高三数列专题复习讲义
高三数学二轮讲义:数列(1) 班级 姓名
1.已知等差数列}{n a 的公差为1,且9999=S ,则99963a a a a ++++ 等于( ) A .77 B .66 C .33 D .0
2.已知f (x )是偶函数,且)2()2(x f x f -=+,当-2≤x ≤0时,f (x )=2x ,若*
N n ∈,)(n f a n =,
则=2007a ( )
A .2007
B .12
C .1
4
D .2
3.设等比数列}{n a 的公比为q ,前n 项和为n S ,若1+n S ,n S ,2+n S 成等差数列,则q 的值为 .
4.已知数列}{n a 的首项2
11=a ,n S 是其前n 项的和,且满足n n a n S 2
=,则此数列}{n a 的通项
公式为=n a .
5.设数列}{n a 的前n 项和2
n S n =,且n n n a b 3
=,记数列}{n b 的前n 项和为n T .
(1)求数列}{n a 的通项公式; (2)求证:n T <1.
6.某地现有居民住房的总面积为a m 2,其中需要拆除的旧住房面积占了一半.当地有关部门决定在每年拆除一定数量旧住房的情况下,仍以10%的住房增长率建设新住房,计划10年后该地的住房总面积正好比目前翻一番.
(1)试问每年应拆除的旧住房总面积x 是多少?
(2)过10年还未拆除的旧住房总面积占当时住房总面积的百分比是多少?(保留到小数点后第一位)?
7.已知数列}{n a 的首项15,a =前n 项和为n S ,且)(52*
1N n n S S n n ∈++=+.
(1)证明:数列{}1n a +是等比数列; (2)令212()n n f x a x a x a x =++
+,求函数()f x 在点1x =处的导数(1)f ',并比较2(1)f '与
22313n n -的大小.
随堂练习1
1.已知-9,a 1, a 2,-1四个实数成差数列,-9,b 1, b 2, b 3,-1五个实数成等比数列,则b 2(a 2-a 1)的值等于…………………………………………………………………………………………………( ) A .-8 B .8
C .-89
D .8
9
2.已知数列{}n a 的前n 项和)(3为常数k k S n n +=,那么下述结论正确的是………………( ) A .k 为任意实数时,{}n a 是等比数列 B .k = -1时,{}n a 是等比数列 C .k =0时,{}n a 是等比数列
D .{}n a 不可能是等比数列
3.等差数列}{n a 中,110052515021,2700,200a a a a a a a 则=+++=+++ 等于…………( ) A .-1221 B .-21.5 C .-20.5
D .-20
4.设等差数列}{n a 中,931,,a a a 又成等比数列,则
=++++10
429
31a a a a a a .
5. 已知等差数列{a n }中,a n ≠0,若m >1,且a m -1-a m 2+a m +1=0,S 2m -1=38,则m = . 6.设数列}{n a 的前n 项和为S n =2n 2,}{n b 为等比数列,且.)(,112211b a a b b a =-= (1)求数列}{n a 和}{n b 的通项公式;
(2)设n
n
n b a c =
,求数列}{n c 的前n 项和T n .
7.某企业年初有资金1000万元,如该企业经过生产经营能使资金平均增产率达到50%,但每年年底都要扣除消费基金x 万元,余下资金再投入生产,为实现5年资金达到2000万元(扣除消费资金后),那么每年应扣除消费基金多少万元?(精确到万元)
8.数列{a n }的前n 项和12-=n n a S ,数列{b n }满足:)(,311*
+∈+==N n b a b b n n n .
(1)证明数列{a n }为等比数列; (2)求数列{b n }的前n 项和T n .
高三数学二轮讲义:数列(2) 班级 姓名
1.若数列{}n a 中,)1,0(log 1log 1≠>+=+a a a a n a n a ,若100100
1
=∑=i i
a
,则
=∑=200
101
i i
a
( )
A .100a
B .101a
C .101a 100
D .100a 100
2.某人为观看08年奥运会,从01年起,每年5月1日到银行存入a 元定期储蓄,若年利率为p ,并约定每年到期存款均自动转为新一年定期,到08年5月1日将本金和利息取回的总数为( ) A .7
)1(p a + B .8
)1(p a + C .
