微积分习题课一(多元函数极限、连续、可微及偏导)题目-777705511
微积分习题课一(多元函数极限、连续、可微及偏导)题目-777705511
习题课（多元函数极限、连续、可微及偏导）
一．累次极限与重极限 例.1 ()y x f ,=
?
?=?≠?+0,00,1sin 1sin y x y x x y y x
例.2 ???
??=+≠++=0
03),(22222
2y x y x y x xy y x f
例.3
22
22
2
(,)()x y f x y x y x y =+-，证明：()()0,lim lim ,lim lim 0
00
0==→→→→y x f y x f y x x y ，
而二重极限()y x f y x ,lim 0
→→不存在。
一般结论：
重极限与累次极限没有关系
重极限
)
,(lim )
,(),(00y x f y x y x →与累次极限)
,(lim lim ),
,(lim lim 0
00
0y x f y x f x x y y y y x x →→→→均存在，则有
)
,(lim )
,(),(00y x f y x y x →=)
,(lim lim ),(lim
lim 0
00
0y x f y x f x x y y y y x x →→→→=
)
,(lim lim ),
,(lim lim 0
00
0y x f y x f x x y y y y x x →→→→均存在但不等，)
,(lim )
,(),(00y x f y x y x →不
存在
二．多元函数的极限与连续，连续函数性质
例.4 求下列极限： （1）
1
1)
0,1(),()
(lim -+++→+y x y x y x y x ； （2）
)
ln()(lim
22)
0,0(),(y x y x y x ++→;
（3）(,)(0,0)sin()
lim x y xy x →； （4）2
2
lim x y x y
x
xy y →∞→∞
+-+；
（5）2
2()
lim ()x y x y x
y e -+→+∞→+∞
+。
例.5 证明：极限
0)(
lim 2
2
2)
,(),(=+∞∞→x y x y
x xy ．
例.6 若()y x f z ,=在2R 上连续, 且
()22lim
,x y f x y +→+∞
=+∞
, 证
明 函数f 在2
R 上一定有最小值点。
例.7 )(x f 在n
R 上连续,且 (1) 0x ≠时, 0)(>x f (2) ,0>?c )()(x x cf c f =
例.8 若
)
,(y x f 在)0,0(点的某个邻域内有定义，
)0,0(=f ，且
a
y
x y x y x f y x =++-→2
2
2
2)
0,0(),(),(lim
a
为常数。证明：
（1）),(y x f 在)0,0(点连续；
（2）若1-≠a ，则),(y x f 在)0,0(点连续，但不可微； （3）若1-=a ，则),(y x f 在)0,0(点可微。 例.9 函数
??
???=+≠+++=0
,00),sin(),(22222
222y x y x y x y x xy
y x f 在)0,0(点是
否连续?
(填是或否)；在)0,0(点是否可微? (填是或否)．
三．多元函数的全微分与偏导数
例.10 有如下做法：
设),()(),(y x y x y x f ?+=其中),(y x ?在)0,0(点连续,
则
[][]dy y x y x y x dx y x y x y x y x df y
x
),()(),(),()(),(),(????+++++= 令0,0==y x , ))(0,0()0,0(dy dx df +=?. (1)指出上述方法的错误； (2)写出正确的解法.
例.11 设二元函数),(y x f 于全平面2
?上可微，)
,(b a 为平面
2
?上给定的一点，则极限
=
--+→x
b x a f b x a f x )
,(),(lim
。
例.12 设函数),(y x f 在)1,1(点可微，1)1,1(=f ，2)1,1(='x
f ，
3
)1,1(='y f ，)),(,()(x x f x f x g =，求)1(g '。
例.13 设
),
,(2
x
y
y x f z =其中2
C f ∈，求x
z ??和
y
x z ???2。
例.14 设()y x z ,定义在矩形区域
(){}b y a x y x D ≤≤≤≤=0,0,上的可微函数。证明:
（1）()()()0,,,≡??∈??=x z
D y x y f y x z ; （2）()()()()0
,,,2≡???∈??+=y
x z
D y x y g y f y x z
例.15 n 为整数，若任意0,t >(,)(,)
n
f tx ty t
f x y =，则称f 是
n
次齐次函数。证明：(,)f x y 是零次齐次函数的
充要条件是
0.f f
x y x y
??+=??
例.16 下列条件成立时能够推出),(y x f 在),(0
y x 点可微,且全微分0=df 的是（ ）. (A) 在点),(0
y x 两个偏导数0,0='='y
x
f f (B)),(y x f 在点),(0
0y x 的全增量2
2y x y x f ?+???=?,
(C)),(y x f 在点),(0
y x 的全增量2
2
22)sin(y
x y x f ?+??+?=
?
(D)
)
,(y x f 在点)
,(00y x 的全增量
2
2
221
sin
)(y
x y x f ?+??+?=?
例.17 设xy y x f =),(,则在)0,0(点( B )
(A) 连续,但偏导数不存在； (B) 偏导数存在,但不可微；
(C) 可微； (D) 偏导数存在且连续.
例.18 设y
x z arcsin =，求dz . 例.19 y
x y x u +-=arctan ，则=u d 例.20 设函数
)
2
(cos 22
y
x z -=，证明
02222=??+???y
z
y x z ．
例.21 设函数xy
y x z )2(+=，求x
z
??及y z ??． 例.22 若函数
)
(u f 有二阶导数，设函数
)
()(1
y x yf xy f x
z ++=，求
y
x z ???2．
例.23 设函数y x y
x z -+=arctan
，求x z ??，y
z ??，
y x z ???2 例.24 设
),
,(2
x
y
y x f z =其中2
C f ∈，求x
z ??和
y
x z ???2。
*多元复合函数
设二元函数),(v u f z =在点),(0
v u 处偏导数连续，二元函数),(),,(y x v v y x u u ==在点),(0
y x 处偏导数连续, 并且),(),,(0
00000y x v v y x u u ==, 则复合函数 )),(),,((y x v y x u f z = 在点),(0
0y x 处可微，且
()()()()
x
y x v v v u f x y x u u v u f x
z y x ?????+?????=
00000000)
,(,,,,00??()()()()
y
y x v v v u f y y x u u v u f y
z y x ?????+?????=
00000000)
,(,,,,00??
*多元函数微分形式的不变性：设
)
,(),,(),,(y x v v y x u u v u f z ===，均为连续可微，则将z 看成y
x ,的函数，有
dy y
z
dx x z dz ??+??=
计算y
v v f y u u f y z x v
v f x u u f x z ????+
????=??????+????=?
?,，代人，
dv v
f du u f dy y v dx x v v f dy y u dx x u u f dy y v v f y u u f dx x v v f x u u f dy y z dx x z dz ??+??=
????
????+????+???? ????+????=???? ??????+????+???
??????+????=??+??=
我们将dv v
f
du u f dy y z dx x z dz ??+??=??+??=叫做微分形式不变性。
例.25 设?
?? ?
?
=x y xy f x
z ,3
，求y
z
x z ????,。
例.26 已知 )1
(1
x
y x
-=，求dy
dx . 例.27 设),(y x f 定义在2
R 上, 若它对x 连续,对y 的
偏导数在2
R 上有界, 证明),(y x f 连续．