高中数学竞赛讲义-直线和圆、圆锥曲线(练习题)

§18直线和圆，圆锥曲线

课后练习

1．已知点A 为双曲线122=-y x 的左顶点，点B 和点C 在双曲线的右支上，ABC ?是等边三角形，则ABC ?的面积是

（A ）

33 （B ）2

33 （C ）33 （D ）36 2．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线5

4

35+=x y 的距离中的最小值是

（A ）17034 （B ）8534 （C ）201 （D ）30

1

3．若实数x, y 满足(x + 5)2+(y – 12)2=142，则x 2+y 2的最小值为 (A) 2 (B) 1 (C)

3 (D) 2

4．直线13

4=+y

x 椭圆191622=+y x 相交于A ，B 两点，该圆上点P ，使得⊿PAB 面积等于3，这样的点P 共有

(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个 5．设a ，b ∈R ，ab ≠0，那么直线ax －y ＋b ＝0和曲线bx 2＋ay 2＝ab 的图形是

A B 6．过抛物线y 2＝8(x ＋2)的焦点F 作倾斜角为60o 的直线，若此直线与抛物线交于A 、B 两点，弦AB 的中垂线与x 轴交于P 点，则线段PF 的长等于

A ．

3

16 B ．

3

8 C ．

3

3

16 D ．38

7．方程

13

cos 2cos 3sin 2sin 2

2=-+-y x 表示的曲线是 A. 焦点在x 轴上的椭圆 B. 焦点在x 轴上的双曲线 C. 焦点在y 轴上的椭圆

D. 焦点在y 轴上的双曲线

8．在椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 中，记左焦点为F ，右顶点为A ，短轴上方的端点为B 。若

该椭圆的离心率是

2

1

5-，则ABF ∠= 。 9．设F 1，F 2是椭圆14

92

2=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1| : |PF 2|＝2 : 1，则三

角形?PF 1F 2的面积等于______________．

10．在平面直角坐标系XOY 中，给定两点M （－1，2）和N （1，4），点P 在X 轴上移动，当MPN ∠取最大值时，点P 的横坐标为___________________。

11．若正方形ABCD 的一条边在直线172-=x y 上，另外两个顶点在抛物线2

x y =上.则该正方形面积的最小值为 .

12．已知0C ：12

2

=+y x 和1C ：)0(122

22>>=+b a b

y a x 。试问：当且仅当a ,b 满足什么条

件时，对1C 任意一点P ，均存在以P 为顶点、与0C 外切、与1C 内接的平行四边形？并证明你的结论。

13． 设曲线C 1:12

22=+y a

x (a 为正常数)与C 2:y 2=2(x+m)在x 轴上方公有一个公共点P 。

（1）实数m 的取值范围（用a 表示）；

（2）O 为原点，若C 1与x 轴的负半轴交于点A ，当0

2

1

时，试求⊿OAP 的面积的最大值（用a 表示）。

14．已知点)2,0(A 和抛物线42

+=x y 上两点C B ,使得BC AB ⊥，求点C 的纵坐标的取值范围．

15．一张纸上画有半径为R 的圆O 和圆内一定点A ，且OA ＝a . 拆叠纸片，使圆周上某一点A / 刚好与A 点重合，这样的每一种拆法，都留下一条直线折痕，当A /取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合．

16．（04，14）在平面直角坐标系xoy 中，给定三点4(0,),(1,0),(1,0)3

A B C -，点P 到直线BC 的距离是该点到直线AB ，AC 距离的等比中项。 （Ⅰ）求点P 的轨迹方程；

（Ⅱ）若直线L 经过ABC ?的内心（设为D ），且与P 点的轨迹恰好有3个公共点，求L 的斜率k 的取值范围。

17．过抛物线2

x y =上的一点A （1,1）作抛物线的切线，分别交x 轴于D ，交y 轴于B.点C 在抛物线上，点E 在线段AC 上，满足

1λ=EC AE ;点F 在线段BC 上，满足2λ=FC

BF

，且121=+λλ，线段CD 与EF 交于点P .当点C 在抛物线上移动时，求点P 的轨迹方程.

课后练习答案

1.C

2.B

3.B

4.B

5.B

6.A

7.C

8.90o

9.

3

3

2 10.设椭圆的长轴、短轴的长及焦矩分别为2a 、2b 、2c ，则由其方程知a ＝3，b ＝2，c ＝5，故，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，又已知[PF 1|：|PF 2|＝2：1，故可得|PF l |＝4，|PF 2|＝2．在△PF l F 2中，三边之长分别为2，4，25，而22＋42＝(25)2，可见△PF l F 2是直角三角形，且两直角边的长为2和4，故△PF l F 2的面积＝4．

11. 解：经过M 、N 两点的圆的圆心在线段MN 的垂直平分线y=3－x 上，设圆心为 S （a ，3－a ），则圆S 的方程为：2

2

2

()(3)2(1)x a y a a -+-+=+

对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大，所以，当MPN ∠取最大值时，经过M ，N ，P 三点的圆S 必与X 轴相切于点P ，即圆S 的方程中的a 值必须满足2

