函数图像与变换+零点存在定理
函数图像与变换
一、 图像变换 1.平移变换:
(1)水平平移:函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向左(0)a >或向右(0)a <平移
||a 个单位即可得到;
(2)竖直平移:函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向上(0)a >或向下(0)a <平移
||a 个单位即可得到.
2.对称变换:(1)函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于y 轴对称即可得到;
(2)函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于x 轴对称即可得到; (3)函数()y f x =--的图像可以将函数()y f x =的图像关于原点对称即可得到; (4)函数1()y f x -=的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线y x =对称得到.
3.翻折变换:
(1)函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方,去掉原x 轴下
方部分,并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到;
(2)函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保
留()y f x =在y 轴右边部分即可得到.
4.伸缩变换:
(1)函数()y af x = (0a >)的图像可以将函数()y f x =的图像的纵坐标伸长到原来的(0)k k >倍(横坐
标不变)得到。
(2)函数()y af x = (0a >)的图像可以将函数()y f x =的图像的横坐标伸长到原来的(0)k k >倍(纵坐
标不变)得到。 二、典型例题 1、 函数的图象变换:函数的图象变换这一节的知识点是高考考查的重要方面,一些复杂的函数是可以通过
一些较为简单的函数由相应的变换得到,从而我们可以利用之研究函数的性质。 例1、(1)设()2,()x
f x
g x -=的图像与()f x 的图像关于直线y x =对称,()
h x 的图像由()g x 的图像 右平移1个单位得到,则()h x 为__________
(2)要得到)3lg(x y -=的图像,需作x y lg =关于_____轴对称的图像,再向____平移3个单位 (3)将函数()y f x =的图像上所有点的横坐标变为原来的13
(纵坐标不变),再将此图像沿x 轴方向向左平移2个单位,所得图像对应的函数为_____
例2、已知f(x+199)=4x 2+4x+3(x ∈R),那么函数f(x)的最小值为____.
例3、设函数y=f(x)的定义域为R,则函数y=f(x-1)与y=(1-x)的图象关系为( ) A、直线y=0对称 B、直线x=0对称 C、直线y=1对称 D、直线x=1对称
2 、函数图象的画法:以解析式表示的函数作图象的方法有两种,即列表描点法和图象变换法,运用描点法
作图象应避免描点前的盲目性,也应避免盲目地连点成线.要把表列在关键处,要把线连在恰当处.这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究.而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段。用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换,以及确定怎样的变换。
例4画出下列函数的图象
(1)|
2|21+?
?
?
??=x y (2)|122|2
-+=x x y
(3)()1lg -==x x f y ; (4)())1lg(-=x x g
3 、函数图象的识别:通过对函数解析式的形式了解函数的图象的特点,
在识别上可以采用特殊的原则,去寻找特殊点和特殊位置等方法;在图象变换的问题上,需要依据变换的方法对函数的
图象进行变换,而得到函数的图象;现在有一类很常见的的题型是和实际的生活相联
系的问题,比如例题6,对于这样的问题首先需要我们把它转化成数学问题去进行思考例5、(1)已知y=f(x)的图象如图(A),则y=f(-x)的图象是_______;y=-f(x)的图象是_______;y=f(∣x∣)的图象是______;y=∣f(x)∣的图象是_______。
(2)方程f(x,y)=0的曲线如图所示,那么方程f(2-x,y)=0的曲线是( )
例6(1)如下图所示,向高为H的水瓶,,,
A B C D同时以等速注水,注满为止;
(1)若水深h与注水时间t的函数图象是下图中的a,则水瓶的形状是______ ;
(2)若水量v与水深h的函数图像是下图中的b,则水瓶的形状是______ ;
(3)若水深h与注水时间t的函数图象是下图中的c,则水瓶的形状是______ ;
(4)若注水时间t与水深h的函数图象是下图中的d,则水瓶的形状是______ 。
(2)某学生离家去学校,由于怕迟到,所以一开始就跑步,等跑累了,再走余下的路,下图中y轴表示离学校的距离,x轴表示出发后的时间,则适合题意的图形是( )
4 、函数图象的应用
有关函数图象的应用在前面的几个知识点当中有适当的涉及,函数的图象在我们函数有关问题的解决中是有着相当重要的作用,起着直观,简洁,化繁为简的作用。
例7、(1)方程
1
2
4
42
-
-
=
-
+
x
x
x
x的实根共有_______个。
(2)方程2
lg=
+x
x的实根共有_______个。
()d
t
h
v
h t
h
()a
t
h
()A()B()
C()
D
三、高考题解
1.如图所示,单位圆中弧AB 的长为x,f(x)表示弧AB 与弦AB 所围成的弓形面积的2倍,则函数y=f(x)的图象是 ( )
2.函数
()1 (0x f x a a =+<<
关于y=x 对称的函数
图象大致是 ( )
(A ) (B ) (C ) (D )
3.函数y =f(x)的图像与函数g(x)=log 2x(x >0)的图像关于原点对称,则f(x)的表达式为 ( )
(A)f(x)=1
log 2x (x >0) (B)f(x)=log 2(-x)(x <0) (C)f(x)=-log 2x(x >0) (D)f(x)=-log 2(-x)(x <0)
4.已知函数)(x f y =的图象与函数x
a y =(0>a 且1≠a )的图象关于直线x y =对称,记
]1)2(2)()[()(-+=f x f x f x g .若)(x g y =在区间]2,2
1
[上是增函数,则实数a 的取值范围是
A .),2[+∞
B .)2,1()1,0(
C .)1,21
[ D .]2
1,0(
5.设函数54)(2--=x x x f .(1)在区间]6,2[-上画出函数)(x f 的图像;
(2)设集合{}
),6[]4,0[]2,(,5)(∞+-∞-=≥= B x f x A . 试判断集合A 和B 之间的关系,
(3)当2>k 时,求证:在区间]5,1[-上,3y kx k =+的图像位于函数)(x f 图像的上方.
