空瓶换酒问题
空瓶换酒问题
再换回汽水 ( 1≤S < r ,(r , s) = 1) ．若最 初购了 n 瓶 汽
水，求最 后一共能喝 上的汽水的 瓶数
f
r
,
s
(n)
．此
题
留给同学们考虑．答案为：(
f ( n) = n r ,s
+[ n r
s ]其中 s
n > s,r > s )．
20
福建中学数学
2008 年第 3 期
空瓶换酒问题
江苏省盐城市亭湖区永 丰中学 邵家桢(224054)
商店规定：用 3 个空汽水瓶可换回 1 瓶汽水， 小吴在商店购买 200 瓶汽水，并陆续用空汽水瓶(不 能借)去换回汽水．问
(1)小吴最后一共能喝上多少瓶汽水？ (2)如果小吴最初购买了 n 瓶汽水呢？ (3)若商店规定：用 r 个空汽水瓶可换回 1 瓶汽 水．结果又如何？(n、r 为自然数， r > 1 ) 解 以[x]表示不超过 x 的最大整数． (1)设小吴最后一共能喝 f (200) 瓶汽水．则有：
200=66×3+ 2；
68=22×3+2； 24=8×3+ 0； 8=2×3+2；
4=1×3+1； 0＜2＜3， ∴ f (200) =200+66+22+8+2+1=299．
空瓶换酒公式空瓶换水公式空瓶换饮料公式行测
空瓶换饮料/酒公式推导（以下推导基于不可拆借）很多公务员考试培训教材提供空瓶换饮料的公式为：当n 个空瓶可以换1瓶饮料，手里有a 个空瓶时，可换饮料数为1-n a ，其实这个公式是错误的，举个简单例子：假设每2个空瓶可换1瓶饮料，当手里有4个空瓶时，则可换124-=4瓶，根据常识即可知结果是错误的。
现在对空瓶换饮料公式进行推导：当拿n 个空瓶换第1瓶饮料，则手里剩的空瓶数为a-n+1=a-(n-1)；再拿n 个空瓶换第2瓶饮料，则手里剩的空瓶数为a-n+1-n+1=a-(n-1)*2； 再拿n 个空瓶换第3瓶饮料，则手里剩的空瓶数为a-n+1-n+1-n+1=a-(n-1)*3 · ·· ·再拿n 个空瓶换第x 瓶饮料，则手里剩的空瓶数为a-(n-1)*x 当a-(n-1)*x<n 时，就无法再换饮料了，因此可推出：设a-(n-1)*x=p,则n>p>=1,→a-p=(n-1)*x→x=1a --n p →x=1a -n -1-n p 当p=n-1时，x=1a -n -1 →a=(x+1)*(n-1)→当a 为n-1倍数时，p=n-1当p<n-1时，0<1-n p <1, 则x=1a -n综上，当a 为n-1的倍数时x=1a -n -1，否则x=1a -n 现在用具体实例进行验证：当每3个空瓶可换1瓶饮料，手里有11个空瓶时： 换第1瓶饮料后，则手里剩的空瓶数为11-3+1=9； 换第2瓶饮料后，则手里剩的空瓶数为9-3+1=7； 换第3瓶饮料后，则手里剩的空瓶数为7-3+1=5； 换第4瓶饮料后，则手里剩的空瓶数为5-3+1=3； 换第5瓶饮料后，则手里剩的空瓶数为3-3+1=1； 因为11不能被3-1整除，x=51311=-当每4个空瓶可换1瓶饮料，手里有15个空瓶时： 换第1瓶饮料后，则手里剩的空瓶数为15-4+1=12； 换第2瓶饮料后，则手里剩的空瓶数为12-4+1=9； 换第3瓶饮料后，则手里剩的空瓶数为9-4+1=6； 换第4瓶饮料后，则手里剩的空瓶数为6-4+1=3； 因为15能被4-1整除, x=411415=--。
瓶子问题
