图象分别位于第二、四象限，横纵坐标异号．
例题4 在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的顶点A （1，0），D （0，2），点B 在第一象限，BD ∥x 轴，若函数y =k
x (k ＞0，x ＞0)的图象经过矩形ABCD 的对角线的交点，则k 的值为（ ）
A ．4
B ．5
C ．8
D ．10
【解析】∵BD ∥x 轴，D （0，2），∴B 、D 两点纵坐标相同，都为2，∴可设B （x ，2）， ∵矩形ABCD 的对角线的交点为E ，∴E 为BD 中点，∠DAB ＝90°．∴E （1
2x ，2），
∵∠DAB ＝90°，∴AD 2+AB 2＝BD 2，
∵A （1，0），D （0，2），B （x ，2），∴12
+22
+（x ﹣1）2
+22
＝x 2
，解得x ＝5，∴E （5
2
，2）．
∵反比例函数y =k x （k ＞0，x ＞0）的图象经过点E ，∴k =5
2×2＝5，选B ．
【小结】本题考查了矩形的性质，勾股定理，反比例函数图象上点的坐标特征，线段中点坐标公式等知识，求出E 点坐标是解题的关键．
变式10 如图，在平面直角坐标系中，A 是反比例函数y =k x
（k ＞0，x ＞0）图象上一点，B 是y 轴正半轴上一点，以OA 、AB 为邻边作?ABCO ．若点C 及BC 中点D 都在反比例函数y =?4
x （x ＜0）图象上，则k 的值为（ ）
A ．6
B ．8
C ．10
D ．12
【分析】设点C 坐标为（a ，?4a
），点A （x ，y ），由中点坐标公式可求点D ，点B 坐标，由平行四边形的性质可得AC 与BO 互相平分，由中点坐标公式可求点A 坐标，即可求解． 【解析】设点C 坐标为（a ，?4
a ），点A （x ，y ），
∵点D 是BC 的中点，∴点D 的横坐标为a 2，∴点D 坐标为（a
2，?8a ），∴点B 的坐标为（0，?12
a ），
∵四边形ABCO 是平行四边形，∴AC 与BO 互相平分， ∴
0+02
=
a+x 2
，
?4
a
+y 2=
?12a
+02
，∴x ＝﹣a ，y =?8a
，
∴点A （﹣a ，?8a
），∴k ＝（﹣a ）×（?8a
）＝8，选B ．
变式11 如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 是菱形，AB ∥x 轴，CD 与y 轴交于点E ，反比例函数y =k
x
（x ＞0）图象经过顶点B 、C ，已知点B 的横坐标为5，AE ＝2CE ，则点C 的坐标为（ ）
A ．（2，
203
） B ．（2，8
3
）
C ．（3，
203
） D ．（3，8
3
）
【分析】如图，过点C 作CF ⊥AB 于点F ，根据菱形的性质得到AB ＝BC ，CD ∥AB ，根据矩形的性质得到AE ＝CF ，CE ＝AF ，求得AB ＝BC ＝5，CF ＝2CE ，BF ＝5﹣CE ，根据勾股定理得到CF ＝AE ＝4，设点B （5，m ），点C （2，m +4），列方程即可得到结论． 【解析】如图，过点C 作CF ⊥AB 于点F ，
∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，CD∥AB，
∵∠CEA＝90°，∴∠EAB＝90°，且∠CEA＝90°，CF⊥AB，
∴四边形CEAF是矩形，∴AE＝CF，CE＝AF，
∵点B的横坐标为5，AE＝2CE，∴AB＝BC＝5，CF＝2CE，BF＝5﹣CE，∵BC2＝CF2+BF2，∴25＝4CE2+（5﹣CE）2，∴CE＝2，∴CF＝AE＝4，设点B（5，m），点C（2，m+4），
∵反比例函数y=k
x图象过点C，B，∴5m＝2×（m+4），∴m=
8
3，∴点C（2，
20
3
），选A．
变式12如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=4
3x+4的图象与x轴、y轴分别相交于点B，点A，以线
段AB为边作正方形ABCD，且点C在反比例函数y=k
x（x＜0）的图象上，则k的值为（）
A．﹣12B．﹣42C．42D．﹣21【解析】∵当x＝0时，y＝0+4＝4，∴A（0，4），∴OA＝4；
∵当y＝0时，0=4
3
x+4，∴x＝﹣3，∴B（﹣3，0），∴OB＝3；
过点C作CE⊥x轴于E，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，AB＝BC，
∵∠CBE+∠ABO＝90°，∠BAO+∠ABO＝90°，∴∠CBE＝∠BAO．
在△AOB和△BEC中，{∠CBE=∠BAO
∠BEC=∠AOB
BC=AB
，∴△AOB≌△BEC（AAS），∴BE＝AO＝4，CE＝OB＝3，
∴OE＝3+4＝7，∴C点坐标为（﹣7，3），
∵点A 在反比例函数y =k x
(x ＜0)的图象上，∴k ＝﹣7×3＝﹣21．选D ．
必考点5： 反比例函数系数k 的几何意义（面积）
反比例函数y =k
x
（k ≠0）系数k 的几何意义：从反比例函数y =k
x
（k ≠0）图象上任意一点向x 轴和y 轴作
垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．
例题5 如图，两个反比例函数y =4
x 和y =2
x 在第一象限内的图象分别是C 1和C 2，设点P 在C 1上，P A ⊥x 轴于点A ，交C 2于点B ，则△POB 的面积为（ ）
A ．1
B ．2
C ．4
D ．无法计算
【解析】∵P A ⊥x 轴于点A ，交C 2于点B ，∴S △POA =
12×4＝2，S △BOA =1
2
×2＝1，∴S △POB ＝2﹣1＝1．选A 变式13 如图直线y ＝mx 与双曲线y =k
x 交于点A 、B ，过A 作AM ⊥x 轴于M 点，连接BM ，若S △AMB ＝2，则k 的值是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【分析】此题可根据反比例函数图象的对称性得到A 、B 两点关于原点对称，再由S △ABM ＝2S △AOM 并结合反比例函数系数k 的几何意义得到k 的值．
【解析】由题意得：S △ABM ＝2S △AOM ＝2，S △AOM =1
2|k |＝1，
则k ＝±2．又由于反比例函数图象位于一三象限，k ＞0，所以k ＝2．选B ．
变式14 如图，点A 与点B 分别在函数y =k 1x (k 1＞0)与y =k
2
