数列求和的七种方法｜数列求和教案

数列求和是知识掌握的重点，下面是为大家带来的数列求和教案，希望能帮助到大家!

数列求和教案篇一

汉滨高中李安锋

教学目标:

知识目标

①复习等差和等比数列的前n项和公式、回忆公式推导过程所用倒序想加和错位相减的思想方法,及用数列求和公式求和时,应弄清基本量中各基本量的值,特别是用等比数列求和公式求和时,应关注公比q是否为1;

②记住一些常见结论便于用公式法对数列求和;

③学会分析通项的结构并且对通项进行分拆;能运用拆并项求和思想方法解决非特殊数列求和问题。

能力目标

培养学生用联系和变化的观点,结合转化的思想来分析问题和解决问题的能力。

情感目标

培养学生用数学的观点看问题,从而帮助他们用科学的态度认识世界. 教学重点与难点

教学重点等差等比数列求和及特殊数列求和的常用方法

教学难点分析具体数列的求和方法及实际求解过程.

教学方法、手段

通过设问、启发、当堂训练的教学程序,采用启发式讲解、互动式讨论、反馈式评价的授课方式,培养学生的自学能力和分析与解决问题的能力,借助幻灯片辅助教学,达到增加课堂容量、提高课堂效率的目的,营造生动活泼的课堂教学氛围. 学法指导

为了发挥学生的主观能动性,提高学生的综合能力,确定了三种学法

(1)自主性学习法,(2)探究性学习法,(3)巩固反馈法,

教学过程

(一)情景导入

复习回顾:等差数列和等比数列的前n项和公式?

n(a1?an)n(n?1)?na1?d 等差数列求和公式Sn?22

(q?1)?na1? 等比数列求和公式Sna1(1?qn)a1?anq ?(q?1)?1?q?1?q 教师引导学生回忆数列几种常见的求和方法?

①公式法②分组求和法③裂项相消法④错位相减法

(充分发挥学生学习的能动性,以学生为主体,展开课堂教学)

(二)自学指导

若已知一个数列的通项,如何对其前n项求和?

①an?3n ②an?3n?2n?1 ③an?n(n?1)

④an?1 ⑤an?n?3n n(n?1)

(通过学生对几种常见的求和方法的归纳、总结,结合具体的实例、简单回忆各方法的应用背景.把遗忘的知识点形成了一个完整的知识体系)

巩固检测题

(1) a?a2?a3?an?________

(2) 1+3+5+?+(2n+1)=

(3)12?22?32n2?

(复习等差与等比数列的求和公式:(1)中易忘讨论公比是否为1(2)中易错项数

(3)与(4)是为用公式法求和作铺垫.)

(三)例题展示

例设Sn=1-3+5-7+9++101 求Sn

分析: 拆并项求和

思路? Sn=(1-3)+(5-7)+(9-11)+(97-99)+101=

?Sn=1+(-3+5)+(-7+9)+(-11+13)+(-99+101)=

? Sn=(1+5++101)-(3+7++99)=

意图通过一题多解,开阔学生的思维.，分析①②③培养学生的拆项求和与并项求和的意识, 比较分析①②思考应留下。变式(1)让学生做的目的是①需讨论n 的奇偶性②书写格式易出问题。

例一个数列{an}当n为奇数时, an=5n+1当n为偶数时,an=

这个数列的前2m项的和,(m是正整数).

分析①若数列{an}满足an=5n+1则数列{an}具备什性质?

②若数列{an}满足an=n22n2求则数列{an}又具备什性质?

数列求和的常用方法

数列求和的常用方法永德二中王冬梅数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础。在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位。数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧。下面，简单介绍下数列求和的基本方法和技巧。第一类：公式法利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。 1、等差数列的前n 项和公式 2 )1(2)(11d n n na a a n S n n -+=+= 2、等比数列的前n 项和公式 ?? ???≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n 3、常用几个数列的求和公式（1）、)1(213211 += +?+++==∑=n n n k S n k n （2）、)12)(1(6132122221 2++= +?+++==∑=n n n n k S n k n （3）、233331 3)]1(21[321+=+?+++==∑=n n n k S n k n 第二类：乘公比错项相减（等差?等比）这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列}{n n b a ?的前n 项和，其中}{n a ，}{n b 分别是等差数列和等比数列。例1：求数列}{1-n nq (q 为常数)的前n 项和。解：Ⅰ、若q =0，则n S =0 Ⅱ、若q =1，则)1(2 1321+= +?+++=n n n S n Ⅲ、若q ≠0且q ≠1，则12321-+?+++=n n nq q q S ① n n nq q q q qS +?+++=3232 ② ①式—②式：n n n nq q q q q S q -+?++++=--1321)1(