1、5个空瓶子可以换1瓶可乐喝，那么200个空瓶子最多可以喝到多少瓶可乐？卡卡西解析：200÷(5-1)=50公式一：N个换1瓶，总共M个可以换：M÷（N-1）瓶子问题变式：“红星”啤酒开展“7个空瓶换1瓶啤酒”的优惠促销活动。
现在已知张先生在活动促销期间共喝掉347瓶“红星”啤酒，问张先生最少用钱买了多少瓶啤酒？A.296瓶B.298瓶C. 300瓶 D .302瓶设需要买A瓶啤酒A+A÷(7-1)=347公式二：A+A/(N-1)=M。
（如果出现小数就进1）A至少买水瓶数M喝水瓶数N换一瓶水空瓶数27人到商场买水喝，遇到商场搞促销，三个空瓶子可以换一瓶水，问27个人，一人一瓶最少买多少瓶水？浏览次数：848次悬赏分：10 |解决时间：2009-10-2 16:22 |提问者：和风细雨123主最佳答案今天面试刚刚碰到这个问题了：解答如下：每3个人喝一轮水27/3=9个轮次第1次：必须先买3瓶，然后就可以免费换一瓶，第2-8次：可以拿免费换的1瓶+ 另外买2瓶＝3瓶，如此反复8次；这样所有人就全喝到了。
所以具体表达式为：（1*3）+（2*8）＝19瓶15个人只有10元，水是一元一瓶，现在三个空瓶子能换瓶水，这样才能每人都喝到一瓶水？浏览次数：1232次悬赏分：0 |解决时间：2008-5-1 12:43 |提问者：huyong2004981最佳答案 15买10瓶，换三瓶，借2个空瓶子（换四）三瓶子换一再把空瓶子还给别人．一块钱买一瓶啤酒，两支空瓶子可以换一瓶啤酒。
问20快钱你最多能喝到几瓶啤酒？浏览次数：1454次悬赏分：0 |解决时间：2008-6-2 19:46 |提问者：bigshowzs最好补充算法最佳答案答案：39瓶20元买20瓶酒20个空瓶换10瓶酒10个空瓶换5瓶酒5个空瓶换2瓶酒（余1个空瓶）2个空瓶换1瓶酒1个空瓶加上前面余下的1个空瓶换1瓶酒，，，又有个空瓶再借一瓶又可喝一瓶，计40所以：20+10+5+2+1+1=39一个人拿十块钱买矿泉水，一块钱一瓶，三个空瓶子可以再换一瓶。
公务员行测：空瓶换酒问题
公务员行测：“空瓶换酒”问题“空瓶换酒”又称“空瓶换水”问题是数学运算中的一类趣味问题，来源于商家为了充分回收啤酒瓶的一种促销活动，频繁地出现在国家公务员和省市公务员考试中。
这类问题整体难度不大，是考生易得分的一种题型，华图公务员考试研究中心为考生介绍一种易于操作的解题技巧希望为考生2014年的备考提供一个参考。
这类问题在题干中往往会有一句话说m个空瓶换n瓶水，我们一般转化成1个瓶换多少个水来操作会方便解题。
比如4个空瓶换1瓶水，则有4瓶=1瓶+1水（不含瓶的水），推出1瓶=1/3水，如果某人有15个空瓶则他可以喝15×1/3=5瓶水，如果有11个空瓶则他可以喝11×1/3≈3.7瓶水，空瓶换水的原则是出现小数要舍去，也就是商家不吃亏原则。
【例1】超市规定每3个空汽水瓶可以换1瓶汽水，小李有11个空汽水瓶，最多可以换几瓶汽水？A.6瓶B.5瓶C.4瓶D.3瓶【答案及解析】B。
3P=1P+1水，推出1P=1/2水，则11P换11×1/2=5.5水，出现小数去掉，喝5瓶。
（P表示瓶，下同）【例2】“红星”啤酒开展“7个空瓶换1瓶啤酒”的优惠促销活动。
现在已知张先生在活动促销期间共喝掉347瓶“红星”啤酒，问张先生最少用钱买了多少瓶啤酒？A.296瓶B.297瓶C.298瓶D.300瓶【答案及解析】C。
