集合与简易逻辑试卷及详细答案

集合与简易逻辑

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求)

1．集合M＝{x|lg x>0}，N＝{x|x2≤4}，则M∩N＝( )

A．(1,2) B．[1,2)

C．(1,2] D．[1,2]

2.已知全集U＝Z，集合A＝{x|x2＝x}，B＝{－1,0,1,2}，则图中的阴影部分所表示的集合等于( )

A．{－1,2} B．{－1,0}

C．{0,1} D．{1,2}

3．已知?Z A＝{x∈Z|x＜6}，?Z B＝{x∈Z|x≤2}，则A与B的关系是( ) A．A?B B．A?B

C．A＝B D．?Z A?Z B

4．已知集合A为数集，则“A∩{0,1}＝{0}”是“A＝{0}”的( )

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

5．下列选项中，p是q的必要不充分条件的是( )

A．p：a＋c＞b＋d，q：a＞b且c＞d

B．p：a＞1，b＞1，q：f(x)＝a x－b(a＞0，且a≠1)的图像不过第二象限C．p：x＝1，q：x2＝x

D．p：a＞1，q：f(x)＝log a x(a＞0，且a≠1)在(0，＋∞)上为增函数

6．已知命题p：所有有理数都是实数；命题q：正数的对数都是负数．则下列命题中为真命题的是( )

A．(非p)或q B．p且q

C．(非p)且(非q) D．(非p)或(非q)

7．下列命题中，真命题是( )

B．?x∈R,2x>x2

C．a＋b＝0的充要条件是a

b＝－1

D．a>1，b>1是ab>1的充分条件

8．已知命题p：“x>3”是“x2>9”的充要条件，命题q：“a

c2>

c2”是“

a>b”的

充要条件，则( )

A．“p或q”为真B．“p且q”为真

C．p真q假D．p，q均为假

9．命题p：?x∈R，x2＋1>0，命题q：?θ∈R，sin2θ＋cos2θ＝1.5，则下列命题中真命题是( )

A．p∧q B．(非p)∧q

C．(非p)∨q D．p∧(非q)

10．已知直线l1：x＋ay＋1＝0，直线l2：ax＋y＋2＝0，则命题“若a＝1或a＝－1，则直线l1与l2平行”的否命题为( )

A．若a≠1且a≠－1，则直线l1与l2不平行

B．若a≠1或a≠－1，则直线l1与l2不平行

C．若a＝1或a＝－1，则直线l1与l2不平行

D．若a≠1或a≠－1，则直线l1与l2平行

11．命题“?x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( ) A．a≥4 B．a≤4

C．a≥5 D．a≤5

12．设x，y∈R，则“|x|≤4且|y|≤3”是“x2

＋

≤1”的( )

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)

13．已知集合A＝{1，a,5}，B＝{2，a2＋1}．若A∩B有且只有一个元素，则实数a的值为________．

14．命题“?x∈R，x2＋ax－4a<0”为假命题，是“－16≤a≤0”的________条件．

15．设全集U＝A∪B＝{x∈N*|lg x<1}，若A∩(?U B)＝{m|m＝2n＋1，n＝0,1,2,3,4}，则集合B＝________.

16．若f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)，?x1∈[－1,2]，?x0∈[－1,2]，使g(x1)＝f(x0)，则a的取值围是________．

三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)

已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈R}，B＝{x|x2－2mx＋m2－4≤0，x∈R，m∈R}．

(1)若A∩B＝[0,3]，数m的值；

(2)若A??R B，数m的取值围．

18．(本小题满分12分)

已知命题“?x∈R，|x－a|＋|x＋1|≤2”是假命题，数a的取值围．

19．(本小题满分12分)

已知集合E＝{x||x－1|≥m}，F＝{x|

x＋6>1}．

(1)若m＝3，求E∩F；

(2)若E∪F＝R，数m的取值围．20．(本小题满分12分)

已知全集U＝R，非空集合A＝{x|

x－2

x－(3a＋1)<0}，

B＝{x|

x－a2－2

x－a<0}．

(1)当a＝1

时，求(?U B)∩A；

(2)命题p：x∈A，命题q：x∈B，若q是p的必要条件，数a的取值围．21．(本小题满分12分)

设集合A为函数y＝ln(－x2－2x＋8)的定义域，集合B为函数y＝x＋

x＋1的

值域，集合C为不等式(ax－1

a)(

x＋4)≤0的解集．

(1)求A∩B；

(2)若C??R A，求a的取值围．

22．(本小题满分12分)

已知命题p：方程2x2＋ax－a2＝0在[－1,1]上有解；命题q：只有一个实数x0满足不等式x20＋2ax0＋2a≤0，若命题“p或q”是假命题，求a的取值围．

答案：

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求)

1．答案 C

解析因为M＝{x|x>1}，N＝{x|－2≤x≤2}，所以M∩N＝{x|1

2解析依题意知A＝{0,1}，(?U A)∩B表示全集U中不在集合A中，但在集合B中的所有元素，故图中的阴影部分所表示的集合等于{－1,2}，选A.