数列求和方法和经典例题

数列求和方法和经典例题求数列的前n 项和，一般有下列几种方法：一、公式法 1、等差数列前n 项和公式 2、等比数列前n 项和公式二、拆项分组求和法某些数列，通过适当分组可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列求和公式求和，从而得出原数列的和。三、裂项相消求和法将数列中的每一项都分拆成几项的和、差的形式，使一些项相互拆消，只剩下有限的几项，裂项时可直接从通项入手，且要判断清楚消项后余下哪些项。四、重新组合数列求和法将原数列的各项重新组合，使它成为一个或n 个等差数列或等比数列后再求和五、错位相减求和法适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和典型例题一、拆项分组求和法例1、求数列1111123,2482n n ??+ ???，，，，的前n 项和例2、求和：222 221111n n x x x x x ??????++++++ ? ? ?????? ?

例3、求数列2211,12,122,,1222,n -+++++++的前n 项和例4、求数列5,55,555,5555,的前n 项和二、裂项相消求和法例5、求和：()()11113352121n S n n =+++??-+ 例6、求数列1111,, ,,,12123123n +++++++的前n 项和例7、求和：()11113242n S n n =+++??+

例8、数列{} n a 的通项公式n a =，求数列的前n 项和三、重新组合数列求和法例9、求2222222212345699100-+-+-++- 四、错位相减求和法例10、求数列123,,,,,2482n n 的前n 项和例11、求和：()23230n n S x x x nx x =++++≠

等比数列求和教案

课题：等比数列的前n项和（一课时）教材：浙江省职业学校文化课教材《数学》下册（人民教育出版社）一、教材分析 ●教学内容《等比数列的前n项和》是中职数学人教版（基础模块）（下）第六章《数列》第四节的内容。是数列这一章中的一个重要内容, 就知识的应用价值上看，它是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等,另外公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法,都是学生今后学习和工作中必备的数学素养．就内容的人文价值来看，等比数列的前n项和公式的探究与推导需要学生观察、归纳、猜想、证明，这有助于培养学生的创新思维和探索精神,同时也是培养学生应用意识和数学能力的良好载体．二、学情分析 ●知识基础：前几节课学生已学习了等差数列求和，等比数列的定义及通项公式等内容,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用. ●认知水平与能力：高二学生具有自主探究的能力，能在教师的引导下独立、合作地解决一些问题，但从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导．不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有所不同，这对学生 q 这一特殊情况，学生也往往容易忽略，尤的思维是一个突破，另外，对于1 其是在后面使用的过程中容易出错．三、目标分析依据教学大纲的教学要求，渗透新课标理念，并结合以上学情分析，我制定了如下教学目标： 1.教学目标

●知识与技能目标理解用错位相减法推导等比数列前n项和公式的过程，掌握公式的特点，并在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题． ●过程与方法目标通过对公式的研究过程，提高学生的建模意识及探究问题、培养学生观察、分析的能力和协作、竞争意识。 ●情感、态度与价值目标通过学生自主对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，培养学生主动探索的求知精神和团结协作精神, 感受数学的美。 2.教学重点、难点 ●重点：等比数列前n项和公式的推导及公式的简单应用． ●难点：错位相减法的生成和等比数列前n项和公式的运用．突破难点的手段：“抓两点，破难点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，激发他们的兴趣，鼓励学生大胆猜想、积极探索，并及时给予肯定；二抓知识的切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，教师在学生主体下给予适当的提示和指导. 四、教学模式与教法、学法根据学生的认知特点，本着学生为主体教师为主导的原则采用多元教学法，让学生至于情景中。学生动手操作实践分组讨论探究，而教师重在启发，引导。基于教学平台和数学软件让学生可观，可感，可交流的环境中轻松的学习。五、教学过程

求数列通项公式和前n项和的常用方法(含高考题精选)

求数列通项公式和前n 项和的常用方法一、求数列通项公式的常用方法 1.公式法：等差数列或等比数列的通项公式。 2.归纳法：由数列前几项猜测出数列的通项公式，再用数学归纳法证明其正确性。 3.累乘法:利用3 21 121 (0,2)n n n n a a a a a a n a a a -=???≠≥型如: 1()n n a g n a += 4.构造新数列: 类型1累加法 )(1n f a a n n +=+ 类型2 累乘法 n n a n f a )(1=+ 类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中p q t -=1，转化为等比数列求解。类型4 n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。（或1n n n a pa rq +=+,其中p ，q, r 均为常数）解法：先在原递推公式两边同除以1 +n q ，得：q q a q p q a n n n n 111+?=++引入辅助数列{}n b （其中n n n q a b =），得：q b q p b n n 1 1+=+再待定系数法解决。类型5 递推公式为n S 与n a 的关系式。(或()n n S f a =) 解法：1.利用?? ?≥???????-=????????????????=-) 2() 1(11n S S n S a n n n 2.升降标相减法二、数列求和的常用方法 1.直接或转化等差、等比数列的求和公式求和（1）等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= （2）等比数列求和公式：?????≠--=--==) 1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n 2.错位相减法设数列{}n a 的等比数列，数列{}n b 是等差数列，则求数列{}n n b a 的前n 项和n S 。 3.裂项求和法（1）1 1 1)1(1+- =+=n n n n a n （2）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n 等。4.分组求和法：对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。 5.逆序相加法把数列正着写和倒着写再相加（即等差数列求和公式的推导过程的推广）