7.与函数()10x
y x x
-=≠的图像关于y=x 对称的函数图像大致是 ( )
(A ) (B ) (C ) (D )
四、练习题
x y
1o x y 1-o x y o 1x
y o 1-
1.已知函数x
x
f)
2
1
(
)
(=的图象与函数)
(x
g的图象关于直线x
y=对称,令|)
|
1(
)
(x
g
x
h-
=, 则关于)
(x
h有下列命题:(1))
(x
h的图象关于原点对称;(2))
(x
h为偶函数;
(3))
(x
h的最小值为0;(4))
(x
h在(0,1)上为减函数。
其中正确命题的序号为.
2.如下图,正方形ABCD的顶点A(0,
2
2
),B(
2
2
,0),顶点C、D位于第一象限,直线)2
0(≤
≤
=t
t
x
l:
将正方形ABCD分成两部分,记位于直线l左侧阴影部分的面积为f(t),则函数)
(t
f
S=的图象大致是
4.若函数
1
2
21,
()log1,
x x
f x x x
?
?
=?>
??
≤
则y=f(1-x)的图象可以是()
(A)(B)(C)(D)
5.函数|x
|log2
2
y=的图像大致是( )
第十一部分 函数与方程
一.要点精讲
1.方程的根与函数的零点
(1)函数零点:对于函数))((D x x f y ∈=,把使0)(=x f 成立的x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。 (2)函数零点的意义:
方程0)(=x f 有实数根?函数)(x f y =的图象与x 轴有交点?函数)(x f y =有零点。
(3)零点存在定理:若函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的一条曲线,并且0)()(
(1) 定义:对于在区间a [,]b 上连续不断,且满足)(a f ·)(b f 0<的函数)(x f y =,不断地把函数)(x f 的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法.
(2) 二分法及步骤:给定精度ε,用二分法求函数)(x f 的零点近似值的步骤如下: (1)确定区间a [,]b ,验证)(a f ·)(b f 0<,给定精度ε; (2)求区间a (,)b 的中点1x ; (3)计算)(1x f :
①若)(1x f =0,则1x 就是函数的零点;
②若)(a f ·)(1x f <0,则令b =1x (此时零点),(10x a x ∈); ③若)(1x f ·)(b f <0,则令a =1x (此时零点),(10b x x ∈);
(4)判断是否达到精度ε;即若ε<-||b a ,则得到零点零点值a (或b );否则重复步骤2~4。
二、典例解析
题型1:方程的根与函数零点
例1.(1)方程lg x +x =3的解所在区间为( )
A .(0,1)
B .(1,2)
C .(2,3)
D .(3,+∞)
例2.(全国卷文)若函数()f x 的零点与()422x
g x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25, 则()
f x 可以是( )
A. ()41f x x =-
B. ()2(1)f x x =-
C. ()1x
f x e =- D. ()12f x In x ??=-
???
题型2:零点存在性定理
例3.若函数)(x f y =在区间[a ,b ]上的图象为连续不断的一条曲线,则下列说法正确的是( )
A .若0)()(>b f a f ,不存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ;
B .若0)()(
C .若0)()(>b f a f ,有可能存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ;
D .若0)()(
例4.关于“二分法”求方程的近似解,说法正确的是()
A .“二分法”求方程的近似解一定可将)(x f y =在[a ,b ]内的所有零点得到;
B .“二分法”求方程的近似解有可能得不到)(x f y =在[a ,b ]内的零点;
C .应用“二分法”求方程的近似解,)(x f y =在[a ,b ]内有可能无零点;
D .“二分法”求方程的近似解可能得到0)(=x f 在[a ,b ]内的精确解;
三、练习题
1.关于x 的方程 22(28)160x m x m --+-=的两个实根 为1x 、2x ,且满足 123
2
x x <<,则实数m 的取值范围_____________
2.设函数()f x 对x R ∈都满足(3)(3)f x f x +=-,且方程()0f x =恰有6个不同的实数根,则这6个实根的和为( )
A .0
B .9
C .12
D .18
3.设123,,x x x 依次是方程12
log 2x x +=,2log (2)x +=22x x +=的实数根,
试比较123,,x x x 的大小 .
4. 已知函数()()y f x x R =∈满足(3)(1)f x f x +=+,且x ∈[-1,1]时,()||f x x =,则()y f x =与
5log y x =的图象交点的个数是( )
A .3
B .4
C .5
D .6
5.若关于x 的方程22210x x a a +++=有实根,求实数a 的取值范围.
6.已知关于x 的方程21
13(1)(31)(3)30x x x m m +++----?=有两个不同的实根,求m 的取值范围.
