湖北省襄阳市2016-2017学年高一下学期期末考试数学试题(有答案)

2017年7月襄阳市普通高中调研统一考试

高一数学

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 8tan

3

π

的值为( )

A.

B. C.

D. 【答案】D 【解析】

8

tan

3π=2 tan 2π3（）π+=2 tan 3

π= 2. 已知下列四个条件：①0b a >>；②0a b >>；③0a b >>；④0a b >>，能推出11

a b

<成立的有（ ） A. 1个 B. 2个

C. 3个

D. 4个

【答案】C 【解析】

【详解】①中，因为0b a >>，所以

110b a

>>，因此①能推出11

a b <成立；

②中，因为0a b >>，所以0ab >，所以a b ab ab

>，所以11b a >，因此②能推出11a b <成立；

③中，因为0a b >>，所以110a b

>>，所以③不能推出11

a b <成立；

④中，因为0a b >>，所以a b ab ab

>，所以④能推出11a b <成立；

故选C.

3. 已知{

}2

340,A x x x x Z =--≤∈，{

}

2

260,B x x x x Z =-->∈，则A B 的真子集个数为( )

A. 2

B. 3

C. 7

D. 8

【答案】B 【解析】

{}2{|340}{|14}101234A x x x x Z x x x Z ，，，，，，，，

=--≤∈=-≤≤∈=-{}

23

260{|2

B x x x x Z x x =--∈=<-，或x >2}{x Z A B ∈∴?=，，3，4}，

则A B ?的真子集个数为22-1=3，

故选B ．

4. 已知点()1,1A -，2,B y ，向量()1,2a =，若AB a ∥，则实数y 的值为( ) A. 5 B. 6

C. 7

D. 8

【答案】C 【解析】

【详解】点()1,1A -，2,B y ，则AB =(3,y ?1), ()1,2a = ∵AB a ∥ ∴y ?1=6 ∴y =7 故选：C

5. 已知tan95k ?=，则tan35?=( )

A.

B.

C.

D.

【答案】D 【解析】

∵tan95?=k =tan(90?+5?)=

1tan5-,∴tan 5?=?1

k

， tan 35?=tan(30?+5?)=tan30tan51tan30tan5?+?-???

1

-

=??

故选D.

6. 若n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且8310S S -=，则11S 的值为（ ） A. 12 B. 18

C. 22

D. 44

【答案】C 【解析】

试题分析：∵834567810S S a a a a a -=++++=，由等差数列的性质可得，6510a =，∴62a =，由等差数列的求和公式可得，11111611()

11222

a a s a +=

==，故选C.

考点：1、等差数列性质；2、等差数列求和公式. 7. 若110tan ,(,)tan 342ππ

ααα+

=∈，则sin(2)4

πα+的值为（ ）

A. 210

-

B.

210

C.

32

10

D.

72

10

【答案】A 【解析】

110tan ?,tan 342ππααα??

+

=∈ ???

，可知tan 1α>，解得 3.tan α= sin 24πα??+ ???=2sin2α+2cos2α=2×2222

2cos 22cos 22sin cos sin sin αααααα+-+ =2×22

211tan tan tan ααα+-+=2×219-+=2

- 故选A.

8. 函数()222

11

x x y x x ++=>-+的图象最低点的坐标是( )

A. ()1,2

B. ()0,2

C. ()1,1

D. ()1,2-

【答案】B 【解析】

∵2221x x y x ++=

+=()2

11

1

x x +++=()1121x x ++≥+， 当且仅当1

11

x x +=+，即0x =时取“=”. 故选D.

9. 电流强度I （安）随时间t （秒）变化的函数()sin 0,0,02I A t A ω?ω?π??

=+>><< ??

?

的图像如图所示，则当1

100

t =

秒时，电流强度是（ ）

A .

10安

B. 5安

C. 3

D. -5安

【答案】D 【解析】 【分析】

根据所给函数图像,即可求得函数()sin I A t ω?=+的解析式,再代入1

100

t =即可求解. 【详解】根据函数图像可知,10A =

413003002

T -=,所以解得150T =

由周期公式2T π

ω

=代入可得22100150

T

ππωπ=== 所以函数()10sin 100I t π?=+

将1,10300??

???代入可得11010sin 100300π???=?+

???

则

2,3

2k k Z π

π

?π+=

+∈

由02

π

?<<

可知当0k =时解得6

π=

? 所以函数10sin 1006I t ππ??

=+

??

?

当1100t =

时,代入可得110sin 1001006I ππ?

?=?+ ??

? 10sin 6ππ?

?=+ ??

?

11052??

=?-=- ???

