高中 平面向量的概念及其线性运算 知识点+例题

辅导讲义――平面向量的概念及其线性运算

加法

求两个向量和的运算

（1）交换律：

a ＋

b ＝b ＋a . （2）结合律： (a ＋b )＋

c ＝a ＋(b ＋c ). 减法

求a 与b 的相反向量－b 的 和的运算叫做a 与b 的差

三角形法则

a －

b ＝a ＋(－b )

数乘

求实数λ与向量a 的积的运算

（1）|λa |＝|λ||a |； （2）当λ>0时，

λa 的方向与a 的方向相同； 当λ<0时，

λa 的方向与a 的方向相反； 当λ＝0时，λa ＝0

λ(μa )＝(λμ)a ； (λ＋μ)a ＝λa ＋μa ； λ(a ＋b )＝λa ＋λb

[例1] 若OB OA OC =-23，则AB AC ____=.3

1

[巩固] 在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若15e BC =，23e DC =，则.________=OC )35(2

1

21e e +

[例2] 如图，D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，则._______=-DB AF

BE

[巩固1] 设M 是△ABC 的重心，记a BC =，b CA =，c AB =，且0=++c b a ，则._______=AM

)(3

1

b c -

[巩固2] 已知空间四边形ABCD ，M 、G 分别是BC 、CD 的中点，连接AM 、AG 、CD ，则._______)(2

1

=++

BC BD AB AG

[例3] 如图，向量a AB =，，b AC =，c CD =，则向量，BD 可以表示为_____________. c a b +-

精典例题透析

[巩固] 如图，在△ABC 中，已知DC BC 3=，则)(

=AD C

A ．AC A

B 3132+ B ．A

C AB 3132- C ．AC AB 3231+

D ．AC AB 3

2

31-

[例4] 在△ABC 中，O 为外心，P 是平面内点，且满足OP OC OB OA =++，则P 是△ABC 的_________.（填外心，内心，重心或垂心） 垂心

[巩固] 已知点P 是△ABC 内一点，且BP BC BA 6=+，则._______=??ACP ABP S S 4

1

[例5]已知向量)4,3(=a ，若5=a λ，则实数λ的值为________. 1±

[巩固1] 已知a 与b 满足：3=a ，2=b ，4=+b a ，则.________=-b a 10

[巩固2] 设a 与b 都是非零向量，下列四个条件中，一定能使

0=+

b

b a

a 成立的是_________.A

A ．b a 3

1

-= B ．b a // C ．b a 2= D ．b a ⊥

共线向量定理：向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b ＝λa . 知识模块3平面向量的共线定理 精典例题透析

③正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同；又b ＝c ， ∴b ，c 的长度相等且方向相同， ∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .

④不正确．当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故“|a |＝|b |且a ∥b ”不是“a ＝b ”的充要条件，而是必要不充分条件．

综上所述，正确命题的序号是②③.

思维升华 (1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．

(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈． (4)非零向量a 与a |a |的关系：a

|a |是a 方向上的单位向量．

[巩固]下列命题中，正确的是________．(填序号) ①有向线段就是向量，向量就是有向线段；

②向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ③向量AB →与CD →

向量共线，则A 、B 、C 、D 四点共线； ④如果a ∥b ，b ∥c ，那么a ∥c ；

⑤两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小． 答案 ⑤

解析 ①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量；

②不正确，若a 与b 中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反； ③不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行； ④不正确，如果b ＝0，则a 与c 不一定平行；

⑤正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小；向量的模均为实数，可以比较大小．

题型二：平面向量的线性运算

[例]（1）如图，正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点，那么EF →

等于( )

A.12AB →－13AD →

B.14AB →＋12AD →

C.13AB →＋12

DA → D.12AB →－23

AD → （2）在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →

等于( )

A.23b ＋13c

B.53c －23b

C.23b －13

c D.13b ＋23

c 答案 (1)D (2)A

[巩固]（1）如图，在正六边形ABCDEF 中，EF CD BA ++等于( )

A ．0 B. BE C. AD

D. CF

（2）(2013·江苏)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →

(λ1，λ2

为实数)，则λ1＋λ2的值为________． 答案 (1)D (2)1

2

题型三 共线定理的应用

[例]设两个非零向量a 与b 不共线，

（1）若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →

＝3(a －b )，求证：A 、B 、D 三点共线； （2）试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线． (1)证明 ∵＝a ＋b ，＝2a ＋8b ，＝3(a －b )， ∴＝＋＝2a ＋8b ＋3(a －b ) ＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5. ∴、共线，又∵它们有公共点B ， ∴A 、B 、D 三点共线． (2)解 ∵k a ＋b 和a ＋k b 共线， ∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 即k a ＋b ＝λa ＋λk b .∴(k －λ)a ＝(λk －1)b . ∵a 、b 是两个不共线的非零向量， ∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0.∴k ＝±1.

