图形的折叠问题试卷
图形的折叠问题试卷 Revised as of 23 November 2020
翻折组卷
一．选择题（共9小题）
1．如图，有一矩形纸片ABCD，AB=6，AD=8，将纸片折叠使AB落在AD边上，折痕为AE，再将△ABE以BE为折痕向右折叠，AE与CD交于点F，则的值是（）
A ．1 B
．
C
．
D
．
2．如图，有一矩形纸片ABCD，AB=6，AD=8，将纸片折叠，使AB落在AD边上，折痕为AE，再将△AEB 以BE为折痕向右折叠，AE与DC交于点F，则的值是（）
A ．1 B
．
C
．
D
．
3．如图，将矩形纸片ABCD沿DE折叠，使DC落在DA上，点C的落点记为F，已知AD=10 cm，BE=4cm，则CD等于（）
A ．3cm B
．
4cm C
．
5cm D
．
6cm
4．如图，有一矩形纸片ABCD，且AB：BC=3：2，先将纸片折叠，使AD落在AB边上，折痕为AE；再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE交BC于F．那么DB：BA等于（）
A ．3：2 B
．
2：3 C
．
1：1 D
．
2：1
5．有一张矩形纸片ABCD，AB=，AD=，将纸片折叠，使点D落在AB边上的D′处，折痕为AE，再将△AD′E以D′E为折痕向右折叠，使点A落在点A′处，设A′E与BC交于点F（如图），则A′F的长为（）
A ．B
．
C
．
D
．
6．如图，在矩形纸片ABCD中，AB=10，AD=8，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F，则△CEF的面积为（）
A ．1 B
．
2 C
．
4 D
．
8
7．有一张矩形纸片ABCD，AB=，AD=，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F（如图），则CF的长为（）
A ．1B
．
1 C
．
D
．
8．小明将一张矩形纸片ABCD沿CE折叠，B点恰好落在AD边上，设此点为F，若AB：BC=4：5，则cos∠DFC的值为（）
A ．B
．
C
．
D
．
9．如图，矩形纸片ABCD中，AD=10 cm，将纸片沿DE折叠，使点C落在边AD上（与点F重合），若BE=6 cm，则CD等于（）
A ．4cm B
．
6cm C
．
8cm D
．
10cm
二．填空题（共16小题）
10．如图，一张宽为6cm的矩形纸片，按图示加以折叠，使得一角顶点落在AB边上，则折痕DF=
______cm．
11．如图，将一张矩形纸片ABCD沿EF折叠，使顶点C，D分别落在点C′，D′处，C′E交AF于点G，若∠CEF=70°，则∠GFD′=_________°．
12．如图（a），有一张矩形纸片ABCD，其中AD=6cm，以AD为直径的半圆，正好与对边BC相切，将矩形纸片ABCD沿DE折叠，使点A落在BC上，如图（b）．则半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积为
_________．
13．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点C，D分别落在点C′，D′的位置上，EC′交AD于点G，已知∠EFG=50°，那么∠BEG的度数为_________．
14．如图，P是平行四边形纸片ABCD的BC边上一点，以过点P的直线为折痕折叠纸片，使点C，D落在纸片所在平面上C′，D′处，折痕与AD边交于点M；再以过点P的直线为折痕折叠纸片，使点B恰好落在C′P边上B′处，折痕与AB边交于点N．若∠MPC=75°，则∠NPB′=_________°．
15．把矩形纸片ABCD折叠，使B、C两点恰好落在AD边上的点P处（如图），若∠MPN=90°，PM=6cm，PN=8cm，那么矩形纸片ABCD的宽为_________cm，面积为_________cm2．
16．把图一的矩形纸片ABCD折叠，B、C两点恰好重合落在AD边上的点P处（如图二）．已知
∠MPN=90°，PM=3，PN=4，那么矩形纸片ABCD的面积为_________．
17．把如图所示的矩形纸片ABCD折叠，B、C两点恰好落在AD边上的点P处，已知∠MPN=90°，PM=6cm，PN=8cm，那么矩形纸片ABCD的面积为_________cm2．
18．如图，将长为4cm宽为2cm的矩形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上的中点E处，压平后得到折痕MN，则线段AM的长度为_________cm．
19．如图，有一张矩形纸片ABCD，AB=，AD=，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将
△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F，则CF的长为_________．
20．如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点C﹑D分别落在点C′、D′的位置上，EC′交AD于点G．已知∠EFG=55°，那么∠BEG=_________度．
21．如图，把一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使C点落在C′，且BC′与AD交于E点，若
∠ABE=40°，则∠ADB=_________．
22．如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点C、D分别落在C′、D′的位置上，EC′交AD于点G，已知∠EFG=53°，那么∠BEG=_________°．
23．小明尝试着将矩形纸片ABCD（如图①，AD＞CD）沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F 处，折痕为AE（如图②）；再沿过D点的直线折叠，使得C点落在DA边上的点N处，E点落在AE边上的点M处，折痕为DG（如图③）．如果第二次折叠后，M点正好在∠NDG的平分线上，那么矩形ABCD长与宽的比值为_________．
24．现将矩形纸片ABCD（如图①，AD＞CD ）沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处，折痕为AE（如图②）；再沿过D点的直线折叠，使得C点落在DA边上的点N处，E点落在AE边上的点M 处，折痕为DG（如图③）．如果第二次折叠后，M点正好在∠NDG的平分线上，且，那么AD=
_________．
25．如图，折叠一张矩形纸片，使它的一个顶点落在长边上，已知：β=110°，求α=_________度．
三．解答题（共5小题）
26．课本中，把长与宽之比为的矩形纸片称为标准纸．请思考解决下列问题：
（1）将一张标准纸ABCD（AB＜BC）对开，如图1所示，所得的矩形纸片ABEF是标准纸．请给予证
明．
（2）在一次综合实践课上，小明尝试着将矩形纸片ABCD（AB＜BC）进行如下操作：
第一步：沿过A点的直线折叠，使B点落在AD边上点F处，折痕为AE（如图2甲）；
第二步：沿过D点的直线折叠，使C点落在AD边上点N处，折痕为DG（如图2乙），此时E点恰好落在AE边上的点M处；
第三步：沿直线DM折叠（如图2丙），此时点G恰好与N点重合．
请你探究：矩形纸片ABCD是否是一张标准纸请说明理由．
（3）不难发现：将一张标准纸按如图3一次又一次对开后，所得的矩形纸片都是标准纸．现有一张标准纸ABCD，AB=1，BC=，问第5次对开后所得标准纸的周长是多少探索直接写出第2012次对开后所得标准纸的周长．
…
27．把如图所示的矩形纸片ABCD折叠，B、C两点恰好落在AD边上的点P处，已知∠MPN=90°，PM=6cm，PN=8cm，
求矩形纸片ABCD的面积．
28．如图，把一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使C点落在C′，且BC′与AD交于E点，试判断重叠部分的三角形BED的形状，并证明你的结论．
29．如图，四边形ABCD为平行四边形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上，折痕为AF．且AB=10cm、AD=8cm、DE=6cm．
（1）求证：平行四边形ABCD是矩形；
（2）求BF的长；
（3）求折痕AF长．
30．如图，现将一张矩形ABCD的纸片一角折叠，若能使点D落在AB边上F处，折痕为CE，恰好
∠AEF=60°，延长EF交CB的延长线于点G．
（1）求证：△CEG是等边三角形；
（2）若矩形的一边AD=3，求另一边AB的长．
初中数学组卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．（2010?赤峰）如图，有一矩形纸片ABCD，AB=6，AD=8，将纸片折叠使AB落在AD边上，折痕为AE，再将△ABE以BE为折痕向右折叠，AE与CD交于点F，则的值是（）
A ．1 B
．
C
．
D
．
考点：翻折变换（折叠问题）；矩形的性质；相似三角形的判定与性质．
专题：压轴题．
分析：观察第3个图，易知△ECF∽△ADF，欲求CF、CD的比值，必须先求出CE、AD的长；
由折叠的性质知：AB=BE=6，那么BD=EC=2，即可得到EC、AD的长，由此得解．
解答：解：由题意知：AB=BE=6，BD=AD﹣AB=2，AD=AB﹣BD=4；
∵CE∥AB，
∴△ECF∽△ADF，
得=，
即DF=2CF，所以CF：CD=1：3；
故选C．
点评：此题主要考查了图形的翻折变换、矩形的性质以及相似三角形的判定和性质，难度不大．
2．如图，有一矩形纸片ABCD，AB=6，AD=8，将纸片折叠，使AB落在AD边上，折痕为AE，再将△AEB 以BE为折痕向右折叠，AE与DC交于点F，则的值是（）
A ．1 B
．
C
．
D
．
考点：翻折变换（折叠问题）．
专题：应用题．
分析：观察第3个图，易知
△ECF∽△ADF，欲求
CF、CD的比值，必须先
求出CE、AD的长；由折
叠的性质知：AB=BE=6，
那么BD=EC=2，即可得
到EC、AD的长，由此得
解．
解答：解：由题意知：
AB=BE=6，BD=AD﹣
AB=2，AD=AB﹣BD=4；
∵CE∥AB，
∴△ECF∽△ADF，
得=，
即DF=2CF，所以CF：
CD=1：3；
故选C．
点评：本题主要考查了图形的翻
折变换、矩形的性质以及
相似三角形的判定和性
质，难度适中．
3．（2010?白下区二模）如图，将矩形纸片ABCD沿DE折叠，使DC落在DA上，点C的落点记为F，已知AD=10 cm，BE=4cm，则CD等于（）
A ．3cm B
．
4cm C
．
5cm D
．
6cm
考点：翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．
专题：计算题．
分析：根据折叠的性质和正方形的判定方法，得四边形CDFE是正方形，四边形ABEF是矩形；根据矩形的性质，得AF=BE=4，则DF=6，则CD=DF=6（cm）．
解答：解：根据一组邻边相等的矩形是正方形，得四边形CDFE是正方形，则四边形ABEF是矩形．∴BE=AF=4．
∴DF=AD﹣AF=6．