故选:D

【点睛】本题考查了根据部分函数图像求三角函数解析式,注意代入最高点或最低点求?的值即可,属于基础题.

10. 设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，332a =，39

2

S =，则公比q =( ) A.

12

B. 12

-

C. 1或12

D. 1或12

-

【答案】D 【解析】

因为3

32a =,39 2S

=,所以2

1211132

92a q a a q a q ?=????++=

??

两式相比得2210q q --=,解得1

12

q 或=-， 故选D

11. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，最大侧面的面积为( )

A.

12

B.

22

C.

5 D.

62

【答案】C 【解析】

由三视图可知，几何体的直观图如图所示，

平面AED ⊥平面BCDE ，四棱锥A ?BCDE 的高为1，四边形BCDE 是边长为1的正方形， 则111122S AED =

??=，1215121522S ABC S ABE S ACD ==??==??=， 5点睛：由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．

12. 已知函数12f x ??+ ???为奇函数，()()1g x f x =+，若2017n n a g ??

= ???

，则数列{}n a 的前2016项和为

( ) A. 2017 B. 2016 C. 2015 D. 2014

【答案】B 【解析】 ∵函数12f x ?

?

+

???

为奇函数图象关于原点对称， ∴函数()f x 的图象关于点(1

2

,0)对称， ∴函数()()1g x f x =+的图象关于点(1

2

,1)对称，

∴()()12g x g x +-=， ∵2017n n a g ??

=

???

， ∴数列的前2016项之和为12320152016201620172017201720172017g g g g g ??????????

+++?++= ? ? ? ? ???????????

， 故选B

点睛：本题主要考查函数的奇偶性及对称性结合数列，抓住通项特征可以看出是首尾相加是定值，采用倒序相加会很快得出答案．、

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13. 在数列1，1，2，3，5，8，13，x ，34，55，…中，x 应取__________． 【答案】21 【解析】

根据数列11235813x 3455?，，，，，，，，，，，可以发现，从第三项起，每一项都是前面两项的和∴81321x =+= 14. 函数()()2

1cos2sin f x x x =+的最小正周期是__________．

【答案】

2

π

【解析】

∵()()()2

121cos2sin 122

cos x

f x x x cos x -=+=+?

()

211141141412?1? 22222

244cos x cos x cos x cos x +????=

-=-=-=- ? ?????， ∴函数()()2

1cos2sin f x x x =+的最小正周期是242

T ππ

=

= 故答案为

2

π

15. 已知()2,3a =-，()3,4b =-，则a b -在a b +上的投影的数量为________. 【答案】62- 【解析】 【分析】

根据向量的加法、减法的坐标运算，结合一个向量在另一个向量的投影，可得结果. 【详解】

()2,3a =-，()3,4b =-，

()5,7a b ∴=--，()

1,1a b =-+，

()()

()()517112a b a b ∴?=?-+-=-+?-，

2a b +=，

a b ∴-在a b +上的投影的数量为

()()6

22

a b a b a b

=--?=++故答案为：62-.

【点睛】本题主要考查一个向量在另一个向量的投影，属基础题. 16. 在锐角ABC 中，已知3

B π

=，2AB AC -=，则AC AC ?的取值范围是__________．

【答案】(0，12) 【解析】

以B 为原点，BA 所在直线为x 轴建立坐标系， 因为3

B π

=

， AB AC -= |BC | =2，

所以 3C （，）

，设 x 0A （，）， 因为△ABC 是锐角三角形，所以120A C +=?，

所以 3090A ?<

所以1

则·AB AC =2x x -=2

11x 24??-- ??

?， 所以·AB AC 的取值范围（0，12）.

点睛：平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数.

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. 设ABC 的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ，且有2sin sin sin sin 6A C B C π?

?

+=+ ??

?

. (1)求角A 的大小；

(2)若2b =，1c =，D 为BC 的中点，求AD 的长.

【答案】(Ⅰ) 3

A π

=

7 【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据2sin sin sin sin 6A C B C π?

?+=+ ??

?，可得)

sin 3sin cos sin C A A C -=，从而可得

3sin cos 1A A -=，由此可求求角A 的大小；

（Ⅱ）利用b 2c 1

A 3

，，π

===，可求a 的值，进而可求B=

2

π

，利用D 为BC 的中点，可求AD 的长 试题解析：(Ⅰ)解：由2sin sin sin sin 6A C B C π?

?+=+ ???得：

()3sin sin sin cos sin sin A C A C A C C +=++

即)

sin cos sin C

A A C -=

∵sin C cos 1A A -= ∴1sin 62

A π??

-

= ??

? 由于0A π<<，故6

6

3

A A π

π

π

-

=

?=

(Ⅱ)方法一：∵2

2

2AB AC AD ??+= ???

