高等流体力学

高等流体力学

第一章 流体力学的基本概念

连续介质：流体是由一个紧挨着一个的连续的质点所组成的，没有任何空隙的连续体，即所 谓的连续介质。

流体质点：是指微小体积内所有流体分子的总和。 欧拉法质点加速度：时变加速度与位变加速度和

z

u

u y u u x u u t u dt du a x z x y x x x x x ??+??+??+??==

质点的随体导数：质点携带的物理量随时间的变化率称为质点的随体导数，用dt

d

表示。在欧拉法描述中的任意物理量Q 的质点随体导数表述如下：

x k

k Q

u t Q dt dQ ??+??= 式中Q 可以是标量、矢量、张量。质点的随体导数公式对任意物理量都成立，故将质点的

随体导数的运算符号表示如下：

x k

k u t dt d ??+??= 其中

t

??

称为局部随体导数，x k k u ??称为对流随体导数，即在欧拉法描述的流动中，物理

量的质点随体导数等于局部随体导数与对流随体导数之和。

体积分的随体导数：质点携带的物理量随时间的变化率称为质点的随体导数。则在由流体质点组成的流动体积V 中标量函数Φ（x, t ）随时间的变化率就是体积分的随导函数。 由两部分组成①函数Φ 对时间的偏导数沿体积V 的积分，是由标量场的非恒定性引起的。②函数Φ通过表面S 的通量。由体积V 的改变引起的。

()dV divv dt d dV v div t dS u dV t dV dt d v v n s v v ??

?

???Φ+Φ=??????Φ+?Φ?=Φ+?Φ?=Φ??????????????()dV adivv dt da dV av div t a dS au dV t a adV dt d v v n s v v ??

????+=??????+??=+??=?????????????? 变形率张量： 11ε

12ε13ε

D ij = 21ε 22ε 23ε 31ε 32ε 33ε

其中ii ε表示所在方向的线性变形率，其余ij ε（j i ≠）为角变形率。D ij 为变形张量

?

??

? ??

??+

??=i

j j i ij x u x u 21ε x u i i ii ??

=ε 旋转角速度： 0 z ω- y ω R ij = z ω 0 x ω- y ω- x ω 0

z ω=???? ????-??y u x u x y 21y ω=???

????-??x u z u z x 21x ω=???

? ????-??z u y u y z 21rotv x u x u j i i j k 2

121=???? ?

???-??=ω 判断有旋流和无旋流：x ω=y ω=z ω=0， 涡量与速度环量的关系： （涡量流速=涡量）

涡量，流体力学中多用涡量来表示流体微团的旋转。定义旋转角速度的两倍为涡量，即

k k ω2=Ω，涡量是矢量，它与旋转的平面相垂直，其方向的正负按右手法则确定，涡量的

矢量形式是：Ω=curl v =▽× v = rot v 。在流场中，涡量是位置和时间的函数， Ωκ=ΩΚ（x,y ，z,t ）。

速度环量，速度沿封闭曲线的积分称为速度环量，通常用Γ来表示，dl v l

?=Γ?

。在笛卡

尔坐标系下为dy u dy u dx u z y x l

++=

Γ?

。

涡量与速度环量的关系，数学表示如下：

=

?Ω??

ndS s

dl v l

??

。说明通过面的涡通量等于

沿边界的速度环量。

Stokes 定理：沿包围单联通域的有限封闭周线的速度环量等于穿过此连通域的涡量通量。 应力张量：是二阶对称张量。σij

1、切应力的特性：切应力互等定律，即作用在两相互垂直平面且与该平面的交线相垂直的切应力大小都是相等的。表述如下：=xy τyx τ，=yz τzy τ，=zx τxz τ

2、压应力的特性：压应力的大小与其作用面的方位有关，三个相互垂直方向的压应力一般是不相等的，即zz yy xx p p p ≠≠。但在几何关系上可以证明，同一点上，三个相互垂直面的压应力之和，与该组垂直面的方位无关，即zz yy xx p p p ++值总保持不变。在实际流体中，

任何三个相互垂直面上的压应力的平均值定义为动水压强，以p 表示，则

1

()3

xx yy zz p p p p =++。

牛顿流体的本构方程：将应力张量ij σ与变形张量ij ε联系起来的方程称为本构方程 1、切应力与流速变化的关系ij ij μεσ2=（i ，j=1,2,3,,且i ≠j ） 2、法向应力与线变形率的关系

用张量的形式表示:ij ij ij p μεδσ2+-= ???

