切割立体投影

第五章 平面与立体相交
顶尖
球阀芯
三通管
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盖
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第五章 平面与立体相交
§1 截交线 §2 平面和曲面相交
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第一节 截交线
截切： 用一个平面与立体相交，截去立体的一部分。
? 截平面 —— 用以截切物体的平面。 ? 截交线 —— 截平面与物体表面的交线。 ? 截断面 —— 因截平面的截切，在物体上形
成的平面。 讨论的问题：截交线的分析和作图 。
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平面立体的截交线
一、平面截切的基本形式
截断面 截交线
截平面
截交线与截断面
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截交线的性质：
? 截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其 形状取决于平面立体的形状及截平面相对平面立体 的截切位置。
?平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平 面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每 条边是截平面与棱面的交线。
求截交线的实质是求两平面的交线 ? 共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
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二、求截交线的方法与步骤
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤： ★ 空间及投影分析
☆ 截平面与体的相对位置
确定截交 线的形状
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交 线，并连接成多边形。
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确定截交线 的投影特性
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例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的 水平投影和侧面投影。
截交线空间及投 截交线的正面投影 影分析:
水平投影和侧面 投影是小于原形 的类似形
截平面是正垂面， 截交线在正立面内 积聚为一线
截平面
截交线空间是三边形南京大学环境学院
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s’ Pv 3’
2’
s”
3” 2”
具体步骤如下：
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、s’c’ 的交点1’、2’、3’为截平
面与各棱线的交点Ⅰ、Ⅱ、
1’
1”
Ⅲ的正面投影。
a’
b’
c’ c” a”
b”
(2) 根据线上取点的方法， 求出1、2、3和1”、2”、3”。
3 1s
2
(3) 连接各点的同面投影 即等截交线的三个投影。
(4) 补全棱线的投影。
平面与三棱锥相交
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例2 求做立体被截切后的投影
1’ 2’
3’(4’)
1”
4”
3”
4 2
1
3
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例3：求四棱锥被截切后的水平和侧面投影
1′ (4′)2′ 3′
1″
4″ 2″ ●
●
●
● 3″
★ 空间分析
4 ●
3
1
●
●
2●
★截投交平线影面的分与形体析状的？ ★ 求截几截交个交线棱线在面H相、交V ？ ★ 分析面棱上线的的形投状影？
★ 检查 尤其注意检查截 交线投影的类似性
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我们采用的是 哪种解题方法？
棱线法！
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例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1′(2′)
2●″
1●″
注意：
2
要逐三个面截共平点面：分析和 绘制Ⅰ截、交Ⅱ线两。点当分平面别体只
1
有局同部时被位截于切三时个，先面假想
为整上体。被截切，求出截交
线后再取局部。
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例5 试求正四棱锥被两平面切割后的三面投影
7' 6'（8'）
1'
（2'） 4' 5' （3'）
空间分析：
四棱锥被水平面切割， 截交线应是平面多边形 ，其水平投影反映实形 。侧面投影是一条线。
空间分析：
四棱锥被正垂面切割， 截交线也应是平面多边 形，其正面投影积聚为 一条线，水平投影侧面 投影小于实形的类似形 。
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例5 试求正四棱锥被两平面切割后的三面投影
s'
s"
作图步骤：
7'
7"
四棱锥表面上取
6'（8'）
8"
截交线的各顶点
6"
1. 找出有积聚性的投影
2. 确定截平面的特点
1' a'
（2'） 4' 2"
5' （3'） b'd 2 c' c"
3" 4" 5"
，数量。
1" a" (d " )
3. 各棱线的交点
b" 1,2,3,4,5,6,7,8。
3. 用线上取点的方法
8
3
a 1 7s
c
求得其余各投影。 4. 连接棱面上的交线
并判断可见性。
64
5
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b
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多线擦除
完成作图:
1.将各点连成线 2.检查漏线和多线 3.判断可见性
注意不可见的线
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例6 试求正四棱柱被两平面切割后的三面投影
如图所示 , 四棱柱中间的切槽是由两个侧平面和 一个水平面切割而成。
平面Ⅰ为侧平面,它与四棱 柱侧面的交线为两条铅垂线 AA1,BB1。
ⅠA
平面Ⅱ为一水平面,它与 四棱柱侧面和侧平面的交线共 同围成一六边形。
作图时 , 先作反映切口特 征且具有积聚性的正面投影 , 然后补画其它两面投影。
B Ⅱ
A1
B1
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ⅠA
B Ⅱ
A1
B1
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例7 求四棱柱被截切截交线的投影。
侧平面6（' 7 ' ）
7" 6"
（5 ' ）4'
5" 4"
（3 ' ）2'
3"
分析：
1. 平面立体形体表 面性质 的分析（积聚性）
2. 截平面相对投影面的位置
2" 3.
（平行，垂直） 截交线的空间分析及
投影分析（积聚性）
侧平面
1'
1"
3 5（7）
作图：
正垂面
4. 求棱线的交点 连线或求棱面的
交线 ( 线上取点或
1
棱面上取线）
4（6）
5. 检查漏线和多 线 ..
2
6. 判断可见性.
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