第三章 常见曲面球面和旋转面
第三章 常 见 曲 面
§3.1 球面和旋转面
1.1球面的普通方程
球面方程的建立
首先建立球心在点()0000,,z y x M ，半径为0R ≥的球面方程。根据以下充分必要条件
(,,)M x y z 在球面上0M M R ?=，
得
()()()2
2
2
2
000x x y y z z R -+-+-=， （3.1）
展开得
2221232220,x y z b x b y b z c ++++++= （3.2）
其中，
2222102030,000,,b x b y b z c x y z R =-=-=-=++-。
(3.1)或(3.2)就是所求球面方程，它是一个三元二次方程，没有交叉项(yz xz xy ,,项),平方项的系数相同。反之，任一形如（3.2）的方程经过配方后可写成：
()()(),0232221232221=---++++++b b b c b z b y b x
当c b b b >++2
32
22
1时，它表示一个球心在()321,,b b b ---，半径为c b b b -++2
32
22
1的
球面；当c b b b =++2
32221时，它表示一个点()
32,1,b b b ---；当c b b b <++2
32221时，它没有轨迹(或者说它表示一个虚球面）。
1.2球面的参数方程，点的球面坐标
如果球心在原点，半径为R ，在球面上任取一点()z y x M ,,,从M 作xOy 面的垂线，垂
足为N N ，连,O M O N 。设x 轴到ON 的角度为?，ON 到OM 的角度为θ(M 在xOy 面上方时，θ为正，反之为负)，则有
cos cos ,cos sin ,02,.2
2
sin ,x R y R z R θ?π
π
θ??πθθ=??
=≤<-
≤≤
??=?
（3.3）
(3.3)称为球心在原点，半径为R 的球面的参数方程，有两个参数θ?,，其中?称为经度，θ称为纬度。
球面上的每一个点(除去它与z 轴的交点)对应唯一的对实数()?θ,，因此()?θ,称为球面上点的曲纹坐标。
因为空间中任一点()z y x M ,,必在以原点为球心，以R OM =为半径的球面上，而球面上点（除去它与z 轴的交点外）又由它的曲纹坐标()?θ,唯一确定，因此，除去z 轴外，空间中的点M 由有序三元实数组()?θ,,R 唯一确定。我们把()?θ,,R 称为空间中点M 的球面坐标（或空间极坐标），其中0R ≥，,022
2
π
π
θ?π-≤≤
≤≤。
点M 的球面坐标()?θ,,R 与M 的直角坐标()z y x ,,的关系为
cos cos ,
0,cos sin ,
-
,22
sin ,
02x R R y R z R θ?π
π
θ?θθ?π
=≥???
=≤≤
??=≤≤?? （3.4）
1.3曲面和曲线的普通方程、参数方程
从球面的方程（3.2）和球面的参数方程（3.3）看到，一般来说，曲面的普通方程是一个三元方程()z y x F ,,=0，曲面的参数方程是含有两个参数的方程：
(,),(,),
,,(,),x x u v y y u v a u b c v d z z u v =??
=≤≤≤≤??=?
（3.5）
其中，对于()v u ,的每一对值，由（3.5）确定的点()z y x ,,在此曲面上；而此曲面上任一点的坐标都可由()v u ,的某一对值（3.5）表示。于是通过曲面的参数方程（3.5），曲面上的
点（可能要除去个别点）便可以由数对()v u ,来确定，因此()v u ,称为曲面上的曲纹坐标。 空间中曲线的普通方程是两个三元方程的联立：
(,,)0,
(,,)0.F x y z G x y z =??
=?
即空间中曲线可以看成是两个曲面的交线，曲线的参数方程是含有一个参数的方程：
(),
(),.(),x x t y y t a t b z z t =??
=≤≤??=?
（3.6）
其中，对于()b t a t ≤≤的每一个值，由（3.6）确定的点()z y x ,,在此曲线上，而此曲线上任一点的坐标都可由t 的某个值通过（3.6）表示。
例如，球面xOy R z y x 与2
2
2
2
=++平面相交所得的圆的普通方程为：
2222,
0.x y z R z ?++=?
=?
而这个圆的参数方程是：
cos ,
sin ,02.0x R y R z ???π=??
=≤≤??=?
1.4 旋转面
球面可以看成是一个半圆绕它的直径旋转一周所形成的曲面。下面研究更一般的情形。 一、旋转面的定义
定义3.1 一条曲线Γ上每个点0M 绕l 旋转得到一个圆，称为纬圆，纬圆与轴垂直，过l 的半个平面与旋转面的交线为经线（或子午线）。经线可以作为母线，但母线不一定是经线。 已知轴l 过店()1111,,z y x M ，方向向量为()n m l v ,,，母线Γ的方程为：
(,,)0
(,,)0
F x y z
G x y z =??
=?
二、旋转面的方程的求法
点()z y x M ,,在旋转面上的充分必要条件是M 在经过母线Γ上某一点()0000,,z y x M 的纬圆上（如图3.2）。即，有母线Γ上的一点0M 使得0M M 和到轴l 的距离相等（或到轴上一点1M 的距离相等）；并且l M M ⊥0。因此，有
()()(
)()()000000101000,,0,,,0,.
,0.
F x y z
G x y z MM M M l x x m y y n z z νν=?
?
=?
??=??
?-+-+-=? （3.7）
从这个方程中消去参数,000,,z y x 就得到z y x ,,的方程，它就是所求旋转面的方程。
例1：求直线
1
210
x y z -==
绕直线x y z ==旋转所得的旋转面的方程。 解：设1111(,,)M x y z 是母线上的任意点，因为旋转轴通过原点，所以过1M 的纬圆方程为
111222222
111
1()1()1()0,
;x x y y z z x y z x y z ?-+?-?-=??++=++? （1） 由于1111(,,)M x y z 在母线上，所以又有
1111
210
x y z -==
， 即
1112,1x y z ==， （2）
由（1），（2）消去111,,x y z 得所求旋转面方程为
22229
(1)5
x y z x y z ++-=++-。
三、坐标平面上的曲线绕某坐标轴在旋转所得旋转面的方程
现在设),,(111z y x M 旋转轴为z 轴，母线Γ在yOz 平面上，其方程为：
(),0,
0,
f x y x ?=?
=? 则点()z y x M ,,在旋转面上的充分必要条件是：
()()0002222000,0,0,,10.f y z x x y x y z z =??
=??+=+?
??-=?
消去参数,000,,z y x 得
()
22,0f x y z ±+=。 （3.8）
（3.8）就是所求旋转面的方程。由此看出，为了得到yOz 平面上的曲线Γ绕z 轴旋转所得的旋转面方程，只要将母线Γ在yOz 平面上的方程中y 改成22y x +±，z 不动。坐标平
面上的曲线绕坐标轴所得旋转面方程都有类似的规律。 四、应用举例
例3.1 母线Γ
22,
0,
y pz x ?=?=?
绕z 轴旋转所得旋转面方程为
pz y x 222=+，
这个曲面称为旋转抛物面（如图3.4）。 例3.2 母线Γ
22
221,
0,x y a b
z ?-=???=?
绕x 轴旋转所得曲面方程为
12
2
222=+-b z y a x 。 这个曲面称为旋转双叶双曲面（如图3.4）。Γ绕y 轴旋转所得曲面方程为
,122
222=-+b
y a z x 这个曲面称为旋转单叶双曲面（如图3.5）。 例3.3 圆
()222,0.0,x a z r r a y ?-+=?<
=??