∴CD=DF=6（cm）．
故选D．
点评：此题考查了折叠问题，要能够根据折叠的方法发现正方形．
4．（2004?广安）如图，有一矩形纸片ABCD，且AB：BC=3：2，先将纸片折叠，使AD落在AB边上，折痕
为AE；再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE交BC于F．那么DB：BA等于（）
A ．3：2 B
．
2：3 C
．
1：1 D
．
2：1
考点：翻折变换（折叠问题）．
专题：压轴题．
分析：由矩形纸片ABCD中，AB：BC=3：2，可设AB=3x，BC=2x，即可得BD=x，继而求得AB 的值，则可求得答案．
解答：解：∵矩形纸片ABCD中，AB：BC=3：2，
∴设AB=3x，BC=2x，
则AD=BC=2x，
∴BD=AB﹣AD=3x﹣2x=x，
如图3：AB=AD﹣BD=2x﹣x=x，
∴DB：BA=x：x=1：1．
故选C．
点评：此题考查了折叠的性质以及矩形的性质．此题难度不大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．
5．有一张矩形纸片ABCD，AB=，AD=，将纸片折叠，使点D落在AB边上的D′处，折痕为AE，再将△AD′E以D′E为折痕向右折叠，使点A落在点A′处，设A′E与BC交于点F（如图），则A′F的长为（）
A ．B
．
C
．
D
．
考点：翻折变换（折叠问题）．
分析：利用折叠的性质，即可求得AD=AD′=A′D′=、BD′=AB﹣AD=﹣，
A′E=AE=AD=2，又由相似三角形的对应边成比例，即可求得EF：A′F=EC：A′B，从而求
得A′F的长度．
解答：解：根据折叠的性质知，AD=AD′=A′D′=、CE=CD﹣DE=﹣，．
∵CE∥A′B，
∴△ECF∽△A′BF，
∴CE：BA′=EF：A′F（相似三角形的对应边成比例）；
又∵CE=CD﹣DE=﹣，BA′=AD﹣CE=2﹣，
∴=；
而A′E=AE=AD=2，
∴A′F=4﹣．
故选D．
点评：本题考查了翻折变换及正方形的性质，利用了折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等及正方形的性质，平行线的性质，有一定的难度．
6．如图，在矩形纸片ABCD中，AB=10，AD=8，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F，则△CEF的面积为（）
A ．1 B
．
2 C
．
4 D
．
8
考点：翻折变换（折叠问题）．
分析：根据折叠易得BD，AB长，利用相似可得BF长，也就求得了CF的长度，△CEF的面积=CF?CE．
解答：解：由折叠的性质知，第二个图中BD=AB﹣AD=2，第三个图中AB=AD﹣BD=6，
∵BC∥DE，
∴BF：DE=AB：AD，
∴BF=4，CF=BC﹣BF=2，
∴△CEF的面积=CF?CE=4．
故选C．
点评：本题利用了：①折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；②矩形的性质，平行线的性
质，三角形的面积公式等知识点．
7．有一张矩形纸片ABCD，AB=，AD=，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F（如图），则CF的长为（）
A ．1B
．
1 C
．
D
．
考点：翻折变换（折叠问题）．
专题：几何图形问题；压轴题；数形结合．
分析：利用折叠的性质，即可求得BD的长与图3中AB的长，又由相似三角形的对应边成比例，即可求得BF的长，则由CF=BC﹣BF即可求得答案．
解答：解：如图2，根据题意得：BD=AB﹣AD=﹣=1，
如图3，AB=AD﹣BD=﹣1=，
∵BC∥DE，
∴△ABF∽△ADE，
∴，
即，
∴BF=，
∴CF=BC﹣BF=﹣=1．
故选B．
点评：此题考查了折叠的性质与相似三角形的判定与性质．题目难度不大，注意数形结合思想的应用．
8．（2012?历下区二模）小明将一张矩形纸片ABCD沿CE折叠，B点恰好落在AD边上，设此点为F，若AB：BC=4：5，则cos∠DFC的值为（）
A ．B
．
C
．
D
．
考点：翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义．
专题：数形结合．
分析：根据折叠的性质可得出CF=CB，在RT△CDF中利用勾股定理可求出DF的长度，继而可求出cos∠DFC的值．
解答：解：由折叠的性质得，CB=CF，
设AB=4x，则BC=5x，
在RT△DFC中，DF==3x，
∴cos∠DFC==．
故选B．
点评：此题考查了翻折变换及勾股定理的知识，解答本题的关键是根据折叠的性质得出CF的长度，在RT△CDF中求出DF的长度，难度一般．
9．如图，矩形纸片ABCD中，AD=10 cm，将纸片沿DE折叠，使点C落在边AD上（与点F重合），若BE=6 cm，则CD等于（）
A ．4cm B
．
6cm C
．
8cm D
．
10cm
考点：轴对称的性质．
分析：根据对称的性质和AD=10，BE=6可得出CD的长度．
解答：解：根据轴对称的性质可得可得出CD=DF=AD﹣AF=AD﹣BE，
∴CD=4cm
故选A．
点评：本题考查轴对称的性质，关键在于根据图形判断出CD=DF．
二．填空题（共16小题）
10．如图，一张宽为6cm的矩形纸片，按图示加以折叠，使得一角顶点落在AB边上，则折痕DF=8cm．考点：翻折变换（折叠问题）．
分析：根据折叠的性质可得∠EDF=30°，从而求出∠ADE=30°，在Rt△ADE中求出DE，在Rt△DEF 中可求出DF．
解答：解：由折叠的性质可得：∠EDF=∠CDF=30°，
则∠ADE=90°﹣30°﹣30°=30°，
在Rt△ADE中，AD=6cm，∠ADE=30°，
∴AE=ADtan∠ADE=2cm，DE=2AE=4cm，
在Rt△DEF中，∠EDF=30°，DE=4cm，
∴DF==8cm．
故答案为：8．
点评：本题考查了翻折变换的知识，注意掌握翻折前后对应边相等，对应角相等．
11．（2012?宿迁）如图，将一张矩形纸片ABCD沿EF折叠，使顶点C，D分别落在点C′，D′处，C′E交AF 于点G，若∠CEF=70°，则∠GFD′=40°．
考点：平行线的性质；翻折变换（折叠问题）．
分析：根据两直线平行，内错角相等求出∠EFG，再根据平角的定义求出∠EFD，然后根据折叠的性质可得∠EFD′=∠EFD，再根据图形，∠GFD′=∠EFD′﹣∠EFG，代入数据计算即可得解．
解答：解：矩形纸片ABCD中，AD∥BC，
∵∠CEF=70°，
∴∠EFG=∠CEF=70°，
∴∠EFD=180°﹣70°=110°，
根据折叠的性质，∠EFD′=∠EFD=110°，
∴∠GFD′=∠EFD′﹣∠EFG，
=110°﹣70°，
=40°．
故答案为：40．
点评：本题考查了平行线的性质，以及折叠变换，根据两直线平行，内错角相等求出∠EFG是解题的关键，另外，根据折叠前后的两个角相等也很重要．
12．（2013?日照）如图（a），有一张矩形纸片ABCD，其中AD=6cm，以AD为直径的半圆，正好与对边BC 相切，将矩形纸片ABCD沿DE折叠，使点A落在BC上，如图（b）．则半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积为（3π﹣）cm2．
考点：切线的性质；矩形的性质；扇形面积的计算；翻折变换（折叠问题）．
专题：压轴题．
分析：如图，露在外面部分的面积可用扇形ODK与△ODK的面积差来求得，在Rt△A'DC中，可根据AD即圆的直径和CD即圆的半径长，求出∠DA'C的度数，进而得出∠ODH和∠DOK的度
数，即可求得△ODK和扇形ODK的面积，由此可求得阴影部分的面积．
解答：解：作OH⊥DK于H，连接OK，
∵以AD为直径的半圆，正好与对边BC相切，
∴AD=2CD，
∴A'D=2CD，
∵∠C=90°，
∴∠DA'C=30°，
∴∠ODH=30°，
∴∠DOH=60°，
∴∠DOK=120°，
∴扇形ODK的面积为=3πcm2，
∵∠ODH=∠OKH=30°，OD=3cm，
∴OH=cm，DH=cm；
∴DK=3cm，
∴△ODK的面积为cm2，
∴半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积是：（3π﹣）cm2．
故答案为：（3π﹣）cm2．
点评：此题考查了折叠问题，解题时要注意找到对应的等量关系；还考查了圆的切线的性质，垂直于过切点的半径；还考查了直角三角形的性质，直角三角形中，如果有一条直角边是斜边的一
半，那么这条直角边所对的角是30度．
13．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点C，D分别落在点C′，D′的位置上，EC′交AD于点G，已知∠EFG=50°，那么∠BEG的度数为80°．
考点：翻折变换（折叠问题）．
专题：探究型．
分析：先根据正方形的性质得出AD∥BC，由∠EFG=50°可求出∠1的度数，再根据图形翻折变换的性质得出∠1=∠2=50°，由平角的性质即可得出∠BEG的度数．
解答：解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∵∠EFG=50°，
∴∠1=∠EFG=50°，
∵四边形EFD′C′是四边形EFDC翻折而成，
∴∠1=∠2=50°，
∴∠BEG=180°﹣∠1﹣∠2=180°﹣50°﹣50°=80°．
故答案为：80°．
点评：本题考查的是图形翻折变换的性质、矩形的性质及平行线的性质，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题
的关键．
14．如图，P是平行四边形纸片ABCD的BC边上一点，以过点P的直线为折痕折叠纸片，使点C，D落在纸
片所在平面上C′，D′处，折痕与AD边交于点M；再以过点P的直线为折痕折叠纸片，使点B恰好落在C′P边上B′处，折痕与AB边交于点N．若∠MPC=75°，则∠NPB′=15°．
考点：翻折变换（折叠问题）．
分析：由折叠的性质可知：∠MNC=∠C′PM=75°，∠C′PN=∠BPN，再利用平角为180°，即可求出∠NPB′的度数．
解答：解：由折叠的性质可知：∠MNC=∠C′PM=75°，∠C′PN=∠BPN，
∴∠NPM=2×75°=150°，
∴∠C′PB=30°，
由折叠的性质可知：∠C′PN=∠BPN，
∴∠NPB′=15°．
故答案为：15．
点评：本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
15．把矩形纸片ABCD折叠，使B、C两点恰好落在AD边上的点P处（如图），若∠MPN=90°，PM=6cm，PN=8cm，那么矩形纸片ABCD的宽为cm，面积为cm2．
考点：翻折变换（折叠问题）．
分析：根据勾股定理，得MN=10；根据直角三角形的面积公式，得AB=；根据折叠，知
BC=6+8+10=24，进而求得矩形的面积．
解答：解：过点P作PE⊥MN，
∵∠MPN=90°，PM=6cm，PN=8cm，
∴MN==10（cm），
∴S△PMN=PM?PN=MN?PE，
∴PMPN=MNPE，
即PE==（cm），
即矩形纸片ABCD的宽为：；