3．答案 A

4．D．既不充分也不必要条件

答案 B

解析∵“A∩{0,1}＝{0}”得不出“A＝{0}”，而“A＝{0}”能得出“A∩{0,1}＝{0}”，

∴“A∩{0,1}＝{0}”是“A＝{0}”的必要不充分条件．

5．解析B选项中，当b＝1，a＞1时，q推不出p，因而p为q的充分不必要条件．C选项中，q为x＝0或1，q不能够推出p，因而p为q的充分不必要条件．D选项中，p、q可以互推，因而p为q的充要条件．故选A.

解析由于命题p是真命题，命题q是假命题，因此，命题綈q是真命题，于是(綈p)或(綈q)是真命题．

7．答案 D

解析∵a>1>0，b>1>0，∴由不等式的性质，得ab>1.即a>1，b>1?ab>1.

8．答案 A

解析由x>3能够得出x2>9，反之不成立，故命题p是假命题；由a

c2>

c2能

够推出a>b，反之，因为1

c2>0，所以由

a>b能推出

c2>

c2成立，故命题

q是真

命题．因此选A.

9．答案 D

解析易知p为真，q为假，非p为假，非q为真．由真值表可知p∧q假，(非p)∧q假，(非p)∨q假，p∧(非q)真，故选D.

10．答案 A

解析命题“若A，则B”的否命题为“若綈A，则綈B”，显然“a＝1或a ＝－1”的否定为“a≠1且a≠－1”，“直线l1与l2平行”的否定为“直线l1与l2不平行”，所以选A.

11．答案C

解析命题“?x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的充要条件是a≥4，故其充分不必要条件是实数a的取值围是集合[4，＋∞)的非空真子集，正确选项为C.

12．答案 B

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)

13．答案0或－2

解析若a＝2，则a2＋1＝5，A∩B＝{2,5}，不合题意舍去．

若a2＋1＝1，则a＝0，A∩B＝{1}．

若a2＋1＝5，则a＝±2.而a＝－2时，A∩B＝{5}．

若a2＋1＝a，则a2－a＋1＝0无解．

∴a＝0或a＝－2.

解析 ∵“?x ∈R ，x 2＋ax －4a <0”为假命题，

∴“?x ∈R ，x 2＋ax －4a ≥0”为真命题，∴Δ＝a 2＋16a ≤0，即－16≤a ≤0.故为充要条件．

15．答案 {2,4,6,8}

解析 A ∪B ＝{x ∈N *|lg x <1}＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A ∩(?U B )＝{m |m ＝2n ＋1，n ＝0,1,2,3,4}＝{1,3,5,7,9}，∴B ＝{2,4,6,8}．

16．答案 (0，12

] 解析由于函数g (x )在定义域[－1,2]是任意取值的，且必存在x 0∈[－1,2]，使得g (x 1)＝f (x 0)，因此问题等价于函数g (x )的值域是函数f (x )值域的子集．函数f (x )的值域是[－1,3]，函数g (x )的值域是[2－a,2＋2a ]，则有2－a ≥－1且2＋2a

≤3，即a ≤12，又a >0，故a 的取值围是(0，12

]．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17 答案 (1)2。(2)(－∞，－3)∪(5，＋∞)

解析由已知得：A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}．

(1)∵A ∩B ＝[0,3]，∴?

?? m －2＝0，m ＋2≥3. ∴?

m ＝2，m ≥1.∴m ＝2，即实数m 的值为2. (2)?R B ＝{x |x m ＋2}．

∵A ??R B ，∴m －2>3或m ＋2<－1.

∴m >5或m <－3.

∴实数m 的取值围是(－∞，－3)∪(5，＋∞)．

18．答案 (－∞，－3)∪(1，＋∞)

解析依题意知，对任意x ∈R ，都有|x －a |＋|x ＋1|>2；由于|x －a |＋|x ＋1|≥|(x －a )－(x ＋1)|＝|a ＋1|，