2019-2020年中考数学专题复习训练直角三角形

D

B

A

A

B C

D E F

G

第2题图

2019-2020年中考数学专题复习训练直角三角形

一、选择题

1．如图，△ABC 中，∠C =90°，AC =3，点P 是边BC 上的动点，则AP 长不可能．．．是( )

A ．2.5

B ．3

C ．4

D ．5

2．如图，ABC ?和DCE ?都是边长为4的等边三角形，点B 、C 、E 在同一条直线上，连接BD ，则BD 的长为（ ） （A

B

）C

）D

）3．在△ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，则该三角形为（ ）

A ．锐角三角形

B ．直角三角形

C ．钝角三角形

D ．等腰直角三角形

4．如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC ＝6 cm 、BC ＝8 cm ，现将△ABC 折叠，使点

B 与点A 重合，折痕为DE ，则BE 的长为（ ）

（A ）4 cm （B ）5 cm （C ）6 cm （D ）10 cm

第5题

5．图中，每个小正方形的边长为1，ABC ?的三边c b a ,,的大小关系式：

（A ）b c a << （B ）c b a <<

（C ）b a c << （D ）a b c << 6．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ） A.1，2，3 B.2，3，4 C.3，4，5 D.4，5，6 二、填空题

1．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝8，AD 是底边上的高，E 为AC 中点，则DE ＝ ． 2．已知△ABC 是边长为1的等腰直角三角形，以Rt △ABC 的斜边AC 为直角边，画第二个等

腰Rt △ACD ，再以Rt △ACD 的斜边AD 为直角边，画第三个等腰Rt △ADE ，…，依此类推，第n 个等腰直角三角形的斜边长是 ．

第1题图

A

第4题

B

C

D

E

C

（第1题）

3．勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．l955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理．在右图的勾股图中，已知∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4．作△PQR 使得∠R=90°，点H 在边QR 上，点D ，E 在边PR 上，点G ，F 在边_PQ 上，那么?PQR 的周长等于 ．

4．已知，在△ABC 中，∠A = 45°，AC = 2，AB = 3+1，则边BC 的长为 ．

5．如图，四边形ABCD 中，AB =AC =AD ，E 是CB 的中点，AE =EC ，∠BAC =3∠DBC ，BD

=则AB = ．

第5题 第6题 第7题

6．如图，Rt △ABC 中，∠C=0

90, ∠ABC=0

30，AB=6.点D 在AB 边上，点E 是BC 边上一点（不与点B 、C 重合），且DA=DE ，则AD 的取值范围是 .

7．两块完全一样的含30?

角的三角板重叠在一起，若绕长直角边中点M 转动，使上面一块的斜边刚好过下面一块的直角顶点，如图6，∠A ＝30?

，AC ＝10，则此时两直角顶点C 、C '间的距离是 。

8．一个承重架的结构如图所示，如果∠1＝155°，那么∠2＝_ _°．

9．在,90,

=∠?ACB ABC Rt 中D 是AB 的中点，CD=4cm ，则AB= cm 。

10．Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AC 为一边，在△ABC 外部作等腰直角三角形 ACD ，

则线段BD 的长为 。

1

2

第8题

A B

C D 1．如图，AB = 3AC ，BD = 3AE ，又BD ∥AC ，点B ，A ，E 在同一条直线上.

(1) 求证：△ABD ∽△CAE ；

(2) 如果AC =BD ，AD =22

BD ，设BD = a ，求BC 的长.

2．如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，BD 是∠ABC 的平分线，CD ＝5㎝，

求AB 的长．

[问题情境]

勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明，著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系”（勾股定理）带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言。 [定理表述]

请你根据图1中的直角三角形叙述勾股定理（用文字及符号语言叙述）；（3分）

[尝试证明]

以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a 、b 为底，以b a +为高的直角梯形（如图2），请你利用图2，验证勾股定理；（4分） [知识拓展]

利用图2中的直角梯形，我们可以证明

.2<+c

b

a 其证明步骤如下： AD

b a BC ,+= = 。

又∵在直角梯形ABCD 中有BC AD （填大小关系），即 ，

.2<+∴

c

b

a

2019-2020年中考数学专题复习训练等腰三角形

一、选择题

1．如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =36°，BD 、CE 分别是△ABC 、△BCD 的角平分线， 则图中的等腰三角形有（ ）

(A)5个 (B)4个 (C)3个 (D)2个

2．如图，直线CD 是线段AB 的垂直平分线，P 为直线CD 上的一点，已知线段PA =5，则线段PB 的长度为（ ）

A ．6

B ．5

C ．4

D ．3

3．下列性质中，等腰三角形具有而直角三角形不一定具有的是 （ ）

A ．两边之和大于第三边

B ．有一个角的平分线垂直于这个角的对边

C ．有两个锐角的和等于90°

D ．内角和等于180°

4.如图，过边长为1的等边△ABC 的边AB 上一点P ，作PE ⊥AC 于E ，Q 为BC 延长线上一点，当PA ＝CQ 时，连PQ 交AC 边于D ，则DE 的长为（ ）

A B C

D P

E D C

B A (第1题)

A

D

B

E

A ．

13

B ．12

C ．2

3 D ．不能确定

第2题图 第4题图 5．如图，等腰△ ABC 中，AB=AC ，∠A=20°。线段AB 的垂直平分线交AB 于D ，交AC 于E ，连接BE ，则∠CBE 等于（ ）