绕z 轴旋所得曲面为
()22
2
2
2r z
a y
x =+-+±
，
即
()()
22222222
4y x a r a z y x
+=-+++，
这个曲面称为环面（如图3.6）。
例3.4 设21l l 和是两条异面直线，它们不垂直，求2l 绕1l 旋转所得曲面的方程。 解 设1l 和2l 的距离为a ，以1l 和2l 的公垂线为x 轴，且命名2l 与x 轴的交点()0,0,a ，建立一个右手直角坐标系。设2l 的方向向量为(),,,n m l v 因为2l 与x 轴 垂直，所以01=?e v ，得
0=l 。因为12l l 与异面，所以v 不平行于3e ，于是0≠m 。因此可设v 的坐标为()b ,1,0。
因为1l 与2l 不垂直，所以,03≠?e v 于是0≠b 。因此，2l 的参数方程为
,,.,x a y t t z bt =??
=-∞<<+∞??=?
点M 在旋转面上的充分必要条件是
()000222200
0,,,,
10.
x a y t z bt x y x y z z =??=??=??+=+???-=? 消去参数t z y x ,,,000得
2
2
2
2
2z x y a b
+=+，
即
1222
2222=-+b
a z a y a x ， 这是一个旋转单叶双曲面。
作业
习题3.1：2（4），4，6，9（3，6，9），11(1,3)。
§2柱面和锥面
2.1柱面方程的建立
定义3.2 一条直线l 沿着一条空间曲线C 平行移动时所形成的曲面成为柱面.l 成为母线，
C 称为准线。
按定义，平面也是柱面。对于一个柱面，它的准线和母线都不唯一，但母线方向唯一（除去平面外）与每一条母线都相交的曲线均可作为准线。 柱面的方程的建立。
设一个柱面的母线方向为(,,)l m n ν，准线C 的方程为
(,,)0,
(,,)0,
F x y z
G x y z =??
=?
下面我们根据点(,,)M x y z 在此柱面上的充分必要条件求这个柱面的方程。
点(,,)M x y z 在此柱面上的充分必要条件是M 在某一条母线上，即，有准线C 上一点
0000(,,)M x y z 使得M 在过0M 且方向为ν的直线上。因此，有
00000000
0(,,)0,(,,)0,
,
+,
,
F x y z
G x y z x x lu y y mu z z nu =??=??
=+??=??=+? 消去000,,x y z ，得
(,,)0,
(,,)0,
F x lu y mu z nu
G x lu y mu z nu ---=??
---=? 再消去参数u ，得到,,x y z 的一个方程，就是所求柱面的方程。 例1：柱面的准线方程为
222222
1,
222,
x y z x y z ?++=??++=?? 而母线的方向数为1,0,1-，求柱面的方程。
解：设1111(,,)M x y z 是准线上的任意点，所以过1M 的母线方程为
111
101
x x y y z z ---==
-， 且有
222
111222
1111,
22 2.
x y z x y z ?++=??++=?? （1） 再设
111,101
x x y y z z t ---===-
111,,x x t y y z z t =+==-， （2）
将（2）代入（1）中得
222
222
()()1,
2()2()2,
x t y z t x t y z t ?+++-=??+++-=?? （3） 解（3）得
t z =， （4）
将（4）代入（3）中得所求柱面为
22()1x z y ++=，
如果给的是准线C 的参数方程
(),
(),,(),x f t y g t a t b z h t =??
=≤≤??=?
（3.8）
同理可得柱面的参数方程为
(),(),,.(),x f t lu y g t mu a t b u z h t nu =+??
=+≤≤-∞<<+∞??=+?
（3.9）
2.2 圆柱面，点的柱面坐标
现在来看圆柱面的方程。圆柱面有一条对称轴l ，圆柱面上每一个点到轴l 的距离都相等，这个距离称为圆柱面的半径。圆柱面的准线可取成一个圆C ，它的母线方向与准线圆垂直。
如果知道准线圆的方程和母线方向，则可用2.1中所述方法求出圆柱面的方程。 如果知道圆柱面的半径为r ，母线方向为(,,)l m n ν，以及圆柱面的对称轴0l 经过点
0000(,,)M x y z ，则点(,,)M x y z 在此圆柱面上的充分必要条件是M 到轴0l 的距离等于r ，
0MM v
r v
?=， 由此出发可求得圆柱面的方程。
特别地，若圆柱面的半径为r ，对称轴为z 轴，则这个圆柱面的方程为
222,x y r += （3.10）
例2：已知圆柱面的轴为11
122
x y z -+==
--，点(1,2,1)P -在此圆柱面上，求圆柱面方程。 解：法一同例1.
法二：因为轴的方向向量为(1,2,2)v --，轴上的定点为0(0,1,1)M -，而圆柱面上的点为
1(1,2,1)M -，所以01(1,3,2)M M -，因此点1(1,2,1)M -到轴的距离为
2
2
2
01222
3
2
21
1322
21
12
117
3
1(2)(2)M M v
d v
--+
+
?-----=
=
=
+-+-， 再设(,,)M x y z 为圆柱面上的任意点，则有
0117
3
M M v
v
?=
，化简整理得所求圆柱面方程为 2228554481819990x y z xy xz yz y z ++++--+-=。
空间中任意一点(,,)M x y z 必在以22r x y =+为半径，以z 轴为对称轴的圆柱面上。
显然这个圆柱面的参数方程为
cos ,sin ,02,.,x r y r u z u θθθπ=??
=≤<-∞<<+∞??=?
因此，圆柱面上的点M 被数偶(),u θ所确定。从而空间中任一点M 被有序三元实数组
()
,,r u θ所确定。(),,r u θ称为点M 的柱面坐标。点M 的柱面坐标与它的直角坐标的关
系是：
cos ,sin ,0;02;.,x r y r r u z u θθθπ=??
=≥≤<-∞<<+∞??=?
2.3柱面方程的特点
定理3.1 若一个柱面的母线平行于z 轴（或x 轴，或y 轴），则它的方程中不含z （或x ，或y ）；反之，一个三元方程如果不含z （或x ，或y ），则它一定表示一个母线平行于z 轴（或x 轴，或y 轴）的柱面。
证明：设一个柱面的母线平行于z 轴，则这个柱面的每条母线必与xoy 面相交，从而这个柱面与xoy 面的交线C 可以作为准线，设C 的方程是
(,)0,
0.
f x y z =??
=? 点M 在此柱面上的充分必要条件是：有准线C 上一点0000(,,)M x y z 使得M 在过0M 且方向为(0,0,1)ν的直线上，因此有
00000
0(,)0,0,,
,
,
f x y z x x y y z z u =??=??
=??=??=+? 消去000,,x y z ，得
(,)0,
,f x y z u =??
=?
由于参数u 可以取任意实数值，于是得到这个柱面的方程为
(,)0f x y =。
反之，任给一个不含z 的三元方程(,)0g x y =，我们考虑曲线'
C ：
(,)0,
0g x y z =??
=?
为准线，以z 轴方向为母线方向的柱面，由上述议论知，这个柱面的方程为(,)0g x y =。因此，方程(,)0g x y =表示一个母线平行于z 轴的柱面。
母线平行于x 轴或y 轴的情形可类似讨论。
2.4 锥面方程的建立
定义3.3 在空间中，由曲线C 上的点与不在C 上的一个定点0M 的连线组成的曲面称为锥面。0M 称为顶点，C 称为准线，C 上的点与0M 的连线称为母线。
一个锥面的准线不唯一，与每一条母线都相交的曲线均可作为准线。 锥面方程的求法。
设一个锥面的顶点为0000(,,)M x y z ，准线C 的方程为
(,,)0,
(,,)0,
F x y z
G x y z =??
