相似三角形、反比例函数专题复习
相似三角形、反比例函数专题复习姓名__________
一．选择题（共1小题）
1．如图，梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，AB=1cm，．以BC上一点O为圆心的圆经过A、D两点，∠AOD=90°，则圆心O到弦AD的距离是（）
A．B．C．D．
二．填空题（共2小题）
2．如图，点D为y轴上任意一点，过点A（﹣6，4）作AB垂直于x轴于点B，AB交反比例函数y=﹣（x＜0）于点C，则△ADC的面积为．
3．如图，从点A（0，2）发出一束光，经x轴反射，过点B（4，3），则这束光从点A到点B所经过的路径的长为．
三．解答题（共2小题）
4．如图，在平面直角坐标系中，OA⊥OB，AB⊥x轴于点C，点A（，1）在
反比例函数y=的图象上．
（1）求反比例函数y=的表达式；
（2）在x轴的负半轴上存在一点P，使得S
=S△AOB，求点P的坐标；
△AOP
（3）若将△BOA绕点B按逆时针方向旋转60°得到△BDE．直接写出点E的坐标，并判断点E是否在该反比例函数的图象上，说明理由．
5．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥DC，垂足为E，连接BE，F为BE上一点，且∠AFE=∠D．
（1）求证：△ABF∽△BEC；
（2）若AD=5，AB=8，sin∠D=，求AF的长．
中考数学专题复习(一)相似三角形
2016年中考数学相似三角形专题复习（一） 一、填空题 1．下面图形中，相似的一组是___________. (1) (2) （1） （2） (3) (4) 2．若x ∶（x+1）=6∶9，则x= . 3．已知线段a 、b 、c 、d 成比例，且a=6，b=9， c=12，则d= 4．在比例尺为1：10000的地图上，量得两 点之间的直线距离是2cm ，则这两地的实际 距离是________米 5．如图，两个五边形是相似形，则=a ，=c ，α= ，β= . 6. 已知△ABC ∽△DEF,AB=21cm,DE=28cm,则△ABC 和△DEF 的相似比为 . 7．△ABC 的三边长分别为 2、10、3，△ C B A ''的两边长分别为1和5，若△ABC ∽△C B A ''， 则△C B A ''的第三条边长为 . 8．如图，△ABC ∽△CDB ，且AC ＝4，BC ＝3， 则BD ＝_________. 9．若一等腰三角形的底角平分线与底边围成的三角形与原图形相似，?则等腰三角形顶角为________度． 10．△ABC 的三边之比为3：5：6，与其相似的△DEF 的最长边是24cm,那么它的最短边长是 ，周长是 . 二、选择题 11．已知4x －5y=0，则(x+y)∶(x －y)的值为（ ） A. 1∶9 B. －9 C. 9：1 D. －1∶9 12.已知，线段AB 上有三点C 、D 、E ，AB=8，AD=7，CD=4，AE=1，则比值不为1/2的线段比为（ ） A.AE ：EC B.EC ：CD C.CD ：AB D.CE ：CB ╮ 23a c β 1550 950 1150 12 5 7αb ╭╮ ╯650 1150 第5题图 B C D 第8题图
相似三角形专题复习教案
龙文教育学科老师个性化教案 教师刘涛学生姓名梁瀚文上课日期2013.4. 学科数学年级九年级教材版本浙教版 类型知识讲解□：考题讲解□:本人课时统计第（）课时共（）课时 学案主题相似三角形 课时数量 （全程或具体时间） 第（）课时授课时段 教学目标 教学内容 相似三角形专题复习个性化学习问题解决查漏补缺，巩固提升 教学重 点、难点 用相似三角形的判定与性质解决简单的几何问题和实际问题。 考点分析 理解相似三角形的概念，总结相似三角形的对应角相等、对应边成比例等性质，掌握它们的基本运用。 教学过程 学生活动教师活动知识要点 1．相似三角形的定义：对应角相等，对应边的比相等的两个三角形。对应边的比叫做相似 比。 三条平行线截两条直线所得的对应线段的比相等。 2．相似三角形的判定：①平行法②三组对应边的比相等(类似于三角形全等判定“SSS”) ③两组对应边的比相等，且夹角相等(类似于三角形全等判定“SAS”)④两角对应相等(AA) 直角三角形中斜边、直角边对应比相等（类似于直角三角形全等判定“HL”）。 相似三角形的基本图形： 判断三角形相似，若已知一角对应相等，可先考虑另一角对应相等，注意公共角或对顶 角或同角（等角）的余角（或补角）相等，若找不到第二对角相等，就考虑夹这个角的 两对应边的比相等；若无法得到角相等，就考虑三组对应边的比相等。
2 3．相似三角形的性质：①对应角相等②对应边的比相等③对应的高、中线、角平分线、周长之比等于相似比④对应的面积之比等于相似比的平方。 4．相似三角形的应用：求物体的长或宽或高；求有关面积等。 （三）考点精讲 考点一：平行线分线段成比例 例1、（2011广东肇庆）如图，已知直线a ∥b ∥c ，直线m 、n 与a 、 b 、 c 分别交于点A 、C 、E 、B 、D 、F ，AC ＝ 4，CE ＝ 6，BD ＝ 3，则BF ＝（ ） A ． 7 B ． 7.5 C ． 8 D ． 8.5 例2（2012?福州） 如图，已知△ABC ，AB=AC=1，∠A=36°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，则AD 的长是 ，cosA 的值是 ．（结果保留根号） 练习： 1．（2011湖南怀化，6，3）如图所示：△ABC 中，DE ∥BC ，AD ＝5，BD ＝10，AE ＝3， 则CE 的值为（ ） A ．9 B ．6 C ．3 D ．4 E C D B A 2．（2011山东泰安，15 ，3分）如图，点F 是□ABCD 的边CD 上一点，直线BF 交AD 的延长线于点E ，则下列结论错误．．的是（ ） A ．ED DF EA AB = B ． DE EF BC FB = C ．BC BF DE BE = D ． BF BC BE AE = a b c A B C D E F m n