∵BC=PM+MN+PN=6+10+8=24（cm），
∴S矩形ABCD=×24=（cm2）．
故答案为：，．
点评：此题综合运用了勾股定理、折叠的性质和直角三角形的斜边上的高等于两直角边的乘积除以斜边的方法．此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想的应
用．
16．（2005?遂宁）把图一的矩形纸片ABCD折叠，B、C两点恰好重合落在AD边上的点P处（如图二）．已
知∠MPN=90°，PM=3，PN=4，那么矩形纸片ABCD的面积为．
考点：翻折变换（折叠问题）．
专题：压轴题．
分析：利用折叠的性质和勾股定理可知．
解答：解：由勾股定理得，MN=5，
设Rt△PMN的斜边上的高为h，由矩形的宽AB也为h，
根据直角三角形的面积公式得，h=PM?PN÷MN=，
由折叠的性质知，BC=PM+MN+PN=12，
∴矩形的面积=AB?BC=．
点评：本题利用了：①折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；②勾股定理，直角三角形和矩形的
面积公式求解．
17．（2010?徐汇区二模）把如图所示的矩形纸片ABCD折叠，B、C两点恰好落在AD边上的点P处，已知
∠MPN=90°，PM=6cm，PN=8cm，那么矩形纸片ABCD的面积为cm2．
考点：翻折变换（折叠问题）．
分析：根据勾股定理，得MN=10；根据直角三角形的面积公式，得AB=；根据折叠，知
BC=6+8+10=24，进而求得矩形的面积．
解答：解：∵∠MPN=90°，PM=6cm，PN=8cm，
∴MN=10，BC=10+6+8=24．
根据直角三角形的面积公式，得
AB==．
则矩形的面积=×24=（cm2）．
点评：此题综合运用了勾股定理、折叠的性质和直角三角形的斜边上的高等于两直角边的乘积除以斜边的方法．
18．如图，将长为4cm宽为2cm的矩形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上的中点E处，压平后得到折痕MN，则线段AM的长度为cm．
考点：翻折变换（折叠问题）；勾股定理．
专题：计算题；探究型．
分析：连接BM，EM，BE，由折叠的性质可知，四边形ABNM和四边形FENM关于直线
MN对称，由垂直平分线的性质可知BM=EM，再由点E是CD的中点，可求出DE的
长，由勾股定理即可求出AM的长．
解答：解：如图，连接BM，EM，BE，
由折叠的性质可知，四边形ABNM和四边形FENM关于直线MN对称．
∴MN垂直平分BE，
∴BM=EM，
∵点E是CD的中点，DE=1，
∴在Rt△ABM和在Rt△DEM中，AM2+AB2=BM2，DM2+DE2=EM2，
∴AM2+AB2=DM2+DE2．
设AM=x，则DM=4﹣x，
∴x2+22=（4﹣x）2+12．
解得，即cm．
故答案为：．
点评：本题考查的是图形折叠的性质及勾股定理，解答此类问题时，首先清楚折叠和轴对称
能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然
后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三
角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
19．如图，有一张矩形纸片ABCD，AB=，AD=，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将
△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F，则CF的长为1．
考点：翻折变换（折叠问题）．
专题：数形结合．
分析：利用折叠的性质，即可求得BD的长与图3中AB的长，又由相似三角形的对应边成比例，即可求得BF的长，则由CF=BC﹣BF即可求得答案．
解答：解：如图2，根据题意得：BD=AB﹣AD=﹣=1，
如图3，AB=AD﹣BD=﹣1=，
∵BC∥DE，
∴△ABF∽△ADE，
∴=，
即=，
∴BF=，
∴CF=BC﹣BF=﹣=1．
故答案为：1．
点评：本题考查了翻折变换及正方形的性质，利用了折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等及正方形的性质，平行线的性质，有一定的难度．
20．如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点C﹑D分别落在点C′、D′的位置上，EC′交AD于点G．已知∠EFG=55°，那么∠BEG=70度．
考点：翻折变换（折叠问题）．
专题：计算题．
分析：由矩形的性质可知AD∥BC，可得∠CEF=∠EFG=55°，由折叠的性质可知∠GEF=∠CEF，再由邻补角的性质求∠BEG．
解答：解：∵AD∥BC，
∴∠CEF=∠EFG=55°，
由折叠的性质，得∠GEF=∠CEF=55°，
∴∠BEG=180°﹣∠GEF﹣∠CEF=70°．
故答案为：70．
点评：本题考查了翻折变换（折叠问题）．关键是明确折叠前后，对应角相等，两直线平行，内错角相等的性质．
21．如图，把一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使C点落在C′，且BC′与AD交于E点，若
∠ABE=40°，则∠ADB=25°．
考点：翻折变换（折叠问题）．
分析：首先根据矩形的性质可得∠ABC=90°，AD∥BC，进而可以计算出∠EBC，再根据折叠可得∠EBD=∠CBD=∠EBC，然后再根据平行线的性质可以计算出∠ADB的度数．
解答：解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AD∥BC，
∵∠ABE=40°，
∴∠EBC=90°﹣40°=50°，
根据折叠可得∠EBD=∠CBD，
∴∠CBD=25°，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC=25°，
故答案为：25°．
点评：此题主要考查了图形的折叠，关键是掌握折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
22．如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点C、D分别落在C′、D′的位置上，EC′交AD于点G，已知∠EFG=53°，那么∠BEG=64°．
考点：翻折变换（折叠问题）．
专题：几何图形问题．
分析：由矩形的性质可知AD∥BC，可得∠CEF=∠EFG=53°，由折叠的性质可知∠GEF=∠CEF，再由
邻补角的性质求∠BEG．
解答：解：∵AD∥BC，
∴∠CEF=∠EFG=53°，
由折叠的性质，得∠GEF=∠CEF=53°，
∴∠BEG=180°﹣∠GEF﹣∠CEF=64°．
故答案为：64．
点评：本题考查了翻折变换（折叠问题）．关键是明确折叠前后，对应角相等，以及两直线平行，内错角相等的性质．
23．（2010?盐城）小明尝试着将矩形纸片ABCD（如图①，AD＞CD）沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处，折痕为AE（如图②）；再沿过D点的直线折叠，使得C点落在DA边上的点N处，E点落在AE边上的点M处，折痕为DG（如图③）．如果第二次折叠后，M点正好在∠NDG的平分线上，那么矩形ABCD长与宽的比值为：1．
考点：翻折变换（折叠问题）．
专题：压轴题．
分析：连DE，由翻折的性质知，四边形ABEF为正方形，∠EAD=45°，而M点正好在∠NDG的平分线上，则DE平分∠GDC，易证RT△DGE≌Rt△DCE，得到DC=DG，而△AGD为等腰直
角三角形，得到AD=DG=CD．
解答：解：连DE，如图，
∵沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处，
∴四边形ABEF为正方形，
∴∠EAD=45°，
由第二次折叠知，M点正好在∠NDG的平分线上，
∴DE平分∠GDC，
∴RT△DGE≌Rt△DCE，
∴DC=DG，
又∵△AGD为等腰直角三角形，
∴AD=DG=CD，
∴矩形ABCD长与宽的比值为：1．
故答案为：：1．
点评：本题考查了翻折的性质：翻折前后的两个图形全等．也考查了正方形、角的平分线的性质以及等腰直角三角形的性质．
24．（2011?桐乡市一模）现将矩形纸片ABCD（如图①，AD＞CD ）沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处，折痕为AE（如图②）；再沿过D点的直线折叠，使得C点落在DA边上的点N处，E点落在AE边上的点M处，折痕为DG（如图③）．如果第二次折叠后，M点正好在∠NDG的平分线上，且，那么AD=2．
考点：翻折变换（折叠问题）．
专题：计算题．
分析：连DE，由矩形纸片ABCD（如图①，AD＞CD ）沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处，折痕为AE（如图②），根据折叠的性质得到∠EAF=∠EAB=45°，又沿
过D点的直线折叠，使得C点落在DA边上的点N处，E点落在AE边上的点M处，折痕
为DG（如图③），再次根据折叠的性质得到∠NDG=∠CDG=45°，∠MDG=∠EDG，
DN=DC=，
则△AGD为等腰直角三角形，而M点正好在∠NDG的平分线上，得到
∴∠NDM=∠GDM，易证Rt△NMD≌Rt△GMD，得到DG=DN=，根据AD=DG即
可求出AD．
解答：解：∵矩形纸片ABCD（如图①，AD＞CD ）沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处，折痕为AE（如图②），
∴∠EAF=∠EAB=45°，
又∵沿过D点的直线折叠，使得C点落在DA边上的点N处，E点落在AE边上的点M
处，折痕为DG（如图③）．连DE，
∴∠NDG=∠CDG=45°，∠MDG=∠EDG，DN=DC=，
∴△AGD为等腰直角三角形，即∠MGD=90°，
又∵第二次折叠后，M点正好在∠NDG的平分线上，
∴∠NDM=∠GDM，
∴Rt△NMD≌Rt△GMD，
∴DG=DN=，
∴AD=DG=2．
故答案为2．
点评：本题考查了折叠的性质：折叠后两重合的图形全等．也考查了三角形全等的判定与性质以及等腰直角三角形三边的关系．
25．（2013?南昌模拟）如图，折叠一张矩形纸片，使它的一个顶点落在长边上，已知：β=110°，求α=20度．
考点：平行线的性质；翻折变换（折叠问题）．
专题：计算题．
分析：由折叠及矩形的性质得到∠AFE为直角，利用平角的定义得到一对角互余，再由AB与DC平行，利用两直线平行同旁内角互补得到一对角互补，求出∠AFC的度数，即可确定出α的度
数．
解答：解：由折叠的性质得：∠AFE=90°，
∴α+∠AFC=90°，
∵AB∥CD，
∴∠β+∠AFC=180°，
∵∠β=110°，
∴∠AFC=70°，
则α=20°．
故答案为：20
点评：此题考查了平行线的性质，以及翻折变换，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．
三．解答题（共5小题）