()

22117214212cos 4434

AB AC AB AC π??=

++?=++???= ??? ∴7

2

AD AD ==

． 方法二：∵2222cos 3a b c bc A =+-= ∴2224a c b +==，2

B π

=

∵22BC a BD ===，AB = c = 1，∴2AD ==．

方法三：2222cos 3a b c bc A =+-=，a =

由正弦定理得：

22sin B ==，∴sin 1B =，故2B π=

∵222BC a BD ===，AB = c = 1，∴2AD ==． 18. 已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，{}n b 是等差数列，且111a b ==，2332b b a +=，5237a b -=. (Ⅰ)求{}n a 和{}n b 的通项公式；

(Ⅱ)设n n n c a b =，*n N ∈，求数列{}n c 的前n 项和.

【答案】（Ⅰ）12,n n a n -*=∈N ,21,n b n n *=-∈N ;（Ⅱ）()2323n

n S n =-+

【解析】

试题分析：（Ⅰ）设出数列{}

n a 公比和数列{}n b 的公差，由题意列出关于,q d 的方程组，求解方程组得

到,q d 的值，则等差数列和等比数列的通项公式可求；（Ⅱ）由题意得()1

212

n n c n -=-，然后利用错位相

减法注得数列{}n c 的前n 项和．

试题解析：（Ⅰ）设{}n a 的公比为q,{}n b 的公差为d,由题意0q > ,由已知,有

消去d 得

42280,q q --= 解得2,2q d == ,所以{}n a 的通项公式为12,n n a n -*=∈N , {}n b 的通项公式为21,n b n n *=-∈N ．

（Ⅱ）由（Ⅰ）有()1

212

n n c n -=- ,设{}n c 的前n 项和为n S ,则

()0121123252212,n n S n -=?+?+?++-? ()1232123252212,n n S n =?+?+?+

+-?

两式相减得()()2

3

12222122323,n n n n S n n -=++++--?=--?-

所以()2323n

n S n =-+．

考点：等差数列与等比数列的

综合．

【易错点睛】用错位相减法求和应注意的问题：（1）要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形．（2）在写出“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式．（3）在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．

19. 如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，AD BC ∥，90ADC ∠=?，平面PAD ⊥底面

ABCD ，O 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，2AD BC =.

(1)求证：平面POB ⊥平面PAD ； (2)若PA 平面BMO ，求

PM

MC 的值. 【答案】（1）详见解析；（2）

1PM

MC

=. 【解析】

（1）证明：∵//AD BC ，1

2

BC AD =

，O 为AD 的中点， ∴四边形BCDO 为平行四边形，∴//CD BO ． ∵90ADC ∠=?，∴90AOB ∠=?，即OB AD ⊥．

又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ?平面ABCD AD =， ∴BO ⊥平面PAD ．∵BO ?平面POB ，∴平面POB ⊥平面PAD ． （2）法一：

1PM

MC

=,即M 为PC 中点，以下证明： 连结AC ，交BO 于N ，连结MN ，∵//AD BC ，O 为AD 中点，2AD BC =， ∴N 是AC 的中点，又点M 是棱PC 的中点，∴//MN PA ， ∵PA ?平面BMO ，MN ?平面BMO ， ∴//PA 平面BMO ．

法二：连接AC ，交BO 于N ，连结MN ，

∵//PA 平面BMO ，平面BMO ?平面PAC MN =，∴//PA MN ， 又∵//AD BC ，O 为AD 中点，2AD BC =， ∴N 是AC 的中点， ∴M 是PC 的中点,则

1PM

MC

=. 点睛：立体几何中的线面位置关系的推断及有关计算是高考和各级各类考试中经常出现的题型．解答这类问题的关键要扎实掌握线面垂直、线面平行的判定和性质定理．灵活巧妙地运用转化化归的数学思想进行推理论证，特别是一些计算与求解长度、面积、体积等问题，一定要借助平面几何中的有关知识进行分析推证．

20. 如图，已知四边形ABCD 和BCEG 均为直角梯形， AD BC ∥， CE BG ∥，且2

BCD BCE π

∠=∠=，

平面ABCD ⊥平面BCEG ， 2BC CD CE ===， 1AD BG ==.