练习:
第1题. 函数2
()(2)2(2)4f x a x a x =-+--,当x ∈R 时,函数恒小于零,则a 的范围为( )A.(]2-,∞
B.(]22-,
C.(22)-, D.(2)--,∞
第2题. 函数3
2
()326f x x x x =+--的零点为:_______________
第3题. 二次函数2
2
21()y x mx m m =-+++∈R 为偶函数,则此函数的零点为:___________. 第4题. 已知函数2()f x x bx c =++满足(1)(1)f x f x -+=--,且(0)3f =-,
则函数y =的定义域为:___________.
第5题. 两个二次函数2
()f x ax bx c =++与2
()g x bx ax c =++的图象只可能是下图中的( )
第6题. 已知()()()2()f x x a x b a b =---<,并且α,β是方程()0f x =的两根()αβ<,则实数
a b αβ,,,的大小关系可能是( )
A.a b αβ<<< B.a b αβ<<< C.a b αβ<<<
D.a b αβ<<<
第7题. 设x ,y 是关于m 的方程2
260m am a -++=的两个实根,则22
(1)(1)x y -+-的最小值是
( )A.112
4
- B.18 C.8 D.
34
第8题. 函数2
45y x x =-++,(14)x ∈,的值域是( ) A.[]58,
B.[]59,
C.(]59,
D.[]89,
第9题. 如果函数2
()f x x bx c =++对任意实数t 都有(2)(2)f t f t +=-,那么( ) A.(2)(1)(4)f f f << B.(1)(2)(4)f f f << C.(2)(4)(1)f f f <<
D.(4)(2)(1)f f f <<
第10题. 已知函数2
()f x ax bx c =++的图象如图所示, 则b 的取值范围是( )A.0b > B.0b <
C.
b <
A
B
C
D
第11题. 如果偶函数()f x 在[]04,上是增函数,那么()f π与(4)f -的关系是( ) A.()(4)f f π<- B.()(4)f f π>- C.()(4)f f π=-- D.不能确定 第12题. 若函数2
()2f x ax bx =++的两个零点是12-,1
3,则a b +的值为( ) A.14
B.14-
C.10
D.10-
第13题. 设函数268y kx x k =-++的定义域为R ,则k 的取值范围是( ) A.9k -≤或1k ≥
B.1k ≥
C.91k -≤≤
D.01k <≤
第14题. 已知1x ,2x 是函数22
(2)(35)y x k x k k =--+++(k 为实数)的两个零点,则2212x x +的最大
值为( )A.18
B.19 C.55
9
D.不存在
第15题. 若函数2
()21f x mx mx =-+有一个零点大于1,另一个零点小于1,则实数m 的范围是:___________.
第16题. 已知(11)x ∈-,时,2
()02
a
f x x ax =-+
>恒成立,则a 的取值范围是:___________. 第17题. 如果函数()f x 是定义在R 上的奇函数,在(10)-,上是增函数,且(2)()f x f x +=-,则下列关系式中正确的是( )
A.13
()(1)()32f f f <<
B.31
()(1)()23f f f <<
C.31
()()(1)23
f f f <<
D.13
()()(1)32
f f f <<
第18题. 在直角坐标系的第一象限内,AOB △是边长为2的等边三角形,
设直线l :(02)x t t =≤≤截这个三角形所得位于此直线左侧的图形 (阴影部分)的面积为()f t ,则函数()S f t =的图象只可能是( )
第19题. 如果关于x 的方程2
350x x a -+=的一根大于2-但小于0,另一根大于1但小于3,那么实数a 的取值范围是:___________.
第20题. 已知一次函数()f x ax b =+与二次函数2
()g x ax bx c =++满足a b c >>, 且0()a b c a b c ++=∈R ,,.
S
t 0
2 3
A
S
t
0 2 3
B
1 S
t
0 2 3
C
1 S
t
0 2 3
D
1
⑴求证:函数()y f x =与()y g x =的图象有两个不同的交点A ,B ; ⑵设1A ,1B 是A ,B 两点在x 轴上的射影,求线段11A B 长的取值范围;
⑶求证:当x ≤时,()()f x g x <恒成立.
第21题. 对于任意定义在R 上的函数()f x ,若实数0x 满足00()f x x =,则称0x 是函数()f x 的一个不动点,若二次函数2
()1f x x ax =-+没有不动点,则实数a 的取值范围是:___________. 第22题. 已知函数5
4
3
2
()2288f x x x x x x =+----,求其零点,并求其非负值区间.
第23题. 方程2
0x bx c ++=有两个不相等正根,则 ;有一正根,一负根,则 ;至少有一根为零,则 (填等价条件).
第24题. 设方程2
10x mx -+=的两个根为α,β,且01α<<,12β<<, 则实数m 的取值范围是:___________.
第25题. 关于x 的方程2
22320kx x k ---=的两实根,一个小于1,一个大于1, 则实数k 的取值范围是:___________.
第26题. 已知函数2()(1)f x x a x a =-++⑴若()0f x <,则不等式()0f x <的解集是___________; ⑵若()0f x =,则不等式()0f x <的解集是___________.
第27题. 实数m 为何值时,函数2
()(2)5f x mx m x m =+-+-的两个零点满足一个大于2,一个小于2?
第28题. 下列函数的自变量在什么范围内取值时,函数值大于零、小于零或等于零: ⑴2
210y x x =--; ⑵2
23y x x =--+.
第29题. 求下列函数的定义域:
(1)y =
(2)y =(3)y =
第30题. 求下列函数的图象与x 轴交点的坐标: (1)2
()31f x x x =--;(2)2
()382f x x x =-+-.