26．（2012?衢州）课本中，把长与宽之比为的矩形纸片称为标准纸．请思考解决下列问题：
（1）将一张标准纸ABCD（AB＜BC）对开，如图1所示，所得的矩形纸片ABEF是标准纸．请给予证
明．
（2）在一次综合实践课上，小明尝试着将矩形纸片ABCD（AB＜BC）进行如下操作：
第一步：沿过A点的直线折叠，使B点落在AD边上点F处，折痕为AE（如图2甲）；
第二步：沿过D点的直线折叠，使C点落在AD边上点N处，折痕为DG（如图2乙），此时E点恰好落在AE边上的点M处；
第三步：沿直线DM折叠（如图2丙），此时点G恰好与N点重合．
请你探究：矩形纸片ABCD是否是一张标准纸请说明理由．
（3）不难发现：将一张标准纸按如图3一次又一次对开后，所得的矩形纸片都是标准纸．现有一张标准纸ABCD，AB=1，BC=，问第5次对开后所得标准纸的周长是多少探索直接写出第2012次对开后所得标准纸的周长．
…
考点：翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；矩形的性质；图形的剪拼．
专题：几何综合题；压轴题．
分析：
（1）根据==2?==，得出矩形纸片ABEF也是标准纸；
（2）利用已知得出△ADG是等腰直角三角形，得出==，即可得出答案；
（3）分别求出每一次对折后的周长，进而得出变化规律求出即可．
解答：解：（1）是标准纸，
理由如下：
∵矩形纸片ABCD是标准纸，
∴=，
由对开的含义知：AF=BC，
∴==2?==，
∴矩形纸片ABEF也是标准纸．
（2）是标准纸，理由如下：
设AB=CD=a，由图形折叠可知：DN=CD=DG=a，
DG⊥EM，
由图形折叠可知：△ABE≌△AFE，
∴∠DAE=∠BAD=45°，
∴△ADG是等腰直角三角形，
∴在Rt△ADG中，AD==a，
∴==，
∴矩形纸片ABCD是一张标准纸；
（3）对开次数：
第一次，周长为：2（1+）=2+，
第二次，周长为：2（+）=1+，
第三次，周长为：2（+）=1+，
第四次，周长为：2（+）=，
第五次，周长为：2（+）=，
第六次，周长为：2（+）=，
…
∴第5次对开后所得标准纸的周长是：，
第2012次对开后所得标准纸的周长为：．
点评：此题主要考查了翻折变换性质以及规律性问题应用，根据已知得出对开后所得标准纸的周长变化规律是解题关键．
27．把如图所示的矩形纸片ABCD折叠，B、C两点恰好落在AD边上的点P处，已知∠MPN=90°，PM=6cm，PN=8cm，
求矩形纸片ABCD的面积．
考点：翻折变换（折叠问题）．
分析：先在Rt△MPN中，利用勾股定理，求得MN=10，再根据折叠的性质，得出BC=6+8+10=24，
然后由直角三角形的面积公式，得到AB=，进而求得矩形的面积．
解答：解：∵∠MPN=90°，PM=6cm，PN=8cm，
∴MN=10，BC=10+6+8=24．
根据直角三角形的面积公式，得
AB==，
∴矩形的面积=×24=（cm2）．
故矩形纸片ABCD的面积为．
点评：此题综合运用了勾股定理、折叠的性质和直角三角形的斜边上的高等于两直角边的乘积除以斜边的方法，本题难度适中．
28．如图，把一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使C点落在C′，且BC′与AD交于E点，试判断重叠部分的三角形BED的形状，并证明你的结论．
考点：翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的判定．
专题：探究型．
分析：先根据平行线的性质得到∠ADB=∠CBD，再由图形折叠的性质可得到∠ADB=∠EBD，根据在同一三角形中等角对等边的性质即可得到答案．
解答：解：△BED是等腰三角形．
理由如下：∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD．
又由BC′是沿BD折叠而成，
故∠EBD=∠CBD．
∴∠ADB=∠EBD．
∴△BED是等腰三角形．
点评：本题考查的是图形折叠的性质及平行线的性质，比较简单．
29．如图，四边形ABCD为平行四边形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上，折痕为AF．且AB=10cm、AD=8cm、DE=6cm．
（1）求证：平行四边形ABCD是矩形；
（2）求BF的长；
（3）求折痕AF长．
考点：矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）．
专题：证明题．
分析：（1）根据翻折变换的对称性可知AE=AB，在△ADE中，利用勾股定理逆定理证明三角形为直角三角形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可；
（2）设BF为x，分别表示出EF、EC、FC，然后在△EFC中利用勾股定理列式进行计算即
可；
（3）在Rt△ABF中，利用勾股定理求解即可．
解答：（1）证明：∵把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上，
∴AE=AB=10，AE2=102=100，
又∵AD2+DE2=82+62=100，
∴AD2+DE2=AE2，
∴△ADE是直角三角形，且∠D=90°，
又∵四边形ABCD为平行四边形，
∴平行四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）；
（2）解：设BF=x，则EF=BF=x，EC=CD﹣DE=10﹣6=4cm，FC=BC﹣BF=8﹣x，
在Rt△EFC中，EC2+FC2=EF2，
即42+（8﹣x）2=x2，
解得x=5，
故BF=5cm；
（3）解：在Rt△ABF中，由勾股定理得，AB2+BF2=AF2，
∵AB=10cm，BF=5cm，
∴AF==5cm．
点评：本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定，勾股定理，以及翻折变换前后的两个图形全等的性质，是综合题，但难度不大．
30．如图，现将一张矩形ABCD的纸片一角折叠，若能使点D落在AB边上F处，折痕为CE，恰好
∠AEF=60°，延长EF交CB的延长线于点G．
（1）求证：△CEG是等边三角形；
（2）若矩形的一边AD=3，求另一边AB的长．
考点：翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．
专题：几何综合题．
分析：（1）由折叠可知∠DEC=∠FEC，已知∠AEF=60°，可知∠DEC=∠FEC=60°，由AD∥GC，可知∠G=∠AEF=60°，故有∠G=∠FEC=60°，所以△CEG是等边三角形；
（2）在Rt△AEF中，∠AEF=60°，设AE=x，则EF=2x，由折叠的性质得ED=EF=2x，根据
AE+ED=AD，列方程求x，在Rt△CDE中，DE=2，∠DEC=60°，可得CE=2DE=4，利用勾
股定理可求CD，即AB的长．
解答：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC即AD∥GC，
∴∠G=∠AEF=60°，
由折叠可知：∠CED=∠CEG，而∠GED=180°﹣∠AEF=120°
∴∠GEC=∠CED=∠GED=60°即∠G=∠GEC=60°，
∴△CEG是等边三角形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形∴∠A=∠D=90°，AB=CD，
由（1）可知∠AEF=∠CED=60°，∴∠AFE=∠DCE=30°，
∴EF=2AE，CE=2DE．设AE=x，则EF=2x，ED=EF=2x，
∴AD=x+2x=3，CE=4x，解得，x=1，DE=2，CE=4，
在Rt△CDE中，CD=
∴AB=2．
点评：本题考查了折叠的性质及其运用．关键是由折叠求相等的线段，相等的角，把问题集中在直角三角形中使用勾股定理．
图形折叠问题的探究
图形折叠问题的探究 已知矩形纸片ABCD，AB＝2，AD＝1将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合. （1）如果折痕FG分别与AD，AB交于点F，G（如图（1），）AF＝23.求DE的长. （2）如果折痕FG分别与CD，AB交于点F，G（如图（2），），△AED的外接圆与直线BC相切，求折痕FG 的长. （2012?南宁）如图，已知 矩形纸片ABCD，AD=2， AB=4．将纸片折叠，使顶点 A与边CD上的点E重合， 折痕FG分别与AB，CD交于 点G，F，AE与FG交于点O． （1）如图1，求证：A，G，E，F四点围成的四边形是菱形； （2）如图2，当△AED的外接圆与BC相切于点N时，求证：点N是线段BC的中点； （3）如图2，在（2）的条件下，求折痕FG的长． 本题通过矩形纸片折叠，利用轴对称图形的性质，在丰富的图形关系中，考查学生获取信息和利用所得信息认识新事物的能力，本题对图形折叠前后的不变量的把握、直线与圆位置关系的准确理解、方程思想的
运用意识和策略等具有可再抽象性． 变式：已知点P是矩形ABCD边AB上的任意一点（与点A、B不重合） （1）如图①，现将△PBC沿PC翻折得到△PEC；再在AD上取一点F，将△PAF沿PF翻折得到△PGF，并使得射线PE、PG重合，试问FG与CE的位置关系如何，请说明理由；（2）在（1）中，如图②，连接FC，取FC的中点H，连接GH、EH，请你探索线段GH 和线段EH的大小关系，并说明你的理由； （3）如图③，分别在AD、BC上取点F、C’，使得∠APF=∠BPC’，与（1）中的操作相类似，即将△PAF沿PF翻折得到△PFG，并将△CPB′沿CP′翻折得到△CPE′，连接CF′，取CF′的中点H，连接GH、EH，试问（2）中的结论还成立吗？请说明理由． 例4.（1）观察与发现：小明将三角形纸片ABC（AB >AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图②）．小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．（2）实践与运用：将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图③）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE 上的点D′处，折痕为EG（如图④）；再展平纸片（如图⑤）．求图⑤中∠α的大小． 如图,矩形纸片ABCD中,AD=9,AB=3,将其折叠,使点D与点B重合,折痕为EF,则EF的长为 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿着直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD的长为cm．
八年级数学(上册)专题突破平行线性质的综合应用折叠问题试题