A 、80°

B 、 70°

C 、60°

D 、50°

6．已知等腰三角形的两条边长分别是7和3，则下列四个数中，第三条边的长是( )

A ．8

B ．7

C ． 4

D ．3

7．如左下图，△ABC 内有一点D ，且DA=DB=DC ，若∠DAB=20°，∠DAC=30°，则∠BDC 的大小是（ ）

A.100°

B.80°

C.70°

D.50°

8．如右下图，在△ABC 中，D ，E 分别是边AC ，AB 的中点， 连接BD ．若BD 平分∠ABC ，则下列结论错误的是（ ）

A ．BC ＝2BE

B ．∠A ＝∠EDA

C ．BC ＝2A

D D ．BD ⊥AC

第7题 第8题

9如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A 、B 是两格点，如果C 也是为等腰三角形．．．．．

，则点C 的个数是（ ） 第11题图 第13题图 B ．7

C ．8

D ．9

10．已知等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数是（ ）

A ．55°，55° B．70°，40° C ．55°，55°或70°，40° D ．以上都不对

C

（第2题）

E

D

C

B

A

11．如图，过边长为1的等边△ABC 的边AB 上一点P ，作PE ⊥AC 于E ，Q 为BC 延长线上一点，当PA ＝CQ 时，连PQ 交AC 边于D ，则DE 的长为（ ）

A ．

13 B ．12 C ．2

3

D ．不能确定 12．已知：一等腰三角形的两边长x 、y 满足方程组2-3,

328,x y x y =??

+=?

则此等腰三角形的周长为

（ ）

A ．5

B ．4

C ．3

D ．5或4

13．如图，点C 是线段AB 上的一个动点，△ACD 和△BCE 是在AB 同侧的两个等边三角形，DM ，EN 分别是△ACD 和△BCE 的高，点C 在线段AB 上沿着从点A 向点B 的方向移动(不与点A ，B 重合)，连接DE ，得到四边形DMNE ．这个四边形的面积变化情况为（ ）

（A ）逐渐增大 (B) 逐渐减小 (C) 始终不变 (D) 先增大后变小 14．如图所示，已知△ABC 和△DCE 均是等边三角形，点B 、C 、E 在同一条直线上，AE 与BD

交于点O ，AE 与CD 交于点G ，AC 与BD 交于点F ，连结OC 、FG ，则下列结论：①AE＝BD ②AG ＝BF ③FG∥BE ④∠BOC＝∠EOC，其中正确结论的个数（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

15．等腰三角形的底角为40°，则这个等腰三角形的顶角为( )

A ．40°

B ．80°

C ．100°

D ．100°或40°

二、填空题

1．如图，AD 是△ABC 的边BC 上的高，由下列条件中的某一个就能推出△ABC 是等腰三角形的是__________________。（把所有正确答案的序号都填写在横线上） ①∠BAD ＝∠ACD ②∠BAD ＝∠CAD ， ③AB+BD ＝AC+CD ④AB-BD ＝

AC-CD

2．如图，△ABC 中，DE 垂直平分AC 交AB 于E ，∠A =30°，∠ACB =80°，则∠BCE = °．

3．（等腰△ABC 的两边长分别为2和5，则第三边长为 ．

……

图③

图②

图①

B

A

第9题

D1

D5

D2

D3

D4

D0

C

A B

C D

P

E

F

G

C

A

10

P

E

F

B

4．如图，将第一个图（图①）所示的正三角形连结各边中点进行分割，得到第二个图（图

②）；再将第二个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割，得到第三个图（图

③）；再将第三个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割，……，则得到的第

五个图中，共有________个正三角形．

5．做如下操作：在等腰三角形ABC中,AB= AC,AD平分∠BAC,

交BC于点D.将△ABD作关于直线AD的轴对称变换,所得的

像与△ACD重合.

对于下列结论:①在同一个三角形中,等角对等边;②在同一个三角形中,等边对等角;③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线

和高互相重合.

由上述操作可得出的是(将正确结论的序号都填上).

第5题

第7题第8题

6．已知周长为8的等腰三角形，有一个腰长为3，则最短的一条串位线长为．

7．如图,等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC边上一点.若AE=2,EM+CM的最小值为 .

8．如图：已知AB=10，点C、D在线段AB上且AC=DB=2；P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB，连结EF，设EF的中点为G；当点P从点C运动到点D时，则点G移动路径的长是________．

9．如图，△ABC是一个边长为2的等边三角形，AD0⊥BC，垂足为点D0．过点D0作D0D1⊥AB，垂足为点D1；再过点D1作D1D2⊥AD0，垂足为点D2；又过点D2作D2D3⊥AB，垂足为点D3；……；

这样一直作下去，得到一组线段：D0D1，D1D2，D2D3，……，则线段D n-1D n的长为_ _（n为正整数）．

10．如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=90,直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F．给出以下四个结论：

①BE=AF,②Ｓ△EPF 的最小值为

2

1

,③tan ∠PEF=33，④Ｓ四边形AEPF =１.当∠EPF 在△ABC 内绕顶点

P 旋转时（点E 不与A ，B 重合），上述结论始终正确是 ．（将正确的命题序

号全部写上） 三、解答题

1．如图，BCD ACB ??和都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D 为AB 边上一点。 （1）求证：△ACE ≌△BCD ； （2）若AD=5，BD=12，求DE 的长。

压轴题：如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点． （1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．

①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由；

②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使

BPD △与CQP △全等？

（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？