相似三角形求值问题难点突破经典培优好题

相似三角形求值问题难点突破

题一：（2012?孝感）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D，若AC=2，则AD的长是（）

A．B．C．﹣1 D．+1

题二：（2012年四川省德阳市）如图，点D是△ABC的边AB的延长线上一点，点F是边BC上的一个动点（不与点B重合）.以BD、BF为邻边作平行四边形BDEF，又AP//BE（点

P、E在直线AB的同侧），如果AB

，那么△PBC的面积与△ABC面积之比为（）

题三：如图所示，已知AB∥EF∥CD，若AB=6厘米，CD=9厘米．求EF．

题四：如图所示．△ABC中，E，D是BC边上的两个三等分点，AF=2CF，BF=12厘米．求：FM，MN，BN的长．

题五：如图，梯形ABCD中，AB∥CD，且CD＝3AB，EF∥CD，EF将梯形ABCD分成面积相等的两部分，则AE：ED等于（）

A B

E F

D C

A. 2

B. 32

C. 512+

D. 512

- 题六：（2012河南）类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整.

原题：如图1，在□ABCD 中，点E 是BC 边上的中点，点F 是线段AE 上一点，BF 的延长线交射线CD 于点G ，若3=EF AF ，求CD CG

的值. （1）尝试探究

在图1中，过点E 作EH AB ∥交BG 于点H ，则AB 和EH 的数量关系是，CG 和EH 的数量关系是，CD CG

的值是（2）类比延伸如图2，在原题的条件下，若

)0( m m EF AF =则CD CG 的值是（用含m 的代数式表示），试写出解答过程.

（3）拓展迁移

如图3，梯形ABCD 中，DC ∥AB ，点E 是BC 延长线上一点，AE 和BD 相交于点F ，若

,(0,0)AB BC a b a b CD BE

==>>，则AF EF 的值是（用含,a b 的代数式表示）.

题七：（2010 武汉）已知线段OA ⊥OB ，C 为OB 上中点，D 为AO 上一点，连AC 、BD

交于P 点．

（1）如图1，当OA=OB 且D 为AO 中点时，求

PC AP 的值；（2）如图2，当OA=OB ，AO AD =4

1时，求tan ∠BPC ；（3）如图3，当AD ∶AO ∶OB=1∶n ∶n 2时，直接写出tan ∠BPC 的值．

（图1）（图2）（图3）

题八：（2010湖北咸宁）问题背景

（1）如图1，△ABC 中，DE ∥BC 分别交AB ，AC 于D ，E 两点，过点E 作EF ∥AB 交BC 于点F ．请按图示数据填空：四边形DBFE 的面积S =，△EFC 的面积1S =，△ADE 的面积2S =．

探究发现

（2）在（1）中，若BF a =，FC b =，DE 与BC 间的距离为h ．请证明2124S S S =．拓展迁移

（3）如图2，□DEFG 的四个顶点在△ABC 的三边上，若△ADG 、△DBE 、△GFC 的面积分别为2、5、3，试利用．．（2．）中的结论．．．．

求△ABC 的面积．题九：（2012?铁岭）已知：在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C=90°，AB=AD=25，BC=32．连接BD ，AE ⊥BD ，垂足为E ．

（1）求证：△ABE ∽△DBC ；（2）求线段AE 的长．

题十：（2012山东泰安）如图，E 是矩形ABCE 的边BC 上一点，EF ⊥AE ，EF 分别交AC 、

CD 于点M 、F ，BG ⊥AC ，垂足为G ，BG 交AE 于点H.

（1）求证：△ABE ∽△ECF ；

（2）找出与△ABH 相似的三角形，并证明；

（3）若E 是BC 中点，BC=2AB ，AB=2，求EM 的长.

题十一：（2012?日照）在菱形ABCD 中，E 是BC 边上的点，连接AE 交BD 于点F, 若EC =2BE ,则

BF 的值是( ) (A) 21 (B) 31 (C) 41 (D) 51

题十二：（2012?贵港）如图，在□ABCD中，延长CD到E，使DE=CD，连接BE交AD于点F，交AC于点G．

（1）求证：AF=DF；（2）若BC=2AB，DE=1，∠ABC=60°，求FG的长．

题十三：（第11届“希望杯”邀请赛试题）如图，一个边长为3、4、5厘米的直角三角形的一个顶点与正方形的顶点B重合，另两个顶点分别在正方形的两条边AD、DC上，那么这个正方形的面积是____________厘米2。

题十四：（2012四川宜宾）如图，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B 到C的方向运动，且DE始终经过点A,EF与AC交于M点。

（1）求证：△ABE∽△ECM;

（2）探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形，若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；

（3）当线段AM最短时，求重叠部分的面积。