)]1()1[(7p p p
a
+-+ D .)]1()1[(8p p p a +-+
3.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若1401330101030=+=S S S S ,,则20S 的值为 . 4.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且向量),(n S n =与)3,4(+=n 共线,则数列}1
{n
na 的前2007项和为 .
5.数列}{n a 中,11=a ,当n ≥2时其前n 项和n S 满足)2
1
(2
-=n n n S a S .
(1)求n S 的表达式; (2)设1
2+=n S b n
n ,求数列}{n b 的前n 项和n T .
6.已知数列{}n a 的前n 项和)2(212
+-=
n n S n ,
数列}{n b 的首项11=b ,且)2(2
111≥=---n b b n n n . (1)求数列}{n a 与}{n b 的通项;
(2)求证:存在自然数0n ,对一切不小于0n 的自然数n ,恒有n n b a 5>成立.
7.设函数2
22)(+==x
x x f y 上两点),(),(222111y x P y x P ,,若P 为21P P 、的中点,且P 点的横
坐标为1
2
.
(1)求证:P 点的纵坐标为定值,并求出这个定值; (2)若*1)(N n n
i f S n
i n ∈=∑=,,求n S ;
(3)记n T 为数列{
)
2)(2(1
1+++n n S S }的前n 项和,若n T )2(2+?<+n S a 对一切*
N n ∈都成
立,求a 的取值范围.
随堂练习2
1.一个只有有限项的等差数列,它的前5项的和为34,最后5项的和为146,所有项的和为234, 则它的第七项等于…………………………………………………………………………………( ) A .22 B .21
C .19
D .18
2.已知数列{}n a 中1a =2,n a =1-n a +2n -1 (n ≥2),则数列{}n a 的一个通项公式是……………( ) A .n a =n 2+1 B .n a =(n -1)2+2 C .n a =(n +1)2-2 D .n a =n 2-n +2
3.假设世界人口自1980年起,50年内每年增长率均固定,已知1987年世界人口达50亿,1999年第60亿个人诞生在赛拉佛耶.根据这些资料推测2023年世界人口数最接近下列哪一个数( ) A .92亿 B .86亿 C .80亿 D .75亿
4.等差数列{a n }中,a 1=2,公差不为零,且a 1,a 3,a 11恰好是某等比数列的前三项,那么该等比数列公比的值等于 .
5.已知数列{n a }是公比不为1的等比数列,给出下列六个数列:①{a n a n +1},②{a n +a n +1},③ {a n +1-a n },④{a n 3},⑤{na n },⑥{l ga n }.其中成等比数列的有 . 6.设数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1 =1,S n +1= 4a n +2. (1) 设b n = a n +1-2a n ,求证{b n }是等比数列; (2) 设c n =
2
n
n a ,求证{c n }是等差数列; (3) 求S n = a 1+a 2+…+a n -1+a n .
7.已知数列{}n a 是首项01>a ,且公比0,1≠->q q 的等比数列,设数列{}n b 的通项
).(21*++∈-=N n ka a b n n n ,数列{}n a .{}n b 的前n 项和分别为S n ,n T ,如果n T >kS n ,对一切自然
数n 都成立,求实数k 的取值范围.
8.已知数列n a a a a a n n n 69242}{1
321-=++++- 满足.
(1)求数列{a n }的通项公式;
(2)设)3||log 3(2n n a n b -=,探求使∑=->
n
i i
m b 161
1成立的m 的最大整数值.
随堂练习1
1.A 2.B 3.C 4.
13
或116
5.10 6.(1):当;2,111===S a n 时
,24)1(22,2221-=--=-=≥-n n n S S a n n n n 时当
故{a n }的通项公式为4,2}{,241==-=d a a n a n n 公差是即的等差数列. 设{b n }的通项公式为.4
1,4,,11=∴==q d b qd b q 则 故.4
2}{,4
121
1
11---=?
-=n n n n n n b b q b b 的通项公式为即
(2),4)12(422411
---=-==n n n
n n n n b a c ]
4)12(4
)32(454341[4],4)12(45431[1
3
2
12121n
n n n n n n n T n c c c T -+-++?+?+?=-++?+?+=+++=∴--
两式相减得
].