x (k 2＜0)的图象上，线段AB 的中点M 在y 轴
上．若△AOB 的面积为2，则k 1﹣k 2的值是（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【解析】作AC ⊥x 轴于C ，BD ⊥x 轴于D ，∴AC ∥BD ∥y 轴，∵M 是AB 的中点，∴OC ＝OD ， 设A （a ，b ），B （﹣a ，d ），代入得：k 1＝ab ，k 2＝﹣ad ，
∵S △AOB ＝2，∴1
2（b +d ）?2a ?1
2
ab ?12
ad ＝2，∴ab +ad ＝4，∴k 1﹣k 2＝4，选C ．
变式15 如图，是反比例函数y =k 1x 和y =k
2
x （k 1＜k 2）在第一象限的图象，直线AB ∥x 轴，并分别交两条
曲线于A 、B 两点，若S △AOB ＝2，则k 2﹣k 1的值为 ．
【解析】设A （a ，b ），B （c ，d ），代入得：k 1＝ab ，k 2＝cd ， ∵S △AOB ＝2，∴1
2
cd ?1
2ab ＝2，∴cd ﹣ab ＝4，∴k 2﹣k 1＝4，
必考点6： 反比例函数系数k 的几何意义（规律题）
反比例函数y =k
x （k ≠0）系数k 的几何意义：从反比例函数y =k
x （k ≠0）图象上任意一点向x 轴和y 轴作
垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．
例题6 如图，已知A 1，A 2，A 3，…A n ，…是x 轴上的点，且OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A n ﹣1A n …＝1，分别过点A 1，A 2，A 3，…A n ，…作x 轴的垂线交反比例函数y =1
x （x ＞0）的图象于点B 1，B 2，B 3，…，B n ，…，过点B 2作B 2P 1⊥A 1B 1于点P 1，过点B 3作B 3P 2⊥A 2B 2于点P 2…，记△B 1P 1B 2的面积为S 1，△B 2P 2B 3的面积为S 2…，△B n P n B n +1的面积为S n ．则S 1+S 2+S 3+…+S 20＝ ．
【解析】∵OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A n ﹣1A n ＝1，
∴设B 1（1，y 1），B 2（2，y 2），B 3（3，y 3），…B n （n ，y n ），
∵B 1，B 2，B 3…Bn 在反比例函数y =1
x （x ＞0）的图象上，∴y 1＝1，y 2=1
2，y 3=1
3，…y n =1
n ， ∴S 1=12×1×（y 1﹣y 2）=12×1×（1?12）=12（1?12）；∴S 2=12×1×（y 2﹣y 3）=1
2×（12?13）； ∴S 3=
12×1×（y 3﹣y 4）=12×（13?14），…∴S 20=12×（y 20﹣y 21）=12×（120?121
）=1840， ∴∴S 1+S 2+S 3+…+S 20=1
2（1?1
2+1
2?1
3+1
3?1
4+?+1
20?1
20+1）=202(1+20)=20
42=10
21，
变式16 【变式6-1】（2019?蜀山区一模）如图，点B 在反比例函数y =2
X （x ＞0）的图象上，过点B 分别与x 轴和y 轴的垂线，垂足分别是C 0和A ，点C 0的坐标为（1，0），取x 轴上一点C 1（3
2，0），过点C 1作
x 轴的垂线交反比例函数图象于点B 1，过点B 1作线段B 1A 1⊥BC 0交于点A 1，得到矩形A 1B 1C 1C 0，依次在x 轴上取点C 2 （2，0），C 3（5
2，0）…，按此规律作矩形，则矩形A n B n ?n C n ﹣1（n 为正整数）的面积为 ．
【解析】第1个矩形的面积=4
3
×(32?1)=23=21+2，第2个矩形的面积=(2?32)×1=12=22+2，…
第n个矩形的面积=1
2
×2+2
n+2
=2n+2．∴矩形A n B n?n C n﹣1（n为正整数）的面积为
2
n+2
故答案为：
2
n+2
变式17如图，在反比例函数的图象y=4
x（x＞0）上，有点P1，P2，P3，P4，…，点P1横坐标为2，且后
面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是2，过点P1，P2，P3，P4，…分别作x轴，y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，…则S1+S2+S3+…+S n＝．
【解析】如图，过点P1、点P n作y轴的垂线段，垂足分别是点B、点C，过点P1作x轴的垂线段，垂足是点E，P1E交CP n于点A，
则点A的纵坐标等于点P n的纵坐标等于4
2n ，AC＝2，AE=
4
2n，
故S1+S2+S3+…+S n＝S矩形P1EOB﹣S矩形AEOC＝2×4
2
?2×4
2(n+1)
=4?4n+1．故答案为4?4n+1．
变式18如图，已知反比例函数y=1
x的图象，当x取1，2，3，…n时，对应在反比例图象上的点分别为
M1、M2、M3…M n，则S△P1M1M2+S△P2M2M3+…S△Pn﹣1Mn﹣1Mn＝．
【解析】∵M 1（1，1），M 2（2，12
），M 3（3，13
），…，M n （n ，1
n
），
∴S △P 1M 1M 2=
12×1×（1?12），S △P 2M 2M 3=12×1×（12?13），…，S △Pn ﹣1Mn ﹣1Mn =1
2×1×（1n?1?1n
）， ∴S △P 1M 1M 2+S △P 2M 2M 3+?+S △P n?1M n?1M n =1
2×1×（1?1
2）+1
2×1×（1
2?1
3）+?+1
2×1×（1
n?1?1
n
）
=12（1?12+12?13+?+1n?1?1n ）=12?n?1n
=n?1
2n ．
必考点7： 待定系数法求反比例函数解析式
反比例函数y =k
x （k ≠0）系数k 的几何意义：从反比例函数y =k
x （k ≠0）图象上任意一点向x 轴和y 轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．
例题7 已知反比例函数y =k
x （k ≠0），当x ＝﹣3时，y =4
3． （1）求y 关于x 的函数表达式．（2）当y ＝﹣4时，求自变量x 的值．
【解析】（1）根据题意，得4
3
=?k
3
，解得，k ＝﹣4；∴该反比例函数的解析式是y =?4
x
；