八年级数学上册专题突破平行线性质的综 合应用折叠问题试题 平行线性质的综合应用：折叠问题 一、平行线的性质 方法归纳：平行关系数量关系（由“线”推“角”） 由“线”的位置关系（平行），定“角”的数量关系（相等或互补） 如（1）如图两平行线a、b被直线l所截，且∠1＝60°，则∠2的度数为（） A.30° B.45°c.60°D.120° 解：∵a∥b， ∴∠3＝∠1＝60°（两直线平行，同位角相等）， ∴∠2＝∠3＝60°。 故选c。 （2）如图，直线c与a、b均相交，当a∥b时，则（） A.∠1＞∠2 B.∠1＜∠2c.∠1＝∠2D.∠1＋∠2＝90°
解：∵a∥b， ∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）， 故选：c。 二、折叠问题（翻折变换） 1.折叠问题（翻折变换）实质上就是轴对称变换。 2.折叠是一种对称变换，它属于轴对称。 （1）对称轴是对应点的连线的垂直平分线； （2）折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化；（3）对应边和对应角相等。 3.对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，在画图时，画出折叠前后的图形，这样便于找到图形之间的数量关系和位置关系。 例题1如图所示。已知AB∥cD，∠B＝100°，EF平分∠BEc，EG⊥EF。求∠BEG和∠DEG。 解析：根据平行线的性质及角平分线的性质可求出∠BEc、∠BED的度数，再根据EG⊥EF可得出要求的两角的度数。 答案：解：由题意得：∠BEc＝80°，∠BED＝100°，∠BEF＝∠BEc＝40°， ∴∠BEG＝90°－∠BEF＝50°，
∠DEG＝∠BED－50°＝50°。 ∴∠BEG和∠DEG都为50°。 点拨：解答此类题目要熟悉平行线的性质，注意掌握两直线平行内错角相等，同旁内角互补。 例题2如图所示，将宽为4厘米的纸条折叠，折痕为AB，如果∠AcB＝30°，折叠后重叠部分的面积为多少平方厘米？ 解析：根据翻折不变性，得到∠α＝∠cAB，从而求出∠ABc＝∠BAc，再得出△AcB为等腰三角形，求出AD和cB 的长，进而求出△ABc的面积。 答案：解：延长GA到F，根据翻折不变性，∠α＝∠cAB，∵AG∥Bc，∴∠GAc＝∠AcB＝30°，∴∠α＝∠cAB ＝（180°－30°）÷2＝75°， ∴∠ABc＝180°－30°－75°＝75°，∴Ac＝Bc。作AD⊥Bc，垂足为D，∵纸条的宽＝4c， ∴AD＝4c，在Rt△AcD中，∠AcD＝30°，∴Ac＝2AD ＝2×4＝8c，∴Ac＝Bc＝8c， ∴△ABc的面积为（4×8）÷2＝16c2。故重叠部分的面积为16c2。 点拨：此题考查了翻折不变性和平行线的性质和等腰三角
初中数学中有关图形的折叠问题
专题复习图形的折叠问题 折叠(翻折)问题常常出现在三角形、四边形、圆等平面几何问题中，其实质是轴对称性质的应用．解题的关键利用轴对称的性质找到折叠前后不变量与变量，运用三角形的全等、相似及方程等知识建立有关线段、角之间的联系． 类型1 三角形中的折叠问题 1.如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC 纸片，点D 、E 分别是边AB 、AC 上，将△ABC 沿着DE 折叠压平，A 与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=【 】 A ．150° B ．210° C ．105° D ．75° 2.已知，如图,Rt △ABC 中,∠C=90o,沿过点B 的一条直线BE 折叠△ABC,使C 恰好落在AB 边的中点D 处，则∠A=________. 3．(2014·德阳)如图，△ABC 中，∠A ＝60°，将△ABC 沿DE 翻折后，点A 落在BC 边上的点A′处．如果∠A′EC＝70°，那么∠A′DE 的度数为________． 4.如图，在Rt△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，将△ABC 折叠，使点B 恰好落在边AC 上，与点B′重合，AE 为折痕，则EB′＝________． 5.如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD 沿直线AE 折叠(点E 在边DC 上)，折叠后顶点D 恰好落在边OC 上的点F 处，若点D 的坐标为(10，8)，则点E 的坐标为________． A D B E C 6.如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝50°．∠BAC 的平分线与AB 的中垂线交于点O ，点C 沿EF 折叠后与点O 重合，则∠CEF 的度数是 ． 7.如图，将正方形ABCD 沿BE 对折，使点A 落在对角线BD 上的A′处，连接A′C ，则∠B ． 8.如图，一次函数的图象与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，将△AOB 沿直线AB 翻折，得 △ACB.若C(3/2，√3/2)，则该一次函数的解析式为________． 9.如图，D 是等边△ABC 边AB 上的一点，且AD∶DB＝1∶2，现将△ABC 折叠，使点C 与D 重合，折痕为EF ，点E ，F 分别在AC 和BC 上，则CE∶CF＝（ ） A.3/4 B.4/5 C.5/6 D.6/7 10.如图，将△ABC 纸片的一角沿DE 向下翻折，使点A 落在BC 边上的A ′点处，且DE ∥BC ，下列结论：①∠AED ＝∠C ；②A 1D/DB=A 1E/EC ；③BC=2DE ；④ BD A E A C AD A E S S S ?'?''=+四形边。其中正确结论的个数是 个。 11.如图，在Rt △ABC 中，∠C=900，∠B=300，BC=3，点D 是BC 边上一动点（不与点B 、C 重合），过点D 作DE ⊥BC 交AB 边于点E ，将∠B 沿直线DE 翻折，点B 落在射线BC 上的点F 处，当△AEF 为直角三角形时，BD 的长为 .
翻折图形题一(含答案)
翻折图形题一 一．填空题（共9小题） 1．（2003?昆明）已知：如图，把一张矩形纸片ABCD沿BD对折，使C点落在E处，BE和AD相交于点O，写出一组相等的线段_____BE=BC____（不包括AB=CD和AD=BC）． 2．（2006?荆门）如图，有一张面积为1的正方形纸片ABCD，M、N分别是AD、BC边的中点，将C点折叠至MN上，落在P点的位置，折痕为BQ，连接PQ，则PQ=____0.5_____． 3．有一张矩形纸片ABCD，AB=5，AD=3，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE 为折痕向右折叠，AE和BC交于点F，则CF的长为____2____． 4．（2004?荆州）如图一张长方形纸片ABCD，其长AD为a，宽AB为b（a＞b），在BC边上选取一点M，将△ABM 沿AM翻折后B至B′的位置，若B′为长方形纸片ABCD的对称中心，则的值为____1_____． 5．如图，在锐角三角形ABC中，AD⊥BC，AD=12，AC=13，BC=14．则AB=____15_____． 6．如图所示，把一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，已知AB=6、BC=8，则BF=___25/4______．
7．如图，取一张长方形纸片，它的长AB=10cm，宽BC=cm，然后以虚线CE（E点在 AD上）为折痕，使D点落在AB边上，则AE=____5根号3/3_____cm，∠DCE=___30°__． 8．（2008?莆田）如图，四边形ABCD是一张矩形纸片，AD=2AB，若沿过点D的折痕DE将A角翻折，使点A落在BC上的A1处，则∠EA1B=_____60____度． 9．一张长方形的纸片如图示折了一角，测得AD=30cm，BE=20cm，∠BEG=60°，则折痕EF的长为_20_． 二．选择题（共9小题） 10．如图，明明折叠一张长方形纸片，翻折AD，使点D落在BC边的点F处，量得AB=8cm，BC=10cm，则EC=（A） A．3 B．4 C．5 D．6 11．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6 cm，BC=8cm，D是BC上一点，AD=DB，DE⊥AB，垂足为E，CD等于（C）cm．
图形的折叠问题试卷
翻折组卷 一．选择题（共9小题） 1．如图，有一矩形纸片ABCD，AB=6，AD=8，将纸片折叠使AB 落在AD边上，折痕为AE，再将△ABE 以BE为折痕向右折叠，AE与CD交于点F，则的值是（） A ． 1 B ． C ． D ． 2．如图，有一矩形纸片ABCD，AB=6，AD=8，将纸片折叠，使AB 落在AD边上，折痕为AE ，再将△AEB以BE为折痕向右折叠，AE与DC交于点F，则的值是（） A ． 1 B ． C ． D ． 3．如图，将矩形纸片ABCD沿DE折叠，使DC落在DA上，点C的落点记为F，已知AD=10 cm，BE=4cm，则CD等于（） A ． 3cm B ． 4cm C ． 5cm D ． 6cm 4．如图，有一矩形纸片ABCD，且AB：BC=3：2，先将纸片折叠，使AD落在AB边上，折痕为AE；再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE交BC于F．那么DB：BA等于（）
A ．3：2 B ． 2：3 C ． 1：1 D ． 2：1 5．有一张矩形纸片ABCD，AB=，AD=，将纸片折叠，使点D落在AB边上的D′处，折痕为AE，再将△AD′E以D′E为折痕向右折叠，使点A落在点A′处，设A′E与 BC交于点F（如图），则A′F的长为（） A ．B ． C ． D ． 6．如图，在矩形纸片ABCD中，AB=10，AD=8，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F，则△CEF 的面积为（） A ．1 B ． 2 C ． 4 D ． 8 7．有一张矩形纸片ABCD，AB=2.5，AD=1.5，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折 痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F（如图），则CF 的长为 （） A 1 B 1 C D
图形的折叠问题的习题带答案
折叠问题中的角度运算 1、三角形纸片ABC中,∠A=55°,∠B=75°,将纸片的一角折叠,使点C落在△ABC内(如图),则∠1+∠2的度数为_____度。 分析：利用三角形的内角和和四边形的内角和即可求得． 解：∠A+∠B+∠C=180°，∠C=180°-∠A-∠B=180°-55°-75°=50°①， ∠C+∠CED+∠CDE=180°，∠CED+∠CDE=180°-∠C=180°-50°=130°②， ∠B+∠A+∠CED+∠CDE+∠1+∠2=360°③， 把①②分别代入③得75°+55°+130°+∠1+∠2=360°，得∠1+∠2=100° 2、如图，△ABC中，∠ACB=90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处。若∠A=22°，则∠BDC等于______。 分析：△ABC中，∠ACB=90°，∠A=22°，∴∠B=90°－∠A=68°。 由折叠的性质可得：∠CED=∠B=68°，∠BDC=∠EDC， ∴∠ADE=∠CED﹣∠A=46°。
