“基本不等式”为什么基本

“基本不等式”为什么“基本”

《数学通报》2013年第2期 章建跃“发挥数学内在的力量”

基本不等式

)0,(2

>≥+b a ab b

a 确与重要的数学概念和性质相关，体现知识的联系性，表述形式简洁、流畅且好懂，具体从如下角度理解：

1.涉及代数、几何中的“基本量”

从“数及其运算”的角度看，

2

b

a +是两个正数

b a ,的“算术平均数”；从“定量几何”的角度看，ab 表示长、宽分别为b a ,的矩形面积，ab 就叫两个非负数b a ,的“几何平均”.

2.有多种等价形式

（1）代数：比较两个正数经多种运算后的结果大小，可得到各种表现形式

)0,(2

221

122>+≥≥+≥+--b a b

a a

b b a b a （2）几何：

1

2）以b a +(设直角边x,y ，则(22a xy =3）等圆中，弦长不大于直径 （b a ab +≤2）

（31）由函数2

x y =a b a b a )2

(222

22+?+≥+2）过点(1,1)作曲线x y =

21+≤

x x ，令b a x =，得

)0,(2

>≥+b a ab b

a

3）已知平面内定直线A y x 2=+，考察曲线族c xy =（参数），两曲线有公共点，且

c 取最大值时的曲线，是和直线相切于点（A,A ）的那条，此时2

2

y

x xy A c +≤

?=

3.证明方法的多样性

上述联系中，已给出了证明的各种思路，且这些思路与基本概念相关，不涉及太多技巧 还可从“平均数”的角度来构造证明如下： 设2b a A +=

，构造量2

b

a d -=，则d A

b d A a -=+=,，于是 2222)2(

d b a d A ab -+=-=，由02≥d ，得ab b

a ≥+2

4.可推广

1）推广命题：n 个正数的几何平均数不大于其算术平均数 2）证明方法：略

3）实际意义：在统计中，对于某一个未知量x ，通过测量获得了它的n 个观测值

),,2,1(n i x i L =，这些值会因误差而略有不同，那么x 取什么值最可信呢？

高斯的想法是：用i x x -表示观测值i x 与理想值x 的偏差（可正负），把那个使总偏差最小的值作为理想的最佳估计值。问题转化为求使

∑=-n

i i

x x 1

2

)

(最小时，x 的值，由二次函

数知，这个值恰为这n 个观测值的算术平均数。（正是高斯“最小二乘法”的出发点）