（2）由（1）知，该反比例函数的解析式是y =?4x ，∴当y ＝﹣4时，﹣4=?4
x ，即x ＝1． 变式19 已知y 与x ﹣1成反比例，且当x ＝4时，y ＝1．
（1）求y 与x 的函数关系式；（2）判断点（﹣2，﹣1）是否在该函数图象上．
【分析】（1）根据题意可以设出函数关系式，把x 和y 的对应值代入函数解析式，通过方程即可求得k 的值； （2）然后把x ＝﹣2代入所求得的函数解析式，得到相应的y 的值即可判断． 【解析】（1）设y =
k x?1，把x ＝4，y ＝1代入y =k x?1得1=k 4?1，解得k ＝3，∴y 与x 的函数关系式y =3
x?1
； （2）把 x ＝﹣2代入y =
3
x?1
得，y ＝﹣1，∴点（﹣2，﹣1）在该函数的图象上． 变式20 已知y ＝y 1﹣y 2，y 1与x 成反比例，y 2与x ﹣2成正比例，当x ＝3时，y ＝5；当x ＝1时，y ＝﹣1． （1）y 与x 的函数表达式；（2）当x ＝﹣1时，求y 的值． 【解析】（1）设y 1=a
x ，y 2＝b （x ﹣2），则y =a
x ?b （x ﹣2），
根据题意得{a
3?b(3?2)=5a 1
?b(1?2)=?1
，解得{a =3b =?4，所以y 关于x 的函数关系式为y =3x +4（x ﹣2）；
（2）把x ＝﹣1代入y =3
x +4（x ﹣2）； 得y ＝﹣3+4×（﹣1﹣2）＝﹣15．
变式21 已知y ＝y 1+y 2，y 1与x 2成正比例，y 2与x +1成反比例，当x ＝0时，y ＝2；当x ＝1时，y ＝2．求y 与x 的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
【解析】∵y ＝y 1+y 2，y 1与x 2成正比例，y 2与x +1成反比例，∴设y 1＝kx 2，y 2=a
x+1，∴y ＝kx 2+a
x+1， ∵当x ＝0时，y ＝2；当x ＝1时，y ＝2，∴{2=a 2=k +a 2
，解得：{a =2
k =1，故y ＝x 2+2x+1（x ≠﹣1）．
必考点8： 反比例函数与一次函数交点问题
例题8 如图，等腰直角△ABC 位于第二象限，BC ＝AC ＝2，直角顶点C 在直线y ＝﹣x 上，且点C 的横坐标为﹣3，边BC ，AC 分别平行于x 轴、y 轴．若双曲线y =k x
与△ABC 的边AB 有2个公共点，则k 的取值范围为 ．
【解析】由题意C （﹣3，3），A （﹣3，1），B （﹣1，3），直线OC 与AB 的交点坐标为E （﹣2，2）， 反比例函数图象经过A 或B 时，k ＝﹣3，反比例函数图象经过点E 时，k ＝﹣4，
观察图象可知，双曲线y =k x
与△ABC 的边AB 有2个公共点，则k 的取值范围为﹣4＜k ≤﹣3．
变式22 如图，直线y ＝1与反比例函数y =k
x
（x ＜0），y =2x
（x ＞0）的图象分别交于点A 和点B ，线段AB 的长是8，若直线y ＝n （x +2）（n ≠0）与y =2
x （x ＞0）的图象有交点，与y =k
x （x ＜0）无交点，则n 的取值范围为（ ）
A ．﹣6＜n ＜0
B ．0＜n ＜6
C ．﹣6＜n ＜0或0＜n ＜6
D ．0＜n ＜2
【解析】当y＝1时，2
x
=1，解得x＝2，则B（2，1），∵线段AB的长是8，∴A点的坐标为（﹣6，1），
∵A点（﹣6，1）在反比例函数y=k
x的图象上，∴k＝﹣6×1＝﹣6，∴反比例函数解析式为y=?
6
x，
当n＜0时，直线y＝nx+2n与y=k
x（x＜0）有交点，不合题意，
当n＞0时，直线y＝nx+2n与y=2
x（x＞0）有交点，
此时当方程nx+2n=?6
x无解时，直线y＝nx+2n与y=
k
x（x＜0）无交点，
方程整理得nx2+2nx+6＝0，∴△＝4n2﹣4n×6＜0，解得n＜6，∴满足条件的n的范围为0＜n＜6．选B．
变式23在平面直角坐标系xOy中，过点A（﹣5，0）作垂直于x轴的直线AB，直线y＝x+b与双曲线y=?4 x
相交于点P（x1，y1）、Q（x2，y2），与直线AB相交于点R（x3，y3）．若y1＞y2＞y3时，则b的取值范围是（）
A．b＞4B．b＞4或b＜﹣4
C．?29
5＜b＜﹣4或b＞4D．4＜b＜
29
5或b＜﹣4
【解析】∵直线y＝x+b与双曲线y=?4
x有两个交点，∴x+b=?
4
x有两个实数解，整理得x
2+bx+4＝0，
∵△＝b2﹣4×4＞0，∴b＞4或b＜﹣4，
当反比例函数图象与直线y＝x+b在第二象限相交于P、Q时，直线AB与反比例函数y=?4
x相交于C点，
如图，当x＝﹣5时，y=?
4
?5
=45，则C（﹣5，
4
5
），
当点R在C点下方时，y1＞y2＞y3，即x＝﹣5时，y＜4
5，∴﹣5+b＜
4
5，解得b＜
29
5，∴b的范围为4＜b＜
29
5，
当反比例函数与直线y＝x+b在第四象限相交于P、Q时，b的范围为b＜﹣4满足y1＞y2＞y3，
综上所述，b的范围为4＜b＜29
5或b＜﹣4．选D．
【小结】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
变式24 平面直角坐标系中，函数y =4
x （x ＞0）的图象G 经过点A （4，1），与直线y =14
x +b 的图象交于点B ，与y 轴交于点C ．其中横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G 在点A 、B 之间的部分与线段OA 、OC 、BC 围成的区域（不含边界）为W ．若W 内恰有4个整点，结合函数图象，b 的取值范围是（ ） A ．?5
4≤b ＜1或7
4
＜b ≤11
4
B ．?54≤b ＜1或?74＜b ≤11
4
C ．?54≤b ＜﹣1或?74＜b ≤114
D ．?54≤b ＜﹣1或74
＜b ≤11
4
【解析】如图1，直线l 在OA 的下方时，
当直线l ：y =1
4x +b 过（0，﹣1）时，b ＝﹣1，且经过（4，0）点，区域W 内有三点整点， 当直线l ：y =1
4x +b 过（1，﹣1）时，b =?5
4，且经过（5，0），区域W 内有三点整点， ∴区域W 内恰有4个整点，b 的取值范围是?5
4≤b ＜﹣1．如图2，直线l 在OA 的上方时， ∵点（2，2）在函数y =k x
（x ＞0）的图象G ，
当直线l ：y =1
4x +b 过（1，2）时，b =7
4，当直线l ：y =1
4x +b 过（1，3）时，b =11
4， ∴区域W 内恰有4个整点，b 的取值范围是7
