加权平均值及其中误差

6-7 加权平均值及其中误差

一、不等精度观测和观测值的权

在测量实践中，除了等精度观测之外，还有不等精度观测。此时，求多次观测的最或然值就不能简单地用算术平均值，而是需要用“加权平均值”的方法求解。

某一观测值或观测值的函数的误差越小（精度越高），其权越大；反之，其误差越大（精度越小），其权越小。一般用“”表示中误差，用“P”表示权，并定义：“权与中误差的平方成反比”，以公式表示为

（6-26）

式中，C为任意常数。等于1的权称为“单位权“，权等于1的中误差称为“单位权中误差”，一般用表示。因此，权的另一种表达式为

（6-27）

中误差的另一种表达式为

（6-28）

在测量工作中，为了使权的概念简单明了，一般取一次观测、一个测回或单位长度（1m 或1km ）等的测量误差作为单位权中误差。

二、加权平均值及其中误差

对某一未知量进行一组不等精度观测：，其中误差为，则观测值的权为。按照误差理论，此时应按下式取其加权平均值，作为该量的最或然值：

上式可以写成线性函数的形式：

根据线性函数的误差传播公式，得到

上式可化为

因此，加权平均值的中误差为

（6-29）

加权平均值的权为所有观测值的权之和：

（6-30）

三、单位权中误差的计算

在处理不等精度的测量成果时，需要根据单位权中误差来计算观测值的权和加权平均值的中误差。单位权中误差一般取某一类观测值的基本精度，例如，水平角观测的一测回的中误差等。根据一组对同一量的不等精度观测，可以估算本类观测值的单位权中误差。

如对同一量的n个不等精度观测，得到

….

取以上各式的总和，并除以n，得到

用真误差代替中误差，得到在观测量的真值已知时用真误差求单位权中误差的公式：

（6-31）

在观测值的真值未知的情况下，用观测值的加权平均值代替真值；用观测值的改正值代替真误差，得到按不等精度观测值的改正值计算单位权中误差的公式；

（6-32）