[巩固]如图，在△ABC 中，点D 是BC 边上靠近B 的三等分点，则AD 等于( ) A.23AB －1

3AC B.13AB ＋2

3AC C.23AB ＋1

3

AC D.13AB －2

3

AC (2)已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C ，若OA －4OB ＋3OC ＝0，则

BC

AB

等于( )

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6 答案 (1)C (2)A

解析 (1)由平面向量的三角形法则，得＝＋.

①如果非零向量a 与b 的方向相同或相反，那么a ＋b 的方向必与a ，b 之一方向相同； ②三角形ABC 中，必有AB ＋BC ＋CA ＝0；

③若AB →＋BC →＋CA →

＝0，则A ，B ，C 为三角形的三个顶点； ④若a ，b 均为非零向量，则|a ＋b |与|a |＋|b |一定相等． 其中假命题的序号为________． 答案 ①③④

解析 ①若a 与b 长度相等，方向相反，则a ＋b ＝0；③A ，B ，C 三点可能在一条直线上；④|a |＋|b |≥|a ＋b |. 6．设O 是△ABC 内部一点，且OA ＋OB ＝－2OC ，则△AOB 与△AOC 的面积之比为________． 答案 12

解析 设D 为AC 的中点，连接OD ， 则＋＝2. 又＋＝－2，

所以＝－，即O 为BD 的中点，

从而容易得△AOB 与△AOC 的面积之比为1

2

.

7．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD ＝2DB ，CD ＝1

3CA ＋λCB ，则λ＝________.

答案 23

解析 由图知＝＋，① ＝＋，② 且＋2＝0.

①＋②×2得：3＝＋2， ∴＝13＋23，∴λ＝23

.

8．已知向量a ＝2e 1－3e 2，b ＝2e 1＋3e 2，其中e 1、e 2不共线，向量c ＝2e 1－9e 2.问是否存在这样的实数λ、μ，使向量d ＝λa ＋μb 与c 共线？

解 ∵d ＝λ(2e 1－3e 2)＋μ(2e 1＋3e 2) ＝(2λ＋2μ)e 1＋(－3λ＋3μ)e 2，

要使d 与c 共线，则应有实数k ，使d ＝k c ， 即(2λ＋2μ)e 1＋(－3λ＋3μ)e 2＝2k e 1－9k e 2，

即?????

2λ＋2μ＝2k ，－3λ＋3μ＝－9k ，

得λ＝－2μ. 故存在这样的实数λ、μ，只要λ＝－2μ，就能使d 与c 共线．

9.如图所示，在△ABC 中，D 、F 分别是BC 、AC 的中点，AE ＝2

3AD ，AB ＝a ，AC ＝b .

（1）用a 、b 表示向量AD ，AE ，AF ，BE ，BF ； （2）求证：B ，E ，F 三点共线．

(1)解 延长AD 到G ，使＝1

2，

连接BG ，CG ，得到?ABGC ， 所以＝a ＋b ， ＝12＝1

2(a ＋b )， ＝23＝1

3(a ＋b )， ＝12＝12

b ， ＝－＝13(a ＋b )－a ＝1

3(b －2a )．

＝－＝12b －a ＝1

2(b －2a )．

(2)证明 由(1)可知＝2

3

，

又因为，有公共点B ，所以B ，E ，F 三点共线．

1.如图，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB ＝a ，AC ＝b ，则AD 等于( )

A ．a －1

2b

B.1

2a －b C ．a ＋1

2b

D.1

2

a ＋

b 答案 D

解析 连接CD ，由点C ，D 是半圆弧的三等分点， 得CD ∥AB 且＝12＝12a ，所以＝＋＝b ＋1

2a .

2．设G 为△ABC 的重心，且sin A ·GA →＋sin B ·GB →＋sin C ·GC →

＝0，则B 的大小为( ) A ．45° B ．60° C ．30° D ．15°

答案 B

解析 ∵G 是△ABC 的重心，∴＋＋＝0，＝－(＋)，将其代入sin A ·＋sin B ·＋sin C ·＝0，得(sin B －sin A )＋(sin C －sin A )＝0. 又，不共线，

∴sin B －sin A ＝0，sin C －sin A ＝0， 则sin B ＝sin A ＝sin C . 根据正弦定理知b ＝a ＝c ，

∴三角形ABC 是等边三角形，则角B ＝60°.故选B.

3.如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点．过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →

，则m ＋n 的值为________．

能力提升训练