平差数学模型与最小二乘原理电子教案

2平差数学模型与最小二乘原理

2.1 参数估计及其最优性质

几何模型：包括水准网和平面控制网（包括测角网、测边网、边角网）。每种几何模型都包含有不同的几何元素，如水准网中包括点的高程、点间的高差，平面网中包含角度、边长、边的坐标方位角以及点的二维或三维坐标等元素。这些元素都被称为几何量。

在诸多几何量中，有的可以直接测量，有的是间接求出。几何模型不同，它所需要知道的元素的个数与类型也不同，目标是确定几何模型的唯一性。

1.如图2-1的三角形ABC中，为

了确定它的形状，只需要知道三个内

角中的任意两个内角的大小就可以了。它们都是同一类型的元素。

2.要确定该三角形的大小和形状，就必须知道三个不同的元素，即任意的一边两角、任意的两边一角或者是三边。它们中间都至少包含一条边长该情况包含角度和边长两类元素。

3.

要确定该三角形的大小、形状和它在一个特定坐标系中的位置和方向，则必须知道图中15个元素（6个坐标元素，3个内角元素，3个边长元素，3个方位角元素）中的6个不同的元素，这6个元素可以构成更多的组合，至少要包含一个点的坐标和一条边坐标方位角，它们的改变只相当于整个网在坐标系中发生了平移和旋转，并不影响该三角形的内部形状和大小。如果A、B两点都是已知点，为确定三角形的大小、形状、位置和方向，则只需要任意两个元素就行了，如两角、

两边或一边一角等。

我们把能够唯一地确定一个几何模型所必要的元素，称为必要观测元素。必要观测个数用t表示。例如，确定三角形的形状，必要观测元素个数t=2；确定三角形的大小和形状，必要观测元素个数t=3；确定三角形的大小、形状、位置和方向，必要观测元素个数t=6。对于后两种情况，不仅要考虑必要观测元素的个数，还要考虑到元素的类型，否则就无法唯一地确定模型。

必要起算数据个数用d表示，水准网为1，测角网为4，测边网和边角网为3。

观测值个数用n个表示。

当n

当n =t 时,则可唯一地确定该模型，但对观测结果中含有的粗差和错误都将无法发现；

当n >t 时，能及时发现测量中的粗差和错误，提高观测成果的精度和可靠性。令多余观测个数t n r

-=，在统计学中

称r 为自由度。

一个几何模型能通过t 个必要而独立的量唯一的确定下来，当模型中有r 个多余观测量，一定存在着r 个这样的函数关系式。

例如在上述2中，如果观测了角度1L 、2L 、3L ，即n =3,t =2,则r =1,它们的真值之间存在如下关系式

0180~~~321=-++?L L L

有r 个多余观测，就会有r 个这样的关系式（条件方程）。由于观测不可避免地含有误差，所以

0180321≠-++?L L L 为了消除矛盾，通常用另一组被称为“观测值估值”（又叫平

差值、最或是值、最或然值）L

?来代替观测值L ，即 i

i i V L L +=? i V 称为观测值的改正数，未知数个数>方程式个数，无数多组，所以问题的关键点是：在无数多组解中求得唯一的一组最优改正数。