2017年中考数学相似三角形专题练习(附答案)
2017年中考数学相似三角形专题练习（附答案） 相似三角形50题一、选择题： 1.如图，DE∥BC，在下列比例式中，不能成立的是（） A. ＝ B. ＝ C. ＝ D. ＝ 2.如图，点D、E分别为△ABC的边AB、AC上的中点，则△ADE的面积与四边形BCED的面积的比为（） A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：1 3.两个相似多边形一组对应边分别为3cm， 4.5cm，那么它们的相似比为( ) 4.如图，F是平行四边形ABCD对角线BD上的点，BF:FD=1:3，则BE:EC=（） 5.如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是( ) A． B． C． D． 6.下列各组数中，成比例的是（） A.-7,-5，14，5 B.-6，-8，3，4 C.3，5，9，12 D.2，3，6，12 7.如图,铁路道口的栏杆短臂长1m,长臂长16m.当短臂端点下降0.5m时,长臂端点升高（杆的宽度忽略不计）（） A.4m B.6m C.8m D.12m 8.下列四组图形中，一定相似的是( ) A.正方形与矩形 B.正方形与菱形 C.菱形与菱形 D.正五边形与正五边形 9.如图所示，在?ABCD中，BE交AC，CD于G，F，交AD的延长线于E，则图中的相似三角形有（） A.3对 B.4对 C.5对 D.6对 10.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，AB=10，DE垂直平分AC 交AB于点E，则DE的长为（） A．6 B．5 C．4 D．3 11.如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2：3，已知AB=4，则DE的长等于（） A.6 B.5 C.9 D. 12.如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点P、Q同时从点A出发，以1cm/s的速度分别沿A→B→C和A→D→C的路径向点C运动，设运动时间为x（单位：s），四边形PBDQ的面积为y（单位：cm2），则y 与x（0≤x≤8）之间函数关系可以用图象表示为( ) A. B. C. D. 13.如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从A点出发，按A→B→C 的方向在AB和BC上移动，记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数图象大致是( ) A． B． C． D．
相似形与相似三角形专题复习(精编题目)精编版
第一节：相似形与相似三角形 基本概念： 1.相似形：对应角相等，对应边成比例的两个多边形，我们称它们互为相似形。 2.相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形。 1．几个重要概念与性质（平行线分线段成比例定理） （1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 已知a ∥b ∥c, A D a B E b C F c 可得EF BC DE AB DF EF AC BC DF EF AB BC DF DE AC AB EF DE BC AB = ====或或或或 等. （2）推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. A D E B C 由DE ∥BC 可得： AC AE AB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行. （3）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边. 此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线. （4）定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例. （5）①平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 ②比例线段：四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即b a ＝d c ，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段。 2．比例的有关性质 ①比例的基本性质：如果 d c b a =，那么ad=bc 。如果ad=bc （a ，b ，c ，d 都不等于0），那么d c b a =。 ②合比性质：如果d c b a =，那么d d c b b a ±=±。 ③等比性质：如果d c b a ==???=n m (b+d+???+n ≠0)，那么 b a n d b m c a =+???+++???++ ④b 是线段a 、d 的比例中项，则b 2＝ad.
