线面角及二面角的求法
第9节线面角及二面角的求法
【基础知识】
求线面角、二面角的常用方法:
(1) 线面角的求法，找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面角转化到一个三角形中求解.
(2) 二面角的大小求法，二面角的大小用它的平面角来度量.
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【规律技巧】
平面角的作法常见的有①定义法；②垂面法?注意利用等腰、等边三角形的性质.
【典例讲解】
【例1】如图，在四棱锥 P-ABCD中，FA丄底面ABCD , AB⊥ AD , AC⊥ CD, ∠ ABC
=60 ° , PA = AB = BC, E 是 PC 的中点.
P
(1)求PB和平面PAD所成的角的大小；
⑵证明：AE丄平面PCD ;
⑶求二面角 A — PD — C的正弦值.
(1)解在四棱锥P — ABCD中，
因FA丄底面 ABCD , AB?平面 ABCD ,
故PA⊥ AB.又AB⊥ AD , FA ∩ AD = A,
从而AB丄平面PAD,
故PB在平面PAD内的射影为FA, 从而∠ APB为PB和平面PAD所成的角.
在Rt△ PAB 中,AB= FA,故∠ APB = 45°
所以PB和平面PAD所成的角的大小为 45 ⑵证明在四棱锥P— ABCD中，
因FA丄底面 ABCD, CD?平面ABCD, 故CD丄FA.由条件 CD丄AC , PA ∩ AC= A ,
??? CD丄平面PAC.
又 AE?平面 FAC,??? AE丄CD.
由FA= AB = BC,∠ ABC = 60° ,可得 AC = PA.
??? E 是 PC 的中点，???AE⊥ PC.
又PC∩ CD = C,综上得AE⊥平面PCD.
【变式探究】如图所示，在四棱锥P — ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱 PD丄底
面ABCD , PD = DC.E是PC的中点，作 EF丄PB交PB于点F.
⑴证明PA//平面EDB ;
⑵证明PB⊥平面EFD ;
(3) 求二面角 C — PB— D的大小.
⑴证明如图所示，连接 AC, AC交BD于0,连接EO.
???底面ABCD是正方形，
?点0是AC的中点.
在厶PAC中，EO是中位线，
? PA // E0.
而E0?平面EDB且PA?平面EDB ,
? PA //平面 EDB.
【针对训练】
1.如图，四棱锥 P — ABCD中，底面 ABCD为菱形，PA丄底面ABCD , AC = 2,2, FA =2, E 是PC 上的一点，PE= 2EC.
(1)证明：PC⊥平面BED ;
⑵设二面角A — PB-C为90°,求PD与平面PBC所成角的大小.
(2)解在平面PAB内过点A作AG丄PB, G为垂足.
因为二面角A- PB — C为90 ° ,
所以平面PAB⊥平面 PBC.
又平面PAB∩平面PBC = PB,
故AG丄平面PBC, AG⊥ BC.
因为BC与平面PAB内两条相交直线 PA, AG都垂直，
故BC ⊥平面PAB,于是BC ⊥ AB,
所以底面ABCD为正方形，AD = 2,
PD = PA2+ AD2= 2 2.
设D到平面PBC的距离为d.
因为 AD // BC, 且 AD?平面 PBC, BC?平面 PBC,
故AD //平面PBC, A, D两点到平面PBC的距离相等，
即 d = AG = -L lι2.
d 1
设PD与平面PBC所成的角为α,贝U Sin α= PD =-.
所以PD与平面PBC所成的角为30° .
【练习巩固】
1、如图所示，在多面体A-B I D I DCBA ,四边形AABB , ADD IAl ,ABCD均为正方形，
E为B1D1的
中点，过A I)D)E的平面交CD1于F.
O 证明：EF //B1C ；
(∏)求二面角E - A1D - B1余弦值.
【答
案】(I) EF//B i C ；(∏)——
3
3. (2014湖北卷)如图1-4,在棱长为2的正方体ABCD-A I B i C i D i中，E, F , M , N 分别是棱
AB , AD, A i B i, A i D i的中点，点 P, Q分别在棱 DD i, BB i上移动，且 DP = BQ =λ0< λ2).
(1) 当λ= i时，证明：直线 BC i//平面EFPQ.
(2) 是否存在λ使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.
4. (20i4新课标全国卷∏)如图 i-3,四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA丄
平面ABCD , E为PD的中点.
(i)证明：PB //平面AEC ;
⑵设二面角 D-AE-C为60° AP = i, AD = √3,求三棱锥 E-ACD的体积.
B l
B
第血题圈
图i-4
设 B(m, 0, 0)(m>0),则 C(m, 3, 0), AC = (m, 3, 0).
设n 1= (x, y, Z)为平面ACE 的法向量,
∣mx+ . 3y= 0, 即3
1
yy+2z= 0,
由题设易知ICoS 51,
所以三棱锥E-ACD 的高为2.三棱锥E-ACD 的体积V= = ×. 3 ×
2 3 2 2
3?= 1 ,解得
3 m
=2.
n ι AC = 0, Al =0, 可取n 1=
专
又 n 2= (I , 0
,
0）为平面DAE 的法向量, 因为E 为PD 的中点,
B