函数的图像与零点试题
高三数学函数的图像、零点 一:选择题 1.已知函数f (x )=x 2﹣2x+b 在区间(2,4)有唯一零点,则b 的取值围是( D ) A 、R B 、(﹣∞,0) C 、(﹣8,+∞) D 、(﹣8,0) 2.设,用二分法求方程在(1,3)近似解的过程中,f (1)>0,f (1.5)<0,f (2)<0,f (3)<0,则方程的根落在区间( A ) A 、(1,1.5) B 、(1.5,2) C 、(2,3) D 、无法确定 3.已知函数31 )21()(x x f x -=,那么在下列区间中含有函数)(x f 零点的是( B ) (A ))31,0( (B ))2 1 ,31( (C ))32,21( (D ))1,3 2( 4.设函数,则函数y=f (x )( A ) A 、在区间(0,1),(1,2)均有零点 B 、在区间(0,1)有零点,在区间(1,2)无零点 C 、在区间(0,1),(1,2)均无零点 D 、在区间(0,1)无零点,在区间(1, 2)有零点 5.已知1x 是方程32=?x x 的根, 2x 是方程2log 3x x ?=的根,则21x x 的值为( B ) A.2 B.3 C.6 D.10 6.已知x 0是函数f (x )=2x +的一个零点.若x 1∈(1,x 0),x 2∈(x 0,+∞),则( B ) A 、f (x 1)<0,f (x 2)<0 B 、f (x 1)<0,f (x 2)>0 C 、f (x 1)>0,f (x 2)<0 D 、f (x 1)>0,f (x 2)>0 解答:解:∵x 0是函数f (x )=2x +的一个零点∴f (x 0)=0 ∵f (x )=2x +是单调递增函数,且x 1∈(1,x 0),x 2∈(x 0,+∞), ∴f (x 1)<f (x 0)=0<f (x 2) 故选B . 7.如图是函数f (x )=x 2+ax+b 的部分图象,函数g (x )=e x ﹣f'(x )的零点所在的区间是(k ,k+1)(k ∈z ),则k 的值为( C ) A . ﹣1或0 B . 0 C . ﹣1或1 D . 0或1 解答:
函数零点存在性定理
?函数零点存在性定理: 一般地,如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a).f(b)
函数图像与零点
3. 【2014南通高三期末测试】设函数()y f x =是定义域为R ,周期为2的周期函数,且当[)11x ∈-,时,2 ()1f x x =-;已知函数lg ||0()10x x g x x ≠??=?=??,, , . 则函数()f x 和()g x 的图象在 区间[]510-, 内公共点的个数为 . 【答案】15 【文·山东实验中学高三三模·2014】5.函数y= 1x n x x 的图象大致是 【答案】B 5.【常州市2013届高三教学期末调研测试】已知函数f (x )=32 , 2,(1),02x x x x ????-< ≥,若关于 x 的方程f (x )=kx 有两个不同的实根,则实数k 的取值范围是 ▲ . 【答案】2 10<
则方程f [g (x )]=0有且仅有________个根,方程f [f (x )]=0有且仅有________个根. 解析:由图可知f (x )=0有三个根,设为x 1,x 2,x 3,- 2 函数零点存在性定理基础题 1.函数()25x f x =-存在零点的区间是( ) A .(1,2) B .(2,3) C .(3,4) D .(4,5) 【答案】B . 【解析】 函数单调递增,并且()()()23130f f ?=-?<,所以在区间()3,2上存在一个零点. 2.若函数在区间内存在一个零点,则实数的取值范围是( ) A .1a > B .1a <- C .1a <-或1a > D .11a -<< 【答案】C . 【解析】 由零点存在性定理得:(1)(1)0,(1)(1)0,f f a a -<-+<因此1a <-或1a >.选C . 3.函数f (x )=ln x - 2x 的零点所在的大致区间是( ) A .(1,2) B .(2,3) C .(1e ,1)和(3,4) D .(e ,+∞) 【答案】B . 【解析】 ∵f (1)=-2<0,f (2)=ln2-1<0,又∵f (x )在(0,+∞)上是单调增函数, ∴在(1,2)内f (x )无零点.又∵f (3)=ln3- 23 >0,∴f (2)·f (3)<0. ∴f (x )在(2,3)内有一个零点.故选B . 4.已知定义在R 上的函数()f x 的图象是连续不断的,且有部分对应值表如下: 那么函数()f x 一定存在零点的区间是 ( ) A .()1-∞, B .()12, C .()23, D .()3+∞, ()1f x ax =+(1,1)-a 【答案】C . 【解析】 根据函数的对应值表可得(1) 6.10,(2) 2.90,(3) 3.50f f f =>=>=-<,根据函数的零点存在性定理,一定存在零点的区间是()2,3.故选C . 5.函数f (x )=log 3x -8+2x 的零点一定位于区间( ) A .(1,2) B .(2,3) C .(3,4) D .(5,6) 【答案】C . 【解析】 函数f (x )=log 3x -8+2x 为增函数, ∵f (3)=log 33-8+2×3=-1<0,f (4)=log 34-8+2×4=log 34>1>0, ∴函数在(3,4)内存在零点.故选C . 6.方程log 3x +x =3的解所在的区间是( ) A .(0,1) B .(1,2) C .(2,3) D .(3,+∞) 【答案】C . 【解析】 可构造函数f (x )=log 3x +x -3,方程log 3x +x =3的解所在的区间是函数f (x )=log 3x +x -3零点所在的区间,又函数f (x )=log 3x +x -3在定义域上单调递增,结合零点存在性定理对四个选项中的区间进行验证即可. 由于f (0)不存在,f (1)=-2,f (2)=log 32-1<0,f (3)=1>0, 故零点存在于区间(2,3),方程log 3x +x =3的解所在的区间是(2,3) 故选C . 