=? 我们来求这个锥面的方程。
点(,,)M x y z 在此锥面上的充分必要条件是：M 在一条母线上，即，准线上有一点
1111(,,)M x y z 使得1M 在直线0M M 上。因此，有
111111100100
100(,,)0,(,,)0,(),+(),
(),
F x y z
G x y z x x x x u y y y y u z z z z u =??
=??
=+-??=-??=+-?
消去111,,x y z 得
000000000000((),+(),())0,
((),+(),())0,
F x x x u y y y u z z z u
G x x x u y y y u z z z u +--+-=??
+--+-=? 再消去μ，得到,,x y z 的一个方程，就是所求锥面的方程。
例：锥面的顶点在原点，且准线为22
221,x y a b z c ?+
=???=?
，求锥面的方程。
解：设1111(,,)M x y z 是准线上的任意点，所以过1M 的母线方程为
111
x y z
x y z ==， （1） 且有
22
11221
1,
x y a b
z c ?+=???=? （2） 将1z c =代入（1）得
11,cx cy
x y z z
=
=， （3） 将（3）代入（2）的第一式得所求的锥面方程
222
222x y z a b c
+=。 2.5圆锥面
圆锥面定义：对于圆锥面，它有一根对称轴l ，它的每一条母线与轴l 夹的锐角都相等，这个锐角称为圆锥面的半顶角。与轴l 垂直的平面截圆锥面所得的交线为圆。
如果已知准线圆方程和顶点0M 的坐标，则用2.4节所述方法可求得圆锥面方程。 圆锥面的方程的求法。
如果已知顶点的坐标和轴l 的方向向量v 以及半顶角α，则点(,,)M x y z 在圆锥面上的充分必要条件是：
0,M M v απα=-或
因此，有
0cos ,cos M M v α=， （3.12）
由此可求得圆锥面的方程。
例3.5 求以三根坐标轴为母线的圆锥面的方程。
解： 显然这个圆锥面的顶点为原点O ，设轴l 的方向为v ，因为三根坐标轴为母线，所以
由（3.12）得
123cos ,cos ,cos ,e v e v e v ==，
因此，轴l 的一个方向向量v 的坐标为()1,1,1或()1,1,1-或()1,1,1-或()1,1,1--。考虑v 的坐标为()1,1,1，其余三种情形可以类似讨论。
因为点(,,)M x y z 在这个圆锥面上的充分必要条件是
1cos ,cos ,OM v e v =，
即
1OM v e v OM v
v
??=
，
于是得
0xy yz xz ++=。
这就是所求的一个圆锥面的方程
2.6 锥面方程的特点
方程（3.13）的特点是：每一项都是二次的，称为二次齐次方程。如果令
(,,)F x y z xy yz xz =++，
则有
()22,,()(,,),F tx ty tz t F xy yz xz t F x y z =++= （3.14）
关系式（3.14）可反映方程（3.12）是二次齐次方程的这一特点。一般地，有 定义3.4 (,,)F x y z 称为是,,x y z 的n 次齐次函数（n 是整数），如果
(),,(,,)n F tx ty tz t F x y z =
对于定义域中一切,,x y z 以及对于任意非零实数t 都成立。此时，方程(,,)0F x y z =称为
,,x y z 的n 次齐次方程
定理3.2 ,,x y z 的齐次方程表示的曲面（添上原点）一定是以原点为顶点的锥面。 证明： 设(,,)0F x y z =是n 次齐次方程，它表示的曲面添上原点后记作S 。在S 上任取一点0000(,,)M x y z ，0M 不是原点。于是直线0OM 上任一点10M ≠的坐标111(,,)x y z 适合
10101
0,
,0.,
x x t y y t t z z t =??
=≠??=? （3.15）
从而有
111000000(,,)(,,)(,,)0n F x y z F x t y t z t t F x y z ===。 （3.16）
因此1M 在S 上。于是整条直线0OM 都在S 上，所以S 是由过原点的一些直线组成的，这说明S 是锥面。
定理3.3 在以锥面的顶点为原点的直角坐标系里，锥面可以用,,x y z 的其次方程表示。
作业
习题3.2：3，4（2，3），8，10。
§3.3 二次曲面
我们已经知道二次方程
02,01,01222
222222=+=+-=-+py x b
y a x b y a x 分别表示椭圆柱面、双曲柱面和抛物柱面，而二次方程
02
2
2222=-+c z b y a x ， 表示二次锥面，现在再研究几个二次方程表示的图形。
3.3.1 椭球面
方程
()0,,122
2222>=-+c b a c
z b y a x ， 表示的图形称为椭球面。它有以下性质：
(1) 对称性。 因为方程（3.17）中用x -代x ，方程不变，于是若点()z y x P ,,在椭球面（3.17）上，则P 点关于yOz 面的对称点()z y x ,,-也在此椭球面上，所以此椭球面关yOz 面对称。同理，由于（3.17）中用y -代y ()z z 代-方程不变，所以此椭球面关于xOz 面()面xOy 对称。因为方程（3.17）中同时用x -代x ，用y
-代y ,方程不变，所以图形关于z 轴对称。
类似的理由知，图形关于y 轴，x 轴也对称。因为（3.17）中同时用x -代x ，y -代y ，z -代z ，方程不变，所以图形关于原点对称。总而言之，三个坐标面都是椭球面（3.17）的对称面，三根坐标轴都是它的对称轴，原点是它的对称中心。 (2) 范围。 由方程（3.17）立即看出：
,,x a y b z c ≤≤≤。
(3)形状 。 曲面（3.17）与xOy 面的交线为：
22
221,
0.x y a b
z ?+=???=?
这是在xOy 面上的一个椭圆。同理可知，曲面（3.17）与yOz 面()面xOz 的交线也是椭圆。 用平行于xOy 面的平面h z =截曲面（3.17）得到的交线（称为截口）为：
222
2221,
.x y h a b c z h ?+=-???=?
当c h <时，截口是椭圆；当c h =时，截口是一个点；当c h >时，无轨迹。
（4） 等高线。 把平行于xOy 面的截口投影到xOy 面上得到的投影线称为等高线（见图3.5）。
3.2 单叶双曲面和双叶双曲面
方程
()222
2221,,,0x y z a b c a b c
+-=>，
表示的图形称为单叶双曲面。它有下述性质：
（1）对称性。 三个坐标面都是此图形的对称平面，三根坐标轴都是它的对称轴，原点是它的对称中心。
（2）范围。 由方程（3.18）得：
1122
2222≥+=+c
z b y a x ，
所以此曲面的点全在柱面
12
2
22=+b y a x 的外部或柱面上。
（3）形状。 此曲面与xOy 面的交线为
22
221,
0,x y a b
z ?+=???=?
这是一个椭圆，称为此曲面的腰椭圆。此曲面与xOz 面，yOz 面的交线分别为：
22
22
22221,1,
0;0.x z y z a c b c
y x ??-=-=??????==?
?
它们都是双曲线。
此曲面的平行于xOy 面的截口为
2222221,
,x y h a b c z h ?+=+???=?
这是椭圆，并且当h 增大时，截口椭圆的长、短半轴：
22
22'1,'1h h a a b b c c
=+=+
均增大。
（4） 渐近锥面。
锥面
222
2220,x y z a b c
+-= （3.19）
称为单叶双曲面（3.18）的渐近锥面。 用平面h z =截此锥面，截口为
222
222,
,x y h a b c z h ?+=???=?