3、如图，在平面内，把矩形ABCD沿EF对折，若∠1=50°，则∠AEF等于______。 分析：根据折叠前后角相等可知． 解：∵∠1=50°，∴∠AEF=180°-∠BFE=180°-(180°-50°)÷2=115°． 点评：本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等． 4、如图，把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，若∠1=56°，则∠EGF应为______. 分析：本题根据平行线的性质和翻折的性质，求解即可． 解答：解：因为折叠，且∠1=56°，所以∠C′FB=180°-2×56°=68°， ∵D′E//C′F，∴∠EGF=∠C′FB=68°． 5、如图，D、E分别为△ABC的边AB、AC上的点，DE∥BC，将△ABC沿线段DE折叠，使点A落在BC上的点F处，若∠B=55°，则∠BDF的度数为______。 解：∵D、E为△ABC两边AB、AC的中点，即DE是三角形的中位线．
九年级数学图形折叠问题学案
图形折叠问题 专题导读 图形折叠问题，是一个非常好的题型，历年来深受中考数学出题者的青睐．近年来很多城市的中考都在积极探索有关图形折叠题目的思考与研究．在所有折叠图形的题目中，最受欢迎的还是矩形的折叠，因为这种图形的性质特别好，便于折叠，折叠时也产生了很多很好的性质，所以也便于出题人寻找出题的点．因此矩形折叠的题目最多，考的也最多．还有对正方形的折叠、菱形、平行四边形、三角形等，甚至现在连圆形也开始折叠．产生了很多不错的题目． 图形折叠问题只所以这么受追捧，是因为这些图形在折叠过程中，会产生很不错的性质，值得研究，出题人利用研究这些性质也可以进而考查学生的一些对知识的掌握程度，动手能力，采用运动变化的观点分析和解决问题的能力．鉴于此，我们有理由相信今后的中考数学试卷中还会产生很多有关图形折叠的问题． 中考要求 山东省中考考试说明要求掌握轴对称图形的性质． 学会在运动变化中寻求不变的图形性质． 培养学生运用运动变化的观点分析和解决问题． 专题集训 考向1矩形的折叠 典例1、(2019 山东省泰安市)如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝12，E为AD中点，F为AB上一点，将△AEF沿EF折叠后，点A恰好落到CF上的点G处，则折痕EF的长是． 对应训练 1. 如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，如果将该矩形沿对角线BD折叠，那么图中阴影部分的面积是________． 2. (2019 山东省枣庄市)用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1所示），然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE．图中，∠BAC＝度．
考向2正方形的折叠 典例2、(2019 山东省青岛市)如图，在正方形纸片ABCD中，E是CD的中点，将正方形纸片折叠，点B落在线段AE 上的点G处，折痕为AF．若AD＝4cm，则CF的长为cm． 对应训练 3. (2019 天津市)如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E是边CD上一点，连接AE、折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF，点F在AD上，若DE＝5，则GE的长为． 考向3三角形的折叠 典例3、(2019 山东省淄博市)如图，在以A为直角顶点的等腰直角三角形纸片ABC中，将B角折起，使点B落在AC边上的点D（不与点A，C重合）处，折痕是EF． 如图1，当 1 2 CD AC =时， 1 3 tan 4 α=；如图2，当 1 3 CD AC =时， 2 5 tan 12 α=； 如图3，当 1 4 CD AC =时， 3 7 tan 24 α=； ?? 依此类推，当 1 ( 1 CD AC n n = + 为正整数）时，tan n α=． 考向4平行四边形的折叠
题型四_几何图形的折叠与动点问题
题型四几何图形的折叠与动点问题 试题演练 1. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝1，点P在线段AB上运动，设AP＝x，现将纸片折 叠，使点D与点P重合，得折痕EF(点E、F为折痕与矩形边的交点)，再将纸片还原，则x的取值围是__________. 2. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，点D是边BC的中点，点E是边AB 上的任意一点(点E不与点B重合)，沿DE翻折△DBE使点B落在点F处，连接AF，则线段AF长的最小值是________． 3. (’15模拟)如图，在边长为4的正方形ABCD中，M为BC的中点，E、F分别为AB、CD 边上的动点．在点E、F运动的过程中始终保持△EMF为直角三角形，其中∠EMF＝90°. 则直角三角形的斜边EF的取值围是________． 4. 如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，点P为射线AB上一个动点，过点P作 PE⊥AB交射线AD于点E，将△AEP沿直线PE折叠，点A的对应点为F，连接FD、FC，若△FDC为直角三角形时，AP的长为________．
5. 如图，正方形ABCD的边长为2，∠DAC的平分线AE交DC于点E，若点P、Q分别是AD 和AE上的动点，则DQ＋PQ的最小值为________． 6. 如图，在矩形ABCD中，AD＝3，AB＝4，点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，当 点D的对应点D′落在矩形的对角线上时，DE的长为________． 7. 如图，矩形纸片ABCD中，AB＝8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD上，对应点为点E， 若BG＝10，则折痕FG的长为________． 8. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝10，BC＝8，AD是∠BAC的平分线，点E是斜 边AC上的一点，且AE＝AB，沿△DEC的一个角平分线折叠，使点C落在DE所在直线上，则折痕的长度为________． 9. (’15模拟)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点E是AB边上一动点， 过点E作DE⊥AB交AC边于点D，将∠A沿直线DE翻折，点A落在线段AB上的点F处，当△BCF为等腰三角形时，AE的长为________．
折叠问题解题探究
折叠问题解题探究 问题的提出：折叠即产生对称，是初中数学重要知识之一。也是近几年中考的命题热点，是高频 问题。而学生往往对折叠中隐含的不变量“不识庐山真面目”而忽视隐含的已知，致使解题陷入绝境，导致失分；或者问题复杂化，舍近取远，浪费时间。 问题1：如图，矩形ABCD 沿AE 折叠，使D 落在边BC 上的F 点处，你能得到什么结论？ （学生口答） 此图中，若AB=8cm ，AD=10cm ，求EC 的长。 师：解决此问题依据是轴对称中确定不变量，采用方程思 想，运用勾股定理、相似基本策略解决问题。 比较简单的折叠问题，不变量及隐含条件还比较直观， 易寻找判断。 问题2：如图，将矩形纸片ABCD （图①）按如下步骤操作：（1）以过点A 的直线为折痕折叠纸 片，使点B 恰好落在AD 边上，折痕与BC 边交于点E （如图②）；（2）以过点E 的直线为折痕纸片，使点A 落在BC 边上，折痕EF 交AD 边于点F （如图③）；（3）将纸片展平，求AFE 的度数. 师：不变量的确定，寻求隐含条件可以降低问题难度，找到解决问题的突破口。 解决问题的依据：轴对称 解决问题的策略：寻求不变量、勾股定理、相似、中垂线、平行线性质 例： 在一张长方形ABCD 纸片中， AB ＝20cm ． 现将这张纸片按如下列图示方式折叠，分 别求折痕的长． (1) 如图1, 折痕为AE; (2) 如图2, P ，Q 分别为AB ，CD 的中点，折痕为AE; (3) 如图3, 若AD ＝25cm, 折痕为EF ． (分析时一题多解，不同角度不同方法解题 ) 图① 图② 图③
练习： 1． 如图①，将一组对边平行的纸条沿EF 折叠，点A 、B 分别落在A ’、B ’处，线段FB ’与AD 交于点M ． (1)试判断△MEF 的形状，并证明你的结论； (2)如图②，将纸条的另一部分CFMD 沿MN 折叠，点C 、D 分别落在C ’、D ’处，且使MD ’经过点F ，试判断四边形MNFE 的形状，并证明你的结论； (3)当∠BFE ＝_________度时，四边形MNFE 是菱形． 2.如图，矩形纸片ABCD 中，8cm AB =，把矩形纸片沿直线AC 折叠，点B 落在点E 处，AE 交 DC 于点F ，若25 cm 4AF = ，则AD 的长为（ ） A ．4cm B ．5cm C ．6cm D ．7cm 3.把边长为4的正方形ABCD 的顶点C 折到AB 的中点M ，折痕EF 的长为 . 课后问题再探索：折折叠叠中找巧门 1.将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角形．将纸片展 开，得到的图形是（ ） 2.如图，在三角形ABC 中，AB ＞AC ，D 、E 分别是AB 、AC 上的 点，△ADE 沿线段DE 翻折，使点A 落在边BC 上，记为A '．若四边形 ADA E '是菱形，则下列说法正确的是 （ ） A ． DE 是△ABC 的中位线 B ． AA '是B C 边上的中线 C ． AA '是BC 边上的高 D ． AA '是△ABC 的角平分线 A ． B ． C ． D ． A B C E F D 第2题图 A (第1题图②) B C E F D A ’ B ’ A B C E F D A ’ B ’ D ’ C ’ M M N (第1题图① ) F D C A M A B D E A '
专题复习四、图形的折叠问题