函数零点存在性定理标准化管理部编码-[99968T-6889628-J68568-1689N] 函数零点存在性定理: 一般地,如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a).f(b) 函数零点问题 【教学目标】 知识与技能: 1. 理解函数零点的定义以及函数的零点与方程的根之间的联系,掌 握用连续函数零点定理及函数图像判断函数零点所在的区间与方程的根所在的区间. 2. 结合几类基本初等函数的图象特征,掌握判断函数的零点个数和 所在区间法. 3.能根据函数零点的情况求参数的取值范围. 【教学重点】 理解函数的零点与方程根的关系,形成用函数观点处理 问题的意识. 【教学难点】 根据函数零点所在区间求参数的取值范围 【教学方法】 发现、合作、讲解、演练相结合. 一、引例 (1).函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是( ). A.()2,1-- B.()1,0- C.()0,1 D.()1,2 解法一:代数解法 解:(1).因为()00e 0210f =+-=-<,()1 1e 12e 10f =+-=->, 所以函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是()0,1.故选C. 二、 基础知识回顾 1.函数零点概念 对函数()y f x =,把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点. 2.零点存在性定理:如果函数()y f x =在区间[]a,b 上的图象是连续不断一条曲线,并且有()()0f a f b ?<,那么,函数()y f x =在区间()a,b 内有零点.即存在()c a,b ∈,使得()0f c =,这个c 也就是方程()0f x =的根. 问题2:函数2 ()68f x x x =-+在区间[][][]1,3, 0,1, 1,5有零点吗 引例除了用零点基本定理,还有其他方法可以确定函数零点所在的区间吗 解法二:几何解法 (1). ()e 2 x f x x =+- 可化为2x e x =-+. 课题:判断函数零点的存在性 ---------根的存在性定理 学习目标: (一)知识与技能: 2.理解并会用函数在某个区间上存在零点的判定方法. (二)过程与方法: 自主发现、探究实践,理解函数零点存在的条件. (三)情感、态度、价值观: 1.在函数与方程的联系中体验数学转化思想的意义和价值 2.数行结合思想在探索数学问题的重要性. 2.了解方程求解方法的简单发展史.. 重点难点: 重点:体会函数的零点与方程的根之间的联系,掌握零点存在的判定条件. 难点:探究发现函数零点的存在性. 课题引入:在人类用智慧架设的无数从未知通向已知的金桥中,方程的求解是其中璀璨的一座,虽然今 天我们可以从教科书中了解各式各样方程的解法,但这一切却经历了相当漫长的岁月. 我国古代数学家已比较系统地解决了部分方程的求解的问题。如约公元50年—100年编成的《九章算术》,就给出了求一次方程、二次方程和三次方程根的具体方法… 问题·探究 (一)回顾旧知,“温故知新”。 1、函数的零点:对于函数)(x f ,我们把使0)(=x f 的实数x 叫做)(x f 的零点(zero point ). 2、等价关系: 方程0)(=x f 有实数根 ?函数)(x f y =的图像与x 轴有交点?函 数)(x f y =有零点. 巩固练习:求下列方程的根. (1)0652 =+-x x (2) )1lg()(-=x x f (3)062ln =-+x x (二)提出问题,“星河探秘”。(零点存在性) 问题1:函数y =f(x)在某个区间上是否一定有零点? 怎样的条件下,函数y =f(x)一定有零点? (1)观察二次函数32)(2 --=x x x f 的图象,分析其图像在零点两侧如何分布? ○ 1 在区间]1,2[-上有零点______;=-)2(f _______,=)1(f _______, )2(-f ·)1(f _____0(<或>) . ○2 在区间]4,2[上有零点______;)2(f ·)4(f ____0(<或>). (2)观察下面函数)(x f y =的图象,分析其图像在零点两侧如何分布? ○1 在区间],[b a 上______(有/无)零点;)(a f ·)(b f _____0(<或>). ○2 在区间],[c b 上______(有/无)零点;)(b f ·)(c f _____0(<或>). ○3 在区间],[d c 上______(有/无)零点;)(c f ·)(d f _____0(<或>). (4)观察上面(3)的函数图象: 若函数在某区间内存在零点,则函数在该区间上的图象是 ____ (间断/连续);含零点的某一较小区间中以零点左右两边的实数为自变量,它们各自所对应的函数值的符号是____(相同/互异) (三)讨论探索,发现“新大陆”。 根的存在性定理:如果函数)(x f y =在区间][b a ,上的图像是连续不断的一条曲线,并且有 0)()( 利用导数研究函数的图像及零点问题 【复习指导】 本讲复习时,应注重利用导数来研究函数图像与零点问题,复习中要注意等价转化、分类讨论等数学思想的应用. 基础梳理 1.确定函数的图像 ①.特征点:零点,极值点,顶点,与y轴的交点; ②.特征线:渐近线,对称轴. 2.函数的零点 ⑵.求函数的零点的知识提示: ①.判别式; ②.介值定理; ③.单调性. 两个注意 ⑴.描绘函数的图像首先确定函数的定义域. ⑵.注意利用函数的图像确定函数的零点. 三个防范 ⑴.. ⑵.. ⑶. 常见函数的图像 ⑴.函数(0,0)x y ae bx c a b =++><与函数ln (0,0)y ax b c x a c =++><的图像类似于二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图像. ⑵.函数(0,0)x y ae bx c a b =++<>与函数ln (0,0)y ax b c x a c =++<>的图像类似于二次函数2(0)y ax bx c a =++<的图像. ⑶.