? ????+??+-=i

j

j i ij ij x u x

u p μδσ 这就是不可压缩牛顿流体的本构方程。写成分量形式

x u p x ??+-=μ

σ211

y u p y ??+-=μσ222 z

u p z

??+-=μσ233 ???? ????+??==x u y u y x μσσ21

12 ???

????+??==x u z u z x μσσ3113 ???

? ????+??==z u y u y z μσσ3223

第二章 流体运动的基本方程

微分形式的连续性方程的表达式：

()()()0=??+??+??+??z

u y u x u t z y x ρρρρ； ()0i =??+??i x u t ρρ 不可压缩流体的确切定义，理解其含义：

k

k x u t dt d ??+??=ρ

ρρ t

??ρ

=0只是指密度是恒定不变的，但流体质点的密度还可以随流动中位置发生变化。只有满足上式，密度质点才能保持不变。即t ??ρ

表明质点密度在时间上恒定不变。

k

k

x u ??ρ

表明质点的密度不随流动中位置的变化而变化 N-S 方程的各种表示形式：

（1）

i i

i i u x p

f dt du 21?+??-=υρ （2）

v p f dt dv 21

?+?-=υρ

（3）

v gradp f dt dv 21

?+-=υρ

（4）

i i

i j i j i u x p f x u u dt u 21?+??-=??+?υρ （5）

x x x u x p

f dt du 21?+??-=υρ y y y u y

p

f dt

du 21?+??-

=υρ z z z u z

p

f dt du 21?+??-=υρ （6）)(1222222z

u y u x u x p

f z u u y u u x u u t u x x x x x z x y x x x ??+??+??+??-=??+??+??+??υρ )(1222222z

u y u x u y p f z u u y u u x u u t u y y y y y

z y

y y

x y

??+??+??+??-=??+??+??+??υρ )(1222222z

u y u x u z p f z u u y u u x u u t u z z z z z z z y z x z ??+??+??+??-=??+??+??+??υρ 流体的能量包括哪几种形式，并对各种形式解释，写出单位质量流体能量的表达式

运动流体的能量包括内能、动能和势能三种形式 内能是指分子运动的动能和分子间结合的能量，它随温度而变化。单位质量流体所含有的内能用e 1表示。

若质量为m ?的流体，其速度为v ，则动能为2

2

1mv ?，因此单位质量的动能e 22v k =

势能来源于保守力场。一般情况下，作用于流场的保守力是重力场，因此流体的势能取决于位置的高度。设z 为某一个基准面以上的高程，则单位质量的势能可表示为e gz p = 则单位质量流体的能量方程可写为:

e= e 1+2

2

v +gz

流体运动微分形式的基本方程组由哪些方程组成，通常有几个未知量，方程组是否封闭。 连续性方程、N-S 运动方程和能量方程。共12未知量，而方程组只有5个，因而不封闭的。 对于牛顿流体，由牛顿流体的本构方程，可以去掉应力张量中的六个变量，但又引入了一个变量P ，因此方程组中还有7个变量，还可以补充2个方程才能封闭。

对于不可压缩流体，如何求解速度场、压强场以及温度场，说明其求解步骤。

对于不可压缩均质流体，ρ为常数，则有连续性方程和运动方程即可求解v 和p,然后再由能量方程求解温度场。

第三章 势流运动

势流求解的常用方法

求解势流最常用的方法有流网法、势流叠加法、复变函数法以及数值计算法等。 速度势函数与流函数 势函数和速度的关系

x

u x ??=

?

y u y ??=?

流函数和速度的关系

y u x ??=

ψ x

u y ??-=ψ

复势与复速度 ()()()y x i y x z f ,,ψ?+= 它的实数部分是速度势函数，虚数部分是流函数，因为φ，ψ满足柯西-黎曼条件，根据复变函数理论，f(z)是解析函数，称之为复势或者复位势。 复势的导数为

iv u x

i x dz df -=??+??=ψ? 称复势的导数为复速度，其实数部分是x 向的分速度，其虚数为y 向的分速度的负值。

恒定平面势流的解析方法

1、以速度势函数?为未知函数

2、以流函数ψ为未知函数

3、以复势()z f 为未知函数，其本身又含有三种方法：奇点法、镜像法和保角变化法 保角变换法概念：根据复变函数理论，解析函数的几何解释就是把一个平面通过函数关系变换或映射到另一个平面，在变换过程中同一点两个线段的夹角在变换过程中保持不变，称此变换为保角变换。

保角变化法的思路 ：将剖面L 借助于解析函数变换到圆L / 上去，L 外区域对应于圆外区域，由于圆柱体绕流问题的解是已知的，于是该绕流物体问题的解即可求出。

设在iy x z +=平面上一个复杂的流动边界，借助于某一解析变换函数()z g =ξ变换到ηζi +=ξ平面上另外的流动，一般为复势已知的典型流动（如圆柱绕流）