设用钱买了x瓶，7P=1P+1水，则1P=1/6水，最终喝的水由花钱买的和换的两部分构成的。
最终喝了347瓶，则算出来的一定大于等于347（商家不吃亏原则）。
根据题意得方程：x+x/6≥347，求得x≥297.4，取一个最小的整数为298，选C。
本题在不等式符合的判定上可以用一个结论：题干问最大一定是小于等于取最大，题干问最小一定是大于等于取最小。
【例3】20只鸡和16只兔分放两堆，共重88kg，如果将两堆中的4只鸡和4只兔相交换，那么两堆重量一样，请问鸡、兔每只分别多少kg？A.2和3B.4和6C.3和2D.6和4【答案及解析】A。
空瓶换酒悖论
§空瓶换酒悖论空瓶换酒是厂家为促销而采用的一种销售策略,它被抽象为数学题, 常在竞赛题中出现.如果我买了n瓶啤酒, 商家规定, n 个空瓶又可以换得一瓶啤酒,问我最多可以喝到多少瓶啤酒?这是空瓶换酒类问题中最简单的一种先看, n=10 , m=3 的特殊情况. 10瓶啤酒喝光后可得到10个空酒瓶, 用它们可换取3瓶酒,还剩了1个空瓶. 把酒喝完后又得到4个空瓶, 再换一瓶酒, 还剩余1个空瓶, 喝完酒后总共有2个空瓶. 实际上我已喝了10 + 3 + 1 =14瓶啤酒. 这就是最多的啤酒数吗? 不是的, 我还可以用最后剩下的那两个空瓶再换一瓶酒喝. 我先向别人,如老板, 借一个空瓶, 凑足 3 个空瓶后按规定就能换到一瓶酒了, 把换得的酒喝光后, 我把空瓶还给那人即可. 因此我最多可喝到15瓶酒再看一般的解答. 由已知, 若设一瓶酒的价格为x元, 则一个空瓶的价格应为xm元, 瓶内纯酒的价格应为(x - xm)元, n瓶酒的总价格为nx元可喝到的纯酒瓶数为若(m-l) 整除n , 则瓶数为n+nm-1; 若(m-l)不能整n, 则瓶数为n+[nm-1]可以合写为n +[nm-1]当n== 10 , m= 3 时代人这个公式,算出结果为10+[103-1]=15，与我们的分析是一致的。
我在讲解这个问题时发现一些同学的回答相当不可思议, 他认为我可以喝到1000瓶酒. 原因很简单, 从上面的讨论中我们发现: (l) 当m个空瓶可以换( A ) 得一瓶酒, 则( m-1)个空瓶照样可以换(B) 取一瓶啤酒. 即空瓶的数目能减少一个. 因为向他人借一个空瓶后可得到m瓶, 把这个空瓶还给那人就行了.(2) 既然(m -1)个空瓶能换(C)一瓶啤酒,同理, ( m-2)个空瓶也能换(D)取一瓶酒.(3)以此类推, 空瓶数目逐次少一个，最终一个空瓶也能换一瓶酒, 进而不要空瓶也可以换啤酒. 因此啤酒是可以白喝的. 如果商店足够大. 啤酒足够多, 就能喝到1000瓶啤酒.这个结论显然是极其荒谬的, 但要将其中的道理解释清楚却并不容易.我发现这个悖论后, 经过了仔细分析, 认为产生错误的原因如下.我们已将错误的论述分为了三个部分, 给它们加上了编号, 下面逐一分析.(l) 是完全正确的, 从刚才那个一般的结论中也可以看出,仅用空瓶换得的啤酒为[nm-1]分母m-1 . 其中最关键的一个字为“ 换” , 我们也给它编了号.在(A)中的“换” 意为: 用m个空瓶交换一瓶啤酒, 是直接交换.在(B)中的“换”意思就不一样了, 是间接的交换, 因为直接用(m-1)个空瓶是换不到啤酒的. 我就先去借一个, 凑足了数目以后再给店老板m个空瓶, 换得一瓶酒. 但借了要还呀, 因此就把换来的酒喝光了, 将空瓶还给人家. 我只能借一个, 否则还不了.