这个椭圆的长、短半轴分别为c
h b
b c
h a a ==",''。因为
c
h c h
a c
h a c h a a a ++=
-+=-22
22
11"'
所以
()lim '''0h a a →∞
-=。 同理，()lim '''0h b b →∞
-=。
这说明， 当h 无限增大时，单叶双曲面的截口椭圆与它的渐近锥面的截口椭圆任意接近，即，单叶双曲面与它的渐近锥面无限地任意接近。 双叶双曲面。
方程
()222
2221,,,0x y z a b c a b c
+-=->，
表示的图形称为双叶双曲面。它有下述性质：
（1） 对称性。 关于坐标面、坐标轴、原点对称。 （2） 范围。 由（3.20）得z c ≥。
（3） 形状。 此曲面与xOy 面无交点；与xOz 面，yOz 面的交线分别为：
22
22
22221,1,
0;0;z x z y c a c b
y x ??-=-=??????==??
它们都是双曲面。用平面h z =()
c h ≥去截此曲面得到的截口为
222
2221,
,x y h a b c z h ?+=-???=?
这是椭圆或一个点。 （4） 渐近锥面。
锥面
022
2222=-+c
z b y a x ， 也是双叶双曲面（3.20）的渐近锥面。
3.3椭圆抛物面和双曲抛物面
方程
22
2,(,0),x y z p q p q
+=> （3.21）
表示的曲面称为椭圆拋物面。它具有下述性质：
（1） 对称性：xoz 面，yoz 面是它的对称平面；z 轴是对称轴。 （2） 范围：0z ≥。
（3） 形状：它与xoz 面，yoz 面的交线分别为：
22,0;x pz y ?=?=? 22,0,y qz x ?=?=?
这些都是抛物线。用平面(0)z h h =≥去截此曲面得到的截口为：
考研高数：常见的旋转曲面求法
考研高数：常见的旋转曲面求法 我们之前给大家介绍过数一、数二和数三的区别主要在于考点的内容范围，而不在考试要求。考数一的考生需要额外掌握空间解析几何和多元函数积分学这两大模块的内容。而空间解析几何是后面我们计算二重积分、三重积分、和曲线、曲面积分的基础。因为计算积分首先需要正确地把积分区域的图像画出来。这就要求我们掌握常见的二次曲面的图像和一般旋转曲面的求法。常见的二次曲面包括圆柱面、旋转抛物面、锥面、椭球面、单叶双曲面和双叶双曲面等，这些曲面都是某条曲线绕着坐标轴旋转形成的。那么我们就来分析一般的旋转曲面的求解方法，这也是后期计算各类积分的基础。 1. 概念 一条曲线绕某一条直线旋转一周所成的曲面就是旋转曲面。这条旋转曲线和直线分别叫做旋转曲面的母线和轴。 旋转曲面的概念很好理解，这个曲面的形成方式是旋转，而且常用到的是绕着坐标轴旋转，下面我们来看旋转曲面的求法。 2. 旋转曲面求法 求解旋转曲面，一般母线的形式有以下两种：
掌握这两种形式的旋转曲面的求解方法，在计算重积分和曲线曲面积分时也就够用了，这里不要求大家直接记忆公式，只要掌握了旋转过程的两个不变量，理解了求解的方法和思路，在做题过程简单推导就可以求出旋转曲面的表达式，再去画图计算积分即可。 凯程教育： 凯程考研成立于2005年，国内首家全日制集训机构考研，一直从事高端全日制辅导，由李海洋教授、张鑫教授、卢营教授、王洋教授、杨武金教授、张释然教授、索玉柱教授、方浩
教授等一批高级考研教研队伍组成，为学员全程高质量授课、答疑、测试、督导、报考指导、方法指导、联系导师、复试等全方位的考研服务。 凯程考研的宗旨：让学习成为一种习惯； 凯程考研的价值观口号：凯旋归来，前程万里； 信念：让每个学员都有好最好的归宿； 使命：完善全新的教育模式，做中国最专业的考研辅导机构； 激情：永不言弃，乐观向上； 敬业：以专业的态度做非凡的事业； 服务：以学员的前途为已任，为学员提供高效、专业的服务，团队合作，为学员服务，为学员引路。 如何选择考研辅导班： 在考研准备的过程中，会遇到不少困难，尤其对于跨专业考生的专业课来说，通过报辅导班来弥补自己复习的不足，可以大大提高复习效率，节省复习时间，大家可以通过以下几个方面来考察辅导班，或许能帮你找到适合你的辅导班。 师资力量：师资力量是考察辅导班的首要因素，考生可以针对辅导名师的辅导年限、辅导经验、历年辅导效果、学员评价等因素进行综合评价，询问往届学长然后选择。判断师资力量关键在于综合实力，因为任何一门课程，都不是由一、两个教师包到底的，是一批教师配合的结果。还要深入了解教师的学术背景、资料著述成就、辅导成就等。凯程考研名师云集，李海洋、张鑫教授、方浩教授、卢营教授、孙浩教授等一大批名师在凯程授课。而有的机构只是很普通的老师授课，对知识点把握和命题方向，欠缺火候。 对该专业有辅导历史：必须对该专业深刻理解，才能深入辅导学员考取该校。在考研辅导班中，从来见过如此辉煌的成绩：凯程教育拿下2015五道口金融学院状元，考取五道口15人，清华经管金融硕士10人，人大金融硕士15个，中财和贸大金融硕士合计20人，北师大教育学7人，会计硕士保录班考取30人，翻译硕士接近20人，中传状元王园璐、郑家威都是来自凯程，法学方面，凯程在人大、北大、贸大、政法、武汉大学、公安大学等院校斩获多个法学和法硕状元，更多专业成绩请查看凯程网站。在凯程官方网站的光荣榜，成功学员经验谈视频特别多，都是凯程战绩的最好证明。对于如此高的成绩，凯程集训营班主任邢老师说，凯程如此优异的成绩，是与我们凯程严格的管理，全方位的辅导是分不开的，很多学生本科都不是名校，某些学生来自二本三本甚至不知名的院校，还有很多是工作了多年才回来考的，大多数是跨专业考研，他们的难度大，竞争激烈，没有严格的训练和同学们的刻苦学习，是很难达到优异的成绩。最好的办法是直接和凯程老师详细沟通一下就清楚了。 建校历史：机构成立的历史也是一个参考因素，历史越久，积累的人脉资源更多。例如，凯程教育已经成立10年（2005年），一直以来专注于考研，成功率一直遥遥领先，同学们有兴趣可以联系一下他们在线老师或者电话。 有没有实体学校校区：有些机构比较小，就是一个在写字楼里上课，自习，这种环境是不太好的，一个优秀的机构必须是在教学环境，大学校园这样环境。凯程有自己的学习校区，有吃住学一体化教学环境，独立卫浴、空调、暖气齐全，这也是一个考研机构实力的体现。此外，最好还要看一下他们的营业执照。
如何画旋转后的图形.doc