，因为对于这些简单形状的物体在ξ平面上的解是已知的，则通过这种变换可以得到复杂图形的复势。然后再通过()ζ1

-=g

z ，将平面平面变换为z ζ。

无环量圆柱绕流：由均匀流和偶极子两个基本流动叠加而得。()z

M z f u z 1

2?∏+

=

有环量圆柱绕流：由无环量圆柱绕流和圆心处强度为—Г（Г〉0）的涡叠加而得。

()a z

i z z U z f a ln 22

∏Γ+???? ?

?+= 第四章黏性流体运动

基本方程及求解途径

连续性方程：0=??+??+??z

u y u x u z

y x 运动方程：

x x u x p dt du 2?+??-=μρ

y y u y p dt du 2?+??-=μρ z z u z

p

dt du 2?+??-=μρ 求解途径：1、解析解2、近似解3、数值解

黏性流体运动的基本性质 1、黏性流体运动的有旋性 2、机械能量的损耗性 3、涡量的扩散性

黏性流体运动的解析解

c x p

z u y u x x =??=??+??μ12

222 两平行平板间的层流()

U U h y y h dx dp u x 2

1212122++--

=μ

泊肃叶流()

22

21y h dx

dp u x --

=μ

哈根-泊肃叶流()

22

R 41r x

p u x -??-

=μ

小雷诺数流动近似解的思路

雷诺数小意味着黏性力对流动起主导作用，而惯性力则是次要因素，作为零级近似可以将惯性力全部舍去。如果是一级近似可以保留非线性惯性力项中的主要部分而将次要部分略去。这样就可以将方程简化成线性方程或者简单的非线性方程。

大雷诺数流动近似解的思路 求解大雷诺数问题的基本思路，把整个流场分为外部流体流动和边界层内流体流动。前面一部分流动属于理想流体的范围，运动方程为欧拉方程。第二部分流动属于黏性流体范围，运动方程为N-S 方程，由于边界层的厚度δ比特征长度小的多，而且x 方向速度分量沿法向的变化比切向大得多，所以N-S 方程在边界层内可以得到相当大的简化。简化后的方程称为普朗特边界层方程。 （简化方法：渐近衔接摄动法；量阶分析法） 边界层的概念

边界附近具有较大的法向流速梯度，且必须考虑黏性作用的很薄流层称为边界层。

1、靠近边界

2、有涡

3、速度梯度大 边界层的厚度

名义厚度，通常定义当地流速()y x u x ,等于0.99U ()x 时的y 值为边界层厚度δ，这样定义的边界层厚度也称名义厚度。

位移厚度，在固体壁面附近边界层中，由于流速受到壁面的阻止而降低，使得在这个区域所通过的流量较之理想流体的所通过的流量减少，相当于边界层的固体壁面向流动内部移动了一个距离1δ后理想流体流动所通过的流量。这个距离1δ称为边界层位移厚度。 边界层方程的相似性解的概念

当边界层方程具有相似性解时，其流速()y x u x ,分布具有以下性质：如果把任意x 断面的流速分布图形x u ~y 的坐标用相应的尺度化为无量纲坐标，则任意x 断面的流速分布图形均相同。具体的说，如果以当地势流流速U(x)为速度u x (x,y)的尺度因子，取某一函数g(x)为坐标y 的尺度因子，则在无量纲坐标y/g(x)上表示的无量纲速度剖面u x (x,y)/U(x)对于不同x 将完全相同。边界层方程的相似性解表述为

()()

()ηf x U y x U x

=, η为相似性变量，η=y/g(x)。

好处：如果相似性解存在，边界层的偏微分方程就可以简化为常微分方程。 只有当外部势流流速为幂函数形式时，边界层方程才有相似性解。

边界层分离现象 ：对于平板边界层，如果外部流动有沿程的压强梯度，或者说有正有负的加速度，边界层的发展会受到影响，可能发生边界层与边壁的脱离，从而改变外部势流的流动图形。