54)56[(9
1
]
54)56[(31
4)12()4444(2131321+-=∴+-=-+++++--=-n n n n n n n T n n T
7.设每年应扣除消费资金x 万元,记n a 为n 年后的资金拥有量, 则x a -=15001 x a a n n -=-15.1 ∴)2(5.121x a x a n n -=--
∴数列}2{x a n -是以首项x a -=15001,公比为1.5的等比数列
∴1
5.1)21500(2-?-=-n n x x a
由20005=a 有4
5.1)21500(22000?-=-x x
解得x =424万元. 答:(略)
8.(1)由12,,1211-=∴∈-=++*n n n n a S N n a S ,两式相减得:,2211n n n a a a -=++ 01.,211≠=∈=∴*+n n n a a N n a a 知由,,21
=∴+n
n a a 由定义知}{n a 是首项为1,公比为2的等比数列,22,211111-+-+-=-+==n n n n n n n n b b b b a
∴
,2,2,2234123012=-=-=-b b b b b b
,221--=-n n n b b 等式左、右两边分别相加得:
,
222
12132
2211
2
101+=--+=++++=---n n n n b b n T n n n 2)2222()22()22()22()22(12101210+++++=++++++++=∴--
=.12222121-+=+--n n n n
随堂练习2
1.D 2.A 3.B 4.4 5.①③④
6.提示:(1)由s n +1推出s n 并作差,可得b n = 2b n -1(n ≥2),结合b 1取值得到(1)的证明。 (2)写出b n 的通项公式,考察c n +1-c n 的取值(化简可得
3
4
),结合c 1,证得(2)。 (3)求出C n = 34n -14
,得 a n = 2n -
2·(3n -1).当n ≥2时,S n = 4a n -1+2 = 2n -1(3n -4)+2 当n =
1时,S 1适合S n = 2n -
1(3n -4)+2.
7. 因为{}n a 是首项01>a ,公比0,1≠->q q 的等比数列,
故q a a n n =+1 , 2
2q a a n n =+.
)(2
21kq q a ka a b n n n n -=-=++,
n T =n b b b +++ 21=(a 1+a 2+…+a n )(q -kq 2)=n s )(2
kq q -.
依题意,由n T >k n s ,得n s )(2
kq q -> k n s ① 对一切自然数n 都成立.
当0>q 时,由01>a ,知0>n a ,n s >0;
当-1a ,1-q >0,1-n
q >0,所以n s =
01)1(1>--q
q a n . 综合上述两种情况,当0,1≠->q q 时,n s >0恒成立 . 由①式,可得k kq q >-2
, ② 即q q
q q k q q k +=+<
<+1
1
1,)1(22
.
由于21
≥+
q
q ,故要使①式恒成立,k <-21.
8.(1)n a a a a n n 692421
321-=++++- ①
)1(6924212321--=++++∴--n a a a a n n ②
①-②得: 2
1
2
362
---
=∴-=n n n n a a
当n =1时,由题设得???
??≥-==∴=-)2(23
)1(33
2
1n n a a n n (2)31)3
|
|log 3(12==-=b n a n b n n 时
当
当)1()]2(3[)2
1log 3(22
2
+=+--=-=≥-n n n n n b n n n 时
??
?
?
?≥+==∴2)1(13
n n n n b n 设∑=+-=+-++-+-+==
n
i i
n n n n b S 11165)111()4131()3121(311 }{n S ∴为递增数列,其最小值为31
21651=-=S . 要使∑=->n
i i
m b 1611,
只须
6
1
31->
m , 即m m 又,3<为整数,∴m 的最大值为2.
中档题系列训练:数列 班级 姓名
1.已知数列}{n a 满足)(1
33,0*11N n a a a a n n n ∈+-=
=+,则20a =( )
A .0
B .3-
C .3
D .2
3
2.已知不等式n
a n n
1
)1(2)1(+-+<-对任意正整数n 恒成立,则实数a 的取值范围是( )
A .)232[,-
B .)232(,-
C .)233[,-
D .)2
3
3(,-
3.根据市场调查结果,预测某种家用商品从年初开始的n 个月内累积的需求量S n (万件)近似地满足)521(90
2--=
n n n
S n (n =1,2,……,12).按此预测,在本年度内,需求量超过1.5万件的月份是( )
A .5月、6月
B .6月、7月
C .7月、8月
D .8月、9月 4.已知数列{}n a 的前n 项和S n 满足log 2(S n +1)= n +1,则a n = .
