-∈a a y ,
211max 1()32822
g y a a a a ---=+-=?=?=
, 所以
4
1
2213)21()(2min -=-?+=y g ;
当
1>a 时,],[1a a y -∈,
2823)(2max =?=-+=a a a y g ,
所以
4
1
2232)(12min -=-?+=--y g .
综上)(x f 在]1,1[-∈x 上的最小值为4
1
-.
6. 1217 提示:同时投掷两颗骰子点数和大于6的概率为12
73621=,从而先投掷人的获胜概率
为
+?+?+127)125(127)125(127421712
144
251112
7
=
-?=.
7.
4
提示:解法一:如图,以AB 所在直线为x 轴,线段AB 中点O 为原点,OC 所在直线为y 轴,建立空间直角坐标系.设正三棱柱的棱长为2,则
)1,3,0(),2,0,1(),2,0,1(),0,0,1(11P A B B -,从而,
)1,3,1(),0,0,2(),1,3,1(),2,0,2(1111--=-=-=-=B A B .
设分别与平面P BA 1、平面P A B 11垂直的向量是),,(111z y x m =、),,(222z y x n =,则
????
?=++-=?=+-=?,03,
022111111z y x z x BA ????
?=-+-=?=-=?,
03,
022221211z y x B x A B n
由此可设 )3,1,0(),1,0,1(==,所以cos m n m n α?=
?,即
2cos cos αα=?=
. 所以 4
10sin =
α. 解法二:如图,PB PA PC PC ==11, . 设
B
A 1与
1
AB 交于点
,
O
则
1111,,OA OB OA OB A B AB ==⊥ .
11,,PA PB PO AB =⊥因为 所以 从而⊥1AB 平
面
B PA 1 .
过O 在平面B PA 1上作P A OE 1⊥,垂足为E .
连结E B 1,则EO B 1∠为二面角11B P A B --的平面角.设21=AA ,则易求得
3,2,5111=====PO O B O A PA PB .
在直角O PA 1?中,OE P A PO O A ?=?11,即 5
6,532=
∴?=
?OE OE .
又 5
54562,222111=+
=+=∴=
OE O B E B O B . 4
10
5
542sin sin 111=
==
∠=E B O B EO B α. 8. 336675 提示:首先易知2010=++z y x 的正整数解的个数为 100420092
2009?=C .
把2010=++z y x 满足z y x ≤≤的正整数解分为三类:
(1)z y x ,,均相等的正整数解的个数显然为1;
(2)z y x ,,中有且仅有2个相等的正整数解的个数,易知为1003; (3)设z y x ,,两两均不相等的正整数解为k . 易知
O
E
P
C 1
B 1
A 1
C
B
A
100420096100331?=+?+k ,
所以
110033*********-?-?=k
200410052006123200910052006-?=-?+-?=, 即
3356713343351003=-?=k .
从而满足z y x ≤≤的正整数解的个数为
33667533567110031=++.
9. 解法一: ,23)(2
c bx ax x f ++='由 ???????++='++='='c
b a f
c b a f c f 23)1(,43)2
1(,)0( 得
)2
1
(4)1(2)0(23f f f a '-'+'=.
所以
)2
1
(4)1(2)0(23f f f a '-'+'=
)2
1(4)1(2)0(2f f f '+'+'≤ 8≤, 所以38≤a . 又易知当m x x x x f ++-=2
343
8)((m 为常数)满足题设条件,所以a 最大值为
3
8
. 解法二:c bx ax x f ++='23)(2
. 设1)()(+'=x f x g ,则当10≤≤x 时,2)(0≤≤x g .
设 12-=x z ,则11,2
1
≤≤-+=
z z x . 14
322343)21()(2++++++=+=c b a
z b a z a z g z h .
容易知道当11≤≤-z 时,2)(0,2)(0≤-≤≤≤z h z h . 从而当11≤≤-z 时,
22
)
()(0≤-+≤
z h z h , 即
214
34302≤++++≤
c b a z a , 从而 0143≥+++c b a ,2432≤z a ,由 102≤≤z 知3
8
≤a . 又易知当m x x x x f ++-=2
3438)((m 为常数)满足题设条件,所以a 最大值为3
8.
10. 解法一:设线段AB 的中点为),(00y x M ,则 2
,222
1
0210y y y x x x +==+=
, 0122
1221212123
66
6y y y y y y y x x y y k AB =+=--=--=
.
线段AB 的垂直平分线的方程是
)2(3
0--
=-x y y y . (1) 易知0,5==y x 是(1)的一个解,所以线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点C 为定点,且点
C 坐标为)0,5(.
