一元一次方程知识点及经典例题
一元一次方程单元复习与巩固
一、知识网络
二、目标认知
重点：
一元一次方程的解法，列方程解应用题
难点：
列方程解应用题
三、知识要点梳理
知识点一：一元一次方程及解的概念
1、一元一次方程：
一元一次方程的标准形式是：ax+b=0(其中x是未知数，a,b是已知数，且a≠0)。
要点诠释：
一元一次方程须满足下列三个条件：
（1）只含有一个未知数；
（2）未知数的次数是1次；
（3）整式方程．
2、方程的解：
判断一个数是否是某方程的解：将其代入方程两边，看两边是否相等．
知识点二：一元一次方程的解法
1、方程的同解原理（也叫等式的基本性质）
等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。 如果
，那么
；(c 为一个数或一个式子)。
等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。 如果
，那么
；如果
，那么
要点诠释：
分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数，分数的值不变。 即：
（其中m ≠0）
特别须注意：分数的基本的性质主要是用于将方程中的小数系数（特别是分母中的小数）化为整数，如方程：
－
=1.6，将其化为：
－
=1.6。方程的右边没有变化，这要与“去分母”区别开。
2、解一元一次方程的一般步骤：
解一元一次方程的一般步骤 常用步骤 具体做法 依据
注意事项
去分母
在方程两边都乘以各分母的最小公倍数
等式基本性质2
防止漏乘（尤其整数项），注意添括号；
去括号
一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号
去括号法则、分配律 注意变号，防止漏乘； 移项
把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(记住移项要变号)
等式基本性质1 移项要变号，不移不变号；
合并同类项
把方程化成ax ＝b(a ≠0)的形式
合并同类项法则 计算要仔细，不要出差错；
系数化成1 在方程两边都除以等式基本性质2
计算要仔细，分子分母勿
未知数的系数a ，得到方程 的解x ＝
颠倒
要点诠释：
理解方程ax=b 在不同条件下解的各种情况，并能进行简单应用: ①a ≠0
时，方程有唯一解
；
②a=0，b=0时，方程有无数个解； ③a=0，b ≠0时，方程无解。
知识点三：列一元一次方程解应用题
1、列一元一次方程解应用题的一般步骤：
（1
）审题，分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找等量关系．
（2）设未知数，一般求什么就设什么为x
，但有时也可以间接设未知数． （3）列方程，把相等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示出来，列出方程．
（4）解方程．
（5）检验，看方程的解是否符合题意． （6）写出答案．
2、解应用题的书写格式：
设→根据题意→解这个方程→答。
3、常见的一些等量关系
常见列方程解应用题的几种类型：
类型
基本数量关系 等量关系
(1)和、差、倍、分问题
①较大量＝较小量＋多余量
②总量＝倍数×倍量
抓住关键性词语
(2)等积变形问题
变形前后体积相等
(3)行程
问题 相遇问题
路程＝速度×时间
甲走的路程＋乙走的路程＝两地距离 追及问题
同地不同时出发：前者
走的路程＝追者走的路
程
同时不同地出发：前者
走的路程＋两地距离＝
追者所走的路程顺逆流问题顺流速度＝静水速度＋
水流速度
逆流速度＝静水速度－
水流速度
顺流的距离＝逆流的距
离
(4)劳力调配问题从调配后的数量关系中
找相等关系，要抓住“相
等”“几倍”“几分之几”
“多”“少”等关键词语(5)工程问题工作总量＝工作效率×
工作时间
各部分工作量之和＝1
(6)利润率问题商品利润＝商品售价－
商品进价
商品利润率＝
×100％
售价＝进价×(1＋利润
率)