中考数学专题复习——相似三角形(通用).doc
中考专题复习——相似三角形 一. 选择题 1. （山东省潍坊市）如图 ,Rt △ABAC 中 ,AB ⊥AC,AB=3,AC=4,P 是 BC 边上一点 , 作 PE ⊥AB 于 E,PD ⊥ AC 于 D,设 BP=x,则 PD+PE=（ ） A. x 3B. 4 x C. 7 D. 12x 12x 2 5 5 2 5 25 A D C E P B 2。( 乐山市 ) 如图（ 2），小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落点恰好在 离网 6 米的位置上，则球拍击球的高度 h 为（ ） A 、 8 B 、 1 C 、 4 D 、 8 15 3 5 h 米 0.8 米 6 米 4 米 3．（2020 湖南常德市） 如图 3，已知等边三角形 ABC 的边长为 2，DE 是它的中位线， 则下面四个结论： （1）DE=1，（ 2）AB 边上的高为 3 ，（ 3）△ CDE ∽△ CAB ，（ 4）△ CDE 的面积 与△ CAB 面积之比为 1：4. 其中正确的有 （ ） A ．1 个 B ． 2 个 C ．3 个 D ． 4 个
C D E A B 图3 4.(2020 山东济宁 ) 如图，丁轩同学在晚上由路灯AC 走向路灯BD ，当他走到点P 时， 发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC 的底部，当他向前再步行20m 到达Q点 时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯 BD 的底部，已知丁轩同学的身高是 1.5m，两个路灯的高度都是 9m，则两路灯之间的距离是（）D A．24m B．25m C．28m D．30m 5. （ 2020 江西南昌）下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（）B A ．B．C．D． 6.(2020重庆)若△ ABC∽△DEF，△ ABC与△ DEF的相似比为2︰3，则 S△ABC︰S△DEF 为（） A、2∶3 B、4∶9 C、 2 ∶3 D、3∶2 7.(2020 湖南长沙 ) 在同一时刻，身高 1.6 米的小强在阳光下的影长为0.8 米， 一棵大树的影长为 4.8 米，则树的高度为（） C A、4.8 米 B、 6.4 米 C、9.6 米 D、10 米 8．（ 2020 江苏南京）小刚身高 1.7m，测得他站立在阳关下的影子长为 0.85m。紧
相似三角形专题复习(教案)
1 / 7 课题：相似三角形复习课 授课人： 雁栖学校杜凌云 考试说明： 一、 【中考知识点梳理】 1. 相似三角形的定义： 生：对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。 2. 相似比 生：相似三角形对应边的比叫做相似比。 △ABC ∽△DEF ,如果BC=3，EF =1.5，那么△DEF 与△ABC 的相似比为________. 注意：求相似比要注意顺序。 3.下面4组图形中都有角或线段相等或平行的标记，试根据这些标记的条件判断有没有没有相似三角形？若有，请找出，并说明相似的理由. 【， ∴△ABC ∽△ADE(平行于三角形一边的直线，截其他两边所得的三角形与原三 角形相似) 【生2】图2：△ABC ∽△ADE ， 理由：∵∠ADE=∠C,∠A=∠A ∴△ABC ∽△AED (两角相等，两三角形相似) 【生3】图3：△ABO ∽△DCO ， ∵OA=1, OD=3, ∴ OD OA =31 同理OC OB =31 B 2 1 3 6 A C D E D c A B O 图（1） 图（2） 图（3）
2 / 7 C B E A D C E D A C D E A C D ∴ OD OA =OC OB 又∵∠AOB=∠COD ∴△ABO ∽△DCO (两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似) 【生4】图4：△ABC ∽△DEF ， 理由：∵AB=2,BC=4,AC=6； DE=1，EF=2，DF=3， ∴ DE AB =EF BC =DF AC =2 ∴△ABC ∽△DEF(三边对应成比例，两三角形相似) 相似三角形的判定方法： （1）平行于三角形一边的直线，截其他两边所得的三角形与原三角形相似 （2）判定1.两个角分别相等，两三角形相似。 （3）判定2.两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似． （4）判定3.三边对应成比例,两三角形相似． 4、已知，如图，△ABC ∽△ADE ，图中有没有成比例线段和相等的角？为什么？ 相似三角形的性质： (1）相似三角形的对应边成比例，对应角相等． （2）相似三角形的对应高的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方． 5.题型方法、规律总结 我们来回顾一下相似三角形常见的基本图形并找出对应边 AED ABC △AED ∽△△ABC ∽△ACD BC ED AC AD AB AE ==BC ED AC AD AB AE ==BC CD AC AD AB AC = = 小结：以上三类归为基本图形：A 型 △ABC ∽△DEC △ABC ∽△DEC DE AB EC BC DC AC ==DE AB EC BC DC AC == 小结：此两类归为基本图形：X 型 请你根据图中所给的条件证明图中的相似三角形。 B 1 D A C E 2
相似三角形专题复习[1]