专题二、图形的折叠问题 折叠(翻折)问题常常出现在三角形、四边形、圆等平面几何问题中，其实质是轴对称性质的应用．解题的关键利用轴对称的性质找到折叠前后不变量与变量，运用三角形的全等、相似及方程等知识建立有关线段、角之间的联系． 类型1 三角形中的折叠问题 (2015·宜宾)如图，一次函数的图象与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，将△AOB 沿直 线AB 翻折，得△ACB.若C(3 2，32 )，则该一次函数的解析式为________． 【思路点拨】 利用翻折变换的性质结合锐角三角函数关系得出CO ，AO 的 长，进而得出A 、B 两点的坐标，再利用待定系数法求出直线AB 的解析式． 折叠(翻折)意味着轴对称，会生成相等的线段和角，这样便于将条件集中．如果题目中有直角，则通常将条件集中于较小的直角三角形，利用勾股定理求解． 1．(2015·滨州)如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD 沿直线AE 折叠(点E 在边DC 上)，折叠后顶点D 恰好落在边OC 上的点F 处，若点D 的坐标为(10，8)，则点E 的坐标为________． A.34 B.45 C.56 D.67 2．(2014·德阳)如图，△ABC 中，∠A ＝60°，将△ABC 沿DE 翻折后，点A 落在BC 边上的点A ′处．如果∠A ′EC ＝70°，那么∠A ′DE 的度数为________． 3．(2014·宜宾)如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，将△ABC 折叠，使点B 恰好落在边AC 上，与点B ′重合，AE 为折痕，则EB ′＝________． 4．(2015·绵阳)如图，D 是等边△ABC 边AB 上的一点，且AD ∶DB ＝1∶2，现将△ABC 折叠，使点C 与D 重合，折痕为EF ，点E ，F 分别在AC 和BC 上，则CE ∶CF ＝（ ）
常见几何图形的折叠问题
常见几何图形的折叠问题 图形的折叠是图形变换的一种，折叠型问题的立意新颖，变化巧妙，是近几年中考中的热点问题，主要考察学生的探究能力，空间想象能力，抽象思维能力及逻辑推理能力。体现的是教材中的轴对称问题，在解决这类问题中，运用的知识点比较多，综合性强，如轴对称性、全等思想、相似思想、勾股定理、代换思想等，是培养学生识图用图能力，灵活运用数学知识解决问题能力的一条非常有效的途径。 折叠操作就是将图形的一部分沿着一条直线翻折1800，使它与另一部分图形在这条直线的同旁与其重叠或不重叠，其中“折”是过程，“叠”是结果. 折叠问题的实质是图形的轴对称变换，折叠更突出了轴对称问题的应用. 所以在解决有关的折叠问题时可以充分运用轴对称的思想和轴对称的性质。 折纸中所蕴含着的丰富数学知识备受中考命题者的青睐，设计了许多别具创意的折叠问题，现采撷其中较有代表性的试题，予以例析． 一、三角形中的折叠 例1 如图1，直角三角形纸片ABC ，∠C=90o，AC=6，BC=8，折叠△ABC 的一角，使点B 与A 点重合，展开得折痕DE ，求BD 的长． 功能分析：此题主要运用勾股定理解决折叠问题，往往融方程与几何图形于一体，具有较强的综合性。 解法研究: 由折叠可知，△ADE ≌△BDE ．所以 AD=BD ．于是，在Rt △ACD 中，由勾股定理建立方程，求出AD 的长即可． 设BD=x ，则AD=x ，CD=8－x ．在Rt △ACD 中，由勾股定理，得AC 2+CD 2= AD 2，所以62+(8－x)2= x 2，解得x= 425．所以BD 的长为4 25． 二、特殊四边形中的折叠 1. 矩形中的折叠 例2 如图2，将矩形ABCD 沿着直线BD 折叠，使点C 落在1C 处，B 1C 交AD 于E ，AD =8,AB =4,求△BED 的面积. 功能分析：由折叠后的图形与原图形全等，从而可知△BCD ≌△B 1C D , 则易得BE =DE ..在Rt △ABE 中，用勾股定理先算出BE 的长，再在Rt △BEF 中， 用勾股定理求出EF 的长，即可求出△BDE 的面积. 折叠问题常结合全等三角形和等腰三角形来解决． 矩形的折叠常与直角三角形有关，选择一个直角三角形，运用勾股定理来解是常用的方法． 解法研究：在矩形ABCD 中，AD ∥BC , ∴∠2=∠3. 当矩形ABCD 沿着直线BD 折叠后，△B 1C D 与△BCD 关于直线BD 对称， ∴∠1=∠2, ∴∠3=∠1, ∴BE =ED . 图2
专题06 动点折叠类问题中图形存在性问题(解析版)
专题06 动点折叠类问题中图形存在性问题 一、基础知识点综述 动点型问题是指题设中的图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线、直线、抛物线、双曲线、弧线等上运动的一类非常具有开放性的题目. 而从其中延伸出的折叠问题，更能体现其解题核心——动中求静，灵活运用相关数学知识进行解答，有时需要借助或构造一些数学模型来解答. 实行新课标以来，各省（市）的中考数学试卷都会有此类题目，这些题目往往出现在选择、填空题的压轴部分，题型繁多，题意新颖，具有创新力. 其主要考查的是学生的分析问题及解决问题的能力. 要求学生具备：运动观点；方程思想；数形结合思想；分类讨论思想；转化思想等等. 存在性问题 主要有等腰三角形存在性、直角三角形存在性、特殊落点存在性等问题，常用的数学解题模型有“一线三直角”等模型，作图方法是借助圆规化动为静找落点. 解题思路：分析题目→依据落点定折痕→建立模型→设出未知数列方程求解→得到结论. 解题核心知识点： 折叠性质； ①折叠前后图形大小、形状不变；②折痕是折叠前后对应点连线的垂直平分线； 勾股定理； 相似图形的性质、三角函数等. ★等腰三角形存在性问题 解题思路：依据圆规等先确定落点，再确定折痕； ★直角三角形存在性问题 解题思路：依据不同直角顶点位置分类讨论，作出图形求解. 二、精品例题解析 题型一：折叠问题中等腰三角形存在性问题 例1.（2019·金水区校级模拟）如图，∠AOB=90°，点P为∠AOB内部一点，作射线OP，点M在射线OB 上，且OM= ，点M与点M’关于射线OP对称，且直线MM’与射线OA交于点N，当△ONM’为等腰三角形时，ON的长为.
图形的折叠问题试卷
图形的折叠问题试卷Newly compiled on November 23, 2020
翻折组卷 一．选择题（共9小题） 1．如图，有一矩形纸片ABCD，AB=6，AD=8，将纸片折叠使AB落在AD边上，折痕为AE，再将△ABE以BE为折痕向右折叠，AE与CD交于点F，则的值是（） A ．1 B ． C ． D ． 2．如图，有一矩形纸片ABCD，AB=6，AD=8，将纸片折叠，使AB落在AD边上，折痕为AE，再将△AEB以BE为折痕向右折叠，AE与DC交于点F，则的值是（） A ．1 B ． C ． D ． 3．如图，将矩形纸片ABCD沿DE折叠，使DC落在DA上，点C的落点记为F，已知AD=10 cm，BE=4cm，则CD等于（） A ．3cm B ． 4cm C ． 5cm D ． 6cm 4．如图，有一矩形纸片ABCD，且AB：BC=3：2，先将纸片折叠，使AD落在AB 边上，折痕为AE；再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE交BC于F．那么DB：BA等于（） A ．3：2 B ． 2：3 C ． 1：1 D ． 2：1 5．有一张矩形纸片ABCD，AB=，AD=，将纸片折叠，使点D落在AB边上的D′处，折痕为AE，再将△AD′E以D′E为折痕向右折叠，使点A落在点A′
处，设A′E与BC交于点F（如图），则A′F的长为（） A ．B ． C ． D ． 6．如图，在矩形纸片ABCD中，AB=10，AD=8，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F，则△CEF 的面积为（） A ．1 B ． 2 C ． 4 D ． 8 7．有一张矩形纸片ABCD，AB=，AD=，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F（如图），则CF的长为（） A ．1B ． 1 C ． D ． 8．小明将一张矩形纸片ABCD沿CE折叠，B点恰好落在AD边上，设此点为F，若AB：BC=4：5，则cos∠DFC的值为（） A ．B ． C ． D ． 9．如图，矩形纸片ABCD中，AD=10 cm，将纸片沿DE折叠，使点C落在边AD上（与点F重合），若BE=6 cm，则CD等于（） A ．4cm B ． 6cm C ． 8cm D ． 10cm 二．填空题（共16小题） 10．如图，一张宽为6cm的矩形纸片，按图示加以折叠，使得一角顶点落在AB 边上，则折痕DF= ______cm．
中考数学试题-中考图形折叠、拼接问题分析 最新
中考中的图形折叠、拼接问题分析 2018年中考题中很多地方出现了图形折叠、拼接问题，它考查了学生的动手操作与空间想象能力，培养了学生的创新精神和实践能力，已成为中考的一个热点之一。下面我们一起研究一下。 一、平面展开图与折叠 例1、（贵阳市2018）年图1是正方体的一个平面展开图，如果折叠成原来的正方体时与边a重合的是（） （A）d（B）e （C）f（D）i 答案：A 此题考察了学生的空间想象能力。 二、对折 例2、（浙江省2018年）现有一张长和宽之比为2：1的长方形纸片，将它折两次（第一次折后也可打开铺平再折第二次），使得折痕将纸片分为面积相等且不重叠的四个部分（称为一次操作），如图甲（虚线表示折痕）．除图甲外，请你再给出三种不同的 ．．．操作，分别将折痕画在图①至图③中（规定：一个操作得到的四个图形，和另一个操作得到的四个图形，如果能够“配对”得到四组全等的图形，那么就认为是相同的操作，如图乙和图甲示相同的操作）． （甲）（乙） ①②③ 解析: 三、按要求拼接 此题考察了学生动手操作与创新的能力，学生必须转换角度，调整思路，灵活处理变化了的新问题。 三、拼接 例3、（海淀区2018年）下列矩形中，按虚线剪开后，既能拼出平行四边形和梯形，又能拼出三角形的是图形. ________ （请填图形下面的代号）。 答案：②此题若学生把矩形纸按实际要求操作一下，答案很容易得到，但只凭想象答案很有可能出现多选情况。 四、沿某一条直线对折出的复杂题型 例4、（南京市2OO6年）已知矩形纸片ABCD，AB=2，AD=1，将纸片折叠，使顶点A与边CD上的
点E 重合.(1)如果折痕FG 分别与AD 、AB 交与点F 、G(如图1)，2 3 AF = ，求DE 的长； (2)如果折痕FG 分别与CD 、AB 交与点F 、G(如图2)，△AED 的外接圆与直线BC 相切，求折痕FG 的长． 解：⑴在矩形ABCD 中，AB=2,AD=1AF= 23 , ∠D=900 .根据轴对称的性质得：EF=AF=23，∵ DF=AD-AF= 1 3 ，在RT △DEF 中 DE==。 ⑵设AE 与FG 的交点为O ，根据轴对称的性质，得AO=EO,取AD 的中点M ，连接MO,则MO= 12DE, MO ∥DC ，设DE=x ，则MO=1 2 x ，在矩形ABCD 中，∠C=∠D=90?,∴AE 为AED 的外接圆的直径，O 为圆心，延长MO 交BC 于点N ，则ON ∥CD ，∴∠CNM=1800 -∠C=90?,∴ON ⊥BC ，四边形MNCD 是矩形，∴MN=CD=AB=2，∴ON=MN-MO=2-1 2 x ，∵AED 的外接圆与BC 相切，∴ON 是AED 的外接圆的半径。∴OE=ON=2-1 2 x ，AE=2ON=4-x ，在在RT △AED 中，AD 2 +DE 2 =AE 2 ，∴12 +x 2 =(4-x)2 ，解这个方程，得x=158，∴DE=158 , OE=2- 12x=17 16 ,根据轴对称的性质，得AE ⊥FG ，∴∠FOE=∠D=90?,又∵∠FEO=∠AED ，∴△FEO ∽△AED, ∴ FO OE AD DE =,∴OE FO AD DE =?,可得FO=17 30 ,又∵AB ∥CD ，∴∠EFO=∠AGO ，∠FEO=∠GAO ，∴△FEO ≌△GAO, ∴FO=GO, ∴FG=2FO= 1715,折痕的长是17 15 .