数列求和方法分类及经典例题

数列求和方法总结一、公式法 ()()111122 n n a a n n n .na d +-==+等差型 S ()111111n n na q a q q q =??=-?≠?-? ，2.等比型 S ， →3.分式型/阶乘型裂项相消法 () 1111111n n n n n a a a d a a ++??=- ???? ，其中为等差； ( 12n a d = ，其中为等差； ()()() ()113=+1+1+1n n n!n !n!.n !n!n !-?=- ， ()()()( )1111153759 11121121231233n n . .,n N n *???++++∈+++++++KK KK K KK 例1：求下列各数列的前项和S ，，，二、等差等比混合型 (){}=n n n a b kn b q ??+?→ 1.等差等比错位相减法 n n S 例2：求下列各数列的前项和 ()()112n n .a n =+? ()()12312n n .a n ??=-? ??? ()()()3312n n .a n =-+?-

{}111122n n k n b a q a q ±+++→ 2.等差等比分组求和 n n S 例3：求下列各数列的前项和 ()1111123248 .,,,KK ()2211121333333 n n .,,,,+++KK → 3.奇偶项不同分组求和 n n S 例4：求下列各数列的前项和 ()()()1115913143n n .n -=-+-++--K 相邻异号例：S ()11211n n n .a ,a a ,S -=+= 和为常数例：求()122314=+2n n n .a ,a ,a a ,S -== 差为常数例：求()12+11142=63n n n n n .a a ,a a ,a S ??== ??? 比为常数例：，求及三、倒叙相加/相乘型 n n S 例5：求下列各数列的前项和 ()11110142n x n .f (x ),S f ()f ()f ()f ()n n -= =++++ 已知求；()211121220121201220112 x .f (x ),f ()f ()f ()f ()f ()f ()x =+++++++KK KK 已知求；()1312.n n n n n ++ 在和之间插入个正数，使这个数成等比数列，求插入个数之积； ()1412.n n n n n ++ 在和之间插入个正数，使这个数成等差数列，求插入个数之和； 22112n n n n n n n +++??== ??? T ,S

数列求和公开课教案(1)

《数列求和复习》教学设计开课时间：2016/12/22 开课人：洪来春一、学情分析：学生在前一阶段的学习中已经基本掌握了等差、等比数列这两类最基本的数列的定义、通项公式、求和公式，同时也掌握了与等差、等比数列相关的综合问题的一般解决方法。本节课作为一节复习课，将会根据已知数列的特点选择适当的方法求出数列的前n项和，从而培养学生观察、分析、归纳、猜想的能力、逻辑思维能力以及演绎推理的能力。二、教法设计：本节课设计的指导思想是：讲究效率，加强变式训练、合作学习。采用以具体题目为切入点，引导学生进行探索、讨论，注重分析、启发、反馈。先引出相应的知识点，然后剖析需要解决的问题，在例题中巩固相应方法，再从讨论、反馈中深化对问题和方法的理解，从而较好地完成知识的建构，更好地锻炼学生探索和解决问题的能力。在教学过程中采取如下方法：（1）诱导思维法：使学生对知识进行主动建构，有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性；（2）讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点。三、教学设计： 1、教材的地位与作用：对数列求和的考查是近几年高考的热点内容之一，属于高考命题中常考的内容；另一个面，数学思想方法的考查在高考中逐年加大了它的份量。化归与转化思想是本课时的重点数学思想方法，化归思想就是把不熟悉的问题转化成熟悉问题的数学思想，即把数学中待解决或未解决的问题，通过观察、分析、联想、类比等思维过程，选择恰当的方法进行变换、转化，归结到某个或某些已经解决或比较容易解决的问题上，最终解决原问题的一种数学思想方法；化归思想是解决数学问题的基本思想，解题的过程实际上就是转化的过程。 2、教学重点、难点：教学重点：根据数列通项求数列的前n项，本节课重点复习分组求和与裂项法求和。教学难点：解题过程中方法的正确选择。 3、教学目标： (1)知识与技能：会根据通项公式选择求和的方法，并能运用分组求和与裂项法求数列的前n项。 (2)过程与方法： ①培养学生观察、分析、归纳、猜想的能力、逻辑思维能力以及演绎推理的能力； ②通过阶梯性练习和分层能力培养练习，提高学生分析问题和解决问题的能力，使不同层次的学生的能力都能得到提高。