如何画旋转后的图形 旋转可以改变图形的位置，但是转动的中心点是不动的，图形上线段的长度是不变的。因此画图时，可将图形的旋转转化为线段的旋转，只要找准关键线段旋转后的位置，即可化难为易。画图时，先弄清楚旋转的方向和角度，再确定从旋转点出发的两条线段旋转后的位置，这是关键所在，最后画其他的线段。 旋转可以改变图形的位置，但是转动的中心点是不动的，图形上线段的长度是不变的。因此画图时，可将图形的旋转转化为线段的旋转，只要找准关键线段旋转后的位置，即可化难为易。画图时，先弄清楚旋转的方向和角度，再确定从旋转点出发的两条线段旋转后的位置，这是关键所在，最后画其他的线段。 旋转可以改变图形的位置，但是转动的中心点是不动的，图形上线段的长度是不变的。因此画图时，可将图形的旋转转化为线段的旋转，只要找准关键线段旋转后的位置，即可化难为易。画图时，先弄清楚旋转的方向和角度，再确定从旋转点出发的两条线段旋转后的位置，这是关键所在，最后画其他的线段。 旋转可以改变图形的位置，但是转动的中心点是不动的，图形上线段的长度是不变的。因此画图时，可将图形的旋转转化为线段的旋转，只要找准关键线段旋转后的位置，即可化难为易。画图时，先弄清楚旋转的方向和角度，再确定从旋转点出发的两条线段旋转后的位置，这是关键所在，最后画其他的线段。
旋转可以改变图形的位置，但是转动的中心点是不动的，图形上线段的长度是不变的。因此画图时，可将图形的旋转转化为线段的旋转，只要找准关键线段旋转后的位置，即可化难为易。画图时，先弄清楚旋转的方向和角度，再确定从旋转点出发的两条线段旋转后的位置，这是关键所在，最后画其他的线段。 旋转可以改变图形的位置，但是转动的中心点是不动的，图形上线段的长度是不变的。因此画图时，可将图形的旋转转化为线段的旋转，只要找准关键线段旋转后的位置，即可化难为易。画图时，先弄清楚旋转的方向和角度，再确定从旋转点出发的两条线段旋转后的位置，这是关键所在，最后画其他的线段。 旋转可以改变图形的位置，但是转动的中心点是不动的，图形上线段的长度是不变的。因此画图时，可将图形的旋转转化为线段的旋转，只要找准关键线段旋转后的位置，即可化难为易。画图时，先弄清楚旋转的方向和角度，再确定从旋转点出发的两条线段旋转后的位置，这是关键所在，最后画其他的线段。 旋转可以改变图形的位置，但是转动的中心点是不动的，图形上线段的长度是不变的。因此画图时，可将图形的旋转转化为线段的旋转，只要找准关键线段旋转后的位置，即可化难为易。画图时，先弄清楚旋转的方向和角度，再确定从旋转点出发的两条线段旋转后的位置，这是关键所在，最后画其他的线段。 旋转可以改变图形的位置，但是转动的中心点是不动的，图形上线段的长度是不变的。因此画图时，可将图形的旋转转化为线段的旋
人教版数学五年级下册画简单图形旋转90度后的图形
画简单图形旋转90°后的图形 教材内容:人教版五年级下册84页例3 教学目标:1.能通过观察、动手操作的过程，尝试画线段、三角形旋转90°后的图形。 2.正确掌握画平面图形旋转90°后的图形 教学重点:会利用一条线段、两条线段旋转90°后的画法，尝试三角形旋转90°后的图形教学难点：掌握三角形旋转90°后图形的画法 教具准备：幻灯片、格子图 教学过程： 一、由情景导入上个星期我们去东仁乐园春游，你觉得哪些景物，在你心中特别难忘，（风车）美丽的风车是属于什么运动现象呢？（旋转）谁还记得图形旋转三要素是哪些？师板书：中心、方向、角度 二、尝试线段旋转90°后的画法 1、旋转的利用在我们生活中，到处可见，我想同学们对眼前的这幅画并不陌生，（出示 课件：门卫车杆）它就是利用线段旋转后的图形进行操作的。那么它在我们的数学学习中，又怎样把它画出来呢？请同学们试着完成练习第 1 题。学生汇报，在格子图动手操作。（一条线段在旋转的时候是先确定关键点） 2、一条线段的旋转不能满足我们生活中的需要，往往会有比它更加复杂的图形，当我们遇到像练习第2题的时候，又怎样在格子图画出来呢？（画角AOB，绕点0顺时针旋转90° 后的图形）请同桌间相互讨论，可以利用你们手上有的工具，动手操作，然后再把它画出来。汇报：你们是怎样画的？先动手操作还是直接想出来的，让他们把自己的想法说出来。 ①确定关键线，一定是过关键点的线。 ②旋转后的线和原来的线一定是多少度 ③这两条线，先画哪条都可以 三、探究新知，明确画法一条线、一个直角，旋转后的图形同学们掌握了画法，接下来有没有 信心，挑战更加完 美一些的图形旋转后的图形？ 1、请同学们把课本打开翻到84页例3，根据题目要求，试着在课本上独立完成。 ①让学生先独立试着画，老师巡视。 ②有的同学可能不会画，让同桌间讨论。 ③如果还是有不会画的同学，提示可不可以用你们原先剪好的三角形，动手操作呢？ 2、汇报：①用三角形实物图旋转后画的？演示给我们看，并说你的画法。②不用实物 图，用前面我们画一条线、一个角的方法而找到的方法呢！说说自己的画法。 3、规范解答，明确画法 如果没有实物图的情况下，同样可以准确地把三角形AOB 旋转90°后的图形画出来。请看大屏幕：①审题②找对关键点③找对关键线，一定是过点的线（再根据线的旋转方向、角度、长度，旋转后的线和原来的线不管怎样旋转，它们一定是互相垂直，形成的角是90° 点对对应点）④连线 四、课堂练习 1、利用画图形旋转90°后的四点方法，试着完成课本84 页的“做一做” 2、指名说说自己的画法。 3、集体订正 五、课堂小结
旋转曲面的面积
§4 旋转曲面的面积 教学目的与要求： 1. 理解并掌握在直角坐标系、参数方程、极坐标中， 计算旋转曲面的面积的公式. 2. 理解并掌握微元法的思想及应用. 教学重点，难点： 1. 在直角坐标系、参数方程、极坐标中， 计算旋转曲面的面积的公式. 2. 微元法的思想及应用. 教学内容： 定积分的所有应用问题，一般总可按“分割，近似求和，取极限”三个步骤导出所求量的积分形式。但为简便实用起见，也常采用下面介绍的“微元法”。本节和下一节将采用此法来处理。 一 微元法 为了介绍微元法，我们首先回顾一下在讲定积分定义时引入的例子——求曲边梯形的面积问题。 设f 为闭区间[a ，b]上的连续函数，且f （x ）≥0。由曲线y=f (x)，直线x=a,x=b 以及x 轴所围成的平面图形（图9-1），称为曲边梯形，下面讨论曲边梯形的面积 作法：（ｉ）分割 在区间[ a ，b]内任取n-1个分点，它们依次为 a=x 0＜x 1＜x 2＜…＜x n －１＜x n =b, 这些点把[a,b]分割成n 个小区间[x ｉ－１, x ｉ],I=1,2,…n.再用直线x= x ｉ, ｉ=1,2,…，n-1把曲边梯形分割成n 个小曲边梯形（图9-2）。 （ii ）近似求和 在每个小区间[x i-1,x i ]上任取一点i ξ，作以f (i ξ)为高，[x i-1,x i ]为底的小矩形.当分割[a,b]的点分点较多,又分割得较细密时,由于f 为连续函数,它在每个小区间上的值变化不大,从而可用这些小矩形的面积近似替代相应小曲边梯形的面积.于是, n 个小矩形面积之和就可作为该曲边梯形面积S 的近似值,即 1()n i i i S f x ξ=≈?∑ ).(1--=?i i i x x x （iii ）取极限 注意到(1)式右边的和式既依赖于对区间[a,b]的分割，又 与所有中间点i ξ（i=1,2,…，n ）的取法有关。可以想象，当分点无限增多， 且对[a,b]无限细分时，如果此和式与某一常数无限接近，而且与分点x i 和中间点i ξ的选取无关，则就把此常数定义作为曲边梯形的面积S.