课时课题：相似三角形复习课 教学目标： 1．复习相似三角形的概念． 2．复习相似三角形的性质． 3．复习相似三角形的判定． 4．复习相似三角形的应用，用相似知识解决一些数学问题． 重点、难点： 重点：运用相似三角形的判定定理分析两个三角形是否相似． 难点：正确运用相似三角形的性质解决数学问题． 教法及学法指导： 通过相似三角形性质和判定的复习，让学生能熟练的应用相似三角形的知识解决数学问题． 教学过程 一、 多元智能、知识点击 【师】这节课我们复习相似三角形的有关知识，首先我们看一下它在整个知识体系中的位置. 【师】本节课，我们将从三个方面来复习相似三角形的有关知识（多媒体展示），请同学们完成下面的填空. 【生】完成知识梳理中的填空． 【师】华罗庚说过：“解题是数学的心脏”，下面我们通过两组练习进一步复习巩固相关知识 相似三角概念 1． 的两个三角形叫相似三角形． 2． 叫相似比． 3．△ABC 相似于△DEF 用符号表示为 ． 判定 1． 角对应相等的两个三角形相2．两边 ，且夹角 的两个三角形相似． 3．三边 的两个三角形相似． 性质 1．相似三角形的对应角 ，对应边 ． 2．相似三角形的对应 的比，对应 的比，对应 的比， 对应 的比都等于相似比． 3．相似三角形 的比等于相似比的平方．
【设计意图】以知识框图的形式让学生明确相似三角形在相应的知识体系中的位置，有助于学生掌握知识的纵横联系；以知识图解的形式让学生填空，可以帮助学生梳理本节课的主要知识点，为下一步激活运用这些知识打好基础． 二、 知识激活、学练精思 （一） 典型习题、精做详解 【师】下面我们运用相似三角形的判定方法判定下面的三角形是否相似 例1：下面5组图形中都有角或线段相等的标记，试根据这些标记的条件判断有没有没有相 似三角形？若有，请找出，并说明相似的理由. 【生1】图1：△ABC ∽△ADE ， 理由：∵∠ADE=∠B, ∠A 为公共角 ∴△ABC ∽△ADE(两角相等，两三角形相似) 【生2】图2：△ABC ∽△ADE ， 理由：∵∠ADE=∠C, ∠A 为公共角 ∴△ABC ∽△ADE(两角相等，两三角形相似) 【生3】图3：△ABO ∽△DOE ， 理由：∵OA=1, OD=3, ∴ OD OA =31 同理OC OB =31 ∴OD OA =OC OB 又∵∠AOB=∠EOD 图（5） 2 4 6 A B C D 2 1 3 6 A B C D E A C D E D E A B O 图（1） 图（2） 图（3） B 1 D A C E 2 图4 A B C D E F 2 4 6 1 2 3
相似三角形复习专题-动点问题
相似三角形复习专题动点问题 1、如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q 到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s）， 1、当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由； 2、设△BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式； 3、作QR//BA交AC于点R，连结PR，当t为何值时，△APR△△PRQ？ 2、如图，在直角梯形ABCD中，AB△DC，△D=90o，AC△BC，AB=10cm,BC=6cm，F点以2cm／秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm／秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒(0 3.如图，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时，△DMN也随之整体移动）．（1）如图1，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由； （2）如图2，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由； （3）若点M在点C右侧时，请你在图3中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由． 4.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm．点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，△EFG的面积为S（cm2） （1）当t=1秒时，S的值是多少？ （2）写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围 （3）若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由． 相似三角形专题复习 教学目标： 1、了解相似比的概念及相似多边形、相似三角形的概念，掌握相似三角形的判定和性质的应用；灵活运用三角形相似的判定定理； 2、利用图形的相似解决实际问题。 教学重点：掌握相似三角形的判定和性质的应用 教学难点：灵活运用相似三角形的判定和性质 一.【知识梳理】 活动1 相似三角形基本图形的回顾： 问题：请同学们结合下列图形添加一个能判定△ADE 与 △ABC 相似的条件，并说明理由 （课件展示） 请两名同学口答，教师点评。 A B C D E A B C D E A B C D E A B C D E A B C 学生说出，教师板书。 （1）DE ∥BC （平行线法） （2） BC DE AC AE AB AD ==(三边法） （3） AC AE AB AD = （两边及夹角法） （4）∠ADE=∠B 或∠AED=∠C （两角法） (1) ∠ADE=∠C 或∠AED=∠B (2) AC AD AB AE = （1）∠ACD=∠B （2）∠ADC=∠ACB （3）AB AC AC AD = （AB AD AC ?