(1)求证： DE BC ⊥；

(2)求证： AG

平面BDE ；

(3)求几何体EGABCD 的体积. 【答案】(Ⅰ) 见解析;(Ⅱ) 见解析(Ⅲ) 8

3

【解析】

试题分析：（Ⅰ）推导出CD BC ⊥，CE BC ⊥，从而BC DCE ⊥平面，由此能证明DE BC ⊥． （Ⅱ）过G 作GN

BC ，交BE 于M ，交CE 于N ，连结DM ，则BGNC 是平行四边形，推导出四边形ADMG

是平行四边形，从而AG DM ，由此能证明AG BDE 平面．

（Ⅲ）几何体EGABCD 的体积V EGABCD A BCEG E ACD V V --=+，由此能求出结果． 试题解析：(Ⅰ)证：∵2

BCD BCE π

∠=∠=

∴CD BC CE BC ⊥⊥， 又CD CE

、平面DCE 内

∴BC DCE ⊥平面

DE DCE 平面∴DE BC ⊥

(Ⅱ)证：如图，在平面BCEG 中，过G 作GN

BC

交BE 于M ，交CE 于N ，连接DM 则BGNC 是平行四边形

∴12CN BG CE ==

，即N 是CE 中点，∴2

BC MN = 故MG AD ，22

BC BC

MG NG MN BC AD =-=-== 故四边形ADMG 为平行四边形 ∴

AG DM

∵DM 在平面BDE 内，AG 不在平面BDE 内，∴AG BDE 平面 (Ⅲ)解：EGABCD A BCEG E ACD V V V --=+

1133BCEG ACD

S DC S CE =??+??121118

2212232323

+=???+????= 点睛：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. (1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直. (3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.

21. 已知数列{}n a 和{}n b 满足：11a =，22a =，0n a >

，)*n b n N =∈，且{}n b 是以q 为公比

的等比数列.

(1)证明：2

2n n a a q +=；

(2)若2122n n n c a a -=+，证明数列{}n c 是等比数列；

(3)求和：1234212111111n n

a a a a a a -++++?++. 【答案】(Ⅰ) 2

2n n a a q +=(Ⅱ3

A π

=

(Ⅲ)

2123

2222312

11113

112(1)n n n n

q q a a a a q q q -?=??

+++++=

?-??≠?-?

，，

【解析】

试题分析：（I ）由

1n n b q b +=q ==，从而得到结论； （II ）根据n a 的递推关系求出21n a -与2n a ，然后代入2122n n n c a a -=+可得22

5n n c q -=，从而{c n }是首项为

5，以

2q 为公比的等比数列．、；

（III ）讨论q 是否为1，然后利用等比数列求和公式进行求解即可，最后利用分段形式表示即可． 试题解析：

(Ⅰ)解：由{}n b 是以q 为公比的等比数列，∴1

n n

b q b += q ==，∴22n n a a q +=

(Ⅱ)证：∵2

2n n a a q +=，

∴数列135a a a ?，，，

和数列246a a a ?，，，均是以2q 为公比的等比数列 故()()21

212222211222n n n n n n a a q q a a q q -----====， ∴22

21225n n n n c a a q

--=+= 故{}n c 是首项为5，公比为2q 的等比数列． (Ⅲ)解：由(Ⅱ)得：

222222

2221

211111

22

n n n n n n q q a q a q -----=

===?，

∴1234

21213

212421111

1

111

1111n n n n S a a a a a a a a a a a a --????=

++++++=+++++++ ? ?????

2

4222

422111111

1112n n q q

q q q q --????

=+

+++

+++++

? ??

???

24

22311

112n q q q -??

=

++++

???

当

1?q =时，32

n S = 当1

?q ≠时，()

2224

2222221

1311

133********n n n n q q S q q q q q q

---

??-=++++=?=?

?-??-

∴

()

2123

2222312111131121n

n n n q q a a a a q q q ，，-?

=??

+++++=?-??≠-??

点睛：证明数列是等比数列通常用定义，也可以由等比中项进行；等比数列的公比为参数，求和时应分公比等于1和不等于1两种情况求解，最后和可以写成分段函数形式； 22. 已知函数()2

1f x mx mx =+-.

(1)

若对于任意x ∈R ，()0f x <恒成立，求实数m 的取值范围；

(2)若对于任意[)0,x ∈+∞，()()2

2f x m x <+恒成立，求实数m 的取值范围.

【答案】（1）(]

4,0m ∈-（2）m <【解析】

试题分析：（1）对于函数恒成立问题首先要注意函数是否为二次函数则当0m =时和当0m ≠时分类讨论即可（2）可根据题意先分离参数得221mx x <+.在根据x 的正负取值分离变量，借助基本不等式即可求解 试题解析：

解：（1）当0m =时，10-<，符合；

当0m ≠时，0

{0

m

4,0m ∈-.

（2）化简得：221mx x <+. 当0x =时，恒成立，即m R ∈，

当0x >时，12m x x <+，

因为0x >，所以1

2x x

+≥m <

综上，m <