5.设平面内有n 条直线(3)n ≥,其中有且仅有两条直线互相平行,任意三角形不过同一点.若用()f n 表示这n 条直线交点的个数,则(4)f = ;当n>4时,f (n )= .
6.在数列}{n a 中,已知)2(1*
12211≥∈++++==--n N n a a a a a a n n n ,, ,则这个数列的通
项公式是 . 7.设数列???
???
?+=≠=+.
,41,,21,4
1}{1
1为奇数为偶数且的首项n a n a a a a a n n
n n 记.,3,2,1,4
1
12 =-
=-n a b n n (1)求a 2,a 3; (2)判断数列}{n b 是否为等比数列,并证明你的结论.
8.在等差数列{}n a 中,11a =,前n 项和n S 满足条件
242
,1,2,1
n n S n n S n +==+,
(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)记(0)n a
n n b a p p =>,求数列{}n b 的前n 项和n T .
9.已知a 1=2,点),(1+n n a a 在函数f (x )=x 2+2x 的图象上,其中=1,2,3,….
(1)证明数列)}1{lg(n a +是等比数列; (2)设)1()1)(1(21n n a a a T +++= ,求n T 及数列{n a }的通项; (3)记2
11++
=n n n a a b ,求数列{n b }的前项和n S ,并证明n S +132
-n T =1.
10.已知数列{}n a 满足a 1=1,a 1+n =2a n +1(n ∈+N ). (1)求数列{}n a 的通项公式;
(2)若数列{n b }满足n n b n b b b a )1(444
111
21+=--- (n ∈+N ),证明:{n b }是等差数列;
(3)证明:
2
31213221n
a a a a a a n n n <<++?++-(n ∈+N ).
中档题系列训练:数列 班级 姓名
1.已知数列}{n a 满足)(1
33,0*11N n a a a a n n n ∈+-=
=+,则20a =(B )
A .0
B .3-
C .3
D .
2
3 2.已知不等式n
a n n
1
)1(2)1(+-+<-对任意正整数n 恒成立,则实数a 的取值范围是( A )
A .)232[,-
B .)232(,-
C .)233[,-
D .)2
3
3(,-
3.根据市场调查结果,预测某种家用商品从年初开始的n 个月内累积的需求量S n (万件)近似地满足)521(90
2--=
n n n
S n (n =1,2,……,12).按此预测,在本年度内,需求量超过1.5万件的月份是(C )
A .5月、6月
B .6月、7月
C .7月、8月
D .8月、9月 4.已知数列{}n a 的前n 项和S n 满足log 2(S n +1)= n +1,则a n = .
3
(1)2
(1)
n n
n a n =?=?>?
5.设平面内有n 条直线(3)n ≥,其中有且仅有两条直线互相平行,任意三角形不过同一点.若用()f n 表示这n 条直线交点的个数,则(4)f = ;当n>4时,f (n )= .
5,
)1)(2(2
1
+-n n 6.在数列}{n a 中,已知)2(1*
12211≥∈++++==--n N n a a a a a a n n n ,, ,则这个数列的通
项公式是 .??
?≥==-)
2(2
)
1(12
n n a n n
7.在等差数列{}n a 中,11a =,前n 项和n S 满足条件242
,1,2,1
n n S n n S n +==+,
(1)求数列{}n a 的通项公式;
(2)记(0)n
a n n
b a p p =>,求数列{}n b 的前n 项和n T .
解:(1)设等差数列{}n a 的公差为d ,由
2421
n n S n S n +=+得:1
2
13a a a +=,所以22a =,即211d a a =-=,又1
211
122()42212
n n n n n n a nd a n S a nd a n a a n S a a n ++?+++===
+++?=2(1)
1n n a n a +++,所以n a n =。
(2)由n a
n n b a p =,得n n b np =。所以23
123(1)n n n T p p p n p np -=+++
+-+,
当1p =时,1
2n n T +=
; 当1p ≠时,234
123(1)n n n pT p p p n p np +=+++
+-+,
23
1
1
1(1)(1)1n n n
n n n p p P T p p p p
p np
np p
-++--=+++
++-=--
即11
,12(1),11n n
n n p T p p np p p
++?=??
=?-?-≠?-?. 8.设数列???