函数2(0,0)x y ae bx cx d a b =+++><与函数2ln (0,0)y ax bx c d x a d =+++><的图像类似于二次函数32(0)y ax bx cx d a =+++>的图像. ⑷.函数2(0,0)x y ae bx cx d a b =+++<>与函数2ln (0,0)y ax bc c d x a d =+++<>的图像类似于二次函数32(0)y ax bx cx d a =+++<的图像. 双基自测 ⑴.画函数1ln y x x =--的图像. ⑵.画函数2x y e x =-的图像. ⑶.画函数x e y x =的图像. ⑷.画函数ln x y x = 的图像. ⑸.关于x 的方程ln 1x e x =的实根个数是 .1 初等数学的方法能够解决的函数问题:定义域、奇偶性、周期性、对称轴、渐近线 初等数学的方法未能彻底解决的函数问题:值域、单调性、零点、极值点 考点一 函数的图像问题 题型⑴.画函数的图像 【例1】画函数1x y e x =--的图像. 【练习1】画函数2x y x e =-的图像. ? ? 函数零点存在性定理: 一般地,如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a).f(b) 函数零点问题的求解 【教学目标】 知识与技能: 1.理解函数零点的定义以及函数的零点与方程的根之间的联系,掌握用连续函数 零点定理及函数图像判断函数零点所在的区间与方程的根所在的区间. 2.结合几类基本初等函数的图象特征,掌握判断函数的零点个数和所在区间法. 3.能根据函数零点的情况求参数的取值范围. 过程与方法: 1.函数零点反映了函数和方程的联系,函数零点与方程的根能相互转化,能把方程问题合理 转化为函数问题进行解决. 2.函数的零点问题的解决涉及到分类讨论,数形结合,化归转化等数学思想方法,有效提升了 学生的数学思想方法的应用. 情感、态度与价值观: 1.培养学生认真、耐心、严谨的数学品质; 2.让学生在自我解决问题的过程中,体验成功的喜悦. 【教学重点】 理解函数的零点与方程根的关系,形成用函数观点处理问题的意识. 【教学难点】 根据函数零点所在的区间求参数的取值范围 【教学方法】 发现、合作、讲解、演练相结合. 【教学过程】 一、引例 (1).函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是( ). A.()2,1-- B.()1,0- C.()0,1 D.()1,2 解法一:代数解法 解:(1).因为()0 0e 0210f =+-=-<,()1 1e 12e 10f =+-=->, 所以函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是()0,1.故选C. 二、 基础知识回顾 1.函数零点概念 对于函数()y f x =,把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点. 2. 零点存在性定理:如果函数()y f x =在区间[]a,b 上的图象是连续不断一条曲线,并且有 根的存在性定理:如果)(x f 在闭区间[a,b]上连续 0)(,,0)()(=∈<ξξf b a b f a f )使得(则存在。 证明 利用构造法的思想,将)(x f 的零点范围逐步缩小。先将[a,b]二等分为],2[],2, [b b a b a a ++,如果0)2 (=+b a f 。则定理获证。如果0)2(≠+b a f ,则f(a)和f(b)中必然有一个与)2 (b a f +异号,记这个小区间为[11,b a ],它满足2-0)()(1111a b a b b f a f -=<且区间的长度。又将[11,b a ]二等分,考虑中点的函数值,要么为零,要么不为零。如果中点的函数值为零,则定理获证。如果中点的函数值不为零,那么必然可以选出一个小区间,使得f(x)在这个区间的端点值异号,记这个小区间为 ],[22b a ,它满足[a,b]?[11,b a ]],[22b a ?,0)()(2222 22<-=-a f b f a b a b 且。采用这样的方法一直进行下去,或者到有限步时,某个区间的中点的函数值为零,这样定理的结论成立。或者所有区间的中点的函数值不为零,那么我们就会得到一个无穷的区间序列{],[n n b a },它满足:① [a,b]?[11,b a ]?????],[22b a ;②n n n a b a b 2-=-;③0)()( 专题14 运用函数的图像研零点问题 一、题型选讲 题型一: 运用函数图像判断函数零点个数 可将零点个数问题转化成方程,进而通过构造函数将方程转化为两个图像交点问题,并作出函数图像。作图与根分布综合的题目,其中作图是通过分析函数的单调性和关键点来进行作图,在作图的过程中还要注意渐近线的细节,从而保证图像的准确。 例1、(2019苏州三市、苏北四市二调)定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x +4)=f (x ),且在区间[2,4)上 题型二: 运用函数图像研究复合函数零点个数 复合函数零点问题的特点:考虑关于x 的方程()0g f x =????根的个数,在解此类问题时,要分为两层来分析,第一层是解关于()f x 的方程,观察有几个()f x 的值使得等式成立;第二层是结合着第一层( )f x 的值求出每一个()f x 被几个x 对应,将x 的个数汇总后即为()0g f x =????的根的个数 题型三 运用函数图像研究与零点有关的参数问题 三类问题之间的联系:即函数的零点?方程的根?函数图象的交点,运用方程可进行等式的变形进 而构造函数进行数形结合,解决这类问题要选择合适的函数,以便于作图,便于求出参数的取值范围为原 题型四、运用函数图像研究与零点有关的复合函数的参数问题 求解复合函数()y g f x =????零点问题的技巧:(1)此类问题与函数图象结合较为紧密,在处理问题的开始要作出()(),f x g x 的图像(2)若已知零点个数求参数的范围,则先估计关于()f x 的方程()0g f x =????