第三章 常见曲面球面和旋转面
第三章 常 见 曲 面 §3.1 球面和旋转面 1.1球面的普通方程 球面方程的建立 首先建立球心在点()0000,,z y x M ，半径为0R ≥的球面方程。根据以下充分必要条件 (,,)M x y z 在球面上0M M R ?=， 得 ()()()2 2 2 2 000x x y y z z R -+-+-=， （3.1） 展开得 2221232220,x y z b x b y b z c ++++++= （3.2） 其中， 2222102030,000,,b x b y b z c x y z R =-=-=-=++-。 (3.1)或(3.2)就是所求球面方程，它是一个三元二次方程，没有交叉项(yz xz xy ,,项),平方项的系数相同。反之，任一形如（3.2）的方程经过配方后可写成： ()()(),0232221232221=---++++++b b b c b z b y b x 当c b b b >++2 32 22 1时，它表示一个球心在()321,,b b b ---，半径为c b b b -++2 32 22 1的 球面；当c b b b =++2 32221时，它表示一个点() 32,1,b b b ---；当c b b b <++2 32221时，它没有轨迹(或者说它表示一个虚球面）。 1.2球面的参数方程，点的球面坐标 如果球心在原点，半径为R ，在球面上任取一点()z y x M ,,,从M 作xOy 面的垂线，垂
足为N N ，连,O M O N 。设x 轴到ON 的角度为?，ON 到OM 的角度为θ(M 在xOy 面上方时，θ为正，反之为负)，则有 cos cos ,cos sin ,02,.2 2 sin ,x R y R z R θ?π π θ??πθθ=?? =≤<- ≤≤ ??=? （3.3） (3.3)称为球心在原点，半径为R 的球面的参数方程，有两个参数θ?,，其中?称为经度，θ称为纬度。 球面上的每一个点(除去它与z 轴的交点)对应唯一的对实数()?θ,，因此()?θ,称为球面上点的曲纹坐标。 因为空间中任一点()z y x M ,,必在以原点为球心，以R OM =为半径的球面上，而球面上点（除去它与z 轴的交点外）又由它的曲纹坐标()?θ,唯一确定，因此，除去z 轴外，空间中的点M 由有序三元实数组()?θ,,R 唯一确定。我们把()?θ,,R 称为空间中点M 的球面坐标（或空间极坐标），其中0R ≥，,022 2 π π θ?π-≤≤ ≤≤。 点M 的球面坐标()?θ,,R 与M 的直角坐标()z y x ,,的关系为 cos cos , 0,cos sin , - ,22 sin , 02x R R y R z R θ?π π θ?θθ?π =≥??? =≤≤ ??=≤≤?? （3.4） 1.3曲面和曲线的普通方程、参数方程 从球面的方程（3.2）和球面的参数方程（3.3）看到，一般来说，曲面的普通方程是一个三元方程()z y x F ,,=0，曲面的参数方程是含有两个参数的方程： (,),(,), ,,(,),x x u v y y u v a u b c v d z z u v =?? =≤≤≤≤??=? （3.5） 其中，对于()v u ,的每一对值，由（3.5）确定的点()z y x ,,在此曲面上；而此曲面上任一点的坐标都可由()v u ,的某一对值（3.5）表示。于是通过曲面的参数方程（3.5），曲面上的
《画旋转后的图形》推荐练习
《画旋转后的图形》 推荐练习： 一、填空。 1.图形A向（右）平移（）格可以得到图形B；图 形B绕点（）按（）方向旋转（）度可以得到图 形C；图形B绕点（）按（）方向旋转（）度 可以得到图形E。图形A先向（）平移（）格，再 绕点（）按（）方向旋转（）度可以得到图形D。 2.（1）图形1绕点A（）时针旋转90°到图形4所在位 置。 （2）图形2绕点A（）时针旋转90°到图形1所在位置。 （3）图形3绕点A（）时针旋转90°到图形4所在位置。 二、选择。 1.从早上6：15到早上6：45，钟面上的分针旋转了（）。 A.60° B.90° C.180° 2.绕点C逆时针旋转90°后得到的图形是（）。 A. B. C. 3.将数字“6”旋转180°，得到数字“9”，将数字“9”旋转180°，得到数字“6”，现将数字“69”旋转180°，得到的数字是（）。 A.96 B.69 C.66 D.99 4.如图，下面的四个图形中，由左图绕点O顺时针旋转90°，再向左平移一格后得到的是（）。 三、画一画，填一填。 1.（1）如图，三角形AOB绕点O顺时针旋转90°，请在图中
标出点A、B的对应点A′、B′。 （2）三角形AOB绕点O（）时针旋转（）°，得到图②。 （3）三角形AOB绕点O逆时针旋转90°得到图形（）；逆时针旋转180°得到图形（）。 2.画出图1绕点0顺时针旋转90°后得到的图形。画出图2绕点A逆时针旋转90°后得到的图形。 1 A O2 3按照图中的变化规律画出第四个图形。 四、思考题。 原来甲、乙、丙、丁的座位如图①，第1次换座位后如图②，第2次换座位后如图③……请你画出第2018次换座位后，甲、乙、丙、丁的座位情况。 4月23日推荐练习：
2020-2021学年人教版数学五年级下册5.2作旋转后的图形B卷
2020-2021学年人教版数学五年级下册5.2作旋转后的图形B卷 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 亲爱的小朋友，经过一段时间的学习，你们掌握了多少知识呢？今天就让我们来检测一下吧！一定要仔细哦！ 一、作图题 (共12题；共80分) 1. （5分） (2019五上·宁津期中) 动手画画。 （1）将图①向右平移2格，再向下平移4格。 （2）把图②绕O点顺时针旋转90°。 （3）画出图③的另一半，使它成为轴对称图形。 2. （5分）(2020·沈阳)
（1）把图中的平行四边形绕A点逆时针旋转90°，画出旋转后的图形。旋转后，B点的位置用数对表示是（，）。 （2）按1：2画出三角形缩小后的图形。缩小后的三角形的面积是原来的。 3. （5分） (2019五下·黔东南期末) 图形的运动 （1）画出三角形ABO向右平移5格后的图形。 （2）画出三角形ABO绕O点顺时针旋转90°后的图形. 4. （10分）(2020·英山)
（1）用数对表示图中三角形三个顶点A、O、B的位置：A________，O________，B________。 （2）将图中的三角形绕点O顺时针旋转90°，并画出旋转后的图形。 （3）画出三角形按2：1放大后的图形。 5. （5分） (2019四下·南沙期末) 画出图形①向右平移6格后的图形，图形②向下平移4格的图形。 6. （5分）请画出小旗绕O点顺时针旋转90°后的图形． 7. （5分）(2018·长寿) 填一填，画一画。
（1）画出把长方形向右平移6格后的图形。 （2）画出长方形绕点O顺时针旋转90°后的图形。 （3）画出长方形按2：1扩大后的图形。 8. （5分）画出将下面图形向右平移9格后，再绕O点沿顺时针方向旋转90°后的图形。 9. （10分） (2020四下·京山期末) 按要求填一填、画一画。 （1）根据已经给出的对称轴，画出图（1）的另一半。 （2）将图（2）向下平移4格，再向右平移3格。 10. （15分）先认真看清要求，再细心画图． （I）画出三角形ABC沿着B点顺时针旋转180度的结果． （II）画出三角形ABC按3：1放大后的图形．