=2） 学生归纳总结方法： 相似三角形基本图形的回顾： A B C A B C D D D E A B C D E A D 活动2：如图1中△ADE ∽△ABC ，相似比为2:3 （1）△ADE 和△ABC 对应中线的比_________，对应角平分线的比__________，对应高的比_________. （2）若它们的周长差为10，则△ADE 和△ABC 的周长分别是_____和_______. （3）若它们的面积和为19.5，则△ADE 和△ABC 的面积分别是____和________. （1）、（2）题学生口答，第（3）题请两位同学板演 (投影）总结相似三角形的性质： A D E B C A D E B A B D E B C A D E A B C D E 相似三角形知识点与经典题型 知识点1 有关相似形的概念 (1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形. (2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多 边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)． 知识点2 比例线段的相关概念 （1）如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是 n m b a =，或写成n m b a ::=．注：在求线段比时，线段单位要统一。 （2）在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：a d c b = ．②()a c a b c d b d ==在比例式：：中， a 、d 叫比例外项， b 、 c 叫比例内项, a 、c 叫比例前项，b 、 d 叫比例后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，即 a b b d =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项， 此时有2 b ad =。 （3）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =?，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 2 1 5-= ≈0.618AB ．即 12AC BC AB AC == 简记为：长短＝全长 注：黄金三角形：顶角是360 的等腰三角形。黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形 知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0） （1） 基本性质： ①bc ad d c b a =?=::；②2 ::a b b c b a c =?=?． 注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除 了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=． （2） 更比性质(交换比例的内项或外项)： ()() ()a b c d a c d c b d b a d b c a ?=?? ?=?=???=??， 交换内项，交换外项． 同时交换内外项 （3）反比性质(把比的前项、后项交换)： a c b d b d a c =?=． （4）合、分比性质： a c a b c d b d b d ±±=?=． 注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间 相似三角形知识点复习题纲 知识点1 有关相似形的概念 (1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形. (2)如果两个边数相同的多边形的 相等， 比例，这两个多边形叫做相似多 边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)． 知识点2 比例线段的相关概念 （1）如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是 =b a ，或写成=b a : ．注：在求线段比时，线段单位要统一。 （2）在四条线段d c b a ,,,中，如果 的比等于 的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为： a d c b =．②()a c a b c d b d ==在比例式：：中， a 、d 叫 ， b 、 c 叫比例 , d 叫第四比例项，如果b=c ，即 a b b d =：：那么b 叫做a 、d 的 ， 此时有2b ad =。 （3）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =?，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中=AC AB ≈ 0.618AB ．即12AC BC AB AC == 简记为：长短＝全长 注：黄金三角形：顶角是 0 的等腰三角形。黄金矩形： 与 的比等于黄金数的矩形 知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0） （1） 基本性质： ①bc ad d c b a =?=::；②2 ::a b b c b a c =?=?． （2） 更比性质(交换比例的内项或外项)： （3）反比性质(把比的前项、后项交换)：． （4）合、分比性质： a c a b c d b d b d ±±=?= ． （5）等比性质：如果)0(≠++++=== =n f d b n m f e d c b a ，那么b a n f d b m e c a =++++++++ ． 注：①此性质的证明运用了“ 法”（即引入新的参数k ）这样可以减少未知数的个数，这种方法是有关比例 计算变形中一种常用方法．