4＜b ≤
114
． 综上所述，区域W 内恰有4个整点，b 的取值范围是?54≤b ＜﹣1或74
＜b ≤11
4．选D ．
必考点9： 反比例与一次函数综合
例题9 如图，一次函数y ＝kx +b 的图象与反比例函数y =m
x 的图象交于点A （1，4）、B （4，n ）． （1）求这两个函数的表达式；（2）请结合图象直接写出不等式kx +b ≤m
x 的解集； （3）若点P 为x 轴上一点，△ABP 的面积为6，求点P 的坐标．
【解析】（1）把A （1，4）代入y =
m x ，得：m ＝4，∴反比例函数的解析式为y =4x
； 把B （4，n ）代入y =4
x
，得：n ＝1，∴B （4，1），
把A （1，4）、（4，1）代入y ＝kx +b ，得：{k +b =44k +b =1，解得：{k =?1
b =5，∴一次函数的解析式为y ＝﹣x +5；
（2）根据图象得：当0＜x ≤1或x ≥4时，kx +b ≤m
x ；∴不等式kx +b ≤m
x 的解集为0＜x ≤1或x ≥4； （3）如图，设直线AB 与x 轴交于点C ，∵直线AB 与x 轴交于点C ，∴点C 坐标为（5，0）， ∵△ABP 的面积为6，∴1
2×PC ×4?12
PC ×1＝6，∴PC ＝4，∴点P 的坐标为（1，0）或（9，0）．
变式25 如图，一次函数y ＝kx +b 与反比例函数y =m
x
的图象交于点A （1，6），B （3，n ）两点．与x 轴交于点 C ．
（1）求一次函数的表达式；（2）若点M 在x 轴上，且△AMC 的面积为6，求点M 的坐标． （3）在y 轴上找一点P ，使P A +PB 的值最小，直接写出满足条件的点P 的坐标是 ．
【解析】（1）把A （1，6）代入y =m
x 得：m ＝6，即反比例函数的表达式为y =6
x ， 把B （3，n ）代入y =6
x 得：n ＝2，即B 的坐标为（3，2），
把A 、B 的坐标代入y ＝kx +b 得：{k +b =63k +b =2，解得：k ＝﹣2，b ＝8，即一次函数的表达式为y ＝﹣2x +8；
（2）∵一次函数y ＝﹣2x +8与x 轴交于点 C ，∴C （4，0），
∵A （1，6），点M 在x 轴上，且△AMC 的面积为6，∴CM ＝2，∴M （6，0）或（2，0）； （3）作点A 关于y 轴的对称点A ′，连接A ′B 交y 轴于点P ，如图所示．
在y 轴上任取一点P ′（不同于点P ），∵A 、A ′关于y 轴对称，∴AP ＝A ′P ，AP ′＝A ′P ′， 在△P ′A ′B 中，有A ′P ′+BP ′＝AP ′+BP ′＞A ′B ＝A ′P +BP ＝AP +BP ，
∴当A ′、P 、B 三点共线时，P A +PB 最小．∵点A 的坐标为（1，6），∴点A ′的坐标为（﹣1，6）． 设直线A ′B 的解析式为y ＝ax +b ，将点A ′（﹣1，6）、点B （3，2）代入到y ＝ax +b 中，得{?a +b =63a +b =2，
解得：{a =?1
b =5，∴直线A ′B 的解析式为y ＝﹣x +5，令x ＝0，则有y ＝5．即点P 的坐标为（0，5），
变式26 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y 1＝kx +b （k ≠0）的图象与反比例函数
y 2=m
x （m ≠0）的图象相交于第一、三象限内的A （3，5），B （a ，﹣3）两点，与x 轴交于点C ． （1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）在y 轴上找一点P 使PB ﹣PC 最大，求PB ﹣PC 的最大值及点P 的坐标； （3）直接写出不等式kx +b ＞m
x 的解集．
【解析】（1）把A （3，5）代入y 2=m
x （m ≠0），可得m ＝3×5＝15，∴反比例函数的解析式为y 2=15
x ， 把点B （a ，﹣3）代入，可得a ＝﹣5，∴B （﹣5，﹣3）．
把A （3，5），B （﹣5，﹣3）代入y 1＝kx +b ，可得{3k +b =5?5k +b =3，得{k =1b =2，∴一次函数的解析式为y 1＝x +2；
（2）一次函数的解析式为y 1＝x +2，令x ＝0，则y ＝2，∴一次函数与y 轴的交点为P （0，2），
三角函数知识点及题型归纳
三角函数高考题型分类总结 一．求值 1.若4sin ,tan 05 θθ=->，则cos θ= . 2.α是第三象限角，2 1)sin(= -πα，则αcos = )25cos(απ+= 3.若角α的终边经过点(12)P -，，则αcos = tan 2α= 4.下列各式中，值为 2 3 的是 ( ) （A ）2sin15cos15?? （B ）?-?15sin 15cos 22（C ）115sin 22-?（D ）?+?15cos 15sin 22 5.若02,sin 3cos απαα≤≤> ，则α的取值范围是： ( ) （Ａ）,32ππ?? ??? （Ｂ）,3ππ?? ??? （Ｃ）4,33ππ?? ??? （Ｄ）3,32 ππ ?? ??? 二.最值 1.函数()sin cos f x x x =最小值是 。 2.若函数()(13tan )cos f x x x =+，02 x π ≤< ，则()f x 的最大值为 3.函数()cos 22sin f x x x =+的最小值为 最大值为 。 4．已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ?? - ??? ?上的最小值是2-，则ω的最小值等于 5.设02x π?? ∈ ??? ，，则函数22sin 1sin 2x y x +=的最小值为 ． 6．将函数x x y cos 3sin -=的图像向右平移了n 个单位，所得图像关于y 轴对称，则n 的最小正值是 A ． 6π7 B ．3π C ．6π D ．2 π 7.若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则MN 的最大值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．2 8.函数2 ()sin 3sin cos f x x x x =+在区间,42ππ?? ? ??? 上的最大值是 ( ) A.1 B. 13 2 + C. 3 2 D.1+3 三.单调性 1.函数]),0[()26 sin(2ππ ∈-=x x y 为增函数的区间是 （ ）.
