福建省2021届高三数学高职招考第二次(12月)月考试题
福建省华安县第一中学2020-2021届高三数学高职招考第二次(12月)
月考试题
考试时间120分钟,满分150分
参考公式:
样本数据12,,...,n x x x 的标准差 锥体体积公式
s =
222
121()()()n x x x x x x n ??-+-++-?? (13)
V Sh = 其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积,h 为高 柱体体积公式
球的表面积、体积公式 V Sh =
2
4S R =π,343
V R =
π
其中S 为底面面积,h 为高
其中R 为球的半径
第Ⅰ卷(选择题 共70分)
一.单项选择题(本大题共14小题,每小题5分,共70分.在每小题给出的四个备选答案中,选出一个正确答案,并将答题卡上对应题目的答案标号涂黑) 1.已知全集U={1,2},集合M={1},则?U M 等于( ) A .? B .{1} C .{2} D .{1,2}
2.函数
的定义域是( )
A .[﹣2,2]
B .(﹣∞,﹣2]∪[2,+∞)
C .(﹣2,2)
D .(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞)
3.若a ,b ,c 均为实数,且a <b <0,则下列不等式成立的是( ) A .a+c <b+c B .ac <bc C .a 2<b 2 D .
4.等差数列{a n }中,a 1=﹣5,a 3是4与49的等比中项,且a 3<0,则a 5等于( ) A .﹣18 B .﹣23 C .﹣24 D .﹣32 5.命题甲:2x =-是命题乙:2
4x =的( )
A .充分不必要条件
B .必要不充分条件 C.充要条件 D .既不充分也不必要条件
6.直线
70ax y ++=与 430x ay +-=平行,则a 为( )
A .2
B .2或2- C.2- D .12
-
7.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件,为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取( )件.
A .24
B .18 C.12 D .6 8.AB
C ?的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .已知5a =,2c =,2cos 3
A =
,则b 的值为( )
A .2
B .3 C.2 D .3 9.函数()2
22y sin x cos x =-的最小正周期是( ) A .2π B .π C.
2π D .4
π 10.文艺演出中要求语言类节目不能相邻,现有4个歌舞类节目和2个语言类节目,若从中任意选出4个排成节目单,则能排出不同节目单的数量最多是( ) A .72 B .120 C .144 D .288 11.如果
,
,那么
等于( )
A .﹣18
B .﹣6
C .0
D .18
12.若 x , y 满足3
2x x y y x ≤??
+≥??≤?
,则x 2y +的最大值为( )
A .1
B .3 C.5 D .9
13.若20件产品中有16件一级品,4件二级品.从中任取2件,这2件中至少有1件二级品的概率是( ) A .
41190 B .3295 C.719 D .395
14.在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线中心在原点,焦点在 y 轴上,一条渐近线方程为 x 20y -=,则它的离心率为( )
A 5.
5
2
C.5.2
第Ⅱ卷(非选择题 共80分)
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡的相应位置上) 15.若圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥的侧面积等于 . 16.在△ABC 中,a=2,b=3,∠B=2∠A ,则cosA= . 17.已知F 1,F 2是椭圆+
=1的两个焦点,过F 1的直线交椭圆于P 、Q 两点,则△PQF 2的
周长等于 .
18.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为 .
三、解答题(本大题共6小题,共60分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 19.(8分)已知{}n a 为等差数列,且36a =-,60a =. (1)求{}n a 的通项公式;
(2)若等比数列{}n b 满足18b =-,2123b a a a =++,求数列{}n b 的前n 项和公式.
20.(8分)在ABC ?中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知3b =,6AB AC ?=-,
3ABC S ?=,求A 和a .
21.(10分)已知双曲线的中心在坐标原点,焦点 1F ,2F 在坐标轴上,离心率为2,且过点(2,2)-.
(1) 求双曲线的标准方程;
(2) 若点P 在第一象限且是渐近线上的点,当12PF PF ⊥时,求点P 的坐标.
22.(10分)已知函数
.
(1)求该函数的最小正周期; (2)求该函数的单调递减区间;
23.(12分)如图,在四棱锥P ABCD -中,PC ⊥平面ABCD ,//AB DC ,DC AC ⊥. (1)求证:DC ⊥平面PAC ; (2)求证:平面PAB ⊥平面PAC ;
(3)设点E 为AB 的中点,点F 为PB 中点,求证//PA 平面CEF .
