年高考真题+高考模拟题 专项版解析汇编 文科数学——02 函数的概念与基本初等函数I(教师
专题02 函数的概念与基本初等函数I
1．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】设3log 42a =，则4a -= A ．
1
16
B ．19
C ．18
D ．
16
【答案】B
【解析】由3log 42a =可得3log 42a
=，所以49a =，
所以有14
9
a
-=
， 故选：B.
【点睛】本题考查的是有关指对式的运算的问题，涉及到的知识点有对数的运算法则，指数的运算法则，属于基础题目. 2．【2020年高考天津】函数241
x
y x =
+的图象大致为
A B
C D
【答案】A
【解析】由函数的解析式可得：()()241
x
f x f x x --==-+，则函数()f x 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD 错误； 当1x =时，4
2011
y =
=>+，选项B 错误.
故选：A.
【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．
3．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05．志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者 A ．10名 B ．18名
C ．24名
D ．32名
【答案】B
【解析】由题意，第二天新增订单数为50016001200900+-=，设需要志愿者x 名，
500.95900
x
≥，17.1x ≥,故需要志愿者18名. 故选：B
【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.
4．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)
()=
1e
t I K t --+，其中K 为最大确诊病例数．当I (*t )=0.95K 时，标志着已初步遏
制疫情，则*t 约为（ln19≈3） A ．60
B ．63
C ．66
D ．69
【答案】C 【解析】()()
0.23531t K I t e
--=
+，所以()(
)
0.2353
0.951t K I t K e
*
*
--=
=+，则
(
)0.2353
19t e
*-=，
所以，(
)
0.2353ln193t *
-=≈，解得3
53660.23
t *
≈
+≈. 故选：C.
【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.
5．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】设a =log 32，b =log 53，c =
2
3
，则 A ．a B ．a C ．b D ．c 【答案】A 【解析】因为333112log 2log 9333a c =<==，355112 log 3log 25333 b c =>==， 所以a c b <<. 故选A . 【点晴】本题考查对数式大小的比较，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题. 6．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】设函数f (x )=x 3－3 1 x ，则f (x ) A ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减 C ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减 【答案】A 【解析】因为函数()3 3 1 f x x x =- 定义域为{}0x x ≠，其关于原点对称，而()()f x f x -=-， 所以函数()f x 为奇函数． 又因为函数3 y x =在0, 上单调递增，在 ,0上单调递增， 而331 y x x -= =在0,上单调递减，在 ,0上单调递减， 所以函数()3 31 f x x x =-在0,上单调递增，在 ,0上单调递增． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题． 7．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】若2x ?2y <3?x ?3?y ，则 A ．ln(y ?x +1)>0 B ．ln(y ?x +1)<0 C ．ln|x ?y |>0 D ．ln|x ?y |<0 【答案】A 【解析】由2233x y x y ---<-得：2323x x y y ---<-， 令()23t t f t -=-， 2x y =为R 上的增函数，3x y -=为R 上的减函数，()f t ∴为R 上的增函数， x y ∴<， 0y x ->，11y x ∴-+>，()ln 10y x ∴-+>，则A 正确，B 错误； x y -与1的大小不确定，故CD 无法确定. 故选：A. 【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到,x y 的大小关系，考查了转化与化归的数学思想. 8．【2020年高考天津】设0.7 0.8 0.71 3,(),log 0.83 a b c -===，则,,a b c 的大小关系为 A ．a b c << B ．b a c << C ．b c a << D ．c a b << 【答案】D 【解析】因为0.731a =>， 0.8 0.80.71333b a -??==>= ??? ， 0.70.7log 0.8log 0.71c =<=， 所以1c a b <<<. 故选：D. 【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围. 