职业高中数学笔记总结

高一下册

1、 等差数列 (a 1、a

2、a

3、···)

a n+1=a n +d (d 为公差) 通项公式：a n =a 1+(n-1)d 前n 项和的公式：s n =

, s n =na 1+

d

等差数列{a n }中，对任意的m,n,p,q,只要m+n=p+q ，那么a m +a n =a p +a q 等差中项：2a 2=a 1+a 3

2、等比数列 (a 1、a 2、a

3、···) a n+1=a n q (q 为公比) 通项公式：a n =a 1q n-1 前n 项和的公式：s n =

(q 1), s n = (q 1), 当q=1时s n =na 1

等比中项：=a 1a 3

3、 平面向量

平面向量的加（减）法：

图（1） 图（2）

图（1） a+b=AB+BC=AC 图（2） a-b=CA-CB=CA+BC=BA 向量a+b 的画法：向量a 的头（箭头端）指向 向量a-b 的画法：向量a 的尾对向量b 向量b 的尾，向量a+b 则指向被加的那一方。 的尾，向量a-b 则指向减数那一方。

平面向量的数乘运算：例 (a+b)=a+b

平面向量的坐标：A(x 1,y 1), B(x 2,y 2), AB=(x 2-x 1,y 2-y 1) 线性运算的坐标：a+b=(x 1+x 2 , y 1+y 2)

+d

+d

×q ×q

A B

C

a

b

a+b

A

B

C

a

b a-b

a-b=(x1-x2 , y1-y2)

共线向量的坐标：x1y2 - x2y1= 0

相交 x1y2 + x2y1= 0

向量内积：

(|a||b|为向量a,b的模，为向量a,b的夹角)

0° 180°内极坐标表示：a=(x1,y1), b=(x2,y2)

a·b=x1x2+y1y2

|a|=

Cos==

4、直线和圆的方程

两点间的距离：|P1P2|=

线段中点坐标：x0=, y0=

斜率：k=tan, k=(x1x2)

点斜式方程：y-y0=k(x-x0)

斜截式方程：y=kx+b (b为截距)

一般式方程：Ax+By+C=0 (其中A,B不全为零)

两直线平行：两直线相交：

两个方程的系数关系K1k2K1=k2

两直线的位置关系

相交

b1b2b1=b2

平行重合A

B

a b

A(x1,y1)

B(x2,y2)

M(x0,y0)

L1

L2L

1

L2

图(1) L 1

L 2

k 1·k 2=-1

图(2) 斜率不存在的直线与斜率为0的直线垂直

点到直线的距离：d=

圆的标准方程：(x - a)2+(y - b)2=r 2 圆心C( a , b ) 圆的一般方程：x 2+y 2+Dx+Ey+F=0 (其中D 2+E 2-4F>0) , 圆心() , 半径()

直线与圆的位置：d>r (相离) , d=r (相切) , d

5、 平面

平面性质1：如果直线L 上的两个点都在平面内，那么直线L 上的所有点都在平面

内。

此时称直线L 在平面内或平面经过直线L ，记作L

。

性质2：如果两个平面有一个公共点，那么它们一定还有其他公共点，并且所有公

共点的集合是这个点的一条直线。此时称这两个平面相交，平面与平面相交，交线为L ，记作

。

性质3：不在同一条直线上的三个点，可以确定一个平面。 三个结论：(1) 直线与这条直线外的一点可以确定一个平面。 (2) 两条相交直线可以确定一个平面。 (3) 两条平行直线可以确定一个平面。 直线与直线的位置关系：平行、相交、异面

在同一个平面内的直线叫做共面直线，不在同一平面内的两条直线叫做异面直线。 平行直线的性质：平行于同一条直线的两条直线平行。

(1)

(2)