由(1)知直线AB 的方程为)2(3
0-=
-x y y y ,即 2)(3
00
+-=
y y y x . (2) (2)代入x y 62
=得12)(2002+-=y y y y ,即
012222
002=-+-y y y y . (3)
依题意,21,y y 是方程(3)的两个实根,且21y y ≠,所以
22200044(212)4480y y y ?=--=-+>,
32320<<-y .
221221)()(y y x x AB -+-=
2212
0))()3
(
1(y y y -+=
]4))[(91(2122120
y y y y y -++=
))122(44)(9
1(2
02020--+=y y y
)12)(9(3
22
020y y -+=
.
定点)0,5(C 到线段AB 的距离 2
02029)0()25(y y CM h +=-+-==.
2
20209)12)(9(3
121y y y h AB S ABC +?-+=?=? )9)(224)(9(2
1312
02020y y y +-+=
3202020
)3
92249(2131y y y ++-++≤
73
14
=
.
当且仅当2
0202249y y -=+,即0y =,A B 或
A B -时等号成立. 所以,ABC ?面积的最大值为
73
14
. 解法二:同解法一,线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点C 为定点,且点C 坐标为)0,5(.
设4,,,2
22121222211=+>==t t t t t x t x ,则1
6161
0521222
121t t t t S ABC =
?的绝对值, 2
222122112
))656665(2
1(t t t t t t S ABC --+=?
221221)5()(23
+-=t t t t )5)(5)(24(2
3
212121++-=t t t t t t
3
)3
14(23≤,
所以7314≤
?ABC S , 当且仅当5)(21221+=-t t t t 且42
221=+t t ,即,6
571-=t
6
572+-
=t ,A B 或
A B -时等号成立.
所以,ABC ?面积的最大值是
73
14
. 11.令252)(3
-+=x x x f ,则056)(2
>+='x x f ,所以)(x f 是严格递增的.又
043)21(,02)0(>=<-=f f ,故)(x f 有唯一实数根1
(0,)2
r ∈.
所以 3
2520r r +-=,
3
152r r -=4710
r r r r =++++.
故数列),2,1(23 =-=n n a n 是满足题设要求的数列. 若存在两个不同的正整数数列 <<<5
2321321=
+++=+++ b b b a a a r r r r r r , 去掉上面等式两边相同的项,有
+++=+++321321t t t s s s r r r r r r ,
这里 <<<<<<321321,t t t s s s ,所有的i s 与j t 都是不同的.
不妨设11t s <,则
++=++<21211t t s s s r r r r r ,
112
111111
121211=--<--=
++≤++<--r
r r r r s t s t ,
矛盾.故满足题设的数列是唯一的.
加 试
1. (40分)如图,锐角三角形ABC 的外心为O ,K 是边BC 上一点(不是边BC 的中点),D 是线段AK 延长线上一点,直线BD 与AC 交于点N ,直线CD 与AB 交于点M .求证:若OK ⊥MN ,则A ,B ,D ,C 四点共圆.
2. (40分)设k 是给定的正整数,1
2
r k =+
.记(1)()()f r f r r r ==????,()()l f r =(1)(()),2l f f r l -≥.证明:存在正整数m ,使得()()m f r 为一个整数.这里,x ????表示不
小于实数x 的最小整数,例如:112??=????
,11=????.
3. (50分)给定整数2n >,设正实数12,,
,n a a a 满足1,1,2,
,k a k n ≤=,记
12,1,2,,k
k a a a A k n k
++
+=
=.
求证:
1
1
1
2
n n
k k k k n a A ==--<
∑∑. 4. (50分)一种密码锁的密码设置是在正n 边形12
n A A A 的每个顶点处赋值0和1两个数中
的一个,同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一,使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同.问:该种密码锁共有多少种不同的密码设置?
解 答
1. 用反证法.若A ,B ,D ,C 不四点共圆,设三角形ABC 的外接圆与AD 交于点E ,连接BE 并延长交直线AN 于点Q ,连接CE 并延长交直线AM 于点P ,连接PQ . 因为2
PK =P 的幂(关于⊙O )+K 的幂(关于⊙O ) (
)()
22
2
2
PO r KO r
=-+-,
同理
()(
)
22222QK QO r KO r =-+-,
所以 2222
PO PK QO QK -=-, 故OK ⊥PQ . 由题设,OK ⊥MN ,所以PQ ∥MN ,于是
AQ AP
QN PM
=. ① 由梅内劳斯(Menelaus )定理,得
1NB DE AQ
BD EA QN
??=, ②
M
1MC DE AP
CD EA PM
??=. ③ 由①,②,③可得NB MC BD CD =, 所以ND MD
BD DC
=
,故△DMN ∽ △DCB ,于是DMN DCB ∠=∠,所以BC ∥MN ,故OK ⊥BC ,即K 为BC 的中点,矛盾!从而,,,A B D C 四点共圆.