旋转曲面的参数方程(利用正交变换作旋转)
旋转曲面的参数方程 ---------利用正交变换作旋转 众所周知，yOz 坐标面上的曲线(,)0F y z =绕z 轴旋转而成的旋转曲面的方程为 ()0F z = （1） （见同济大学《高等数学》（5版上册），313页）。 如果以上曲线的方程能写成显函数()y f z =（a z b ≤≤），则该旋转曲面的方程为 ()f z =或 222[()]x y f z += （2） 这个方程的几何意义是：对曲线上的每一点(0,,)P y z ，这个方程给出圆心在(0,0,)z ，半径为()f z 的一个垂直于z 轴的圆。当z 取遍[,]a b 中的每一个值时，这些圆就构成一个旋转曲面。 如果曲线的方程是显函数()y f z =（a z b ≤≤），我们也可以用参数方程来表示这个旋转面： ()c o s ()s i n x f z y f z z z θθ?=?=??=? （02θπ≤≤，a z b ≤≤） （3） 这个方程的几何意义是：对每一个[,]z a b ∈，参数方程给出一个半径为()f z 的垂直于z 轴的圆。当z 取遍[,]a b 中的每一个值时，这些圆就构成一个旋转曲面。 如果曲线的方程能写成参数方程() ()y f t z g t =??=?（a t b ≤≤），则旋转曲面的参数方程为： ()cos ()sin ()x f t y f t z g t θ θ?=? =??=? （02θπ≤≤，a t b ≤≤） （4） 这个方程的几何意义是：对每一个[,]t a b ∈，参数方程给出一个半径为()f t 的垂直于z 轴的圆。当t 取遍[,]a b 中的每一个值时，这些圆就构成一个旋转曲面。 推而广之，如果该曲线是空间曲线，其参数方程为() ()()x h t y f t z g t =??=??=? （a t b ≤≤），则此曲线绕z 轴旋转而成的旋转曲面的参数方程为：
第三章 曲面立体
第三章曲面立体 第一节曲线与曲面 ●1.曲线：圆、椭圆、抛物线、双曲线 ●2.曲面：回转曲面、非回转曲面 ●直纹曲面、曲纹曲面 ●3.曲面立体的形成：回转曲面立体 ●圆的投影 ●1。圆面是投影面的平行面： ●2.圆面是投影面的垂直面 ●3.圆面是投影面的倾斜面 ●平行—反应实形，圆 ●垂直—积聚的线，线长=直径 ●倾斜—椭圆。长轴：圆面内的平行线直径 ●短轴：垂直圆内平行线的最大斜度线 ●1.曲线 柱状屋面 柱状面是由一直母线沿两曲导线移动，同时又平行于一导平面形成的曲面见图3-44a，该柱状面是直母线A D沿着两曲导线A B C和D E F移动且平行于导平面而形成的。 曲面立体 表面由平面与曲面围成，或全部由曲面围成的立体称为曲面立体。 常见曲面是回转面，它是由一直线或曲线以一定直线为轴线回转形成。 由回转曲面组成的立体，称回转体，如圆柱体、圆锥体、球体等。 3.曲面立体的形成 ? 第二节曲面立体的投影及其表面求点的投影 ?1.圆柱的投影 ?圆柱表面点的投影 ?2.圆锥的投影 ?圆锥表面点的投影 ?3.球体的投影 ?球体表面点的投影 （一）圆柱体 圆柱体是由顶面、底面和圆柱面所组成。圆柱面是由一条直母线绕与它平行的轴线回转而成。圆柱面上任意一条平行于轴线的直线，称为圆柱面的素线。曲面体表面上的点和平面体表面上的点相似。为了作图方便，在求曲面体表面上的点时，可把点分为两类： –特殊位置的点，如圆柱、圆锥的最前、最后、最左、最右、底边，
球体上平行于三个投影面的最大圆周上等位置上的点，这样的点可直接利用线上点的方法求得。 圆等 圆锥面是由一直母线绕着与它相交的轴线旋转而成。 在圆锥面上通过锥顶S的任一直线称为圆锥面的素线。
定积分的应用4旋转曲面的面积数学分析
§4 旋转曲面的面积 (一) 教学目的：理解微元法的基本思想和方法，掌握旋转曲面的面积计算公式． (二) 教学内容：旋转曲面的面积计算公式． 基本要求：掌握求旋转曲面的面积的计算公式，包括求由参数方程定义的旋转曲面的面积；掌握平面曲线的曲率的计算公式． (三) 教学建议： 要求学生必须熟记旋转曲面面积的计算公式，掌握由参数方程定义的旋转曲面的面积． ———————————————————— 一 微元法 用定积分计算几何中的面积，体积，弧长，物理中的功，引力等等的量，关键在于把所求量通过定积分表达出来. 元素法就是寻找积分表达式的一种有效且常用的方法. 它的大致步骤是这样的：设所求量 是一个与某变量(设为x )的变化区间 有关的量，且关于区间 具有 可加性. 我们就设想把 分成n 个小区间，并把其中一个代表性的小区间记坐 ， 然后就寻求相应于这个小区间的部分量 的近似值（做这一步的时候，经常画出示意图帮助思考），如果能够找到 的形如 近似表达式（其中 为 上的一个连续函数在点x 处的值， 为小区间的长度),那么就把 称为量 的元素 并记做 ，即 dx x f dU )(= 以量 的元素作为被积表达式在 上进行积分，就得到所求量 的积分表达式： ?b a dx x f )( 例如求由两条曲线)(,)(21x f y x f y == (其中],[,21b a C f f ∈)及直线 b x a x ==, 所 为成图形的面积A.容易看出面积元素dx x f x f DA |)()(|21-=于是得平面图形 b x a x f y x f ≤≤≤≤,)()(21 的面积为 ?-=b a dx x f x f A |)()(|21
六年级下册数学总复习试题画轴对称平移旋转后的图形专项练----全国版
画轴对称、平移、旋转后的图形 一、单选题 1.如图，将立方体绕它的对角线AC1旋转，应该形成（）种立体图形． A. B. C. D. 2.下面哪种方法可以把图②移回图①的位置？（） A. 向左平移1格，向上平移3格 B. 向右平移5格，向下平移3格 C. 向左平移5格，向上平移2格 D. 向上平移3格，向左平移5格 3.下图是一些国家的国旗，其中是对称图形的有( ) A. 4个 B. 2个 C. 1个 4.如图，将三角形A绕点O（），可以得到三角形B． A. 按逆时针方向旋转90° B. 按顺时针方向旋转60° C. 按顺时针方向旋转90°
5.一个图形在方格中先向右平移7格，再向上平移5格，然后向左平移2格，再向左平移5格，此时的位置是（） A. 同到原俯罟了 B. 原位置向上平移了5格 C. 原位置向上平移了2格 6.你能猜出下面的数字吗？它是( ) A. 2 B. 3 C. 8 D. 6 7.下面哪个数字是轴对称数字（） A. 8 B. 4 C. 5 8.下面哪些图案可以通过平移得到？（） A. B. C. 9.下面哪个图案是通过平移右面的图案得到的（） A. B. C. 10.下面的轴对称图形是从哪张纸上剪下来的？（） A. B. C. 二、填空题 11.如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是________ ，折痕所在的 直线叫做________ 12.像等图形，沿着一条直线对折，直线两侧的图形能够完全重合，这样的图形是________，折痕所在的这条直线叫作________。
13.下面的汉字哪些可以看成轴对称图形？根据观察的结果分类．(填题中顺序填写文字上方的字母) （1）是轴对称图形的有________． （2）不是轴对称图形的有________． 14.圆的对称轴有________条，半圆形的对称轴有________条 15.看图回答 蜡烛向________平移了________格． 小船向________平移了________格． 凳子向________平移了________格． 酒杯向________平移了________格．