24.(12分)某职业学校的王亮同学到一家贸易公司实习,恰逢该公司要通过海运出口一批货物,王亮同学随公司负责人到保险公司洽谈货物运输期间的投保事宜,保险公司提供了缴纳保险费的两种方案:
①一次性缴纳50万元,可享受9折优惠;
②按照航行天数交纳:第一天缴纳0.5元,从第二天起每天交纳的金额都是其前一天的2倍,共需交纳20天.
请通过计算,帮助王亮同学判断那种方案交纳的保费较低.
华安一中2020-2021届高职单招第二次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(每小题5分,共70分)
1-5.C .D .A .B . A 6-10. B B D C D 11-14. A D A A 二、填空题:(每小题5分,共20分) 15. 3π .16.
.17. 24 .18. 92
π .
三、解答题(6题,共60分)
19.(8分)解:(1) 由等差数列通项公式得:11
2650a d a d +=-??+=?
解得:10a =-,2d =, -------------------2分 所以1(1)n a a n d =+-102(1)n =-+-212n =-
即数列{}n a 的通项公式:212n a n =- ---------------------------4分
(2)因为108624b =---=-,212438
b q b -=
==-,所以 1(1)
4(13)
1n n n a q S q -==--
∴ 数列{}n b 的前n 项和公式:4(13)n
n S =-.-----------------------8分
20.(8分)解:因为6AB AC ?=-,所以cos 6b c A ??=-,即cos 2c A ?=-;-----2分
又因为1
sin 32ABC S b c A ?=
??=,所以sin 2c A ?=, 所以sin tan 1cos c A
A c A ?==-?,所以135A =?;--------------------------4分
由1sin 32ABC S b c A ?=??=,所以1
3sin13532
c ????=,得22c =
因为222
2cos a b c b c A =+-??2
982622(29=+-??=, 所以29a = -----------8分 21.(10分)(12,所以是等轴双曲线,
∴设双曲线方程为22
x y k -=, 将点(2,2)-代入方程得:2k =, 所以2
2
2x y -=,
双曲线方程为:22
122
x y -=. ----------------------5分 (2)因为等轴双曲线的渐近线方程为y x =±,
点P 在第一象限且是渐近线上的点,∴设点P 坐标为(,)m m , ∵等轴双曲线2a b ==
,所以2c =,
不妨设1(2,0)F -2(2,0)F ),
所以1(2,)PF m m =---,2(2,)PF m m =--, 又因为12PF PF ⊥,所以120PF PF ?=, 所以(2)(2)()()0m m m m ---+--=, 解得2m =±(舍去负值),
所以点P 的坐标为(2,2). ------------------------------10分
22.(10分) 解:(1)∵
=3sin (2x ﹣
),----------4分
∴函数的最小正周期T==π. ----------------------------------5分 (2)∵令2kπ+
≤2x ﹣
≤2kπ+
,k∈Z,解得:kπ+
≤x ≤kπ+
,k∈Z,
∴函数的单调递减区间为:[kπ+,kπ+],k∈Z, -------------10分
23.(12分)证明:(1)PC ⊥面ABCD ,
DC ?面ABCD ,
所以PC DC ⊥,DC AC ⊥且PC AC C ?=,
所以DC ⊥面ABCD . ---------------4分
(2)∵//AB DC ,DC AC ⊥,∴AB AC ⊥. 又∵PC ⊥面ABCD ,AB ?面ABCD ,∴AB PC ⊥, 又PC AC C ?=, ∴AB ⊥PAC , 又AB ?面PAB ,
∴面PAC ⊥面PAB . ----------------------8分 (3)在PAB ?中,E 为AB 中点,F 为PB 中点, ∴//EF PA ,
又 ∵EF ?面CEF ,PA ?面CEF ,
∴ //PA 面CEF . --------------12分
24.(12分)解:若按方案①缴费,需缴费50×0.9=45万元;-----------------6分 若按方案②缴费,则每天的缴费额组成等比数列,其中a 1=,q=2,n=20,
∴共需缴费S 20===219
﹣=524288﹣≈52.4万元,
∴方案①缴纳的保费较低. 12分