比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法： （1）利用指数函数的单调性：x y a =，当1a >时，函数递增；当01a <<时，函数递减； （2）利用对数函数的单调性：log a y x =，当1a >时，函数递增；当01a <<时，函数 递减； （3）借助于中间值，例如：0或1等. 9．【2020年新高考全国Ⅰ卷】基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间. 在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rt I t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0 =1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) A ．1.2天 B ．1.8天 C ．2.5天 D ．3.5天 【答案】B 【解析】因为0 3.28R =，6T =，01R rT =+，所以 3.281 0.386 r -= =，所以()0.38rt t I t e e ==， 设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为1t 天， 则10.38()0.382t t t e e +=，所以10.382t e =，所以10.38ln 2t =， 所以1ln 20.69 1.80.380.38 t = ≈≈天. 故选：B. 【点睛】本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题. 10．【2020年新高考全国Ⅰ卷】若定义在R 的奇函数f (x )在(0),-∞单调递减，且f (2)=0，则 满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是 A ．[)1,1][3,-+∞ B ．3,1][,[01]-- C ．[)1,0][1,-+∞ ．1,0]3][[1,- 【答案】D 【解析】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =， 所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =， 所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-?时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞时，()0f x <， 所以由(10)xf x -≥可得： 021012x x x -≤-≤-≥?或或0 01212 x x x >??≤-≤-≤-?或或0x = 解得10x -≤≤或13x ≤≤， 所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-?， 故选：D. 【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题. 11．【2020年新高考全国Ⅰ卷】信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X 所有可能 的取值为1,2, ,n ，且1 ()0(1,2, ,),1n i i i P X i p i n p ===>==∑，定义X 的信息熵 21 ()log n i i i H X p p ==-∑. A ．若n =1，则H (X )=0 B ．若n =2，则H (X )随着1p 的增大而增大 C ．若1 (1,2, ,)i p i n n ==，则H (X )随着n 的增大而增大 D ．若n =2m ，随机变量Y 所有可能的取值为1,2,,m ，且 21()(1,2, ,)j m j P Y j p p j m +-==+=，则H (X )≤H (Y ) 【答案】AC 【解析】对于A 选项，若1n =，则11,1i p ==，所以()()21log 10H X =-?=，所以A 选项正确. 对于B 选项，若2n =，则1,2i =，211p p =-， 所以()()()121121X log 1log 1H p p p p =-?+-?-????， 当114p = 时，()22 1 133log log 4444H X ?? =-?+? ??? ， 当13p 4= 时，()223 311log log 4 444H X ??=-?+? ???， 两者相等，所以B 选项错误. 对于C 选项，若()1 1,2,,i p i n n = =，则 ()2221 11log log log H X n n n n n ??=-??=-= ???， 则()H X 随着n 的增大而增大，所以C 选项正确. 对于D 选项，若2n m =，随机变量Y 的所有可能的取值为1,2, ,m ，且 ()21j m j P Y j p p +-==+（1,2, ,j m =）. ()2222 1 1 1log log m m i i i i i i H X p p p p ===-?=?∑∑ 12 22212 22 12 21 21111log log log log m m m m p p p p p p p p --=?+?++?+?. ()H Y = ()()()122 221212 12221 1 11 1 log log log m m m m m m m m p p p p p p p p p p p p -+-++?++?+ ++?+++12 22212 22 12221 2211211 11 log log log log m m m m m m p p p p p p p p p p p p ---=?+?+ +?+?++++. 由于()01,2, ,2i p i m >=，所以 2111 i i m i p p p +->+， 所以2 22111log log i i m i p p p +->+， 所以2 22111 log log i i i i m i p p p p p +-?>?+， 所以()()H X H Y >，所以D 选项错误. 