高三一轮复习之基本不等式

基本不等式

一、考试方向 1．考查应用基本不等式求最值、证明不等式的问题．

2．考查应用基本不等式解决实际问题．

二、能力要求

要求学生掌握基本不等式的使用条件：一正二定三相等；

掌握四种类型的基本不等式的应用：和定求积；积定求和；和定求和；和积

关系求和积。

三、基础知识

·

1.基本不等式：ab ≤a ＋b 2

(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0.

(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．

2．几个重要的不等式

(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )；

(2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)；

(3)ab ≤? ??

??a ＋b 22(a ，b ∈R )； ）

(4)a 2＋b 22≥? ??

??a ＋b 22(a ，b ∈R )． 3.最值问题： 已知y x ,是正数，

①如果积xy 是定值P ，则当y x =时，和y x +有最小值P 2；

②如果和y x +是定值S ，则当y x =时，积xy 有最大值24

1S . 利用基本不等式求最值时，要注意变量是否为正，和或积是否为定值，等

号是否成立，以及添项、拆项的技巧，以满足均基本不等式的条件。

四、经典题型

类型一 基本不等式适用条件的应用 】 使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．

例1．已知ab ≠0，a ，b ∈R ，则下列式子总能成立的是( )

A.b a ＋a b ≥2

B.b a ＋a b ≥－2

C.b a ＋a b ≤－2

D.??????b a ＋a b ≥ 例2．下列结论正确的是

A ．当0x >且1x ≠时，1lg lg x x +

2≥ B ．0x >当时，2x x +≥ C ．x x x 1,2+≥时当的最小值为2 D ．当x

x x 1,20-≤<时无最大 例3．下列函数中，y 的最小值为4的是________(写出所有符合条件的序号)．

①y ＝x ＋4x (x>0)；②y ＝2(x 2＋3)x 2＋2

；③y ＝e x ＋4e －x ；④y ＝sinx ＋4sinx . ;例4.若a>b>1，P ＝lga·lgb ，Q ＝12(l ga ＋lgb)，R ＝l g ? ??

??a ＋b 2，则P ，Q ，R 的大小关系为________．

例5.设0

A ．a ＜b ＜ab ＜a ＋b 2

B ．a ＜ab ＜a ＋b 2＜b

C ．a ＜ab ＜b ＜a ＋b 2 D.ab ＜a ＜a ＋b 2＜b 类型二、基本不等式的应用之和定求积

例1.已知0>a ，0>b ，1=+b a ，则ab 的最大值是______.

例2.已知0＜x ＜25，则y ＝2x －5x 2的最大值为________．

<

类型三、基本不等式的应用之积定求和

例1.已知x>0，y>0，lgx ＋lgy ＝1，求z ＝2x ＋5y 的最小值；

例2．设R b a ∈,，且3=+b a ，则b a 22+的最小值是

A ．6

B ．24

C ．22

D ．62x>0，

例3.已知0>x ，求f(x)＝12x ＋3x 的最小值；

例4． 函数)1)(51

1(log 3>+-+

=x x x y 的最小值是_____________. ; 例5.已知0

+的最大值是________. 例6.x<3，求f(x)＝4x －3

＋x 的最大值． 例7.若M ＝a 2＋4a (a ∈R ，a ≠0)，则M 的取值范围为( )

A ．(－∞，－4]∪[4，＋∞)

B ．(－∞，－4]

C ．[4，＋∞)

D ．[－4,4]

例8．对一切正数m ，不等式n<4m ＋2m 恒成立，则常数n 的取值范围为( )

A ．(－∞，0)

B ．(－∞，42)

C ．(42，＋∞)

D ．[42，＋∞)

例9.设a ＞b ＞0，则a 2＋1ab ＋1a (a －b )

的最小值是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

&

例10.已知0,0a b >>，则

112ab a b ++的最小值是（ ） A ．2 B ．22

C ．4

D ．5

利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最

大，积定和最小”．常用的方法为：拆、凑、代换、平方．

)

类型四、基本不等式的应用之和定求和

例1．设x 、y 为正数，则有(x+y)(1x ＋4y )的最小值为（ ）

A ．15

B ．12

C ．9

D ．6

例2． 已知2a ＋3b ＝6，且a>0，b>0，则32a ＋1b 的最小值是________．

例3．设0,0.a b >>1133a b a b

+与的等比中项，则的最小值为 A 8 B 4 C 1 D 14

例4.已知,,,a b x y R +∈（,a b 为常数），1a b x y

+=，求x y +的最小值．

]

类型五、基本不等式的应用之和积关系求和积

例1．设,x y R +∈，且()1xy x y -+=，则 （ ）

()A 1)x y +≥ ()B 1xy ≤ ()C 21)x y +≤ ()D 1)xy ≥ 例2．若正数a 、b 满足ab=a+b+3，则ab 的取值范围是 ．例

3.已知x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ，若xy ≥m －2恒成立，则实数m 的最大值是________．

例4．已知0,0>>y x ，且082=-+xy y x ，

求（1）xy 的最小值；（2）y x +的最小值。

解：（1）由08=-+xy y x ，得1

28=+y x ，

又0,0>>y x ，则

xy y x y x 8282281=?≥+=，得64≥xy ， 》

当且仅当y x =时，等号成立。

（2）法1：由08=-+xy y x ，得

28-=y y x ，20>∴>y x

则

28-+=+y y y y x 1810216)2(≥+-+-=y y ， 当且仅当216)2(-=-y y ，即12,6==x y 时，等号成立。

法2：由08=-+xy y x ，得1

28=+y x ，

则y x +==+?+)()28(y x y x ≥++x y y x 82101882210=?+x y y x 。

)

题型六 应用题

例1.某单位建造一间地面面积为12 m 2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x 不得超过5 m ．房屋正面的造价为400元/m 2，房屋侧面的造价为150元/m 2，屋顶和地面的造价费用合计为5 800元，如果墙高为3 m ，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？

例2．生产某种商品x 吨，所需费用是)10151000(2x x +

+元，当出售这种商品时，每吨价格为p 元，这里b

x a p +=（,a b 为常数）， （1）为了使这种商品的每吨平均生产费用最小，那么这种商品的产量为多少吨？

（2）如果生产出来的产品是150吨，并且能全部卖完，那么每吨价格是40元时利润最大，求,a b 的值．

例3.东海水晶制品厂去年的年产量为10万件，每件水晶产品的销售价格为100元，固定成本为80元．从今年起，工厂投入100万元科技成本．并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本．预计产量每年递增1万件，每件水晶产品的固定成本g(n)与科技成本的投入

次数n的关系是g(n)＝80

n＋1

.若水晶产品的销售价格不变，第n次投入后的年利润为f(n)万

元．

(1)求出f(n)的表达式；

(2)求从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？