抓住价格升降对利润率
的影响来考虑
(7)数字问题设一个两位数的十位上
的数字、个位上的数字
分别为a，b，则这个两
位数可表示为10a＋b
抓住数字所在的位置或
新数、原数之间的关系
(8)储蓄问题利息＝本金×利率×期
数
本息和＝本金＋利息＝
本金＋本金×利率×期
数×(1－利息税率) (9)按比例分配问题甲∶乙∶丙＝a∶b∶c 全部数量＝各种成分的
数量之和(设一份为x) (10)日历中的问题日历中每一行上相邻两
数，右边的数比左边的
数大1；日历中每一列上
相邻的两数，下边的数
日历中的数a的取值范
围是1≤a≤31，且都是
正整数
比上边的数大7
知识点四：方程与整式、等式的区别
（1）从概念来看：
整式：单项式和多项式统称整式。
等式：用等号来表示相等关系的式子叫做等式。如，m＝n＝n＋m
等都叫做等式，而像－，m2n不含等号，所以它们不是等式，而是代数式。
方程：含有未知数的等式叫做方程。如5x＋3＝11，等都是方程。理解方程的概念必须明确两点：①是等式；②含有未知数。两者缺一不可。
（2）从是否含有等号来看：方程首先是一个等式，它是用“＝”将两个代数式连接起来的等式，而整式仅用运算符号连接起来，不含有等号。
（3）从是否含有未知量来看：等式必含有“＝”，但不一定含有未知量；方程既含有“＝”，又必须含有未知数。但整式必不含有等号，不一定含有未知量，分为单项式和多项式。
四、规律方法指导
1、判断一个式子是否是一元一次方程：
（1）首先看是否是方程，
（2）再看是否满足一元一次方程的三个条件或对原式进行等价变形化简后再看；
2、解一元一次方程常用的技巧有：
(1)有多重括号，去括号与合并同类项可交替进行。
(2)当括号内含有分数时，常由外向内先去括号，再去分母。
(3)当分母中含有小数时，可用分数的基本性质化成整数。
(4)运用整体思想，即把含有未知数的代数式看做整体进行变形。
四、经典例题透析
类型一：一元一次方程的相关概念
1、已知下列各式：
①2x－5＝1；②8－7＝1；③x＋y；④x－y＝x2；⑤3x＋y＝6；⑥5x＋3y ＋4z＝0；⑦＝8；⑧x＝0。其中方程的个数是( )
A、5
B、6
C、7
D、8
思路点拨：方程是含有未知数的等式，根据定义逐个进行判断，显然②③不合题意。
解：是方程的是①④⑤⑥⑦⑧，共六个，所以选B
总结升华：根据定义逐个进行判断是解题的基本方法，判断时应注意两点：一是等式；二是含有未知数，体现了对概念的理解与应用能力。
举一反三：
[变式1]判断下列方程是否是一元一次方程：
（1）-2x2+3=x （2）3x-1=2y （3）x+=2 （4）2x2-1=1-2(2x-x2)
解析：判断是否为一元一次方程需要对原方程进行化简后再作判断。
答案：（1）（2）（3）不是，（4）是
[变式2]已知：(a-3)(2a+5)x+(a-3)y+6＝0是一元一次方程，求a的值。
解析：分两种情况：
（1）只含字母y，则有(a-3)(2a+5)＝0且a-3≠0
（2）只含字母x，则有a-3＝0且(a-3)(2a+5)≠0 不可能
综上，a的值为。
[变式3]（2011重庆江津）已知3是关于x的方程2x－a=1的解,则a的值是( )
A．－5 B．5 C．7 D．2
答案：B
类型二：一元一次方程的解法
解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。如果我们在牢固掌握这一常规解题思路的基础上，根据方程原形和特点，灵活安排解题步骤，并且巧妙地运用学过的知识，就可以收到化繁为简、事半功倍的效果。
1．巧凑整数解方程：
2、
思路点拨：仔细观察发现，含未知数的项的系数和为，常数项的
和故直接移项凑成整数比先去分母简单。
解：移项，得。
合并同类项，得2x＝－1。
系数化为1，得x＝－。
举一反三：
[变式]解方程：＝2x－5
解：原方程可变形为
＝2x－5
整理，得8x＋18－(2＋15x)＝2x－5，
去括号，得8x＋18－2－15x＝2x－5
移项，得8x－15x－2x＝－5－18＋2
合并同类项，得－9x＝－21
系数化为1，得x＝。
2．巧用观察法解方程：