数列求和的常用方法

数列求和的常用方法主要方法： 1．求数列的和关键是看数列的通项公式形式注意方法的选取： 2．求和过程中注意分类讨论思想的运用；转化思想的运用；一、公式法二、分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。 1、求和：①321ΛΛ个 n n S 111111111++++= ②22222)1 ()1()1(n n n x x x x x x S ++++++ =Λ ③求数列1，3+4，5+6+7，7+8+9+10，…前n 项和n S 2 、求数列的前 n 项和： 231 ,,71,41, 1112-+???+++-n a a a n ，… 三、合并求和法： 1、求22222212979899100-++-+-Λ的和。 2、1-2+3-4+5-6+7-8+9-……….+ n 1-1 n +）（ 3（2014山东19文）在等差数列{}n a 中，已知2d =，2a 是1a 与4a 等比中项. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设()12 ,n n n b a += 记()1231n n n T b b b b =-+-++-L ，求n T . 4.( 2014山东19理）已知等差数列}{n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且1S ，2S ，4S 成等比数列。（I ）求数列}{n a 的通项公式；（II ）令n b =,4) 1(1 1 +--n n n a a n 求数列}{n b 的前n 项和n T 。 5、（2011山东理数20）等比数列{}n a 中，123,,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且123,,a a a （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足：()1ln n n n n b a a =+-，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 6、（2011山东文数20）等比数列{}n a 中，123,,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且123,,a a a （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足：(1)ln n n n n b a a =+-，求数列{}n b 的前2n 项和2n S ．四、错位相减法：.×. 1、已知数列)0()12(,,5,3,11 2 ≠--a a n a a n Λ，求前 n 项和。 2、 132)12(7531--+???++++=n n x n x x x S 3、求数列 ??????,2 2,,26,24,2232n n 前n 项的和 4、{2}.n n n ?求数列前项和 5、设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=，5313a b +=

数列求和汇总例题与答案)

数列求和汇总答案一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 )1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n 例1、已知3 log 1log 23-=x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=?-=?-=x x x 由等比数列求和公式得n n x x x x S +???+++=32（利用常用公式）＝x x x n --1)1(＝2 11)211(21--n ＝1－n 21 练习：求22222222123456...99100-+-+-+--+的和。解：2222222212345699100-+-+-+--+ 由等差数列的求和公式得二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{a n }、{b n }分别是等差数列和等比数列. 例2求和：132)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………① 解：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x }的通项之积设n n x n x x x x xS )12(7531432-+???++++=……………………….②（设制错位） ①－②得n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+???+++++=--（错位相减）再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1 ----?+=-- ∴2 1)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ 练习：求数列??????,2 2,,26,24,2232n n 前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 2 1}的通项之积设n n n S 2 226242232+???+++=…………………………………①

等差数列求和教案

等差数列求和教学目标 1.掌握等差数列前项和的公式，并能运用公式解决简单的问题. （1）了解等差数列前项和的定义，了解逆项相加的原理，理解等差数列前项和公式推导的过程，记忆公式的两种形式；（2）用方程思想认识等差数列前项和的公式，利用公式求；等差数列通项公式与前项和的公式两套公式涉及五个字母，已知其中三个量求另两个值；（3）会利用等差数列通项公式与前项和的公式研究的最值. 2.通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题，解决问题的一般思路和方法. 3.通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平. 4.通过公式的推导过程，展现数学中的对称美；通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并数学地解决问题. 教学建议（1）知识结构本节内容是等差数列前项和公式的推导和应用，首先通过具体的例子给出了求等差数列前项和的思路，而后导出了一般的公式，并加以应用；再与等差数列通项公式组成方程组，共同运用，解决有关问题．（2）重点、难点分析教学重点是等差数列前项和公式的推导和应用，难点是公式推导的思路．推导过程的展示体现了人类解决问题的一般思路，即从特殊问题的解决中提炼一般方法，再试图运用这一方法解决一般情况，所以推导公式的过程中所蕴含的思想方法比公式本身更为重