工程制图第三章小结与习题答案
第三章小结 一、基本体及其投影特点 1、平面体 （1）棱柱体：两底面平行，侧棱面⊥底面。 1）棱柱体投影特点：一个投影反映底面的真形，另两个投影为矩形+棱线。 2）表面上点的投影特性： 侧棱线上的点：积聚为底面投影的各顶点； 侧棱面上的点：积聚为底面投影的各底边； 底面上的点：积聚为侧棱面投影的矩形上/下边上。 （2）棱锥体： 1）棱锥体投影特点：一个投影反映底面的真形，另两个投影为三角形+棱线。 2）表面上点的投影特性： 底面上的点：积聚为侧棱面投影的三角形底边上。 2、回转体 基本概念： 1）回转面：母线绕轴旋转一周形成的面。 2）转向轮廓线：从投影方向看去，回转面可见部分与不看见部分的分界线。正面投影的转向轮廓线称为正转向轮廓线；侧面投影的转向轮廓线称为侧转向轮廓线。 （1）圆柱体：两底面平行，回转面⊥底面。 1）圆柱体投影特点：一个投影为圆，另两个投影为矩形。 2）表面上点的投影特性： 转向轮廓线上的点：积聚在另两个投影的对称中心线上； 回转面上的点：积聚在圆周上。 （2）圆锥体： 1）圆锥体投影特点：一个投影为圆，另两个投影为等腰三角形。 2）表面上点的投影特性： 转向轮廓线上的点：积聚在另两个投影的对称中心线上； 回转面上的点：积聚在圆周内。注意：可根据点或轮廓线的（不）可见性，初步判定其位置。 二、绘制基本体表面上点的投影 基本依据：基本体表面点的投影特性。 基本思路：对于特殊点：根据其特性得到；对于非特殊点：借助特殊点作辅助线得到。 具体方法如下： 1、平面体 最特殊的点：棱线上的点。 （1）棱柱体：先初步判断点的位置（棱线上？侧棱面上？底面上？），然后根据相应的投影特性得出其投影。 （2）棱锥体：①先在已知投影中标出锥体顶点和底面各顶点，并初步判断点的位置；②根据标注的顶点，可得到各棱线上点的投影；③对于侧棱面上的点，可借助棱线上的点做辅助线得到。辅助线做法有两种：一种是过锥体顶点和该点已知投影作辅助线，交三角形底边于一点；另一种是过该点已知投影作底边的平行线，与棱线相交于一（或两）点。所求点的投影便在该辅助线上。 2、回转体 最特殊的点：转向轮廓线上的点。 （1）圆柱体：初步判断点的位置，根据其投影特性即可得到其投影。（2）圆锥体：对于回转面上点的投影，可借助转向轮廓线或底面圆周上的点做辅助线得到。有两种方法： ①素线法：过锥体顶点和该点已知投影作辅助线，交三角形底边（或圆周线）于一点，所求点的投影便在该辅助线上。 ②纬圆法：分两种情况：若点的已知投影在等腰三角形内，则先过该投影做三角形底边的平行线，交三角形腰于一（或两）点，接着过该交点做底圆投影对称轴的垂线，得到一垂足，然后以底圆的圆心为圆心，过该垂足作一辅助圆，所求点的投影便在该圆上。。若点的已知投影在底圆内，则先做过该点的辅助圆，与对称轴相交，再做该交点在三角形中的投影（在腰上），然后过该投影做三角形底边的平行线，所求点的投影
旋转曲面图形绘制
实验名称：旋转曲面图形绘制 --------------谢煜1024 一、问题阐述： 二、问题分析： 该问题应归于三维可视化的范畴，问题中的函数形式已给出，通过计算函数在分段点的函数值和一阶导数值，我们可以知道，该函数曲线是光滑的。如果按照“经典”的绘图方法，我们应该找到对应平面的对应点函数值（正如一幅数码图片那样对应平面上点的函数值），然后使用MATLAB中命令surf或mesh来绘出我们的图形。但是我们注意到，对于特定的操作（旋转），也许这样并不是一个很好的方法。 我们知道，一个旋转曲面的两个要素是截面曲线和旋转轴。我们可以通过这两个步骤得到一个特定的旋转曲面。 1.指定截面曲线； 2.指定旋转轴。 我们同时可以将旋转曲面的形成过程看作是某个具有特定形状的截面曲线对一个圆柱体进行“变形”。基于这样的思想，我们可以用一下两个步骤得到一个特定的旋转曲面： 1.生成一个单位高度单位半径的圆柱体； 2.将截面曲线的形状应用到该矩形截面上； 3.对旋转曲面的高度进行缩放。 三、实验内容（包含程序及其注释，实验输出及其分析） 接下来第一步我们还是先用一个简单的程序看看截面曲线的样子， 绘出如图1所示的曲线，有点像给出的飞机机翼截面的上半部分，也有点像鲸的头 部。 图1 截面曲线 接下来我们按照要求，先计算对应的y和z， 得到如下表1中所列数据， 表1 对应三轴数据 然后，按照我们的思路，应该先生成一个单位高度圆柱体，然后应用截面，再伸缩 长度，在MATLAB里面，有一个命令cylinder可以直接生成圆柱体，并且还可以指定截面函数，这样三步就完成前两步，我们只需要将X轴的数据进行放大即图形上的伸缩即可。唯一需要说明的是，由于问题中X轴是横的，而cylinder命令默认旋转轴是Z轴，我 们可以将返回的数值顺序调换一下，将X的数据放在Z轴数据的位置。如下命令：最后，我们用以下命令绘出图形，图形如图2所示。这个旋转曲面形状像一个陨石在大气层中燃烧产生的焰火，当然，我觉得也像一个望着大家的眼球。 图2 旋转曲面图形 至此，本实验所包含的基本问题就得到解决。 下面我们来生成一个有趣的图形。展示了一个“逃出”的情景。如图3，所用程序一并给出。 图3 多个旋转曲面组成的图形 四、实验结论 通过这个实验我们解决了给出的基本问题，并发展出一种更方便的绘制旋转曲面的方法。这种方法也说明我们采取的解决方法和我们看待事物的角度有密切联系。有意识
旋转曲面、柱面和二次曲面
旋转曲面、柱面和二次曲面 一、旋转曲面 定义 一条曲线C 绕一条直线l 旋转所得的曲面称为旋转曲面。l 称为轴，C 称为母线。 设旋转轴为z 轴，母线C 在yOz 平面上，其方程为? ??==00 ),(x z y f ，则旋转曲 面的方程为0),(2 2=+± z y x f 。 坐标平面上的一条曲线绕该坐标面上的一条坐标轴旋转所得旋转曲面方程的求法：在该曲线在坐标平面上的方程中，保留与旋转轴同名的变量不动，而把另一个变量换成与旋转轴不同名的另两个变量的平方和的平方根。 例1 母线? ??==02:2x pz y C 绕z 轴旋转所得的旋转曲面方程为 pz y x 222=+，这个曲面称为旋转抛物面。 例 2 母线??? ??==-0 1:2222y c z a x C 绕z 轴旋转所得旋转曲面方程为 122 2 22=-+c z a y x ，这个曲面称为旋转单叶双曲面；绕x 轴旋转所得旋转曲面方程为12 2 222=+-c z y a x 这个曲面称为旋转双叶双曲面。 二、柱面 定义 一条直线l 沿着一条空间曲线C 平行移动所形成的曲面称为柱面。l 称为母线，C 称为准线。 定理 在空间直角坐标系中，只含两个元的三元方程所表示的曲面是一个柱面，它的母线平行于所缺元的同名坐标轴。
椭圆柱面：12222=+b y a x 双曲柱面：122 22=-b y a x 抛物柱面：px y 22= 三、二次曲面 (1) 椭圆锥面：2 2222z b y a x =+ (2) 椭球面：1222222=++c z b y a x (3) 单叶双曲面：1222222=-+c z b y a x (4) 双叶双曲面：122 2222=--c z b y a x (5) 椭圆抛物面：z b y a x =+2222 (6) 双曲抛物面：z b y a x =-22 22