第五章 紊流运动

紊流的特征及其分类 紊流是一种不规则的流动状态，其流动参数随时间和空间作随机改变，且流动空间分布着大小和形状各不相同的漩涡。 特征：

1、不规则性

2、扩散性

3、连续性

4、耗能性

5、三维有涡性 分类：

1、各向同性均匀紊流，如风洞格栅后一定距离处的紊流可作近似的各向同性均匀紊流来探讨。

2、剪切紊流 又分为自由剪切紊流和壁面剪切紊流。如壁面上紊流边界层，管道，明槽中的紊流。

壁面剪切紊流的发生过程及紊流结构

猝发现象是近壁流区发生紊动的主要过程，猝发过程大致如下： 在靠近边壁很近的黏性底层中，平面上具有顺流向的低速带和高速带相间的带状结构。低速带随时均流动向下游移动时，其下游头部缓慢上举，与壁面间的距离逐渐增大，常形成横向漩涡。旋涡上下产生压差使漩涡顶着低速带上升，涡旋本身则变形成为马蹄形涡，头部上举后进入流速较大的流层，马蹄形涡发生拉伸变形。马蹄形涡的头部上举最终形成低速流体突然向上层的高速水流“喷射”，同时，高速水流乘机俯冲而入，这个过程称为“清扫”，清扫过后流速分布恢复正常，拐点消失。低速流体的喷射和高速流体的清扫是猝发现象的两个主要组成部分，清扫过后，又是新的低速带的出现而重复以上各个阶段。在发生猝发现象的

地点，其下游将出现局部的紊流斑。紊流斑随主流向下游扩展，最后紊流部分占据了全部板宽，发展为充分发展紊流。

时间平均法和系综平均法的概念

时间平均法是将随机变量的瞬时值在一定的时段内进行平均。

系综平均法是是在同样条件下重复进行多次试验，任取其中足够多次的量测值做算术平均，所得的函数值具有确定性。

紊流运动方程—雷诺方程，雷诺方程的形式与N-S 方程的区别，雷诺应力项的意义

i j i j i j j i j i f u u x u x x p x u u t u +???

? ??-????+

??-=??+??''i 11ρμρρ 区别：1、雷诺方程中增加了一项'

'j i u u ρ-，它代表了紊流对时均流动产生的影响，称为雷诺应力或紊动应力。

2、物理量为平均值

雷诺应力的物理意义是紊动所产生的动量交换。紊动的结果之所以产生动量交换是由于流场中流速分布不均匀。

紊流模型的用途，紊流模型通常有哪几类（零方程模型、一方程模型，二方程模型，其他模型）

应用时均紊流的连续性方程和雷诺方程解决紊流问题时，未知数共10个，远超过方程的数目。这就造成了时均紊流方程的不封闭。因此紊流模型是根据紊流的运动规律以寻求附加的条件和关系式，从而使方程组封闭可解。

零方程模型（涡黏性模型、混合长度模型、涡量传递模型） 一方程模型—k 方程模型 二方程模型—k-ε方程模型

1. 应用紊流时均连续方程和雷诺方程求解流体运动问题时，为什么要引入紊流模型。

应用紊流时均连续方程和雷诺方程求解紊流问题时，未知数包括3个时均流速分量、1个时均压强，以及6个雷诺应力，共10个，远超过方程的数目。这就造成了时均紊流基本方程组的不封闭。因此，要应用这些方程就必须首先解决方程组的封闭问题。根据紊流的运动规律以寻求附加的条件和关系式，从而使方程组的封闭问题可解就是近年来所形成的各种紊流模型。随着计算机的迅速发展，紊流模型的研究已经成为近年来紊流研究的一个重要方面，紊流模型已经成为解决工程实际问题的一个有效手段。

紊动动能k

=

k 12

'

'i i u u 能量耗散率ε

j

j i i x x u u ????='

'νε

第六章 涡旋运动

涡旋的运动学性质

1、涡管中任一横截面上的涡通量保持为一常数，或者给定瞬间流入涡管的涡通量等于流出

涡管的涡通量。

2、涡管不能在流体中产生或消失。 涡旋的形成 根源

既然涡旋的不生不灭是在理想、正压、外力有势三个条件具备的时候才成立，那么涡旋运动的产生或消失的必然来源于这三个条件没有得到完全满足。可见，流体的黏性，流体的非正压（斜压）和外力无势是产生涡旋运动的三个根源。其中流体的黏性是流体产生涡旋最普遍和最重要的根源。

黏性流体中涡旋的产生1、流场中存在固体边界2、两股流速不同的流体汇合所形成的间断面3、自由表面

非正压流体中涡旋的形成 外力无势所产生的涡旋运动

影响涡量变化的五个因素：1 外力，2、压强梯度，3、黏性应力，4、流体体积压缩或膨胀，5、涡束的拉伸、收缩或弯曲。 涡旋运动的基本方程：

))((3

1

)()1()()(υνυνρ?????+???+???-??=??Ω+??Ω-Ωp f v v dt d （1）、外力f （2）、压强梯度—P ?ρ

1