要．等差数列前项和公式有两种形式，应根据条件选择适当的形式进行计算；另外反用公式、变用公式、前项和公式与通项公式的综合运用体现了方程（组）思想．高斯算法表现了大数学家的智慧和巧思，对一般学生来说有很大难度，但大多数学生都听说过这个故事，所以难点在于一般等差数列求和的思路上．（3）教法建议 ①本节内容分为两课时，一节为公式推导及简单应用，一节侧重于通项公式与前项和公式综合运用. ②前项和公式的推导，建议由具体问题引入，使学生体会问题源于生活. ③强调从特殊到一般，再从一般到特殊的思考方法与研究方法. ④补充等差数列前项和的最大值、最小值问题. ⑤用梯形面积公式记忆等差数列前项和公式. 等差数列的前项和公式教学设计示例教学目标 1.通过教学使学生理解等差数列的前项和公式的推导过程，并能用公式解决简单的问题. 2.通过公式推导的教学使学生进一步体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思想方法，通过公式的运用体会方程的思想. 教学重点，难点教学重点是等差数列的前项和公式的推导和应用，难点是获得推导公式的思路. 教学用具实物投影仪，多媒体软件，电脑. 教学方法讲授法.

(完整版)数列求和经典题型总结

三、数列求和数列求和的方法. （1）公式法：①等差数列的前n 项求和公式 n S =__________________=_______________________. ② 等比数列的前 n 项和求和公式 ? ? ?≠===)1(___________________)1(__________q q S n （2）....++=n n n b a C ，数列{}n C 的通项公式能够分解成几部分，一般用“分组求和法”. （3）n n n C a b =?，数列{}n C 的通项公式能够分解成等差数列和等比数列的乘积，一般用“错位相减法”. （4）1 n n n C a b = ?，数列{}n C 的通项公式是一个分式结构，一般采用“裂项相消法”. （5）并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和。适用于形如()()n f a n n 1-=的类型。举例如下： ()()() 5050 12979899100129798991002 22222=++???++++=-+???+-+-= n S 常见的裂项公式：（1） 111)1(1+-=+n n n n ;(2) =+-) 12)(12(1 n n ____________________;(3)1 1++n n =__________________ 题型一数列求解通项公式 1. 若数列{a n }的前n 项的和1232 +-=n n S n ，则{a n }的通项公式是n a =_________________。 2. 数列}{n a 中，已知对任意的正整数n ，1321-=+???++n n a a a ，则22221n a a a +???++等于_____________。 3. 数列中，如果数列是等差数列，则________________。 4. 已知数列{a n }中，a 1＝1且 3 1 111+=+n n a a ，则=10a ____________。 5. 已知数列{a n }满足)2(1 1≥-= -n a n n a n n ，则n a =_____________.。 6. 已知数列{a n }满足)2(11≥++=-n n a a n n ，则n a =_____________.。 {}n a 352,1,a a ==1 { }1 n a +11a =

数列求和的8种常用方法(最全)

求数列前n 项和的8种常用方法一.公式法（定义法）： 1.等差数列求和公式： 11()(1)22 n n n a a n n S na d ++==+ 特别地，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+?，即前n 项和为中间项乘以项数。这个公式在很多时候可以简化运算； 2.等比数列求和公式：（1）1q =，1n S na =；（2）1q ≠，( )111n n a q S q -= -，特别要注意对公比的讨论； 3.可转化为等差、等比数列的数列； 4.常用公式: （1）1 n k k ==∑1 2 123(1)n n n ++++=+L ；（2）21n k k ==∑222211 63 1123(1)(21)()(1)2 n n n n n n n ++++=++==++L ；（3）31n k k ==∑33332(1)2 123[ ]n n n +++++=L ；（4）1 (21)n k k =-=∑2135(21)n n ++++-=L . 例1 已知3log 1 log 23-= x ，求23n x x x x ++++ 的前n 项和. 解：由21 2log log 3log 1log 3323=?-=?-=x x x 由等比数列求和公式得 23n n S x x x x =++++L ＝x x x n --1)1(＝2 11)211(2 1--n ＝1－n 2 1 例2 设123n S n =++++ ，*n N ∈,求1 )32()(++=n n S n S n f 的最大值. 解：易知 )1(21+=n n S n ， )2)(1(2 1 1++=+n n S n ∴ 1)32()(++=n n S n S n f ＝64 342++n n n ＝n n 64341++＝50 )8(1 2+-n n 50 1≤ ∴ 当 8 8 -n ，即8n =时，501)(max =n f . 二.倒序相加法:如果一个数列{}n a ，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法。如：等差数列的前n 项和即是用此法推导的，就是

