2020-2021重庆市高三11月联考(康德高三11月试题含答案)

e 故 f (x) 在[1，2] 上的最大值为 4e2 ，最小值为 2e ；……6 分
（2）由 f (x) ex (x3 3x2 x a 1) 知，当 x 时， f (x) 0 ，
若 f (x) 在 (1， ) 上单调则只能是单增，
∴ f (x) ≥ 0 在 (1， ) 恒成立，即 x3 x a 3x2 1≥ 0 ……8 分
2021 年普通高等学校招生全国统一考试 11 月调研测试卷 数学参考答案
一、选择题
1～8 DBCADCCB
第 8 题提示：(cos x) sin x ， cos 7π cos( π π ) cos π ( sin π ) π
40
6 120
6
6 120
3 π 0.866 0.013 0.853 . 2 240
c
b c 4c 4
11 月调研测试卷（数学）参考答案 第 2页 共 4 页
19．（12 分）
解：（1）∵
Sn
n
n
2
an
4 ，∴
Sn-1
n n
1 1
an1
4 ，两式相减得
an
n
n
2
an
n n
1 1
an
1
0 ，即 an n
1 an1 2 n 1
……5 分
又
S1
3a1
4
， a1
1
，∴ { an n
故 f (x) 在 (1， ) 有一个极值点； 当 a 0 时， g(1) 0 ， g(x) 的对称轴为 x 1 ，
2 若方程 g(x) 0 的 0 ，即 4a2 8a 0，a 2 时， g(x) 在 (1， ) 有两个零点，
f (x) 在 (1， ) 有两个极值点；
若方程 g(x) 0 的 ≤ 0 ，即 4a2 8a ≤ 0， 2 ≤ a 0 时， g(x) ≤ 0 ，
6
3
（2） sin(2 A ) 1 2 A A ……7 分
6
62
3
∵ a sin B 3c sin A ，由正弦定理 ab 3ca b 3c ，……9 分
a2 b2 c2 2bc cos A a2 9c2 c2 3c2 7c2 ……11 分
∴ a 7 ， a a 7 ……12 分
2
2
18．（12 分）
解：（1） f (x) 3 sin 2x 1 cos 2x 1 sin(2x ) ……2 分
2
22
6
令 2k ≤ 2x ≤2k ，解得 k ≤ x ≤ k ，
2
6
2
6
3
故 f (x) 的单调递增区间为[k ，k ] ， k Z ； ……5 分
∴ a ≥ x3 3x2 x 1 ，令 g(x) x3 3x2 x 1 ， x 1 ，则 g(x) 3x2 6x 1 0 ，
∴ g(x) 在 (1， ) 递减， g(x) g(1) 2 ，∴ a [2， ) ．……12 分
21．（12 分）
解：（1）由题知
OC AC
tan OAB，OC CB
4n 1 3
第 16 题提示：函数 f (x) 图象如图，
当 a ≥1 时，显然不成立； 2
当 a 1 即 a 2 时，由图知，只需 f ( a ) f (1) ，
2
2
a2
即
|1 a | 即 a2
1 a
a2
，
4
4
4
解得 a 2 2 2 或 a 2 2 2 ， 2 2 2 a 2 .