???
?+=≠=+.
,41,,21,41}{1
1为奇数为偶数且的首项n a n a a a a a n n
n n 记.,3,2,1,4
1
12 =-
=-n a b n n (1)求a 2,a 3;
(2)判断数列}{n b 是否为等比数列,并证明你的结论; 解:(1)81
212141412312+==+=+=a a a a a a , (2) 因为43113428a a a =+=+,所.以54113
.2416a a a ==+
所以1b =11233511111111
0,(),().44424444b a a b a a b a a =-=-≠=-=-=-=-
猜想:{}n b 是公比为1
2的等比数列. 证明如下:
因为n n n n n n b a a a a b 21
)41(2141)41(2141214112122121=-=-+=-=-=--++
所以{}n b 是首项为14a -,公比为1
2
的等比数列.
9.已知a 1=2,点),(1+n n a a 在函数f (x )=x 2+2x 的图象上,其中=1,2,3,….
(1)证明数列)}1{lg(n a +是等比数列;
(2)设)1()1)(1(21n n a a a T +++= ,求n T 及数列{n a }的通项;
(3)记2
11++=n n n a a b ,求数列{n b }的前项和n S ,并证明n S +132
-n T =1.
解:(1)由已知212n n n a a a +=+,2
11(1)n n a a +∴+=+
12a =,11n a ∴+>,两边取对数得1lg(1)2lg(1)n n a a ++=+,即1lg(1)
2lg(1)
n n a a ++=+
{lg(1)}n a ∴+是公比为2的等比数列.
(2)由(1)知1
1lg(1)2lg(1)n n a a -+=?+1
122lg3lg3n n --=?=
1
213n n a -∴+= (*)
12(1)(1)n T a a ∴=++n …(1+a )0
1
2
222333=????n-1
2 (3)
21223
+++=n-1
…+2=n 2-1
3
由(*)式得1
2
31n n a -=-
(3)
2
102n n a a a +=+ 1(2)n n n a a a +∴=+ 11111()22
n n n a a a +∴
=-+, 1112
2n n n a a a +∴=-+ 又112n n n b a a =
++1
112()n n n b a a +∴=- 12n S b b ∴=++n …+b 122311111112()n n a a a a a a +=-+-+-…+11
11
2()n a a +=-
1221131,2,31n n
n n a a a -+=-==- 22131
n
n S ∴=-
-
又21
3
n n T -=, ∴n S +
1
32
-n T =1.
10.已知数列{}n a 满足a 1=1,a 1+n =2a n +1(n ∈+
N ) (1)求数列{}n a 的通项公式;
(2)若数列{n b }满足n n b n b b b a )1(444
111
21+=--- (n ∈+N ),证明:{n b }是等差数列;
(3)证明:
2
31213221n
a a a a a a n n n <<++?++-(n ∈+N ). 解:(1)∵)(121+
+∈+=N n a a n n ,∴)1(211+=++n n a a
∴}1{+n a 是以a 1+1=2为首项,2为公比的等比数列。
∴n n a 21=+即)(12+
∈-=N n a n n 。
(2)∵n n b n b b b a )1(444
111
21+=--- ∵n n nb n b b b 24)(21=-++
∴2[(b 1+b 2+…+b n )-n]=n b n , ① 2[(b 1+b 2+…+b n+1)-(n+1)]=(n+1)b n+1 ② ②-①,得2(b n+1-1)=(n+1)b n+1-nb n ,
即 (n-1)b n+1-nb n +2=0 ③ nb n+2-(n+1)b n+1+2=0 ④ ④-③,得nb n+2-2nb n+1-nb n =0,
即 b n+2-2b n+1+b n =0,∴b n+2-b n+1= b n+1-b n (n ∈N +),
∴{b n }是等差数列。
(3)证明:∵
,,...,2,1,21
)
2
12(2121
21
211n k a a k k k k k k =--=--=++<∴.213221n a a a a a a n n <++?++ ∵2
22·3121)12(21211212111-+-=--=--=+++k
k k k k k k a a ≥3121-·k 21,k=1,2,…,n , ∴
31
2)211(312)212121(312213221->--=+++-≥++++n n n a a a a a a n n n n ∴
)(2
31213221++∈<+++<-N n n a a a a a a n n n