数列求和与求通项方法汇总与经典例题

15 数列求通项问题数列求通项方法一：累加法，解决形如型数列通项问题)(1n f a a n n =-+. 例．设数列}{a n 的前n 项和为S n ，}{a n }满足a 1＝1，a n +1﹣a n ＝n d ，n ∈N *．若n d ＝3n ，求数列}{a n 的通项公式；解：（1）若a n +1﹣a n ＝d n ＝3n ，则a 2﹣a 1＝3， a 3﹣a 2＝32，a 4﹣a 3＝33，……a n ﹣a n ﹣1＝3n ﹣1，累加得：a n ﹣a 1＝＝，又由a 1＝1，∴a n ＝. 数列求和方法二：构造法，解决形如型或接近于等差或d pa n n +=+1a .等比数列型例．已知数列{a n }满足a 1＝1且a n +1＝2a n +1，求a n ；解：∵a n +1＝2a n +1，∴a n +1+1＝2a n +2＝2（a n +1），又a 1+1＝2≠0，所以， ∴数列{a n +1}是等比数列，公比q ＝2，首项为2．则， ∴；例数列{a n }中，a 1＝1，a n +1＝2a n +n ﹣1．求数列{a n }的通项公式．解：根据题意，a n +1＝2a n +n ﹣1，则a n +1+n +1＝2a n +n ﹣1+n +1＝2a n +2n ＝2（a n +n ）所以，所以数列{a n +n }为等比数列．数列{a n +n }为以2为公比的等比数列，又a 1＝1，所以a 1+1＝2．所以，所以．例．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝﹣1，a n +1＝S n ?S n +1,求{a n }的通项公式．解：因为a n +1＝S n +1﹣S n ，所以S n +1﹣S n ＝S n ?S n +1．两边同除以S n ?S n +1得﹣＝﹣1．因为a 1＝﹣1，所以＝﹣1．因此数列{ }是首项为﹣1，公差为﹣1的等差数列．得＝﹣1+（n ﹣1）（﹣1）＝﹣n ，S n ＝﹣．

数列求和的常用方法(三课时)

数列求和的常用方法（三课时）数列求和是数列的重要内容之一，也是高考数学的重点考查对象。数列求和的基本思路是，抓通项，找规律，套方法。下面介绍数列求和的几种常用方法：一、直接（或转化）由等差、等比数列的求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==) 1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211 +==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(6112 ++==∑=n n n k S n k n 5、 2 1 3)]1(21[+==∑=n n k S n k n 例1（07高考山东文18）设{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知37S =，且123334a a a ++，，构成等差数列．（1）求数列{}n a 的等差数列．（2）令31ln 12n n b a n +== ，，，，求数列{}n b 的前n 项和T ．解：（1）由已知得12313 27:(3)(4)3.2 a a a a a a ++=?? ?+++=??，解得22a =．设数列{}n a 的公比为q ，由22a =，可得132 2a a q q ==，．又37S =，可知2 227q q ++=，即22520q q -+=，解得121 22 q q ==，．由题意得12q q >∴=，． 11a ∴=．故数列{}n a 的通项为12n n a -=．（2）由于31ln 12n n b a n +== ，，，，由（1）得3312n n a += 3ln 23ln 2n n b n ∴==，又13ln 2n n n b b +-= {}n b ∴是等差数列． 12n n T b b b ∴=+++ 1()2 (3ln 23ln 2) 23(1)ln 2. 2 n n b b n n n += += += 故3(1) ln 22 n n n T += ．

数列求和方法及典型例题

数列求和方法及典型例题 1.基本数列的前n 项和 ⑴ 等差数列{}n a 的前n 项和：n S ???? ??????+?-++=n b n a d n n na a a n n 211)1(212)( ⑵ 等比数列{}n a 的前n 项和n S ： ①当1=q 时，1na S n =；②当1≠q 时，q q a a q q a S n n n --=--=11)1(11； 2. 数列求和的常用方法：公式法；性质法；拆项分组法；裂项相消法；错位相减法；倒序相加法. 题型一公式法、性质法求和 1.已知n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，公比7,299==S q ，则=++++99963a a a a 2.等差数列{}n a 中，公差2 1= d ，且6099531=++++a a a a ，则=++++100321a a a a . [例1]求数列，，，，，)21(813412211n n +的前n 项和n S . 题型二拆项分组法求和 [练2]在数列{} n a 中，已知a 1=2，a n+1=4a n －3n ＋1，n ∈*N . （1）求数列{}n a 的通项公式;（2）设数列{}n a 的前n 项和为S n ，求S n 。 [练].求数列{}2)12(-n 的前n 项和n S . [例].求和：) 1(1431321211+++?+?+?n n . 题型三裂项相消法求和 [例].求和： n n +++++++++11341231121 . [例]求和：n +++++++++++ 321132112111 [练4]已知数列{}n a 满足()*1112,1N n a a a n n ∈+==+

