解析几何中定点、定值、定直线问题
解析几何中定点、定值、定直线问题
解析几何中定点定值问题
2
例1已知椭圆 —=1(2)的上顶点为M( 0, 1),过M
a
的两条动弦MA MB 满足MAL MB 对于给定的实数a(a 1), 证明：直线AB 过定点。
解：由MA MB =0知MA_MB ,从而直线MA 与坐标轴不垂直， 故可
设直线MA 的方程为y 二kx 1，直线MB 的方程为
1 y x 1
k
将y 二kx1代入椭圆C 的方程，整理得
(1 a 2 k 2 )x 2 2a 2
k=x 0
例3已知椭圆的中心为坐标原点 O ,焦点在x 轴上， 斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点, OA OB 与 a
=(3,-1)
共线.
(1) 求椭圆的离心率；
解得x=0或 -2a 2
k
1 a 2k 2
故点A 的坐标为
-2a 2
k
1 a 2k
2 2 2
1-a k )
1 a k 同理，点B 的坐标为
2 2 2
(2a k k -a )
k a k a
知直线l 的斜率为
k 2 - a 2 1 -a 2k 2 k 2
a 2
1 a 2k 2
=
k _1
2a k _ -2a k
(a 2 1)k
~T2
2
^~2
k a 1 a k 直线l 的方程为 k 2 -1 2
(a 2
- (x- 2a 2k
k 2 a 2
k 2 a 2
k 2 -1
a 2 -1 2
(a 2
-
a 2 1
-直线l 过定点0,
a 2 -1 a 2 1
化简得(a 2
b 2
)x 2
—2a 2
cx a 2c 2
-a 2b 2
令 A(x i
,y i
), B(X 2
, y 2),
2
贝 y X
i X 2
|a -c
^,x i x 2
a +b
2 2
a c 2
2
a b
a 2
b 2
由OA OB
=(为 X 2
,% y 2
), a =(3,- 1),OA OB 与a 共线，得
3(% y 2)(x i X 2) =0.
y i =Xi -cy 7 -c, 3( x 2 -2c)区 x 2) =
0, 3c 2 .
二至,所以a 2 =3b 2. X-| x 2
2a 2c
a 2
b 2
2 2 16a c = a 「b ,
3
I
故离心率e = c
—.
(II )证明：由(I )知a 2
=3b 2
，所以椭圆
2 2
0 y__
a 2
b 2
x 2 3y 2 =3b 2
.
设OM =(x,y),由已知得(x,y) = (Xi,y )；；
■丄化
小),
x
=檢1 + %,
「? J
y =环卡%.
(2)设M 为椭圆上任意一点，且OM 「OA .OB(.i R),
证明，」为定值.
2 2
笃与=1(a b ■ 0), F(c,0), a b
2 2
则直线AB 的方程为y=x —c,代入笃吕
a b
(I )解：设椭圆方程为
由(| )知 X
i
x^|c,a^|c 2,b^ -2c 2
.
a 2c 2 -a 2
b 2
3 2
X i X 2 = -------2
2
c . a 2 b 2 8
X 1X 2 3y
』
2 = % X 2
3(x i -c)(X 2 -c)
2
二
4X J X 2 - 3(x 1 x 2)c 3c
3 2 9 2 2
c ' 3c
2
故2
」为定值，定值为1.
2
二一
^又 x
1
3y 1 = 3b 2
, x ； 3y ； = 3b
2
又，代入①得
,
2
」=1.
例4设F I
,F 2
是椭圆
2
c ：￡
4
2
才胡的左右焦
A,B
分别为左
顶点和上顶点，过右焦点 直线AM,AN 分别与已知直线
F 2
的直线I 交椭圆C 于M,N 两点， x=4
交于点P,Q ，试探究以PQ 为
直径的圆与直线l 的位置关系.
（2）根据题意可知*亘线「斜率不为山 设宜线厂方n^x = my + l.
（乃?
必），
3 Y 2 - 41?2 =12
、
'
”得（3w _
+4）y 2
—9 = 0 ,
—9
由韦达宦理得北—弘=—.—J 】片=——，又蛙点p （4.y o ）,
_
3wi _
+4 +4
" V A.M.P 三点共线”由药7 =(枠］-土珀，AP = (6. v p )得,y p =
6?- ”阴+ 3
同理* % = &■儿'线段P0的中点D （丄+
） T 即（4.-
伽）*
_
用乃十3 ____ 2
则D 到直线F 的距离'hd = 3血+1 .
网为日二八所以P0为山轮的闘与戊线J+U 切.
高二数学作业（13）
2 2
1.过双曲线[亡可左焦点已的直线交曲线的左支于 两点，F 2
为其右焦点，则MF 』+|NF
2
- MN|
的值为 ________
以PQ 为直廉的風的半径*=专"
9
阪+加-如？
沪朋乃+ 3用
V 3
沪 + 4‘ 3讦+4
F
^
1
=3>i ?r +1.
36
2 ______________
V-（a b 0）中不平行于对称轴的一条弦，M
=
1
上，对不同于顶点的任意三个点 M ,A ,B , 存在锐角0?
使
OM=cosTOA+sin^OB
?则直线OA 与OB 的斜率之 积为 .」
-------------------------------- 2
4.如图，AB 是平面a 的斜线段，A 为斜足，若点J 在平面口 内运动，使得△ ABP ■点 ■ P 的轨迹
是 椭圆
（第4
5.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 「2x 2
一 y-1.椭圆
C 2
：4x 2
+y 2
h.若M 、N 分别是G 、C 2
上的动点，且0M 丄ON ， 求证：O 到直线MN 的距离是定值.
解：当直线ON 垂直于x 轴时，|ON|=1, |OM|=飞，则O
2. AB 是椭圆X 2
a
是AB 的中点， 0
是椭圆的中心，k
AB k
oM
b 2
~2
a
2
3.在椭圆y y
到直线MN 的距离为「.
当直线ON 不垂直于x 轴时，
设直线ON 的方程为y=kx (显然心圧),贝g 直 线OM
的方程为y 」1x
.
设O 到直线MN 的距离为d ，因为
(| OM |2 | ON |2)d 2 =|0M |2|ON |2
1
1
亠 1
3k
2
书 Q 一 玄
所以尹二耐苛二HTT 二，即d=—.
综上，O 到直线MN 的距离是定值.
则直线m
的方程为
y
?^(x -2)，
y =±(x—2)
y 厂匕x -込少菖
y 1
y 1 丫勺
儿 +2
2
2
2
2
2-人 2（人-4） 4y 1 2 - x 1 2（人 4） 12 -3人 - x 1 2-x 1_2-x 1,
y = kx #x 2 +y 2 =1
\2
1
宀忌，所以|ON
W .同理|OM
■翳
4 k 2
k 2
1
6.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E :
B 分别是椭圆E
的左、右顶点，直线 轴，点P
是椭圆上异于A ，B 2 2
环計若点A ， l 经过
点B 且垂直于x
一点，直线AP 交l 于点M.设过点 直于PB 的直线为m .求证：直线 定点，并求出定点的坐标? 证明：直线BP 的斜率为k 2
=七，
% —2 ‘
的任意
M
垂 过
y 」
KI
A C
B
乙
F
l
x
直线m 的斜率为k
m
y 1