2

2(1)(3),a a +=-解得 a=1或a=－7。

即对应的切点分别为'

(1,0)(7,0)P P -和，而过点M ，N ，'p 的圆的半径大于过点M ，N ，

P 的圆的半径，所以'MPN MP N ∠>∠，故点P （1，0）为所求，所以点P 的横坐标为1。 12.解：设正方形的边AB 在直线172-=x y 上，而位于抛物线上的两个顶点坐标为),(11y x C 、

),(22y x D ，则CD 所在直线l 的方程,2b x y +=将直线l 的方程与抛物线方程联立，得

.1122,12+±=?+=b x b x x

令正方形边长为,a 则).1(20)(5)()(2

212

212

212

+=-=-+-=b x x y y x x a ① 在172-=x y 上任取一点（6，,5），它到直线b x y +=2的距离为5

|

17|,b a a +=

∴②.

①、②联立解得,80.63,3221=∴==a b b 或.80.12802

min 2=∴=a a

13.利用极坐标解决：以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为

2

22

22

sin cos 1

b

a

θθρ

+

=

------（1）

显知此平行四边形ABCD 必为菱形，设A ),(1θρ，则B )90,(2θρ+? 代入（1）式相加：

2

2

2

2

2

1111

1

b

a

+

=

+

ρρ

由于该菱形必与单位圆相切，故原点到AB 的距离为1，

∴2

221111ρρρρ+?=，从而

11

1

2

2

2

1=+

ρρ，∴

1112

2

=+

b

a

14. 解：(1)由??

???+==+)(21

22

22m x y y a x 消去y 得：0222222=-++a m a x a x ①

设222222)(a m a x a x x f -++=，问题(1)化为方程①在x ∈(－a ，a )上有唯一解或等根． 只需讨论以下三种情况：

1°△＝0得：2

1

2+=a m ，此时x p ＝－a 2，当且仅当－a ＜－a 2＜a ，即0＜a ＜1时适合；

2°f (a )f (－a )＜0，当且仅当－a ＜m ＜a ；

3°f (－a )＝0得m ＝a ，此时x p ＝a －2a 2，当且仅当－a ＜a －2a 2＜a ，即0＜a ＜1时适合． f (a )＝0得m ＝－a ，此时x p ＝－a －2a 2，由于－a －2a 2＜－a ，从而m ≠－a ． 综上可知，当0＜a ＜1时，2

1

2+=a m 或－a ＜m ≤a ；

当a ≥1时，－a ＜m ＜a ．

(2)△OAP 的面积p ay S 2

1

= ∵0＜a ＜

2

1

，故－a ＜m ≤a 时，0＜m a a a 2122-++-＜a ， 由唯一性得 m a a a x p 2122-++-=

显然当m ＝a 时，x p 取值最小．由于x p ＞0，从而y p ＝2

21a x p -

取值最大，此时

22a a y p -=，∴2a a a S -=．

当21

2+=a m 时，x p ＝－a 2，y p ＝21a -，此时212

1a a S -=．

下面比较2a a a -与212

1

a a -的大小：

令22121a a a a a -=-，得31

=a

故当0＜a ≤31时，2a a a -≤2121a a -，此时212

1

a a S max -=．

当2

131<

a a a a a ->-，此时2a a a S max -=．

15.解：设B 点坐标为),4(12

1y y -，C 点坐标为),4(2

y y -．

显然042

1≠-y ，故21

421

2

11+=--=

y y y k AB

由于BC AB ⊥，所以)2(1+-=y k BC

从而?????+=--+-==4

)]4()[2(22

111x y y x y y y ，消去x ，注意到1y y ≠得：

01))(2(11=+++y y y ?0)12()2(2121=++++y y y y

由0≥?解得：0≤y 或4≥y ．

当0=y 时，点B 的坐标为)1,3(--；当4=y 时，点B 的坐标为)3,5(-，均满足是题意．故点C 的纵坐标的取值范围是0≤y 或4≥y ．

16.解：如图，以O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立直角坐标系，则有A (a ，0)．设折叠时，

⊙O 上点A /(ααsin ,cos R R )与点A 重合，而折痕为直线MN ，则 MN 为线段AA /的中垂线．设P (x ，y )为MN 上任一点，则｜PA /｜＝｜PA ｜ 5分 ∴2222)()sin ()cos (y a x R y R x +-=-+-α 即ax a R y x R 2)sin cos (222+-=+αα 10分 ∴

2

2

222

2

22sin cos y

x R ax a R y

x y x ++-=

++α

α

可得：)cos ,(sin 22)sin(2

2

2

2

22

22y

x y y

x x y

x R ax a R +=

+=

++-=

+θθθα

∴

2

2

2222y

x R ax a R ++-≤1 (此不等式也可直接由柯西不等式得到) 15分

平方后可化为 22222

)2

()2()2()