高中数学《数列求和复习》公开课优秀教案

高中数学《数列求和复习（第一课时）》公开课教案学习目标：①掌握数列求和的三种方法：公式法、分组求和法及错位相减法； ②能正确运用等差与等比数列求和公式求和； ③能把一般数列转化成特殊数列求和. 教学重点：根据数列通项求数列的前n 项，本节课重点学习分组求和与错位相减法求和。教学难点：解题过程中方法的正确选择和化简一、复习引入 1、复习公式：等差数列的前n 项和为_______________等比数列的前n 项和为_____________________ 2、练习：（1）求=-++++12531n __________（2）求=++++n 2421 ________ （3）若,0≠a 则=++++n a a a a 32___________________ 二、题型讲解题型一公式法体验高考：2016全国卷Ⅰ文科17.（本小题满分12分）已知{}n a 是公差为3的等差数列，数列}{n b 满足11=b ，3 1 2=b ，n n n n nb b b a =+++11 （1）求}{n a 的通项公式，（2）求}{n b 的前n 项和方法小结：题型二分组求和例1 、求和__________)432()434()432(21=?-++?-+?-n n 方法小结：变式练习：若n n n a 2+=，求数列}{n a 的前n 项和n S . 题型三错位相减法例2 、若n n n a 2?=，求数列}{n a 的前n 项和n S . 方法小结：练习:求和：若n n n a 3)12(?-=，求数列}{n a 的前n 项和n S . 体验高考（2014全国I 文17）（12分）已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2560x x -+=的根. （1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列2n n a ?? ? ??? 的前n 项和.

数列求和常用方法(经典讲解)

求数列前n 项和常用方法（经典讲解）一.公式法（定义法）： 1.等差数列求和公式： 11()(1)22 n n n a a n n S na d ++==+ 特别地，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+?，即前n 项和为中间项乘以项数。这个公式在很多时候可以简化运算； 2.等比数列求和公式：（1）1q =，1n S na =；（2）1q ≠，( )111n n a q S q -= -，特别要注意对公比的讨论； 3.可转化为等差、等比数列的数列； 4.常用公式: （1）1n k k ==∑1 2 123(1)n n n ++++=+L ；（2）21n k k ==∑222211 63 1123(1)(21)()(1)2 n n n n n n n ++++=++==++L ；（3）31n k k ==∑33332(1)2 123[ ]n n n +++++=L ；（4）1(21)n k k =-=∑2135(21)n n ++++-=L . 例1 已知3log 1 log 23-= x ，求23n x x x x ++++的前n 项和. 解：由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x 由等比数列求和公式得 23n n S x x x x =++++L ＝x x x n --1)1(＝2 11) 21 1(2 1--n ＝1－n 2 1 例2 设123n S n =++++，*n N ∈,求1 )32()(++=n n S n S n f 的最大值. 解：易知 )1(21+=n n S n ， )2)(1(2 1 1++=+n n S n ∴ 1)32()(++=n n S n S n f ＝64 342++n n n ＝n n 64341++＝50)8(12+-n n 50 1 ≤ ∴ 当 8 8-n ，即8n =时，501 )(max =n f . 二.倒序相加法:如果一个数列{}n a ，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法。如：等差数列的前n 项和即是用此法推导的，就是

数列经典例题(裂项相消法)20392

数列裂项相消求和的典型题型 1．已知等差数列}{n a 的前n 项和为,15,5,55==S a S n 则数列}1 {1 +n n a a 的前100项和为( ) A ．100101 B ．99101 C ．99100 D ．101100 2．数列,)1(1+=n n a n 其前n 项之和为,10 9 则在平面直角坐标系中，直线0)1(=+++n y x n 在y 轴上的截距为( ) A ．－10 B ．－9 C ．10 D ．9 3．等比数列}{n a 的各项均为正数，且622 3219,132a a a a a ==+． (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式； (Ⅱ)设,log log log 32313n n a a a b +++= 求数列}1 { n b 的前n 项和． 4．正项数列}{n a 满足02)12(2 =---n a n a n n ． (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式n a ； (Ⅱ)令,)1(1 n n a n b += 求数列}{n b 的前n 项和n T ． 5．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且12,4224+==n n a a S S ． (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式； (Ⅱ)设数列}{n b 满足 ,,2 1 1*2211N n a b a b a b n n n ∈-=+++ 求}{n b 的前n 项和n T ． 6．已知等差数列}{n a 满足：26,7753=+=a a a ．}{n a 的前n 项和为n S ． (Ⅰ)求n a 及n S ； (Ⅱ)令),(1 1*2 N n a b n n ∈-= 求数列}{n b 的前n 项和n T ． 7．在数列}{n a 中n n a n a a 2 11)11(2,1,+==+． (Ⅰ)求}{n a 的通项公式；