故选：AC 【点睛】本小题主要考查对新定义“信息熵”的理解和运用，考查分析、思考和解决问题的能力，涉及对数运算和对数函数及不等式的基本性质的运用，属于难题. 12．【2020年高考天津】已知函数3,0,(),0. x x f x x x ?≥=?- ()()2() g x f x kx x k =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是 A ．1(,)(22,)2 -∞-+∞ B ．1(,)(0,22)2 -∞- C ．(,0) (0,22)-∞ D ．(,0) (22,)-∞+∞ 【答案】D 【解析】注意到(0)0g =，所以要使()g x 恰有4个零点，只需方程() |2||| f x kx x -=恰有3个实根 即可， 令()h x = ()||f x x ，即|2|y kx =-与() ()|| f x h x x =的图象有3个不同交点. 因为2,0 ()()1,0 x x f x h x x x ?>==? ()|| f x h x x = 有2个不同交点，不满足题意； 当k 0<时，如图2，此时|2|y kx =-与() ()|| f x h x x =恒有3个不同交点，满足题意； 当0k >时，如图3，当2y kx =-与2y x 相切时，联立方程得220x kx -+=， 令0?=得280k -=，解得22k =（负值舍去），所以22k >. 综上，k 的取值范围为(,0)(22,)-∞+∞. 故选：D. 【点晴】本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题. 13．【2020年高考北京】已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是 A. (1,1)- B. (,1)(1,)-∞-+∞ C. (0,1) D. (,0)(1,)-∞?+∞ 【答案】D 【解析】因为()21x f x x =--，所以()0f x >等价于21x x >+， 在同一直角坐标系中作出2x y =和1y x =+的图象如图： 两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)， 不等式21x x >+的解为0x <或1x >. 所以不等式()0f x >的解集为：()(),01,-∞?+∞. 故选：D. 【点睛】本题考查了图象法解不等式，属于基础题. 14．【2020年高考浙江】函数y =x cos x +sin x 在区间[–π，π]上的图象可能是 【答案】A 【解析】因为()cos sin f x x x x =+，则()()cos sin f x x x x f x -=--=-， 即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称， 据此可知选项CD 错误； 且x π=时，cos sin 0y ππππ=+=-<，据此可知选项B 错误. 故选：A. 【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项． 15．【2020年高考浙江】已知a ，b ∈R 且ab ≠0，对于任意x ≥0均有(x –a )(x –b )(x –2a –b )≥0，则 A ．a <0 B ．a >0 C ．b <0 D ．b >0 【答案】C 【解析】因为0ab ≠，所以0a ≠且0b ≠，设()()()(2)f x x a x b x a b =----，则() f x 零点 为123,,2x a x b x a b ===+ 当0a >时，则23x x <，1>0x ， 要使()0f x ≥，必有2a b a +=，且0b <， 即=-b a ，且0b <，所以0b <； 当0a <时，则23x x >，10x <，要使()0f x ≥，必有0b <. 综上一定有0b <. 故选：C 【点晴】本题主要考查三次函数在给定区间上恒成立问题，考查学生分类讨论思想，是一道中档题. 16．【2020年高考江苏】已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，()2 3 f x x =，则()8f -的值是 ▲ ． 【答案】4- 【解析】2 3(8)84f ==， 因为()f x 为奇函数，所以(8)(8)4f f -=-=- 故答案为：4- 【点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题. 17．【2020年高考北京】函数1 ()ln 1 f x x x =++的定义域是____________． 【答案】(0,)+∞ 【解析】由题意得0 10 x x >?? +≠?，0x ∴> 故答案为：(0,)+∞ 【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题. 1．【2020·北京高三月考】已知函数()y f x =满足(1)2()f x f x +=，且(5)3(3)4f f =+，则(4)f = A ．16 B ．8 C ．4 D ．2 【答案】B 【解析】因为(1)2()f x f x +=,且(5)3(3)4f f =+,故()()3 24442 f f = +,解得()48f =. 故选B. 【点睛】本题主要考查了根据函数性质求解函数值的问题,属于基础题. 2．【2020·宜宾市叙州区第二中学校高三一模（文）】已知函数()32,0 log ,0 x x f x x x ?≤=?>? ，则 =3f f ???? ? ? ? ???? ? A ． 2 B ． 12 C ．3log 2- D ．3log 2 【答案】A 【解析】依题意1 2 331log log 32f -===-?? ，1 2122f f f -? ???=-== ? ? ??????? 故选A. 【点睛】本小题主要考查根据分段函数解析式求函数值，属于基础题. 3．【安徽省2020届高三名校高考冲刺模拟卷数学（文科）试题】已知 1 0.2 312 1log 3,(),23a b c ===，则 A ．a B ．c