3、
思路点拨：该方程可化为＝3，不难看出，当y
＝1时，该方程左边三项的值都是1，即左边＝右边，因原方程是一元一次方程，故只能有一个解，于是可求得方程的解是y＝1。
解：由观察可得y＝1
3．巧去括号解方程：
4、
思路点拨：含多层括号的一元一次方程，要根据方程中各系数的特点，选择适当的去括号的方法，因为题目中分数的分子和分母具有倍数关系，所以从外向内去括号可以使计算简单。
解：去括号，得
去小括号，得
去分母，得(3x－5)－8＝8
去括号、移项、合并同类项，得3x＝21
两边同除以3，得x＝7
∴原方程的解为x＝7
举一反三：
[变式]解方程：
解：依次移项、去分母、去大括号，得
依次移项、去分母、去中括号，得
依次移项、去分母、去小括号，得
，∴x＝48
4．运用拆项法解方程：
5、
思路点拨：注意到，在解有分母的一元一次方
程时，可以不直接去分母，而是逆用分数加减法法则，拆项后再合并，有时可以使运算简便。
解：原方程逆用分数加减法法则，得
移项、合并同类项，得。
系数化为1，得。
5．巧去分母解方程：
6、
思路点拨：当方程的分母含有小数，而小数之间又没有特殊的倍数关系时，若直接去分母则会出现比较繁琐的运算。为了避免这样的运算。应把分母化成整数。化整数时，利用分数的基本性质将分子、分母同时扩大相同的倍数即可。
解：原方程化为
去分母，得100x－(13－20x)＝7
去括号、移项、合并同类项，得120x＝20
两边同除以120，得x＝
∴原方程的解为
总结升华：应用分数性质时要和等式性质相区别。可以化为同分母的，先化为同分母，再去分母较简便。
举一反三：
[变式]（2011山东滨州）依据下列解方程的过程，请在前面的括号内填写变形步骤，在后面的括号内填写变形依据。
解：原方程可变形为 (__________________________)
去分母，得3（3x+5）=2(2x-1). (__________________________)
去括号，得9x+15=4x-2. （____________________________）
(____________________),得9x-4x=-15-2. (____________________________)
合并，得5x=-17. (合并同类项)
（____________________）,得x=. （_________________________）
【答案】解：原方程可变形为 (_分式的基本性质_)
去分母，得3（3x+5）=2(2x-1). (_等式性质2_)
去括号，得9x+15=4x-2. （去括号法则或乘法分配律_）
(______移项_______),得9x-4x=-15-2. (等式性质1_)
合并，得5x=-17. (合并同类项)
（_______系数化为1____）,得x=. （等式性质2）
6．巧组合解方程：
7、
思路点拨：按常规解法将方程两边同乘72化去分母，但运算较复杂，注意到左边的第一项和右边的第二项中的分母有公约数3，左边的第二项和右边的第一项的分母有公约数4，移项局部通分化简，可简化解题过程。
解：移项通分，得
化简，得
去分母，得8x－144＝9x－99。
移项、合并，得x＝－45。
7．巧解含有绝对值的方程：
8、|x－2|－3＝0
思路点拨：解含有绝对值的方程的基本思想是先去掉绝对值符号，转化为一般的一元一次方程。对于只含一重绝对值符号的方程，依据绝对值的意义，直接去绝对值符号，化为两个一元一次方程分别解之，即若|x|＝m，则x＝m或x＝－m；也可以根据绝对值的几何意义进行去括号，如解法二。
解法一：移项，得|x－2|＝3
当x－2≥0时，原方程可化为x－2＝3，解得x＝5
当x－2＜0时，原方程可化为－(x－2)＝3，解得x＝－1。
所以方程|x－2|－3＝0的解有两个：x＝5或x＝－1。
解法二：移项，得|x－2|＝3。
因为绝对值等于3的数有两个：3和－3，所以x－2＝3或x－2＝－3。
分别解这两个一元一次方程，得解为x＝5或x＝－1。
举一反三：
【变式1】（2011福建泉州）已知方程，那么方程的解是________.