一次函数题型总结
一次函数题型总结 1、判断下列变化过程存在函数关系的是( ) A.y x ,是变量，x y 2±= B.人的身高与年龄 C.三角形的底边长与面积 D.速度一定的汽车所行驶的路程与时间 2、已知函数1 2+= x x y ，当a x =时，y = 1，则a 的值为( ) A.1 B.－1 C.3 D.2 1 3、下列各曲线中不能表示y 是x 的函数是（ ）。 1、下列各函数中，y 与x 成正比例函数关系的是（其中k 为常数）( ) A 、y=3x －2 B 、y=(k+1)x C 、y=(|k|+1)x D 、y= x 2 2、如果y=kx+b ，当 时，y 叫做x 的正比例函数 3、一次函数y=kx+k+1，当k= 时，y 叫做x 正比例函数 1、下列函数关系中，是一次函数的个数是( ) ①y=1x ②y=x 3 ③y=210－x ④y=x 2 －2 ⑤ y=13x +1 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 2、若函数y=(3－m)x m -9是正比例函数，则m= 。 3、当m 、n 为何值时，函数y=(5m －3)x 2-n +(m+n)（1）是一次函数 （2）是正比例函数 1.一次函数y=－2x+4的图象经过第 象限，y 的值随x 的值增大而 （增大或减少）图象与x 轴交点坐标是 ，与y 轴的交点坐标是 ． 2. 已知y+4与x 成正比例，且当x=2时，y=1，则当x=－3时，y= ． 3.已知k ＞0，b ＞0，则直线y=kx+b 不经过第 象限． 4、若函数y=－x+m 与y=4x －1的图象交于y 轴上一点，则m 的值是( ) A. 1- B. 1 C. 4 1 - D. 41
(完整版)一次函数题型总结归纳
a a t 精心整理 一次函数题型总结 函数定义 1、判断下列变化过程存在函数关系的是() A.是变量， B.人的身高与年龄 C.三角形的底边长与面积 y x ,x y 2±=A 、1B 、2C 、3D 、42、若函数y=(3－m)x m-9是正比例函数，则m=。 3、当m 、n 为何值时，函数y=(5m －3)x 2-n +(m+n)（1）是一次函数（2）是正比 例函数 一次函数与坐标系 1.一次函数y=－2x+4的图象经过第象限，y 的值随x 的值增大而（增大或减少）
2.已知y+4与x 成正比例，且当x=2时，y=1，则当x=－3时，y= ． 3.已知k ＞0，b ＞0，则直线y=kx+b 不经过第 象限． 4、若函数y=－x+m 与y=4x －1的图象交于y 轴上一点，则m 的值是( )A. B. C. D. 1-14 1-4 1（2）把这两摞饭碗整齐地摆成一摞时，这摞饭碗的高度 是多少？ 4、东从A 地出发以某一速度向B 地走去，同时小明从B 地 出发以 另一速度向A 地而行，如图所示，图中的线段、B 地的 1y 距离（千米）与所用时间（小时）的关系。 2
a t s ⑵试求出A 、B 两地之间的距离。 函数图像的平移 1.把直线向上平移3个单位所得到的直线的函数解析式为 ．13 2+=x y 2、（2007浙江湖州）将直线y ＝2x 向右平移2个单位所得的直线的解析式是（）。 A 、y ＝2x ＋2 B 、y ＝2x －2 C 、y ＝2(x －2) D 、y ＝2(x ＋2) 的增大而，当. 函数图像与坐标轴围成的三角形的面积 1、函数y=-5x+2与x 轴的交点是与y 轴的交点是与两坐标轴围成的三角形面积是。 2.已知直线y =x +6与x 轴、y 轴围成一个三角形，则这个三角形面积为___。3、已知：在直角坐标系中，一次函数y=的图象分别与x 轴、y 轴相交于23
反比例函数题型总结
一利用反比例函数增减性比较大小 K>0,__________________________________________ K<0,_________________________________________ 1 若点P1（﹣1，m），P2（﹣2，n）在反比例函数y=（k＞0）的图象上，则m _________ n（填“＞”“＜”或“=”号）． 思考：把（-1，m)换成（1，m)呢？ 2 在反比例函数 21 a y x + =- 的图象上有三点（x1，y1）、（x2，y2）、 （x3，y3），若x1>x2>0>x3，则下列各式中正确的是（） A、y3>y1>y2 B、y3>y2>y1 C、y1>y2>y3 D、y1>y3>y2 3 若A(a1,b1),B(a2,b2)是反比例函数y=-2/x图像上的两个点，且a1 与反比例函数y= 在同一坐标系内的大致图象是（） A、B、C、D、 三、K的几何意义 1 如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB ⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是_____（三角形PAO和三角形PBO的面积都 是______）． 2 如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为_______． 3 如图，在函数的图象上有三个点A、B、C，过这三个点分别向x轴、y轴作垂线，过每一点所作的两条垂线段与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为、、，则（）． A．B．C．D． 高考题历年三角函数题 型总结 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】 高考题历年三角函数题型总结 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<，则sin y r α= ，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠． 初中数学一次函数知识点总结 基本概念： 1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。 常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。 2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。 3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。 4、确定函数定义域的方法： （1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数； （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零； （3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零； （4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零； （5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。 函数性质： 1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k. 即：y=kx+b（k，b为常数，k ≠0）。 2.当x=0时，b为函数在y轴上的点,坐标为(0，b)。 3当b=0时(即 y=kx)，一次函数图像变为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。 4.在两个一次函数表达式中： 当两一次函数表达式中的k相同，b也相同时，两一次函数图像重合； 当两一次函数表达式中的k相同，b不相同时，两一次函数图像平行； 当两一次函数表达式中的k不相同，b不相同时，两一次函数图像相交； 当两一次函数表达式中的k不相同，b相同时，两一次函数图像交于y轴上的同一点（0，b）。 图像性质 1．作法与图形： （1）列表. （2）描点；一般取两个点,根据“两点确定一条直线”的道理，也可叫“两点法”。一般的y=kx+b(k≠0）的图象过（0，b）和（-b/k，0）两点画直线即可。 正比例函数y=kx(k≠0）的图象是过坐标原点的一条直线，一般取（0,0）和（1，k）两点。 2．性质： （1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b(k≠0)。 （2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像都是过原点。 3．函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。 一次函数的图象特征和性质： y =kx+b b>0 b<0 b=0 y=kx k >0 经过第一、二、 三象限 经过第一、三、 四象限 经过第一、 三象限图象从左到右上升，y随x的增大而增大 k <0 经过第一、二、 四象限 经过第二、三、 四象限 经过第二、 四象限图象从左到右下降，y随x的增大而减小 精品文档 反比例函数重点知识总结和归纳 1. 反比例函数定义 2.反比例函数的性质 3.待定系数法 4.反比例函数的图像和画法 一、 反比例函数的比较大小问题 1.若点A （1，y 1）和点B （2，y 2）在反比例函数y =图象上，则y 1与y 2的大小关系是：y 1 y 2（填“＞”、“＜”或“=”）． 2.已知(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)是反比例函数y ＝－4x 的图象上的三点，且x 1＜x 2＜0，x 3＞0，则y 1，y 2，y 3的大小关系是( )． A ．y 3＜y 1＜y 2 B ．y 2＜y 1＜y 3 C ．y 1＜y 2＜y 3 D ．y 3＜y 2＜y 1 二、反比例函数与直线相交问题 3.