2(a R y R a x -+-

≥1，

即所求点的集合为椭圆圆22222

)2

()2()2()2(a R y R a x -+-＝1外(含边界)的部分．

20分

17. 解：（Ⅰ）直线AB 、AC 、BC 的方程依次为44

(1),(1),033

y x y x y =

+=--=。点(,)P x y 到AB 、AC 、BC 的距离依次为12311

|434|,|434|,||55

d x y d x y d y =-+=+-=。依设，

2222123,|16(34)|25d d d x y y =--=得，即

22222216(34)250,16(34)250x y y x y y --+=---=或，化简得点P 的轨迹方程为

圆S ：2

2

2

22320171280x y y y y ++-=-+-=2

与双曲线T:8x （Ⅱ）由前知，点P 的轨迹包含两部分

圆S ：22

22320x y y ++-= ① 与双曲线T ：2

171280y y -+-=2

8x

②

因为B （－1，0）和C （1，0）是适合题设条件的点，所以点B 和点C 在点P 的轨迹上，且点P 的轨迹曲线S 与T 的公共点只有B 、C 两点。

ABC ?的内心D 也是适合题设条件的点，由123d d d ==，解得1

(0,)2

D ，且知它在圆S 上。

直线L 经过D ，且与点P 的轨迹有3个公共点，所以，L 的斜率存在，设L 的方程为

1

2

y kx =+

③

（i ）当k=0时，L 与圆S 相切，有唯一的公共点D ；此时，直线1

2

y =

平行于x 轴，表明L 与双曲线有不同于D 的两个公共点，所以L 恰好与点P 的轨迹有3个公共点。......10分

（ii ）当0k ≠时，L 与圆S 有两个不同的交点。这时，L 与点P 的轨迹恰有3个公共点只能有两种情况：

情况1：直线L 经过点B 或点C ，此时L 的斜率1

2

k =±

，直线L 的方程为(21)x y =±-。代入方程②得(34)0y y -=，解得54(,)33E 54或F(-,)33

。表明直线BD 与曲线T 有2个交点B 、E ；直线CD 与曲线T 有2个交点C 、F 。 故当1

2

k =±时，L 恰好与点P 的轨迹有3个公共点。

情况2：直线L 不经过点B 和C （即1

2

k ≠±），因为L 与S 有两个不同的交点，所以L 与

双曲线T 有且只有一个公共点。即方程组2281712801

2

x y y y kx ?-+-=?

?=+??有且只有一组实数解，消去y 并化简得2

2

25(817)504

k x kx ---

= 该方程有唯一实数解的充要条件是2

8170k -= ④

或2

2

25

(5)4(817)

04

k k -+-=

⑤

解方程④得17

k =±

，解方程⑤得2k =±。

综合得直线L 的斜率k

的取值范围是有限集1{0,,,}2172

±

±±。

18.解一：过抛物线上点A 的切线斜率为：∴=='=,2|21x x y 切线AB 的方程为

D B x y 、∴-=.12的坐标为D D B ∴-),0,2

1

(),1,0(是线段AB 的中点.

设),(y x P 、),(2

00x x C 、),(11y x E 、),(22y x F ，则由1λ=EC

AE 知，

;

11,1112

111011λλλλ++=++=x y x x ,2λ=FC

BE

得

.11,12

20

222022λλλλ++-=+=x y x x

∴EF 所在直线方程为：

,111111111111

12021

0112

01220212

01λλλλλλλλλλλλ++-

+++-

=++-++-++-x x x x x x x y 化简得.1]3)[()]1()[(2

020********x x x x y x λλλλλλ-++--=+--…①

当21

0≠x 时，直线CD 的方程为：1

2202020--=x x x x y …②

联立①、②解得02

133x x x y +?

=????=??

，消去0x ，得P 点轨迹方程为：.)13(312

-=x y 当210=

x 时，EF 方程为：CD x y ,4123)34141(23212λλλ-+--=-方程为：2

1=x ，联立解得???

?

??????????==.121,21y x 也在P 点轨迹上.因C 与A 不能重合，∴.32,10

≠∴≠x x ∴所求轨迹方程为).3

2

()13(312≠-=

x x y 解二：由解一知，AB 的方程为),0,2

1

(),1,0(,12D B x y --=故D 是AB 的中点. 令,1,1,2211λλγ+==+===

CF

CB

t CE CA t CP CD 则.321=+t t 因为CD 为ABC ?的中线， .22CBD CAD CAB S S S ???==∴

而

,2

3,232)11(212212*********=∴=+=+=+==??=??????γγγγγt t t t t t t t S S S S S S CB CA CF CE t t CBD CFP CAD CEP CAB CEF

P ∴是ABC ?的重心.

设),,(),,(2

00x x C y x P 因点C 异于A ，则,10≠x 故重心P 的坐标为

,3311),32(,313102

02000x x y x x x x =++-=≠+=++=消去,0x 得.)13(3

12-=x y

故所求轨迹方程为).3

2

()13(312≠-=x x y