C

D 1

ADC 向上折成AD 1C 此时ABCD 1不在同一平面内

直线与平面的位置关系：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行。

判定直线与平面平行的方法：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这

条直线与这个平面平行。

直线与平面平行的性质：如果一条直线与一个平面平行，并且经过这条直线的一个平面

和这个平面相交，那么这条直线与交线平行。

判定平面与平面平行的方法：如果一个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行，那

么这两个平面平行。

两个平面平行的性质：如果一个平面与两个平行平面相交，那么它们的交线平行。

直线与平面垂直的判定方法：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么

这条直线与这个平面垂直。

直线与平面垂直的性质：垂直于同一个平面的两条直线互相平行。

平面与平面垂直的判定方法：一个平面经过另一个平面的垂线则两个平面垂直。

平面与平面垂直的性质：如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于交线的直线与另一

A

B

A

如果直线L 和平面内的任意一条直线都垂直，

那么就称直线L 与平面垂直，记作L 。

直线L 叫做平面的垂线，垂线L 与平面的交

斜线L 与它在平面内的射影L 1的夹角，叫做直线L 与平面所成的角。

P A

B

L

L 1

个平面垂直。

6、 几何图形 棱柱

正棱柱的侧面积：S 正棱柱侧=ch

(c 表示正棱柱底面周长 , h 表示高)

全面积(表面积)：S 正棱柱全=ch+2S 底 体积：V 正棱柱=S 底h 棱锥 图(1)

正棱锥的侧面积：S 正棱锥侧=ch 1 (h 1表示斜高) 全面积(表面积)：S 正棱锥全=ch 1+S 底 体积：V 正棱锥=S 底h 圆柱

S 圆柱侧=2rh S 圆柱全=2r(h+r) V 圆柱=r 2h

圆锥 图(2)

S 圆锥侧=rL S 圆锥全=r (L+r) V 圆锥=r 2h

球 图(3)

r=

S 球=4

R 2

V 球=

R 2

7、 概率初步

分类计数原理：N=k 1+k 2+ …+k n (种) 分步计数原理：N=k 1·k 2·…·k n (种)

随机事件；必然事件，用表示；不可能事件，用表示。 基本事件：不能再分的最简单的随机事件。 复合事件：可以用基本事件来描绘的随机事件。

频率： (m 为频数) n 次重复试验中，事件A 发生了m 次 ()

概率：P(A)= (古典概型)

h 1

(1)

母线L

(2)

O

O 1

d R

r

(3)

d 为球心到截面的距

离，R 为球的半径，r

概率加法公式：P(A B)=P(A)+ P(B)

高二

1、三角公式及应用

两角和与差的余弦公式：cos()=cos cos sin sin

cos()=cos cos sin sin 两角和与差的余弦公式：sin()=sin sin cos

sin()=sin sin cos 两角和与差的余弦公式：tan()=

tan()=

二倍角公式：sin2=2sin cos, cos2=cos2sin2

cos2=2cos2 1 或cos2=12sin2

sin2=或cos2=

tan2=

正弦型函数：y=Asin() (A>0 , >0) , 定义域为R,周期为T=

正弦型曲线： 利用“五点法”作出下列各函数在一个周期内的图像。 (1) Y=sinx , T=2

x 0 2 Y=sinx

1

-1

(2) Y=sin2x , T=

x 0 2x 0 2

Y=sin2x

1

-1

所谓“五点法”是指将sin 内的数值取0, , , , 2这五个点，然后求出x 与y 的值即可。

y=Asin(

) (x

[0,+),A>0 ,

>0)

A 为振动的振幅 振动的周期：T =

振动的频率：f = =

相位：

当x=0时的相位叫初相

将函数y=asinx+bcosx (a>0 , b>0) ,转化为y=Asin()的形式

A=

,

=

正弦定理：

==

余弦定理：a 2=b 2+c 22bccosA cosA= b 2=a 2+c 22accosA cosB= c 2=a 2+a 22abcosA

cosC=

注： 0° 30° 45°

60°

90° 120°

135°

150°

180° 0 1 0

1

-1

y

x

O

-1 1

O

-1

1

x

y

1

—

-1

2、 椭圆

椭圆标准方程： (1) (a > b > c > 0)

(2) (a > b > c > 0)

3、 双曲线

双曲线标准方程： (1)

(a > 0 , b > 0) (2)

(a > 0 , b > 0)

4、 抛物线

F 1 , F 2是椭圆的焦点

F 1到F 2的距离叫做焦距 2c (c > 0) F 1 , F 2距离之和为2a (a > 0) (长轴) 2b (短轴)