【答案】；
[变式2] 5|x|-16＝3|x|-4
解：5|x|-3|x|＝16-4
2|x|＝12
|x|＝6
x＝±6
[变式3]
解：|3x-1|＝8
3x-1＝±8
3x＝1±8
3x＝9或3x＝-7
x＝3或
8．利用整体思想解方程：
9、
思路点拨：因为含有的项均在“”中，所以我们可以将作为一个整体，先求出整体的值，进而再求的值。
解：移项通分，得：
化简，得：
移项，系数化1得：
总结升华：解一元一次方程有一般程序化的步骤，我们在解一元一次方程时，既要学会按部就班(严格按步骤)地解方程，又要能随机应变(灵活打乱步骤)解方程。对于一般解题步骤与解题技巧来说，前者是基础，后者是机智，只有真正掌握了一般步骤，才能熟能生巧。
类型三、一元一次方程的常见应用题
1.优化方案问题
10、由于活动需要，78名师生需住宿一晚，，他们住了一些普通双人间和普通三人间，结果每间客房正好住满，且在宾馆给他们打五折优惠的基础上一天一共付住宿费2130元。请你算一算，他们需要双人普通间和三人普通间各
多少间？
类型普通
(元/间)
豪华(元/间)
双人房140 300
三人房150 400
解：设安排普通双人房x间，则可住2x人，费用为140×50％·x元，此时
安排普通三人房间，
可住(78－2x)人，费用为150×50％×元。
由题意，得140×50％×x＋150×50％×＝2130。解得x＝9，
＝20。
即安排三人房20间，双人房9间即可。
举一反三：
【变式】某学校组织学生春游，如果租用若干辆45座的客车，则有15个人没有座位，如果租用相同数量60座的客车，则多出1辆，其余车恰好坐满，已知租用45座的客车日租金为每辆车250元，60座的客车日租金为300元，问租用哪种客车更合算？租几辆车？
解：设租用45座客车x辆，则根据春游学生人数不变，列方程：45x+15=60x-60
解得： x=5
若租用45座客车，则需用5辆，需花费：250×5=1250元
若租用60座客车，则需用4辆，需花费300*4=1200元
因为：1250>1200，因此租用60座客车比较合算。
答：租用60座客车更合算，租用4辆车。
2.行程中的追及相遇问题
11、甲、乙两人从A、B两地同时出发，甲骑自行车，乙骑摩托车，沿同一条路线相向匀速行驶.出发后经3小时两人相遇.已知在相遇时乙比甲多行
了90千米，相遇后经1小时乙到达A地.问甲、乙行驶的速度分别是多少？
思路点拨：设甲的速度为千米/时，题目中所涉及的有关数量及其关系可以用下表表示：
相遇前相遇后
速度时间路程速度时间路程
甲 3 33+90
乙 3 3+90 1 3
相遇前甲行驶的路程+90=相遇前乙行驶的路程；
相遇后乙行驶的路程=相遇前甲行驶的路程.
解：设甲行驶的速度为千米/时，则相遇前甲行驶的路程为3千米，乙行驶的路程为（3+90）千米，乙行驶的速度为千米/时，由
题意，得.
解这个方程，得=15.
检验：=15适合方程，且符合题意.
将=15代入，得==45.
答：甲行驶的速度为15千米/时，乙行驶的速度为45千米/时.
总结升华：理解相遇前后的等量关系，相遇问题是行程问题中很重要的一种，它的特点是相向而行。这类问题可以通过画线段图或列表帮助理解、分析。
举一反三：
[变式] 甲、乙两地相距240千米，汽车从甲地开往乙地，速度为36千米/
时，摩托车从乙地开往甲地，速度是汽车的。摩托车从乙地出发2小时30分
钟后，汽车才开始从甲地开往乙地，问汽车开出几小时后遇到摩托车？
思路点拨：本题是一个异地不同时出发的相遇问题，其基本关系是：速度×时间＝路程。虽然不同时出发，但在相遇时，汽车所行的路程＋摩托车所行的路程＝甲、乙两地的距离，这就是本题的等量关系。如果设汽车开出x小时后与摩托车相遇，则在相遇时，汽车和摩托车所行的路程可表示如图：
其中摩托车先行的路程为千米；摩托车后来所行的路程为
千米。
解：设汽车开出x小时与摩托车相遇，则
36x＋36×＝240，解得x＝3
答：汽车开出3小时后遇到摩托车。
3．日历中的方程
12、（1）在2006年8月的日历中(如图(1))，任意圈出一竖列上相邻的三个数，设中间的一个数为a，则用含a的代数式表示这三个数(从小到大排
列)分别是＿＿＿。
（2）现将连续自然数1至2006按图中(如图(2))的方式排成一个长方形阵列，用一个长方形框出16个数。