二、选择题 9 AC 10 AD
11 ACD
12 ABD
第 10 题提示：选项 A，由余弦定理可得唯一的 c ，故 ABC 唯一确定；对于 D 选项，sin π 3 1 且 B 2π ，
323
3
故 B 为锐角有唯一解，从而 ABC 唯一确定；B，C 两选项的角 B 可以是锐角或钝角，不唯一．
第
2)
1≥
1 32
1 2 2 2
2
t
当且仅当 t 2 时等号成立，即 tan OAB 2 1 ，故 AB 的最小值为 2 2 2 . ……12 分
22．（12 分）
解：（1） f (x) 2ax 1 2ax2 2ax 1 ，令 g(x) 2ax2 2ax 1 ……2 分
x 1
x 1
当 a 0 时，由 g(1) 0 知， g(x) 在 (1， ) 有唯一零点，
} 是1 为首项，
1 2
为公比的等比数列；……6
分
（2）由（1） an n
1
(
1 2
)
n1
，∴
bn
n an
2n1 ，……8 分
bn
1 bn1
1 2n1
2n
1 3 2n1
∴
b1
1 b2
b2
1 b3
bn
1 bn1
1 (1 3
1 2
1 2 n 1
)
1 3
1 (1)n 2
1 1

2 [1 (1 )n ] 2 . ……12 分 3 23
2
4
2
（2）令 tan OAB
x ，则
AC
OC x
1 x
， CB
OC tan ABO
tan(
OC OAB)
1x 1 x
4
∴ AB
AC
CB
1 1 x x 1 x
1 x2 x x2
x2 x x 1 x x2
x 1 x x2
1，
……9 分
令
x
1
t
，
AB
t 2
t 2
3t
1
1 3 (t
f
(1)
1
1 a
1 ，故
A，B
正确；当 0 a 1时， f (x) 在 (1，1 ) 上单减，C 错误；当 a 1时， f (x) 在 (0，1 ) 上单增，在
a
a
( 1 ，1) 上单减，在 (1， ) 上单增， f (1) 1 1 1， lim f (x) ，所以 f (x) 2 恰有两
y
f
(x)
y
3sin(3x
)
y
3sin(3(x
)
)
3sin(3x
)
3cos(3x
)
3
63
32
3
即为 y f (x) ，D 正确．
第
12
题提示：
f
(x)
1 1 1 a
x
1 ax 2
(ax
1)( x ax 2
1)
当a
0 时，
f
(x)
在 (0，1)
上单减，在 (1， ) 上单增，
f
( x) min
tan OBA ，故
tan OBA tan OAB
AC CB
2
，……2
3
分
又
OBA
OAB
4
tan( OAB) ， 4
tan OAB
1 tan OAB tan OAB (1 tan OAB)
2 3
，……4
分
11 月调研测试卷（数学）参考答案 第 3页 共 4 页
解得 tan OAB 1 或 3 ，显然 OAB ，故 tan OAB 1 ； ……6 分
a
a
x
个 解 f ( 1 ) 2 ， 即 3a (a 1) ln a 1 0 ， 令 h(a) 3a (a 1) ln a 1 ， 则 a
h(a)
2
1 a
ln
a
， h(a)
1 a a2
0
， h(a)
单减，由
h(1)
1
0
且
lim
a
h(a)
知，存
在 a0 (1， ) 使得 h(a0 ) 0 ，h(a) 在 (1，a0 ) 上单增，在 (a0， ) 上单减，由 h(1) 2 0 且
11 题提示：由图知 T
2
，故
3 ，由图象上的点 (
，0)
知3
2k (k Z)
，即
2k
，
3
9
9
3
又| | ， ，∴ f (x) sin(3x )，f (x) 3cos(3x ) ， 3 0 ，
2
3
3
3
93
故 x 是 f (x) 的对称轴，A，C 正确，B 错误，根据 D 选项的变换过程有 9
……11 分
20．（12 分）
解：（1） f (x) ex (x3 x a 3x2 1)
当 a 2 时， f (x) ex (x3 3x2 x 3) ex (x 3)(x 1)(x 1) ……2 分
∴ f (x) 在 (3，1) 和 (1， ) 上单增，在 (， 3) 和 (1，1) 上单减，……4 分 f (1) 2 ， f (2) 4e2 ， f (1) 2e ，
ln(x0
1)
1 2(x0 1)
，……9
分
即
1 2
ln(
x0
1)
0
解得 x0
e 1 ，∴ 0 x0
e 1 ，……10 分
∴
a
1 2(x02
x0 )
( 2(e
1
， ) . e)
……12 分
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lim
a
h(a)
知，存在唯一的
a1
(a0，
)
使得
h(a1)
0
，故
D
正确．
11 月调研测试卷（数学）参考答案 第 1页 共 4 页