中()f x 解的个数,再根据个数与()f x 的图像特点,分配每个函数值()i f x 被几个x 所对应,从而确定()i f x 的取值范围,进而决定参数的范围 例6、(2018南京、盐城、连云港二模)已知函数f(x)=? ?? ??-x 3+3x 2+t , x <0,x ,x ≥0, t ∈R .若函数g (x )=f (f (x ) -1)恰有4个不同的零点,则t 的取值范围为________. 2、(2017南京、盐城二模)若函数f (x )=x 2-m cos x +m 2+3m -8有唯一零点,则满足条件的实数m 组成的集合为________. 3、(2017南通、扬州、泰州、淮安三调)已知函数3()3 .x x a f x x x x a ?=?-≥, ,, 若函数()2()g x f x ax =-恰有2 函数零点存在性定理文件管理序列号:[K8UY-K9IO69-O6M243-OL889-F88688] 函数零点存在性定理: 一般地,如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有 f(a).f(b) 若函数f(x)唯一的一个零点同时在区间(0,16)、(0,8)、(0,4)、(0,2)内,下列结论: (1)函数f(x)在区间(0,1)内有零点; (2)函数f(x)在区间(0,1)或(1,2)内有零点; (3)函数f(x)在区间[2,16)内无零点; (4)函数f(x)在区间(0,16)上单调递增或递减. 其中正确的有 ______(写出所有正确结论的序号). 答案 由题意可确定f(x)唯一的一个零点在区间(0,2)内,故在区间[2,16)内无零点. (3)正确, (1)不能确定, (2)中零点可能为1, (4)中单调性也不能确定. 故答案为:(3) 例题2: 已知函数有零点,则实数的取值范围是() 答案: 例题3: 例题4: 函数f(x)=3ax-2a+1在[-1,1]上存在一个零点,则实数a的取值范围是()A. a ≥ 1/5; B. a ≤ -1 ; C. -1 ≤ a ≤ 1/5 ; D. a ≥ 1/5 或 a ≤ -1答案:由题意可得f(-1)×f(1)≤0,解得 ∴(5a-1)(a+1)≥0 ∴a≥ 1/5 或a≤-1 故选D . 教案 课题:零点存在定理 授课人: 一、内容及内容解析: 本章位于全书的第3章,零点主要是解决方程求解的问题,应用函数思想的方法,把方程与函数相结合,它在较难方程的求根方面有巨大的贡献,而零点存在定理能确定零点的存在范围,从而近似的确定零点的值,也即方程的近似根. 各个内容之间的联系: 方程的根?零点?零点存在定理 ? 二分法 二、三维目标: 知识与技能:会使用零点存在定理解决问题,准确确定根的范围,并且使用二分法找到相应方程的近似解. 过程与方法:通过分析零点附近的值的关系,得到0)()( 函数零点问题 【教学目标】 知识与技能: 1. 理解函数零点的定义以及函数的零点与方程的根之间的 联系,掌握用连续函数零点定理及函数图像判断函数零点所在的区间与方程的根所在的区间. 2. 结合几类基本初等函数的图象特征,掌握判断函数的零点 个数和所在区间法. 3.能根据函数零点的情况求参数的取值范围. 【教学重点】 理解函数的零点与方程根的关系,形成用 函数观点处理问题的意识. 【教学难点】 根据函数零点所在区间求参数的取值范围 【教学方法】 发现、合作、讲解、演练相结合. 一、引例 (1).函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是( ). A.()2,1-- B.()1,0- C.()0,1 D.()1,2 解法一:代数解法 解:(1).因为()00e 0210f =+-=-<,()11e 12e 10f =+-=->, 所以函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是()0,1.故选C. 二、 基础知识回顾 1.函数零点概念 对函数()y f x =,把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点. 2.零点存在性定理:如果函数()y f x =在区间[]a,b 上的图象是连续不断一条曲线,并且有()()0f a f b ?<,那么,函数()y f x =在区间()a,b 内有零点.即存在()c a,b ∈,使得()0f c =,这个c 也就是方程()0f x =的根. 有零点吗? 引例除了用零点基本定理,还有其他方法可以确定函数零点所在的区间吗? 解法二:几何解法 (1). ()e 2x f x x =+- 可化为2x e x =-+. 画出函数x y e =和 2y x =-+的图象,可观察得出C 正确. ) )0=有实数根 图像有交点. 函数图像与变换 一、 图像变换 1.平移变换: (1)水平平移:函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向左(0)a >或向右(0)a <平移 ||a 个单位即可得到; (2)竖直平移:函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向上(0)a >或向下(0)a <平移 ||a 个单位即可得到. 2.对称变换:(1)函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于y 轴对称即可得到; (2)函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于x 轴对称即可得到; (3)函数()y f x =--的图像可以将函数()y f x =的图像关于原点对称即可得到; (4)函数1()y f x -=的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线y x =对称得到. 3.