直线y=mx 与双曲线y ＝k x 相交于A 、B 两点，A 点的坐标为（1，2） （1）求反比例函数的表达式；（2）计算线段AB 的长． （3）根据图象直接写出当mx ＞k x 时，x 的取值范围； 4.已知：如图，反比例函数y 1＝k x 的图象与一次函数y 2=x +b 的图象交于点A （1，4）、点B （﹣4，n ）． （1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求△OAB 的面积； （3）直接写出y 1＞y 2，y 1＜y 2，y 1=y 2时自变量x 的取值范围． 精品文档 5.如图，一次函数y =kx +b 与反比例函数 的图象交于A （m ， 6），B （3，n ）两点．（1）求一次函数的解析式； （2）根据图象直接写出的x 的取值范围； （3）求△AOB 的面积． 6.如图,在平面直角坐标系中,直线y =x －2与y 轴相交于点A ,与反比例函数k y x 在第一象限内的图象相交于点B （m ,2）. ⑴ 求反比例函数的关系式;⑵ 将直线y =x －2向上平移后与该反比例函数的图象在第一象限内交于点C ，且△ABC 的面积为18,求平移后的直线的函数关系式. 专题 三角函数题型分类总结 三角函数公式一览表 ............................................................................................................... 错误！未定义书签。 一 求值问题 ........................................................................................................................................................... - 1 - 练习 ................................................................................................................................................................. - 1 - 二 最值问题 ........................................................................................................................................................... - 2 - 练习 ................................................................................................................................................................. - 3 - 三 单调性问题 ....................................................................................................................................................... - 3 - 练习 ................................................................................................................................................................. - 3 - 四.周期性问题 ........................................................................................................................................................ - 4 - 练习 ................................................................................................................................................................. - 4 - 五 对称性问题 ....................................................................................................................................................... - 5 - 练习 ................................................................................................................................................................. - 5 - 六.图象变换问题 .................................................................................................................................................... - 6 - 练习 ................................................................................................................................................................. - 7 - 七．识图问题 ......................................................................................................................................................... - 7 - 练习 ................................................................................................................................................................. - 9 - 一 求值问题 类型1 知一求二 即已知正余弦、正切中的一个，求另外两个 方法：根据三角函数的定义，注意角所在的范围（象限），确定符号； 例 4 s i n 5 θ=，θ是第二象限角，求cos ,tan θθ 类型2 给值求值 例1 已知2tan =θ，求（1） θ θθθsin cos sin cos -+；（2）θθθθ2 2cos 2cos .sin sin +-的值. 练习 1、sin 330?= tan 690° = o 585sin = 2、（1）α是第四象限角，12 cos 13 α=，则sin α= （2）若4 sin ,tan 05 θθ=- >，则cos θ= . （3）已知△ABC 中，12 cot 5 A =-，则cos A = . (4) α是第三象限角，2 1)sin(=-πα，则αcos = )25cos(απ += 3、(1) 已知5 sin ,5 α= 则44sin cos αα-= . 一次函数知识点总结及经典试题 （一）函数 1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。 常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。 2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x 和y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x 称为自变量，把y 称为因变量，y 是x 的函数。 *判断Y 是否为X 的函数，只要看X 取值确定的时候，Y 是否有唯一确定的值与之对应 3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。 4、确定函数定义域的方法： （1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数； （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零； （3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零； （4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零； （5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。 5、函数的解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的解析式 6、函数的图像 一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象． 7、描点法画函数图形的一般步骤 第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）； 第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。 