①图中框出的这16个数的和是＿＿＿。
②在图(2)中，要使一个长方形框出的16个数之和分别等于2000、2006，是否可能？若不可能，试说明
理由；若有可能，请求出该长方形框出的16个数中的最小数和最大数。
思路点拨：(1)通过观察可以发现，一竖列上相邻的三个数，下面的数总比上面的数大7；(2)①经观察不难发现，在这个长方形框里的16个数中，第一个数10与最后一个数34的和为44，第二个数与倒数第二个数，第三个数与倒数第三个数，……，它们的和都是44；②设最小的数为a，由图（2）及（1）可知，这16个数分成8组，每组的两个数之和都是2a＋37+3=2a＋24。
解：(1)a－7，a，a＋7
(2)①352 ②设框出的16个数中最小的一个数为a，则这16个数组成
的矩形方框如下图所示。
则这16个数之和为16a＋192，当16a＋192＝2000时，a＝113，当16a＋192＝2006时，
a＝113.375。因为a是自然数，所以a＝113.375不符合题意，
即框出的16个数的和不可能是2006。
由方形阵列的排法可知，a只可能在1,2，3,4列，即a被7除的余数只可能是1,2，3,4。
因为113＝16×7＋1，即113被7除余1,113在第一列中，所以这16个数的和是2000是可能的，
这时，方框中最小的数是113，最大的数是113＋24＝137。
总结升华：
(1)日历中的数量关系
①在日历中，每一横排相邻两个数字之间差1。
②在日历中，每一竖排相邻两个数字之间差7。
③在日历中，左上到右下方向相邻两个数字之间差8。
④在日历中，右上到左下方向相邻两个数字之间差6。
(2)用一个正方形任意圈出9个数的规律
①中间一个数字是所有九个数字的平均值。
②每一横排、每一竖排、每一斜排，中间一个数字都是它们的平均值。
举一反三：
[变式]每人准备一份日历，在各自的日历上任意圈一个竖列上的相邻的四个数，两个分别把自己所圈4个数的和告诉同伴，由同伴求出这个数。
(1)4个数的和等于42。(2)4个数的和等于60。
x－7
x
x＋7
x＋14
解：设这4个数分别为x－7，x，x＋7，x＋14
(1)由题意，得(x－7)＋x＋(x＋7)＋(x＋14)＝42
x－7＋x＋x＋7＋x＋14＝42，4x＋14＝42
∴4x＝28，∴x＝7
x－7＝7－7＝0，x＋7＝7＋7＝14，x＋14＝7＋14＝21
因为日历上没有0号，所以不符合实际，此题无解。
(2)由题意，得(x－7)＋x＋(x＋7)＋(x＋14)＝60
x－7＋x＋x＋7＋x＋14＝60,4x＋14＝60
∵4x＝46，∴x＝，是一个分数，日历上不可能出现分数，
所以不符合实际情况，此题无解。
4．银行储蓄
13、小张在银行存了一笔钱，月利率为2%，利息税为20%，5个月后，他一共取出了本息和为1080元，问它存入的本金是多少元？
解：设小张存入的本金为x元，则5个月后的利息为2%×x×5即0.1x元，这些利息需交利息税0.1x×20%即0.02x元
由题意得：x+0.1x-0.02x=1080
∴x=1000
答：他存入银行的本金为1000元。
举一反三：
【变式】从1999年11月1日起，全国储蓄存款征收利息税，税率为利息的20%，由各银行储蓄点代扣代收．某人在2001年1月存入定期一年的人民币若干元，年利率为2.25%，一年到期后缴纳利息税72元，则他存入的人民币为________元。
答案：16000
解析：设某人存入的人民币为x元，根据题意列方程得：
x×2.25%×20%=72，
解得x=16000．
5．图表信息题
14、小明家使用的是分时电表，按平时段（6：00～22：00）和谷时段（22：00～次日6：00）分别计费，平时段每千瓦时电价为0.61元，谷时段每千瓦时电价为0.30元。小明将家里2005年1月至5月的平时段和谷时段的用电量分别用折线图表示（如下图），同时将前4个月的用电量和相应电费制成表格（如下表）。
月用电量（千瓦时）电费（元）
1 90 51.80
2 92 50.85
3 98 49.24
4 10
5 48.44
5
根据上述信息，解答下列问题：
（1）计算5月份的用电量及相应的电费，将所得结果填入表中；
（2）小明家这5个月的平均用电量为________千瓦时；
