高等数学大一期末试卷(B)及答案
中国传媒大学
2009-2010学年第 一 学期期末考试试卷（B 卷）
及参考解答与评分标准
考试科目： 高等数学A （上） 考试班级： 2009级工科各班 考试方式： 闭卷
命题教师：
一. 填空题（将正确答案填在横线上。本大题共3小题，每小题3分，总计
9分 ）
1、0)(0='x f 是可导函数)(x f 在0x 点处取得极值的 必要 条件。
2、设
)20()
1tan(cos ln π
<
，确定函数
)
(x y y =，则
=dx
dy
)1(sec cot 2t t e t e +-。 3、=++?5
22x x dx
C x ++21
arctan 21。
二. 单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括
号中。本大题共3小题，每小题3分，总计 9分）
1、，则，若设0)(lim 1
3
4)(2=++-+=∞→x f b ax x x x f x )
44()()44()()44()()44).((，．； ，．； ，．； ，）可表示为，的值，用数组（，----D C B A b a b a
答( B )
2、下列结论正确的是（ ）
)(A 初等函数必存在原函数；
)(B 每个不定积分都可以表示为初等函数； )(C 初等函数的原函数必定是初等函数； )(D C B A ,,都不对。
答( D )
3、若?-=x e x
e dt t
f dx
d 0)(，则=)(x f
x
x e D e C x B x A 2222)( )()( )(-----
答( A )
三. 解答下列各题（本大题共2小题，每小题5分，总计10分 ） 1、求极限0
lim →x x
x
x 3sin arcsin -。
解
：
lim
→x =
-x
x
x 3sin arcsin 0
lim
→x 3
arcsin x x
x -
（3分）
lim
→=x
31112
2
=--
x x 0
lim
→x ()
()x
x x
6212
12
3
2---6
1-
=。
（5分） 2、2tan ln x y =,求dx
dy 。 解
:
2sec 212
tan 1
2x
x y ??=
' （3分）
x
x x x csc sin 1
2
cos
2sin 21==?=
。
（5分）
四. 解答下列各题 （本大题共3小题，每小题8分，总计24分 ）
1、设 .0,1,01
)(???
??=≠-=x x x
e x
f x
， 求)0(f '。 解：0
)
0()(lim )0(0--='→x f x f f x
（3分）
=--=--→→lim lim []
x x x x e x x e x x 0021
110
0 （5分）
2
1
21lim 0=
-=→x e x x 。
（8分）
2、证明方程b x a x +=sin 至少有一个不超过b a +的正根（其中0,0>>b a ）。
证：设x b x a x f -+=sin )(，则)(x f 在],0[b a +上连续。 （2分）
又0
)0(>=b f ，
]1)[sin()(≤-+=+b a a b a f 。
（4分）
若0
)(=+b a f ，则结论成立。
（6分）
若
)(<+b a f ，则由零点定理
0)(),0(=+∈?ξξf b a 使得。
总之，方程b x a x +=sin 至少有一个不超过b a +的正根。 （8分）
3、证明不等式：当2
0π
<
证：令x
x x x f 2tan sin )(-+=，
（2分）
2sec cos )(2
-+='x x x f ，
)1sec 2(sin sec tan 2sin )(3
2-=+-=''x x x x x x f 。
显然，当
2
0π
<
)(>''x f 。 （5分） )(x f '∴在)2,0(π 内单调增加。又0)0(='f ， )(x f '∴在)2 ,0(π 内大于零。 )(x f ∴在)2,0(π 内单调增加。而)0(f =0， )(x f ∴在 )2 ,0(π 内恒大于零。 （7分） 即当2 0π < 即. 2tan sin x x x >+。 （8分） 五. 解答下列各题 （本大题共3小题，每小题8分，总计24分 ） 1、试问a 为何值时，函数x x a x f 2sin 31sin )(+=在3 π =x 处取得极值？它是 极大值还是极小值？并求出此极值。 解：x x a x f 2cos 32 cos )(+='，令0)(='x f ，则 02cos 3 2cos =+x x a ， 即x x a cos /2cos 3 2 -=。 3 π = x 时)(x f 取得极值。 3 2 3cos /32cos 32=-=∴ππa ， （4分） x x x x a x f 2sin 3 4 sin 322sin 34sin )(--=--=''， 033 2sin 343sin 32)3(<-=--=''πππf ， （6分） )(x f ∴在3 π = x 处取得极大值，其值为 2 3 。 （8分） 2、求不定积分x x x x d cos 12sin sin 2?++。 解：???+-++-=++x x d x x d dx x x x 222 2cos 1cos cos 1cos cos 12sin sin （5分） ()C x x ++--=2 cos 1ln )arctan(cos 。 （8分） 3、计算积分?--++212 12 8 ])1(ln 1 sin [ dx x x x 。 解： ? --++212 128])1(ln 1 sin [dx x x x dx x ?--+=212 1)1ln(0 （4分） dx x dx x ??---=-210 21)1ln()1ln( （6分） 2 1ln 23ln 23+= 。 （8分） 六. 解答下列各题 （本大题共4小题，每小题6分，总计24分 ） 1、求不定积分dx x x x ?+--6 55 22。 解 ： ??+-+-=+--65) 65(6552222x x x x d dx x x x （3分） C x x ++-=)65ln(2。 （6分） 2、计算积分．?1 0arctan xdx 解：． ?1 arctan xdx ?+-=1 02 1 1arctan dx x x x x （4分） =-+??????π 4121201 ln()x = -π 41 2 2ln 。 （6分） 3、求曲线 dt t y x ?-=2 cos π （2 2 π π ≤ ≤- x ）的长度。 解： '=y x cos , ?? --+='+=22 2 2 cos 112 π πππdx x dx y S （3分） 42sin 242cos 222 2 ===?π π x dx x 。 （6分） 4、求微分方程x e x y y 525-+='+''的一个特解。 解 ： 特 征 方 程 52=+r r 的 根 为 r r 1205 ==-,。 （2分） 故设特解为y x Ax B Cxe p x =++-()5， （4分） 代入方程得y x x xe p x =---1 25 52525()。 （6分）