②应用等比性质时，要考虑到分母是否为 ． ③可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如： b a f d b e c a f e d c b a f e d c b a =+-+-?=--=?==32323322；其中032≠+- f d b ． 知识点4 比例线段的有关定理 1.三角形中平行线分线段成比例定理:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成 比例. 相似三角形专题复习 例1：如图，有一块锐角三角形余料ABC ，它的边BC=120mm ，高AD=80mm ，要把它加工成正方形零件， 使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB ，AC 上，加工成正方形零件的边长为多少毫米？ （一变）：正方形为长方形 ⑴、正方形PQMN 换成矩形PQMN ，满足PN ∶PQ=1∶2，结果改为“求矩形PQMN 的长和宽”。 ⑵、把正方形PQMN 换成矩形PQMN ，并增加条件矩形PQMN 的周长为200mm ，结果改为“求矩形 PQMN 的长和宽”。 ⑶、把结果改为求设PN=x ，矩形PQMN 的面积为y ，求y 关于x 的函数表达式，并指出x 的取值范围.当为PQ 何值时，矩形PQMN 的面积最大 （二变）：三角形的形状，正方形摆放位置的变化 ⑴、已知如图△ABC 中，∠C=900，AB=5cm ，AC=4cm ；三角形内有正方形内接于△ABC ，有两种内接形 式，分别求出正方形的边长。 ⑵、在Rt △ABC 中，∠C = 90°，AB = 5，AC = 3， ①、三角形内有并排的两个相等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC ，求正方形的边长； ②、三角形内有并排的n 个相等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC ，求正方形的边长； A B E D A B （三变）：变矩形为三角形 ⑴、在Rt △ABC 中，∠C = 90°，AB = 5，AC = 3，以C 为顶点，作一个内接等边三角形，且使它的一边 在 Rt △ABC 的一边上；符合上述条件的等边三角形能作几个？并求出三角形的各边长。 ⑵、把正方形PQMN 换成等腰直角三角形PMN ，直角顶点P 在BC 上，斜边MN 的两个端点分别在AB ，AC 上，且MN//BC ，结论 改为“求等腰直角三角形PMN 的面积”。 例2. 如图，在△ABC 中，8==AC AB ，10=BC ，D 是BC 边上的一个动点，点E 在AC 边上，且C ADE ∠=∠． (1) 求证：△ABD ∽△DCE ； (2) 如果x BD =，y AE =，求y 与x 的函数解析式，并写出自变量x 的定义域； (3) 当点D 是BC 的中点时，试说明△ADE 是什么三角形，并说明理由． 例3.已知：如图，在△ABC 中，5==AC AB ，6=BC ，点D 在边AB 上，AB DE ⊥，点E 在边BC 上．又点F 在边AC 上，且B DEF ∠=∠． (1) 求证：△FCE ∽△EBD ； (2) 当点D 在线段AB 上运动时，是否有可能使EBD FCE S S ??=4． 如果有可能，那么求出BD 的长．如果不可能请说明理由． 例4.（2011湖南怀化）如图8，△ABC 是一张锐角三角形的硬纸片，AD 是边BC 上的高，BC=40cm ， B C A A B C D E A B C D E F 中考相似三角形专题复习 1、比例 对于四条线段a ，b ，c ，d ，如果其中两条线段的比(即它们长度的比)与另两条线段的比相 等，如a c b d = (即ab ＝bc )，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 1.若a c b d =, 则a c b d =； 2．以下列长度（同一单位）为长的四条线段中，不成比例的是（ ） A ．2，5，10，25 B ．4，7，4，7 C ．2，0.5，0.5，4 D ．a c b d =，a c b d =，a c b d =，a c b d = 3．若a c b d =∶3 =a c b d =∶4 =a c b d =∶5 , 且a c b d =, 则a c b d =； 4．：若a c b d =, 则a c b d = 5、已知 ，求代数式 的值． 2、平行线分线段成比例、 定理： 推论： 练习1、如下图，EF ∥BC ，若AE ∶EB=2∶1,EM=1,MF=2,则AM ∶AN=____,B N ∶NC=_____ 2、已知：如图，ABCD ，E 为BC 的中点，BF ︰FA ＝1︰2，EF 与对角线BD 相交于G ， 求BG ︰BD 。 3、如图，在ΔABC 中，EF//DC ，DE//BC ，求证： （1）AF ︰FD ＝AD ︰DB ； （2）AD 2 ＝AF ·AB 。 3 、相似三角形的判定方法 判定0.平行于三角形一边的直线与其他两边或两边延长线相交，所截得的三角形与 判定1. 两个角对应相等的两个三角形__________． 判定2. 两边对应成_________且夹角相等的两个三角形相似． 判定3. 三边对应成比例的两个三角形___________． 判定4.斜边和 对应成比例的两个直角三角形相似 常见的相似形式： 1. 若DE ∥BC （A 型和X 型）则______________． 2.