数列求和方法及典型例题

数列求和方法及典型例题 1?基本数列的前n 项和门佝 aQ 2 1 ⑴等差数列a n 的前n 项和：S n na n(n 1)d an bn ⑵等比数列a n 的前n 项和S n : ①当q 1时，S n na i ;②当q 1时，& a i (1 q n ) a 1 a .q ；； 1 q 1 q 2.数列求和的常用方法：公式法：性质法：拆项分组法：裂项相消法；错位相减法；倒序相加法题型一公式法、性质法求和 a 99 ______________________ 2?等差数列 a n 中，公差d 2，且a1 a 3 a 5 a 99 60，贝V a 1 a ? a 3 a 100 111 ［例1］求数列1 一,2 — ,3-， ,(n 右), 的前n 项和S n ? 题型二拆项分组法求和 (1)求数列a n 的通项公式；(2)设数列a n 的前n 项和为S n ,求S n 。［练］?求数列(2n 1)2的前n 项和S n . ［例］?求和: 1 n(n 1) 题型三裂项相消法求和［例］?求和: 1 , 2 1 1 ■ 4 “3 ［例］求和：1 ［练4］已知数列a n 满足a 1 1,a n 1 2a n 1 nN 1?已知S n 为等比数列 a n 的前n 项和，公比q 2,S g9 7 ,贝V a 3 a 6 a 9 ［练2］在数列 a n 中，已知 a 1=2, a n+1=4a n — 3n + 1, n € N

h 1 O h 1 1 nh 1 n (1)求数列a n的通项公式。⑵若数列b n满足41 4 2 4 3 4 n a n 1 ，求数列 2n 若c n，求数列c n的前n项和S n。 a n a n 1 题型四错位相减法求和［例］?设数列a n为1 2,2 22,3 2 3,4 2 3 n 2n x 0求此数列前n项的和. ［例］?设数列｛a n｝满足a1+ 3a2 + 32a3 + …+ 3n_ 1a n=￡, n€ N*. (1)求数列｛a n｝的通项公式；⑵设b n= n，求数列｛b n｝的前n项和S n. ［练1］已知数列｛ a n｝、｛b n｝满足a11 , a2 3, b n 1 2(n N*)，b n a n 1 a n。 b n (1)求数列｛b n｝的通项公式； (2)数列｛ C n｝满足C n b n log 2( a n 1)(n * N ),求S n C1 C2 ........ C n。［练4］等比数列a n中，已知对任意自然数n, a〔a? a3 a n 2n 1,求a；a；a3 2 A.2n 1 B.12n 1 C.4n 1 1 n . D.— 4 1 3 3 a；的值 b n的通项公式。(3)

(推荐)高中数学必修五数列求和方法总结附经典例题和答案详解

数列专项之求和-4 （一）等差等比数列前n 项求和 1、等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==) 1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na S n n n n 项求和 ② 数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列，则数列{}n n a b ?的求和就要采用此法. ②将数列{}n n a b ?的每一项分别乘以{}n b 的公比，然后在错位相减，进而可得到数列 {}n n a b ?的前n 项和. 此法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法. 例23. 求和：1 32)12(7531--+???++++=n n x n x x x S )0(≠x 例24.求数列 ??????,2 2,,26,24,2232n n 前 n 项的和. 一般地，当数列的通项12()() n c a an b an b = ++ 12(,,,a b b c 为常数）时，往往可将n a 变成两项的差，采用裂项相消法求和. 可用待定系数法进行裂项：设1 2 n a an b an b λ λ = - ++，通分整理后与原式相比较，根据对应项系数相等得 21 c b b λ= -，从而可得 122112 11 =().()()()c c an b an b b b an b an b -++-++ 常见的拆项公式有： ① 111(1)1n n n n =-++； ② 1111 ();(21)(21)22121 n n n n =--+-+

③ 1a b =-- ④11; m m m n n n C C C -+=- ⑤!(1)!!.n n n n ?=+- ⑥]) 2)(1(1 )1(1[21)2)(1(1++-+=+-n n n n n n n …… 例25. 求数列 ???++???++,1 1, ,3 21, 2 11n n 的前n 项和. 例26. 在数列{a n }中，1 1211++ ???++++=n n n n a n ，又12+?=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和. 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.一般分两步：①找通向项公式②由通项公式确定如何分组. 例27. 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和. 例28. 求数列的前n 项和：231 ,,71,41,1112-+???+++-n a a a n 如果一个数列{}n a ，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到了一个常数列的和，这种求和方法称为倒序相加法。特征： 121...n n a a a a -+=+= 例29.求证：n n n n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=++???+++ 例30. 求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++???+++的值 ⑸记住常见数列的前n 项和： ①(1) 123...;2 n n n +++++= ②2 135...(21);n n ++++-= ③22221 123...(1)(21).6 n n n n ++++= ++ ④2 33 3 3 )]1(2 1[321+=+ +++n n n