注1:“2PK =P 的幂(关于⊙O )+K 的幂(关于⊙O )”的证明:延长PK 至点F ,使得
PK KF AK KE ?=?, ④
则P ,E ,F ,A 四点共圆,故
PFE PAE BCE ∠=∠=∠,
从而E ,C ,F ,K 四点共圆,于是
PK PF PE PC ?=?, ⑤
⑤-④,得
2
PK PE PC AK KE =?-?=P 的幂(关于⊙O )+K 的幂(关于⊙O ). 注2:若点E 在线段AD 的延长线上,完全类似.
2. 记2()v n 表示正整数n 所含的2的幂次.则当2()1m v k =+时,()
()m f r 为整数.
下面我们对2()v k v =用数学归纳法. 当0v =时,k 为奇数,1k +为偶数,此时
()111()1222f r k k k k ?
?????=++=++ ? ????
?????
为整数. 假设命题对1(1)v v -≥成立.
对于1v ≥,设k 的二进制表示具有形式
1212222v v v v v k αα++++=+?+?+
,
这里,0i α=或者1,1,2,
i v v =++.
F
E Q
P
O
N
M K D
C
B
A
于是 ()111()1222f r k k k k ??????
=+
+=++ ? ?????????
2122k
k k =+++ 11211212(1)2()222
v v v v
v v v ααα-++++=+++?++?+++
1
2
k '=+, ①
这里
1121122(1)2()22v v v v v v v k ααα-++++'=++?++?+
++
.
显然k '中所含的2的幂次为1v -.故由归纳假设知,1
2
r k ''=+经过f 的v 次迭代得到整数,由①知,(1)
()v f
r +是一个整数,这就完成了归纳证明.
3. 由01k a <≤知,对11k n ≤≤-,有1
1
0,0k
n
i
i
i i k a
k a
n k ==+<
≤<
≤-∑∑.
注意到当,0x y >时,有{}max ,x y x y -<,于是对11k n ≤≤-,有
11111k
n n k i i i i k A A a a n k n ==+??-=-+ ???∑∑
11111n k
i i i k i a a n k n =+=??=--
???∑∑ 1
1111max ,
n
k i i i k i a a n k n =+=????<-?? ?????∑∑ 1
11max (),
n k k n k n ????≤--?? ?????
1k
n
=-
, 故
1
1
1
n
n
n
k k
n k k k k a A
nA A ===-=-∑∑∑
()1
1
11
n n n
k n k k k A
A A A --===
-≤-∑∑
1
11n k k n -=??<
- ??
?∑1
2n -=
.
4. 对于该种密码锁的一种密码设置,如果相邻两个顶点上所赋值的数字不同,在它们所在的边上标上a ,如果颜色不同,则标上b ,如果数字和颜色都相同,则标上c .于是对于给定的点1A 上的设置(共有4种),按照边上的字母可以依次确定点23,,
,n A A A 上的设置.为了使得最终回到1A 时
的设置与初始时相同,标有a 和b 的边都是偶数条.所以这种密码锁的所有不同的密码设置方法数
等于在边上标记a ,b ,c ,使得标有a 和b 的边都是偶数条的方法数的4倍.
设标有a 的边有2i 条,02
n i ??≤≤????,标有b 的边有2j 条,202n i j -??
≤≤?
???
.选取2i 条边标记a 的有2i
n C 种方法,在余下的边中取出2j 条边标记b 的有22j
n i C -种方法,其余的边标记c .由乘
法原理,此时共有2i n C 22j
n i C -种标记方法.对i ,j 求和,密码锁的所有不同的密码设置方法数为
2222220
04n n i i j n n i i j C C -????
????
??
??
-==?? ?
? ???
∑
∑. ① 这里我们约定0
01C =.
当n 为奇数时,20n i ->,此时
2222120
2n i j
n i n i
j C
-??????---==∑. ②
代入①式中,得
()()22222222212220
00044222n n i n n i j i n i i n i n
n i n n i j i i C C C C -????????
????????
??
??????
----====?? ?== ? ???
∑
∑∑∑ 0
2
2(1)(21)(21)n
n
k n k
k n k
k n n n
n k k C C --===+-=++-∑∑ 31n =+.
当n 为偶数时,若2n i <
,则②式仍然成立;若2
n
i =,则正n 边形的所有边都标记a ,此时只有一种标记方法.于是,当n 为偶数时,所有不同的密码设置的方法数为
2222220
04n n i i j n n i i j C C -??
????????
??-==?? ?= ? ???∑
∑()1
22210412n i n i n i C ??
-????
--=?? ??+
? ???
∑
()2221
24233n i n i n n i C ??
????
--==+=+∑.
综上所述,这种密码锁的所有不同的密码设置方法数是:当n 为奇数时有31n
+种;当n 为偶数时有33n
+种.