我在换酒时给老板的仍是m个空瓶, 而不是(m-1)个. 这个“换”字与上一个相比多了两个步骤, 即借空瓶与还空瓶.(2) 是错误产生的根源. ( 2)中也有两个“换”字, (C)中的“换”本来与(B)中的“换” 含义完全相同, 但是他却将其等于(A)中的“换” . 他在悄悄的偷换概念, 因此就产生了悖论. (3) 以(2) 为前提也就跟着错了.数学中由于偷换概念产生的语义悖论是很多的, 在高中数学的简易逻辑部分体现得尤其明显. 在哲学领域也有大量这样的悖论. 如汉代公孙弘的“白马非马” 论. 他使用了反证法来证明自己的观点. 思路如下若白马是马, 则黑马也是马, 由“ A是 C , B 是C=>A是B” 可知白马是黑马. 这是一个矛盾, 产生矛盾的根源在于开始的假设, 因为推理过程并无错误, 所以白马不是马. 这个著名的悖论就是语义悖论.“是” 有多种含义.( 1) 等于, 如高一( 3) 班的班长是王小刚.(2) 属于, 如杨振宁是科学家. 指的是元素与集合的关系.(3) 包含于, 如男人是人. 指的是集合与集合的关系.公孙弘推理的依据是“A是C , B是C => A是B ” , 这个依据中的“是” 含义显然为( l) 中所说的“ 等同于” , 而在“若白马是马, 则黑马也是马” 中的“是” 含义为(3) , 即“包含于” , 意思完全不同,不可以使用那个依据. 因此公孙弘的推理过程是错误的.我们在学习数学时, 要养成严密的思维习惯, 避免掉进语义悖论的旋涡之中。
对空瓶换酒问题的探究
第 （ ） 考 查 抛 物线 顶 点坐 标 的求 法 ， １题 很基 础 ； 第
段 的数学核心 内容． 试题起 点低 ， 度 分布合 理科学 ， 难 呈 现方式 丰 富多彩 ， 既注重基 础知 识 的考查 ， 又能 改陈 出 新 考能 力 ； 既关 注学 生学 习数学 的 活动过 程、 动经验 活 的考 查 ， 又关注 学生在 学 习过程 中 的变化 和发展 ； 关注 学生 的心理 特点 ， 现人文精神． 体 因此 ，０ １年的天津卷 ２１ 是一套优 秀的中考数 学试 卷 ， 值得 广大数 学教师在 教学 中认真开展教学研究 和中考命题人借 鉴使用．
天津卷 近五 年第 ２ ６题 题型 ：０ ７年 ，０ ８年 ，０ ９ ２０ ２０ ２ ０
年都是一元二 次方 程 与二 次 函数 的综 合 ；０ ０年 ，０ １ ２１ ２ １
年， 都是抛物线 的平移及 相关知识 的整合． 近五年 来 ， 第
２ ６题的难度基本平衡 ， 没有 明显的起伏．
６ ８
１ ２
综合起来看 ２ １ 年天津卷 ： ０１ ２ １ 年的天 津卷植 根 《 学课 程 标 准》 源 于数 学 ０１ 数 、 教科 书 ， 全面考查了《 数学课 程标 准》 规定 的义务教育 阶
÷ （ 一 ）， ＜ ≤ 若２ ｍ时， ≤ 恒成立， ｍ的最大值 求
二
瓶 啤酒 ， 只需买
ｇ 瓶啤酒．
酒， 还有 ２个空瓶怎么 办？那不 浪费 了吗？能有更好 的 办法吗？先借后 还 ， 充分 利用空瓶． 接思路 １ 可喝到 １ ， ４ 法４ （ 等比数列法） 看买 １ 先 Ｏ瓶碑酒 的情 况 ： 设顾客第一次 喝完 １ ０瓶啤酒 ， 留下 ｌ ０个空瓶 ；
（ 收稿 日期 ：０ １７ ５ ２１０１）
换啤酒问题