翻折变换: (1)函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方,去掉原x 轴下 方部分,并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到; (2)函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保 留()y f x =在y 轴右边部分即可得到. 4.伸缩变换: (1)函数()y af x = (0a >)的图像可以将函数()y f x =的图像的纵坐标伸长到原来的(0)k k >倍(横坐 标不变)得到。 (2)函数()y af x = (0a >)的图像可以将函数()y f x =的图像的横坐标伸长到原来的(0)k k >倍(纵坐 标不变)得到。 二、典型例题 1、 函数的图象变换:函数的图象变换这一节的知识点是高考考查的重要方面,一些复杂的函数是可以通过 一些较为简单的函数由相应的变换得到,从而我们可以利用之研究函数的性质。 例1、(1)设()2,()x f x g x -=的图像与()f x 的图像关于直线y x =对称,() h x 的图像由()g x 的图像 右平移1个单位得到,则()h x 为__________ (2)要得到)3lg(x y -=的图像,需作x y lg =关于_____轴对称的图像,再向____平移3个单位 (3)将函数()y f x =的图像上所有点的横坐标变为原来的13 (纵坐标不变),再将此图像沿x 轴方向向左平移2个单位,所得图像对应的函数为_____ 例2、已知f(x+199)=4x 2+4x+3(x ∈R),那么函数f(x)的最小值为____. 例3、设函数y=f(x)的定义域为R,则函数y=f(x-1)与y=(1-x)的图象关系为( ) A、直线y=0对称 B、直线x=0对称 C、直线y=1对称 D、直线x=1对称 2 、函数图象的画法:以解析式表示的函数作图象的方法有两种,即列表描点法和图象变换法,运用描点法 作图象应避免描点前的盲目性,也应避免盲目地连点成线.要把表列在关键处,要把线连在恰当处.这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究.而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段。用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换,以及确定怎样的变换。 例4画出下列函数的图象 (1)| 2|21+? ? ? ??=x y (2)|122|2 -+=x x y (3)()1lg -==x x f y ; (4)())1lg(-=x x g 良好的开端是成功的一半 一 函数零点与零点个数的判断: 例1、函数f (x )=ln x -1 x -1 的零点的个数是( 1 .(2013天津高考数学(理))函数0.5()2|log x f x =2.函数f (x )=x cos x 2在区间[0,4]上的零点个数为( 二 有关二次函数的零点问题: 例2、关于x 的一元二次方程x 2 -2ax +a +2=0(1,3)之间;(3)有一根大于2,另一根小于2;1.已知函数21,0, ()(1),0. x x f x f x x -?-≤=?->?若方程(f x 取值范围是 ( )A .(),1-∞B .(],1-∞C .2.已知函数???>≤+=. 0,ln , 0,1)(x x x kx x f ( )A .当0>k 时,有3个零点;当0 葛沽一中整体建构教学模式导学案 高一 年级 数学 学科 主备人: 备课或教研组长审核签字 使用人签字 使用时间 第 11 周 第 5 课 课题: 零点存在定理的应用 教学过程 一、例题精析 应用迁移 拓展提升 1.函数f(x)=23x x +的零点所在的一个区间是( ) (A)(-2,-1) (B)(-1,0) (C)(0,1) (D)(1,2) 2.(2014·天津模拟)方程log 4x-=0的根所在区间为( ) A. B. C.(3,4) D.(4,5) 3.(2014·北京模拟)已知方程lgx=2-x 的解为x 0,则下列说法正确的是( ) ∈(0,1) ∈(1,2) ∈(2,3) ∈[0,1] 小结: 5.(2014·济南模拟)函数f(x)= 的零点个数为( ) 6.函数的零点个数是_________________ 小结: 提示:建议:注意:要求: 二.拓展练习 7.已知函数f(x)= 在下列区间中,包含f(x)零点的区间是( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,4) D.(4,+∞) 8.函数f(x)=ln(x+1)- 的零点所在的大致区间是( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,e) D.(3,4) 9.设函数1 ()ln (0),3f x x x x =->则()y f x = A 在区间1 (,1),(1,)e e 内均有零点。 B 在区间1 (,1),(1,)e e 内均无零点。 C 在区间1 (,1)e 内有零点,在区间(1,)e 内无零点。 D 在区间1 (,1)e 内无零点,在区间(1,)e 内有零点。 10. 函数3()=2+2x f x x -在区间(0,1)内的零点个数是( ) A .0 B .1 C .2 D .3 11. 函数f(x)=|x-2|-lnx 在定义域内零点的个数为( ) B.1 12.函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 13.已知函数f(x)=x+2x ,g(x)=x+lnx 的零点分别为x 1,x 2,则x 1,x 2的大小关系是( ) 函数零点存在性定理基础题
函数零点存在性定理
函数零点问题(讲解)
张荣军判断零点的存在性定理
利用导数研究函数的图像及零点问题(基础)6
函数零点存在性定理.
函数的零点问题
根的存在性证明(零点定理)
专题14 运用函数的图像研零点问题(解析版)
函数零点存在性定理图文稿
零点存在定理的教案
函数的零点问题(讲解)
函数图像与变换+零点存在定理
2015 函数的零点与图像
零点存在定理的应用