图形的折叠问题试卷
图形的折叠问题试卷 Revised as of 23 November 2020
翻折组卷 一．选择题（共9小题） 1．如图，有一矩形纸片ABCD，AB=6，AD=8，将纸片折叠使AB落在AD边上，折痕为AE，再将△ABE以BE为折痕向右折叠，AE与CD交于点F，则的值是（） A ．1 B ． C ． D ． 2．如图，有一矩形纸片ABCD，AB=6，AD=8，将纸片折叠，使AB落在AD边上，折痕为AE，再将△AEB 以BE为折痕向右折叠，AE与DC交于点F，则的值是（） A ．1 B ． C ． D ． 3．如图，将矩形纸片ABCD沿DE折叠，使DC落在DA上，点C的落点记为F，已知AD=10 cm，BE=4cm，则CD等于（） A ．3cm B ． 4cm C ． 5cm D ． 6cm 4．如图，有一矩形纸片ABCD，且AB：BC=3：2，先将纸片折叠，使AD落在AB边上，折痕为AE；再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE交BC于F．那么DB：BA等于（） A ．3：2 B ． 2：3 C ． 1：1 D ． 2：1 5．有一张矩形纸片ABCD，AB=，AD=，将纸片折叠，使点D落在AB边上的D′处，折痕为AE，再将△AD′E以D′E为折痕向右折叠，使点A落在点A′处，设A′E与BC交于点F（如图），则A′F的长为（） A ．B ． C ． D ． 6．如图，在矩形纸片ABCD中，AB=10，AD=8，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F，则△CEF的面积为（） A ．1 B ． 2 C ． 4 D ． 8 7．有一张矩形纸片ABCD，AB=，AD=，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F（如图），则CF的长为（） A ．1B ． 1 C ． D ． 8．小明将一张矩形纸片ABCD沿CE折叠，B点恰好落在AD边上，设此点为F，若AB：BC=4：5，则cos∠DFC的值为（） A ．B ． C ． D ． 9．如图，矩形纸片ABCD中，AD=10 cm，将纸片沿DE折叠，使点C落在边AD上（与点F重合），若BE=6 cm，则CD等于（） A ．4cm B ． 6cm C ． 8cm D ． 10cm 二．填空题（共16小题） 10．如图，一张宽为6cm的矩形纸片，按图示加以折叠，使得一角顶点落在AB边上，则折痕DF= ______cm． 11．如图，将一张矩形纸片ABCD沿EF折叠，使顶点C，D分别落在点C′，D′处，C′E交AF于点G，若∠CEF=70°，则∠GFD′=_________°．
备战中考--第39讲几何图形折叠问题--(附解析答案)
备战2019中考初中数学导练学案50讲 第39讲几何图形折叠问题 【疑难点拨】 1.折叠(翻折)问题常常出现在三角形、四边形、圆等平面几何问题中，其实质是轴对称性质的应用．解题的关键利用轴对称的性质找到折叠前后不变量与变量，运用三角形的全等、相似及方程等知识建立有关线段、角之间的联系． 2.折叠(翻折)意味着轴对称，会生成相等的线段和角，这样便于将条件集中．如果题目中有直角，则通常将条件集中于较小的直角三角形，利用勾股定理求解． 3.矩形中的一次折叠通常利用折叠性质和平行线性质求角的度数，或者利用折叠性质以及勾股定理求线段长度．矩形中的两次或多次折叠通常出现“一线三直角”的模型(如图)，从而构造相似三角形，利用相似三角形求边或者角的度数． 4.凡是在几何图形中出现“折叠”这个字眼时，第一反应即存在一组全等图形，其次找出与要求几何量相关的条件量．1.常见的轴对称图形：等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圆.2.折叠的性质：折叠的实质是轴对称，折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等． 【基础篇】 一、选择题： 1. .（2018?四川凉州?3分）如图将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使C落在C′处，BC′交AD于点E，则下到结论不一定成立的是（） A．AD=BC′B．∠EBD=∠EDB C．△ABE∽△CBD D．sin∠ABE=
2. （2017山东烟台）如图1，将一圆形纸片向右、向上两次对折后得到如图2所示的扇形AOB．已知OA=6，取OA的中点C，过点C作CD⊥OA交于点D，点F是上一点．若将扇形BOD沿OD翻折，点B恰好与点F重合，用剪刀沿着线段BD，DF，FA依次剪下，则剪下的纸片（形状同阴影图形）面积之和为（）． A．36π-108 B．108-32π C．2πD．π 3. （2017浙江衢州）如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6，将△ABC沿AC折叠，使点B 落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于（） A．B．C．D． 4.（2018·山东青岛·3分）如图，三角形纸片ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点E为AB中点．沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，折痕现交于点F．已知EF=，则BC的长是（） A．B．32C．3 D．33
专题复习(五)_图形的折叠问题
专题复习(五) 图形的折叠问题 折叠(翻折)问题常常出现在三角形、四边形、圆等平面几何问题中，其实质是轴对称性质的应用．解题的关键利用轴对称的性质找到折叠前后不变量与变量，运用三角形的全等、相似及方程等知识建立有关线段、角之间的联系． 类型1 三角形中的折叠问题 (2015·)如图，一次函数的图象与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，将△AOB 沿直线AB 翻折，得△ACB.若C(32，3 2 )，则该一次函数的解析式为________． 【思路点拨】 利用翻折变换的性质结合锐角三角函数关系得出CO ，AO 的长，进而得出A 、B 两点的坐标，再利用待定系数法求出直线AB 的解析式． 【解答】 连接OC ，过点C 作CD⊥x 轴于点D ， ∵将△AOB 沿直线AB 翻折，得△ACB，C(32，3 2)， ∴AO ＝AC ，OD ＝32，DC ＝3 2，BO ＝BC ， 则tan ∠COD ＝CD OD ＝3 3 ， 故∠COD＝30°，∠BOC ＝60°， ∴△BOC 是等边三角形，且∠CAD＝60°. 则sin60°＝CD AC ，则AC ＝DC sin60°＝1， 故A(1，0)，
sin30°＝CD CO ＝32CO ＝1 2 . 则CO ＝3，故BO ＝3，B 点坐标为(0，3)， 设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋3，把A(1，0)代入解析式可得k ＝－ 3. ∴直线AB 的解析式为y ＝－3x ＋ 3. 折叠(翻折)意味着轴对称，会生成相等的线段和角，这样便于将条件集中．如果题目中有直角，则通常将条件集中于较小的直角三角形，利用勾股定理求解． 1．(2015·)如图，D 是等边△ABC 边AB 上的一点，且AD∶DB＝1∶2，现将△ABC 折叠，使点C 与D 重合，折痕为EF ，点E ，F 分别在AC 和BC 上，则CE∶CF＝（ ）
2017春季中考数学第五讲图形的平移、旋转、折叠问题(解析版)
2017 春季中考数学第五讲 图形的平移、旋转、折叠问题 【基础回顾】 考点聚焦 1.了解轴对称图形和图形成轴对称的概念,知道线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形、圆等常见的轴对称图形；了解平移、旋转的概念、掌握平移变换、旋转变换的基 本性质 ,能按要求作出简单平面图形平移后的图形. 2.掌握中心对称的概念,会判断一些基本图形的中心对称性,理解中心对称与旋转变换的区别. 3.探索图形之间的变换关系(轴对称、平移、旋转及其组合),能灵活运用轴对称、平移和旋转 的组合进行图案设计. 考点一轴对称图形、轴对称变换 例 1、如图 , 将三角形纸片ABC沿 DE折叠, 使点 A 落在 BC边上的点F 处 , 且 DE∥BC,下列结论 : ①△BDF是等腰三角形; ②DE=1 BC;③四边形ADFE 2 是菱形 ; ④∠BDF+∠FEC=2∠A. 其中一定正确的个数是( ). A.1 B.2 C.3 D.4 【思路点拨】如图, 分别过点D，E 作 BC的垂线DG，EH；连接AF, 由于折叠是轴对称变换知AF 与 DE垂直, 因为 DE∥BC，所以AF 与 BC垂直, 且 AM=MF可, 以证明点D，E 分别是AB,AC的中点 , 即 DE是 △ABC的中位线 , 所以② DE=1 BC是正确的；由于折叠是轴对称变换 2 知 AD=DF,AE=EF,所以 DA=DB=DF所, 以①△ BDF是等腰三角形是正确 的；因 DG∥AF∥EH,所以∠ BDG=∠DAM又, 因为DG是等腰三角形BDF 的高, 所以∠ BDF=2∠DAM同, 理∠CEF = 2 ∠EAM, 所以④∠BDF+∠FEC=2∠A 是正确的；如图显然四边形ADFE不是菱形 , ③是错误的． 【参考答案】C 【方法归纳】轴对称图形的定义：把一个图形沿着一条直线对折后, 直线两旁的部分能够互相重合 , 那么这个图形就叫做轴对称图形, 这条直线叫做对称轴. 轴对称图形的性质：(1) 对应点所连的线段被对称轴垂直平分；(2) 对应线段相等、对应角相等, 对应的图形是全等图形. 【误区提醒】折纸问题是近年来中考中的热点问题, 本题巧妙的运用平行线性质、折叠全等 不变性质得到三角形中位线, 如果能顺利地判断出这一点, 其他问题就将迎刃而解. 在解题时不要受给出的图形影响, 如△ABC像是等腰三角形, 就认为△ ABC 就是等腰三角形, 那样的话四边形ADFE就是菱形了 , 造成判断上的错误. 此外, 轴对称图形是指一个图形, 而轴对称变换是指两个图形之间的关系. 考点二中心对称图形、中心对称 例 2、下列图形中,是中心对称图形但不是轴对称图形的是( ).