换啤酒问题：小明的父亲从商店买回10瓶啤酒，商店规定3个空瓶可换回一瓶啤酒，若小明的父亲不再给钱，他一共可喝上多少瓶啤酒？其解法是：10瓶喝完，可换回三瓶；再喝完，则剩余4个空瓶，又换回一瓶，喝后剩下2个空瓶，此时借进1空瓶，则又可换回1瓶，喝完后还所借1空瓶．总计可喝15瓶．此过程中“一借”可谓巧．数学来自于生活，又必须回归于生活．数学只有在生活中才能赋予活力和灵性．数学学习内容远离生活无疑是导致学生对数学无兴趣的根本原因，它使本该生动活泼的数学学习活动变得死气沉沉．有鉴
活中学数学。
名仕论题对于瓶盖换酒问题，体会专家的思路
名仕论题对于瓶盖换酒问题，体会专家的思路啤酒2元一瓶,四个瓶盖可换一瓶啤酒,2个空瓶也可换一瓶啤酒,10元最多可以喝多少瓶啤酒？吴康老师析题本题条件不确切，结果不统一。
如划定条件，则可得到唯一结果。
条件一、4个瓶盖可换一瓶啤酒,2个空瓶也可换一瓶啤酒,但不足4个瓶盖不能换啤酒，不足2个空瓶不能换啤酒，1个空瓶加3个瓶盖不能换啤酒；另外，不能向他人或老板赊瓶盖或酒瓶。
在条件一的前提下，10元只能喝上15瓶啤酒，还剩下1个空瓶和3个瓶盖。
可以给出2n元最后能喝上的啤酒的瓶数x的计算公式。
条件二、4个瓶盖可换一瓶啤酒,2个空瓶也可换一瓶啤酒；不足4个瓶盖不能换啤酒，不足2个空瓶不能换啤酒；1个空瓶加2个瓶盖可以换1瓶啤酒；另外，不能向他人或老板赊瓶盖或酒瓶。
在条件二的前提下，10元可以喝上17瓶啤酒，还剩下1个空瓶和1个瓶盖。
可以给出2n元最后能喝上的啤酒的瓶数y的计算公式。
条件三、4个瓶盖可换一瓶啤酒,2个空瓶也可换一瓶啤酒；不足4个瓶盖不能换啤酒，不足2个空瓶不能换啤酒；1个空瓶加2个瓶盖可以换1瓶啤酒；另外，允许向他人或老板一次过赊不超过3个瓶盖和不超过1个酒瓶，规定随后归还。
在条件三的前提下，10元可以喝上20瓶啤酒，最后什么也没有剩下。
可以给出2n元最后能喝上的啤酒的瓶数z的计算公式。
就条件三、普通思路10/2=5瓶。
喝5瓶，得到5空+5盖=3瓶+1空+1盖。
喝3瓶，得到4空+4盖=3瓶。
喝3瓶，得到3空+3盖=1瓶+1空+3盖。
喝1瓶，得到2空+4盖=2瓶。
喝2瓶，得到2空+2盖=1瓶+2盖。
喝1瓶，得到1空+3盖（借老板1空+1盖）=2空+4盖=2瓶。
喝2瓶，得到2空+2盖= 1瓶+2盖。
喝1瓶，得到1空+3盖（再借老板1空+1盖）=2空+4盖=2瓶。
喝2瓶，得到2空+2盖，还老板的2空+2盖。
总共喝了20瓶。
就条件三，罗增儒教授思路一个空瓶值1元、一个瓶盖值5毛、从而一瓶里的水值5毛，所以后10元除以0.5元得20。
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6个空瓶能换1瓶汽水，要喝157瓶汽水（有一部分是用喝过的空瓶换的）至少要买多少瓶汽水？
157÷6×5=130.83（向上取整）=131
X=A÷N×(N-1) （向上取整）
如改为:每瓶饮料1元钱，131元最多能喝到多少瓶饮料，则为：131÷5×6=157.2（向下取整）=157
A=X÷(N-1)×N （向下取整）
用这种算法既快又准，不擅长算此类题目的朋友只需记住公式即可从容应对，原本会算的朋友可以快速得出答案（15秒以内），节约时间。
行测的要求是又准又快，数学运算题不仅要会做而且要熟练，对一些常考类型的题目进行一般性的总结对可以在保证正确率的前提下提高解题速度，是我们复习时应该注意的内容。
希望这个简单的总结对考友们有所帮助。