子母三角形（1） 射影定理：若CD 为Rt △ABC 斜边上的高（双直角图形） (2)∠ABD=∠c ∽Rt △CBD 且AC 2=________，CD 2=_______，BC 2 =__ ____． E A D C B E A D C B A D C B 练习 1、如图，已知∠ADE=∠B ，则△AED ∽__________ 2、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，DE ⊥AB 于D ，则△ADE ∽_________ 3、如图；在∠C=∠B ，则_________ ∽_________,__________ ∽_________ 4.如图，具备下列哪个条件可以使⊿ACD ∽⊿BCA （ ） A a c b d = B a c b d = C a c b d = D a c b d = 5.下列四个三角形，与右图中的三角形相似的是（ ） 6、如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4及x ，那么x 的值（ ） A. 只有1个 B. 可以有2个 C. 可以有3个 D. 有无数个 4 、相似三角形的性质与应用 1. 相似三角形的对应边_________，对应角________． 2. 相似三角形的对应边的比叫做________，一般用k 表示． 3. 相似三角形的对应边上的_______?线的比等于_______比，周长之比也等于________比，面积比等于_________． O A C B A C B A B E C D E E D D A B C D 龙文教育学科老师个性化教案教师学生姓名梁瀚文上课日期 学科数学年级九年级教材版本 类型知识讲解□：考题讲解□:本人课时统计第（）课时共（）课时 学案主题相似三角形 课时数量 （全程或具体时间） 第（）课时授课时段 教学目标 教学内容相似三角形专题复习 个性化学习问题解决查漏补缺，巩固提升 教学重 点、难点 用相似三角形的判定与性质解决简单的几何问题和实际问题。 考点分析 理解相似三角形的概念，总结相似三角形的对应角相等、对应边成比例等性质，掌握它们的基本运用。 教学过程 学生活动教师活动知识要点 1．相似三角形的定义：对应角相等，对应边的比相等的两个三角形。对应边的比叫做相似 比。 三条平行线截两条直线所得的对应线段的比相等。 2．相似三角形的判定：①平行法②三组对应边的比相等(类似于三角形全等判定“SSS”) ③两组对应边的比相等，且夹角相等(类似于三角形全等判定“SAS”)④两角对应相等(AA) 直角三角形中斜边、直角边对应比相等（类似于直角三角形全等判定“HL”）。 相似三角形的基本图形： 判断三角形相似，若已知一角对应相等，可先考虑另一角对应相等，注意公共角或对顶 角或同角（等角）的余角（或补角）相等，若找不到第二对角相等，就考虑夹这个角的 两对应边的比相等；若无法得到角相等，就考虑三组对应边的比相等。 3．相似三角形的性质：①对应角相等②对应边的比相等③对应的高、中线、角平分线、周长之比等于相似比④对应的面积之比等于相似比的平方。 4．相似三角形的应用：求物体的长或宽或高；求有关面积等。 （三）考点精讲 考点一：平行线分线段成比例 例1、（2011广东肇庆）如图，已知直线a ∥b ∥c ，直线m 、n 与a 、 b 、 c 分别交于点A 、C 、E 、B 、D 、F ，AC ＝ 4，CE ＝ 6，BD ＝ 3，则BF ＝（ ） A ． 7 B ． 7.5 C ． 8 D ． 8.5 例2（2012?福州） 如图，已知△ABC ，AB=AC=1，∠A=36°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，则AD 的长是 ，cosA 的值是 ．（结果保留根号） 练习： 1．（2011湖南怀化，6，3）如图所示：△ABC 中，DE ∥BC ，AD ＝5，BD ＝10，AE ＝3， 则CE 的值为（ ） A ．9 B ．6 C ．3 D ．4 E C D B A 2．（2011山东泰安，15 ，3分）如图，点F 是□ABCD 的边CD 上一点，直线BF 交AD 的延长线于点E ，则下列结论错误．．的是（ ） A ．ED DF EA AB = B ． DE EF BC FB = C ．BC BF DE BE = D ． BF BC BE AE = a b c A B C D E F m n 三角形相似总复习 第一部分相似三角形知识要点大全 知识点1.．相似图形的含义 把形状相同的图形叫做相似图形。（即对应角相等、对应边的比也相等的图形） 解读：（1）两个图形相似，其中一个图形可以看做由另一个图形放大或缩小得到． （2）全等形可以看成是一种特殊的相似，即不仅形状相同，大小也相同． （3）判断两个图形是否相似，就是看这两个图形是不是形状相同，与其他因素无关．例1．放大镜中的正方形与原正方形具有怎样的关系呢？ 分析：要注意镜中的正方形与原正方形的形状没有改变． 解：是相似图形。因为它们的形状相同，大小不一定相同． 例2．下列各组图形：①两个平行四边形；②两个圆；③两个矩形；④有一个内角80°的两个等腰三角形；⑤两个正五边形；⑥有一个内角是100°的两个等腰三角形，其中一定是相似图形的是_________(填序号)． 解析：根据相似图形的定义知，相似图形的形状相同，但大小不一定相同，而平行四边形、矩形、等腰三角形都属于形状不唯一的图形，而圆、正多边形、顶角为100°的等腰三角形的形状不唯一，它们都相似．答案：②⑤⑥． 知识点2．比例线段 对于四条线段a,b,c,d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即a c b d =（或 a:b=c:d）那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段． 解读：（1）四条线段a,b,c,d成比例，记作a c b d =（或a:b=c:d），不能写成其他形式，即比例线段 有顺序性． （2）在比例式a c b d =（或a:b=c:d）中，比例的项为a,b,c,d，其中a,d为比例外项，b,c为比例内项，d 是第四比例项． （3）如果比例内项是相同的线段，即a b b c =或a:b=b:c，那么线段b叫做线段和的比例中项。 (4)通常四条线段a,b,c,d的单位应一致，但有时为了计算方便，a和b统一为一个单位，c和d统一为另一个单位也可以，因为整体表示两个比相等． 例3．已知线段a=2cm, b=6mm, 求a b ． 分析：求a b 即求与长度的比，与的单位不同，先统一单位，再求比． 例4．已知a,b,c,d成比例，且a=6cm,b=3dm,d=3 2 dm，求c的长度． 分析：由a,b,c,d成比例，写出比例式a:b=c:d，再把所给各线段a,b,,d统一单位后代入求c． 知识点3．相似多边形的性质 相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等． 解读：（1）正确理解相似多边形的定义，明确“对应”关系． （2）明确相似多边形的“对应”来自于书写，且要明确相似比具有顺序性． 例5．若四边形ABCD的四边长分别是4，6，8，10，与四边形ABCD相似的四边形A1B1C1D1的最大边长为30，则四边形A1B1C1D1的最小边长是多少？ 【课题】九年级总复习第二轮专题复习 《相似三角形专题复习》教学设计 【所需课时】1课时 【课标要求及分析】 课标要求:了解相似三角形的定义、判定定理、性质定理，并会解决简单的实际问题. 课标分析：《标准》的要求定位在“了解”和“简单”的层面，因此在复习过程中要注重对相似三角形相关基础知识和常见题型的把握. 【教材及学情分析】 北师大版九年级上册《图形的相似》是在研究“图形的全等”的基础上集中研究“图形的相似”.在前面的学习中，学生已经较为系统的学习了线段的比、成比例线段、平行线分对应线段成比例定理、相似图形、相似多边形、位似图形等，具备了一定的合情推理和演绎推理能力，为该章节中的重点内容《相似三角形专题复习》做好了知识和能力的准备. 【学习目标】 1.掌握相似三角形的定义、判定定理、性质定理； 2.能根据相似三角形的判定定理和性质定理以及已经学习过的其他知识解决简单的实际问题，进一步体会类比、分类、归纳、数形结合的思想方法. 【教学重、难点分析】教学重点为相似三角形的判定定理和性质定理，教学难点为相似三角形性质定理的灵活应用. 【教学方式与方法的选择】设疑引导、讲练结合 【教学设计思路】 首先通过小组合作把学生的个人课前作业进行讨论、完善和展示，总结出相似三角形的常见基本图形，为本节专题复习做好知识铺垫.接着以问题为导向，以“找”“选”“造”三道低起点、缓坡度的例题，引导学生自主探究相似三角形的相关问题，感受基本图形在相似三角形问题中 的应用，并总结归纳出相关的解题方法.课后作业设计了两道有梯度的题目，既加深对知识本质的理解，又强化知识之间的联系，在巩固检测所学知识的同时，激发和提升学生的数学思维能力和创新意识。 【教学资源】学案图表资料、多媒体课件、几何画板 【教学过程设计】 相似三角形综合复习 一、基础知识 (一).比例 1.第四比例项、比例中项、比例线段； 2.比例性质： （1）基本性质： bc ad d c b a =?= ac b c b b a =?=2 （2）合比定理：d d c b b a d c b a ±=±?= （3）等比定理：)0.(≠+++=++++++? ==n d b b a n d b m c a n m d c b a 3.黄金分割：如图，若AB PB PA ?=2 ，则点P 为线段AB 的黄金分割点． 4．平行线分线段成比例定理 (二)相似 1.定义:我们把具有相同形状的图形称为相似形. 2.相似多边形的特性:相似多边的对应边成比例,对应角相等. 3.相似三角形的判定 ● （1）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 ● （2）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。 ● （3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。 ● （4）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 4. 相似三角形的性质 ● （1）对应边的比相等，对应角相等. ● （2）相似三角形的周长比等于相似比. ● （3）相似三角形的面积比等于相似比的平方. ● （4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比. 5.三角形中位线定义: 连接三角形两边中点的线段 叫做三角形的中位线. 三角形中位线性质: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。 6.梯形的中位线定义：梯形两腰中点连线叫做梯形的中位线. 梯形的中位线性质: 梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半. 7.相似三角形的应用: １、利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例（或等积式）； ２、利用三角形相似，求线段的长等 3、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度。如求河的宽度、求建筑物的高度等。 (三)位似: 位似:如果两个图形不仅是相似图形，而且是每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形。这个点叫做位似中心.这时的相似比又称为位似比. 位似性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比 B A P九年级下相似三角形复习专题
相似三角形专题复习学生版解析
相似三角形专题复习学生版
相似三角形专题复习
中考相似三角形专题复习
相似三角形专题复习教案
相似三角形总复习模型总结
《相似三角形专题复习》教学设计
沪教版相似三角形专题复习优秀教案