O

M

F 1 , F 2是双曲线的焦点

F 1到F 2的距离叫做焦距 2c (c > 0) |MF 1||MF 2|= 2a (a > 0) (实轴) 2b (虚轴)

虚线部分为渐近线

图(1)渐近线为 y=

图(1)渐近线为 y=

M

F 1

F 2

(1)

F 2

F 1

O (2)

M

F 1

F 2

O (2)

M

F 1

F 2

O (1)

x

y

y

x

x

x

y

y

|EF|=P , 焦点F 的坐标为( , 0 )

直线L 为抛物线的准线 y

P

M

5、排列与组合

表示从n个不同元素中，取出m ( m n )个元素的所有排列的个数

=n(n1) (n2) …(n m1) (m n) 例：=5(51)=20

=n(n1) (n2) …32 1 (m=n) 例：=4321=24

=n!

=(m

n!叫做n的阶乘(1到n的正整数连乘积) ( 0!=1 ) 例：5!= 54321=120表示从n个不同元素中取m ( m n )个不同元素的所有组合的个数

==或=

性质1 ：=( m n ) 例：=

性质1 ：=( m n ) 例：=

组合()与排列()的区别：组合中m个元素不用排序，排列中m个元素需要排序

6、 二项式

二项式定理：(a+b)n =(二项展开式)

为二项式系数

二项式的通项公式：

=

二项式系数的性质：

高一上册（剩下部分）

1、 运算法则

(1)

=

(2)

=

(3)

=

当a > 0 ,p ,q 为有理数时 =

=

=

2、 幂函数

叫做幂函数，为常数，为自变量 当>0时，函数图像经过原点( 0 , 0 )与点( 1 , 1 )；当<0时，函数图像不经过原点( 0 , 0 )，但经过( 1 , 1 )点。 3、 指数函数

, 值域(0,

) , D=R

性质：当x=0时，函数值y=1； 当a>1时，函数在()内是增函数；当0

)内是减函数。

4、 对数

b=log a N (以a 为底N 的对数等于b)；a 叫做对数的底，N 叫做真数 a b =N 叫做指数式 log a N=b 叫做对数式 当

时

(1) log a 1=0 (2) log a a=1 (3) N>0, 即零和负数没有对数

(a+b)1 … 1 1 (a+b)2 … 1 2 1 (a+b)3

… 1 3 3 1

(a+b)4 … 1 4 6 4 1

……

(1) 每一行的两端都是1，其余每个数都是它“肩上”两个数的。

(2) 每一行中与首末两端“等距离”的两个数相等。

(3) 如果二项式(a+b)n 的幂指数n 是偶数，那么它的展开式中间一项

以10为底的对数叫做常用对数，log10N简记为lgN，如log 102简记为lg2

以无理数e(e=2.71828…)为底的对数叫做自然对数，log e N简记为lnN，如log e5简记为ln5 Lg(MN)=lgM+lgN ( M>0 , N>0 )

当M>0 , N>0时lg= lgM-lgN lgM n=nlgM

5、对数函数

, D=(0,) , 值域为()

性质：当x=1时，函数值y=0；

当a>1时，函数在()内是增函数；当0

提示：求函数定义域时要注意“对数的真数大于零”的条件。

6、角

角的概念

终边相同的角{}

与角终边相同的角有无限多个，所以组成的集合如上所示

终边在y轴上的角的集合是{}

终边在x轴上的角的集合是{}

弧度制

7、三角函数

A

O

B

OA是始边，OB为终边，端点O叫做角的顶点

(1)顺时针方向旋转所形成的角为负角

(2)逆时针方向旋转所形成的角为正角

B

O

r

2rad

2r

当角用弧度表示时，其绝对值等于圆弧长L与半径r的比，即||=

弧长公式：扇形面积公式：

(rad) (rad)

(rad) 1(rad)

8、

同角三角函数的基本关系式

例：已知, 且是第四象限角, 求和

解：由

得

又是第四象限角

0/0°/90°/180°/270°2

0 1 0 -1 0

1 0 -1 0 1

0 不存在0 不存在0

O(A)

r

B

C

y

y

x

x

由图得知：

x x x

y

y

y

O O O

三

角

函

则, 9、诱导公式

当时,