8、函数的表示方法 列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。 解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。 图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。 （二）一次函数 1、一次函数的定义 一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠）的函数，叫做一次函数，其中x 是自变量。当0b =时，一次函数y kx =，又叫做正比例函数。 ⑴一次函数的解析式的形式是y kx b =+，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式． ⑵当0b =，0k ≠时，y kx =仍是一次函数． ⑶当0b =，0k =时，它不是一次函数． ⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数． 2、正比例函数及性质 一般地，形如y=kx(k 是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数. 注：正比例函数一般形式 y=kx (k 不为零) ① k 不为零 ② x 指数为1 ③ b 取零 当k>0时，直线y=kx 经过三、一象限，从左向右上升，即随x 的增大y 也增大；当k<0时，?直线y=kx 经过二、四象限，从左向右下降，即随x 增大y 反而减小． (1) 解析式：y=kx （k 是常数，k ≠0） (2) 必过点：（0，0）、（1，k ） (3) 走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，?图像经过二、四象限 (4) 增减性：k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小 (5) 倾斜度：|k|越大，越接近y 轴；|k|越小，越接近x 轴 3、一次函数及性质 一般地，形如y=kx ＋b(k,b 是常数，k≠0)，那么y 叫做x 的一次函数.当b=0时，y=kx ＋b 即y=kx ，所以说正 模块一 反比例函数k 的几何意义 1.反比例函数k 的几何意义：如图，在反比例函数图象上任选一点，向两坐标轴作垂线，垂线与坐标轴所围成矩形的面积为k 。如图二，所围成三角形的面积为 2 k 2.如图，四条双曲线1C 、2C 、3C 、4C 对应的函数解析式分别为：1k y x =、2k y x =、3k y x =、4k y x =，那么1k 、2k 、3k 、4k 的大小顺序为1234k k k k <<< ? 利用k 的几何意义求参数的数值或比较参数大小 【例1】 如图，点P 在反比例函数的图像上，过P 点作PA x ⊥轴于A 点，作PB y ⊥轴于B 点，矩形OAPB 的面积为9，则该反比例函数的解析式为 【巩固】反比例函数x k y = 的图像如图所示，点M 是该函数图像上一点，MN 垂直于x 轴，垂足是点N ，如果2MON S ?=，则k 的值为（ ） 反比例函数与几何综合 A. 2 B. 2- C. 4 D. 4- 【例2】 如图，在Rt AOB ?中，点A 是直线y x m =+与双曲线m y x =在第一象限的交点，且2AOB S ?=，则 m 的值是 _____. 【例3】 如图，正比例函数y kx =和y ax =(0a >)的图像与反比例函数k y x = (0k >)的图像分别相交于A 点和C 点．若Rt AOB ?和Rt COD ?的面积分别为1S 和2S ，则1S 与2S 的关系是（ ） A ．12S S > B ．1S =2S C ．1S <2S D ．不能确定 【巩固】在函数k y x =(0x >)的图像上取三点A 、B 、C ，由这三点分别向x 轴、y 轴作垂线，设矩形12AAOA 、 12BB OB 、12CC OC 的面积分别为A S 、B S 、C S ，试比较三者大小 . ? 反比例函数与方程的思想 【例4】 已知点(1,3)在函数k y x = (0x >)的图像上，矩形ABCD 的边BC 在x 轴上，E 是对角线BD 的 中点，函数k y x = (0x >)的图像经过A 、E 两点，若45ABD ∠=?，求E 点的坐标. 三角函数的图像与性质题型归纳总结 题型归纳及思路提示 题型1 已知函数解析式确定函数性质 【思路提示】一般所给函数为y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)，A>0,ω>0,要根据 y ＝sin x ，y ＝cos x 的整体性质求解。 一、函数的奇偶性 例1 f (x )＝sin ()x ?+（0≤?<π）是R 上的偶函数，则?等于（ ） A.0 B ． 4πC ．2 π D ．π 【评注】由sin y x =是奇函数，cos y x =是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论：sin()(); y A x k k Z ??π=+=∈(1)若是奇函数，则 sin()+ (); 2 y A x k k Z π ??π=+=∈(2)若是偶函数，则 cos()(); 2 y A x k k Z π ??π=+=+ ∈(3)若是奇函数，则 cos()(); y A x k k Z ??π=+=∈(4)若是偶函数，则 tan()().2k y A x k Z π ??=+= ∈(5)若是奇函数，则 .()sin ||a R f x x a a ∈=-变式1已知，函数为奇函数，则等于（ ） A.0 B ．1 C ．1-D ．1 ± 2.0()cos()()R f x x x R ???∈==+∈变式设，则“”是“为偶函数”的（ ） A 充分不必要条件 B ．必要不充分条 C ．充要条件 D ．无关条件 3.()sin()0()f x x f x ω?ω=+>变式设，其中，则是偶函数的充要条件是（ ） A.(0)1f =B ．(0)0f =C ．'(0)1f =D ．'(0)0 f = 2.()sin(2)()()2f x x x R f x π =-∈例设，则是( ) A.π最小正周期为的奇函数B ．π最小正周期为的偶函数 C ．2π 最小正周期为 的奇函数D ．2π 最小正周期为的偶函数 2()sin 1()()f x x x R f x =-∈变式1.若，则是( ) A.π最小正周期为的奇函数 B ．π最小正周期为的偶函数 C ．π最小正周期为2的奇函数D ．π最小正周期为2的偶函数 一次函数考点归纳及例题详解 考点1：一次函数的概念. 相关知识：一次函数是形如y kx b =+（k 、b 为常数，且0k ≠）的函数，特别的当0=b 时函数为)0(≠=k kx y ，叫正比例函数. 【例题】 1.下列函数中，y 是x 的正比例函数的是（ ） A ．y=2x-1 B ．y=3 x C ．y=2x 2 D ．y=-2x+1 2.已知自变量为x 的函数y=mx+2-m 是正比例函数，则m=________，?该函数的解析式为_________． 3.已知一次函数k x k y )1(-=+3,则k = . 4.函数n m x m y n +--=+12)2(，当m= ，n= 时为正比例函数；当m= ，n 时为一次函数． 考点2：一次函数图象与系数 相关知识：一次函数)0(≠+=k b kx y 的图象是一条直线，图象位置由k 、b 确定，0>k 直线要经过一、三象限，0 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3. 一次函数y = 3 x + 2的图象不经过第 象限. 4. 一次函数2y x =+的图象大致是（ ） 5. 关于x 的一次函数y=kx+k 2+1的图像可能是（ ） 6.已知一次函数y =x +b 的图像经过一、二、三象限，则b 的值可以是（ ）. 7.若一次函数m x m y 23)12(-+-=的图像经过 一、二、四象限，则m 的取值范围是 ． 8. 已知一次函数y=mx +n -2的图像如图所示，则m 、n 的取值范围是（ ） ＞0,n ＜2 B. m ＞0,n ＞2 C. m ＜0,n ＜2 D. m ＜0,n ＞2 9．已知关于x 的一次函数y mx n =+的图象如图所示， 则||n m -可化简为__ __. 10. 如果一次函数y=4x +b 的图像经过第一、三、四象限，那么b 的取值范围是_ _。 考点3：一次函数的增减性 相关知识：一 次函数)0(≠+=k b kx y ，当0>k 时，y 随x 的增大而增大，当0 反比例函数知识点 1. 定义：一般地，形如x k y = （k 为常数，o k ≠）的函数称为反比例函数。x k y =还可 以写成kx y =1 -，xy=k , （k 为常数，o k ≠）. 2. 反比例函数解析式的特征： ⑴等号左边是函数y ，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数k （也叫做比例系数 k ），分母中含有自变量x ，且指数为1. ⑵比例系数0≠k ⑶自变量x 的取值为一切非零实数。 ⑷函数y 的取值是一切非零实数。 3. 反比例函数的图像 ⑴图像的画法：描点法 ① 列表（应以O 为中心，沿O 的两边分别取三对或以上互为相反的数） ② 描点（有小到大的顺序） ③ 连线（从左到右光滑的曲线） ⑵反比例函数的图像是双曲线，x k y = （k 为常数，0≠k ）中自变量0≠x ，函数值0≠y ，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴， 但是永远不与坐标轴相交。 ⑶反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是x y =或x y -=）。 ⑷反比例函数x k y = （0≠k ）中比例系数k 的几何意义是：过双曲线x k y = （0≠k ）上任意引x 轴y 轴的垂线，所得矩形面积为k 。 4．反比例函数性质与k 的符号有关： 5. 反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一组对应值或图像上一个点的坐标即可求出k ） 6．“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比 例函数x k y =中的两个变量必成反比例关系。 反比例函数练习 一. 选择题 1. 函数y m x m m =+--()2229是反比例函数，则m 的值是（ ） A. m =4或m =-2 B. m =4 C. m =-2 D. m =-1 2. 下列函数中，是反比例函数的是（ ） A. y x =- 2 B. y x =- 12 C. y x =-1 1 D. y x = 12 3. 函数y kx =-与y k x = （ k ≠0）的图象的交点个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 不确定 4. 函数y kx b =+与y k x kb = ≠()0的图象可能是（ ） A B C D 一次函数的应用题型总结（经典实用） 用一次函数的解决实际问题。 类型一根据题目中信息建立一次函数关系式或找出符合题意的图像，再根据函数的性质解决问题； 1、学校升旗仪式上，徐徐上升的国旗的高度与时间的关系可以用一幅图近似地刻画，这幅图是下图中的（） 2、．李老师骑自行车上班，最初以某一速度匀速行进，?中途由于自行车发生故障，停下修车耽误了几分钟，为了按时到校，李老师加快了速度，仍保持匀速行进，如果准时到校．在课堂上，李老师请学生画出他行进的路程y?（千米）与行进时间t（小时）的函数图象的示意图，同学们画出的图象如图所示，你认为正确的是（） 3．汽车开始行驶时，油箱内有油40升，如果每小时耗油5升，则油箱内余油量y（升）与行驶时间t（时）的函数关系用图象表示应为下图中的（） 1 / 7 4、从甲地到乙地，汽车先以速度，行驶了路程的一半，随后又以速度()行驶了余下的一半，则下列图象，能反应汽车离乙地的距离(s)随时间(t)变化的函数图象的应为（） 5.一支蜡烛长20厘米,点燃后每小时燃烧5厘米,燃烧时剩下的高度n(厘米)与燃烧时间 t(时)的函数关系的图象是( ) (A) (B) （C）（ 6、为加强公民的节水意识，某市对用水制定了如下的收费标准，每户每月用水量不超过l0吨时，水价每吨l.2元，超过l0吨时，超过部分按每吨1.8元收费。该市某户居民，8月份用水吨 （），应交水费元，则与的关系式为__________ 7、购买作业本每个0．6元，若数量不少于13本，则按8折优惠． （1）写出应付金额y元与购买数量元之间的函数关系式： （2）求购买5本、20本的金额； （3）若需12本作业本，怎样购买合算? 8、一个蓄水池有153m的水，用每分钟3 5.0m的水泵抽水，设蓄水池的含水量为) (3 m Q， 抽水时间为分钟） (t。 ⑴写出Q关于t的函数关系式⑵求自变量t的取值范围⑶画出函数图象 2 / 7 1．已知函数()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122ππ -上的值域。 2.已知函数2()sin sin()(0)2f x x x x πωωωω=+f 的最小正周期为π. （Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）求函数f (x )在区间[0，23 π]上的取值范围. 3.（本小题满分12分）已知向量(sin ,cos ),(1,2)m A A n ==-,且0.m n =g (Ⅰ)求tan A 的值； (Ⅱ)求函数()cos 2tan sin (f x x A x x =+∈R )的值域. 4.．（本小题满分13分）已知函数()sin()(00π)f x A x A ??=+><<，，x ∈R 的最 大值是1，其图像经过点π1 32M ?? ???，． （1）求()f x 的解析式； （2）已知π02αβ??∈ ??? ，，，且3()5f α=，12()13f β= ，求()f αβ-的值． 5. 已知函数2()sin cos cos 2.222 x x x f x =+- （Ⅰ）将函数()f x 化简成sin()(0,0,[0,2))A x B A ω???π++>>∈的形式，并指出()f x 的周期； （Ⅱ）求函数17()[, ]12 f x ππ在上的最大值和最小值 6.．已知函数x x x x f sin 2 sin 2cos )(22+-=. （I ）求函数)(x f 的最小正周期； （II ）当)4,0(0π ∈x 且524)(0=x f 时，求)6 (0π+x f 的值。 7．已知1tan 3 α=-，cos β=,(0,)αβπ∈ （1）求tan()αβ+的值； （2）求函数())cos()f x x x αβ=-++的最大值． 8.已知函数())cos()f x x x ω?ω?=+-+（0π?<<，0ω>）为偶函数，且函数()y f x =图象的两相邻对称轴间的距离为π2 ． （Ⅰ）求π8f ?? ???的值； （Ⅱ）将函数()y f x =的图象向右平移π 6 个单位后，得到函数()y g x =的图象， 一次函数考点归纳及例题详解 【考点归纳】 考点1：一次函数的概念. 相关知识：一次函数是形如y kx b =+（k 、b 为常数，且0k ≠）的函数，特别的当0=b 时函数为)0(≠=k kx y ，叫正比例函数. 【例题】 1.下列函数中，y 是x 的正比例函数的是（ ） A ．y=2x-1 B ．y= 3 x C ．y=2x 2 D ．y=-2x+1 2.已知自变量为x 的函数y=mx+2-m 是正比例函数，则m=________，?该函数的解析式为_________． 3.已知一次函数k x k y )1(-=+3,则k = . 4.函数n m x m y n +--=+1 2)2(，当m= ，n= 时为正比例函数；当m= ， n 时为一次函数． 考点2：一次函数图象与系数 相关知识：一次函数)0(≠+=k b kx y 的图象是一条直线，图象位置由k 、b 确定，0>k 直线要经过一、三象限，0 5. 关于x 的一次函数y=kx+k 2 +1的图像可能是（ ） 6.已知一次函数y =x +b 的图像经过一、二、三象限，则b 的值可以是（ ）. A.-2 B.-1 C.0 D.2 7.若一次函数m x m y 23)12(-+-=的图像经过 一、二、四象限，则m 的取值围是 ． 8. 已知一次函数y=mx +n -2的图像如图所示，则m 、n 的取值围是（ ） A.m ＞0,n ＜2 B. m ＞0,n ＞2 C. m ＜0,n ＜2 D. m ＜0,n ＞2 9．已知关于x 的一次函数y mx n =+的图象如图所示，则2||n m m --可化简为__ __. 10. 如果一次函数y=4x +b 的图像经过第一、三、四象限，那么b 的取值围是_ _。 考点3：一次函数的增减性 相关知识：一 次函数)0(≠+=k b kx y ，当0>k 时，y 随x 的增大而增大，当0 反比例函数知识点归纳总结与典型例题 （一）反比例函数的概念： 知识要点： 1、一般地，形如 y = x k ( k 是常数, k = 0 ) 的函数叫做反比例函数。 注意：（1）常数 k 称为比例系数，k 是非零常数； （2）解析式有三种常见的表达形式： （A ）y = x k （k ≠ 0） ， （B ）xy = k （k ≠ 0） （C ）y=kx -1 （k ≠0） 例题讲解：有关反比例函数的解析式 （1）下列函数，① 1)2(=+y x ②. 11+= x y ③21x y = ④.x y 21 -=⑤2 x y =-⑥13y x = ；其中是y 关 于x 的反比例函数的有：_________________。 （2）函数2 2)2(--=a x a y 是反比例函数，则a 的值是（ ） A ．－1 B ．－2 C ．2 D ．2或－2 （3）若函数1 1-= m x y (m 是常数)是反比例函数，则m ＝________，解析式为________． （4）反比例函数(0k y k x = ≠） 的图象经过（—2，52， n ）， 求1）n 的值； 2）判断点B （24，2- (二)反比例函数的图象和性质： 知识要点： 1、形状：图象是双曲线。 2、位置：（1）当k>0时,双曲线分别位于第________象限内；（2）当k<0时, 双曲线分别位于第________象限内。 3、增减性：（1）当k>0时,_________________,y 随x 的增大而________； （2）当k<0时,_________________,y 随x 的增大而______。 4、变化趋势：双曲线无限接近于x 、y 轴,但永远不会与坐标轴相交 5、对称性：（1）对于双曲线本身来说，它的两个分支关于直角坐标系原点____________；（2）对于k 取互为相反数的两个反比例函数（如：y = x 6 和y = x 6 -）来说，它们是关于x 轴，y 轴___________。 例题讲解： 反比例函数的图象和性质： （1）写出一个反比例函数，使它的图象经过第二、四象限 ． （2）若反比例函数 2 2 )12(--=m x m y 的图象在第二、四象限，则m 的值是（ ） A 、 －1或1; B 、小于 1 2 的任意实数; C 、－1; Ｄ、不能确定 （3）下列函数中，当0x <时，y 随x 的增大而增大的是（ ） A ．34y x =-+ B ．123y x =-- C ．4 y x =- D ．12y x =．高考题历年三角函数题型总结
一次函数 最全面 知识点题型总结
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