（3）小明家这5个月每月用电量是________趋势（选择“上升”或“下降”）；这5个月每月电费
呈________趋势（选择“上升”或“下降”）；
（4）小明预计7月份家中用电量很大，估计7月份用电量可达500千瓦时，相应电费将达243元，请你根
据小明的估计，计算出7月份小明家平时段用电量和谷时段用电量．思路点拨：本题考查了日常生活中的问题，利用数学知识来解决实际问题．（1）根据第一张图可以看出5月份平时段用电量为45千瓦时，谷时段用电量为65千瓦时，故5月份用电量为45+65=110千瓦时．电费为65×0.30+45×0.61=46.95（元）；（2）平均用电量实质上就是求平均数，五个月的用电量的和除以5；（3）由图示可以看出；（4）若设7月份平时段用电量为x千瓦时，则谷时段用电量为(500x)千瓦时，根据平时段用电量的电费+谷时用电量的电费=243．列出方程即可求，得．
解：（1）65+45=110（千瓦时），65×0.30+45×0.61=46.95（元）．（2）99．
（3）上升下降
（4）设小明家7月份平时段用电量为x千瓦时，则谷时段用电量(500 x)千瓦时，
由题意得0.61x+0.30(500x)=243，
解方程得x=300，所以．
答：小明家7月份平时段用电量为300千瓦时，谷时段用电量为200千瓦时．
举一反三：
【变式】（2011江苏无锡）十一届全国人大常委会第二十次会议审议的个人所得税法修正案草案(简称“个税法草案”)，拟将现行个人所得税的起征点由每月2000元提高到3000元，并将9级超额累进税率修改为7级，两种征税方法的1～5级税率情况见下表：
税级
现行征税方法草案征税方法
月应纳税额
x
税率
速算扣除
数
月应纳税额x税率速算扣除数
1 x≤ 500 5% 0 x≤ 1500 5% 0
2 500 2000 10% 25 1500 4500 10% ▲ 3 2000 5000 15% 125 4500 9000 20%▲ 4 5000 20000 20% 375 9000 35000 25% 975 5 20000 40000 25% 1375 35000 55000 30% 2725 注：“月应纳税额”为个人每月收入中超出起征点应该纳税部分的金额。“速算扣除数”是为了快捷简便计算个人所得税而设定的一个数。 例如：按现行个人所得税法的规定，某人今年3月的应纳税额为2600元， 他应缴税款可以用下面两种方法之一来计算： 方法一：按1～3级超额累进税率计算，即500×5% + 1500×10% + 600×15% = 265(元) 方法二：用“月应纳税额×适用税率－速算扣除数”计算，即2600×15% －125 = 265(元) (1)请把表中空缺的“速算扣除数”填写完整； (2)甲今年3月缴了个人所得税1060元，若按“个税法草案”计算，则他应缴税款多少元？ (3)乙今年3月缴了个人所得税3千多元，若按“个税法草案”计算，他应缴纳的税款恰好不变，那么乙 今年3月所缴税款的具体数额为多少元？ 【答案】 解：(1) 75， 525； (2)设甲的月应纳税所得额为x元，根据题意得 20%x－ 375 = 1060 解得x = 7175． ∴甲这个月的应纳税所得额是7175元． 若按“个税法草案”计算，则他应缴税款为(7175 － 1000)×20% －525 = 710元． 答：若按“个税法草案”计算，则他应缴税款710元. (3)设乙的月应纳税所得额为x元，根据题意得： 20%x－ 375 = 25%(x－ 1000) － 975 解得x = 17000． ∴乙今年3月所缴税款的具体数额为17000×20% － 375 = 3025元． 答：乙今年3月所缴税款的具体数额为3025元 一元一次方程的应用经典题 1、“水是生命之源”，市自来水公司为鼓励用户节约用水，按以下规定收取水费： （1）某用户1月份共交水费65元，问1月份用水多少吨？ （2）若该用户水表有故障，每次用水只有60%记入用水量，这样在2月份交水费43. 2元，该用户2月份实际应交水费多少元？ 2、60 增加15 3、 七(1)、(2)104(1)班人数多于七(2)班,70人,准备周末去公园 1140元. （1） （2） （3）(1)班有10 4、某家电商场计划用9万元从生产厂家购进50台电视机．已知该厂家生产3 种不同型号的 电视机，出厂价分别为A种每台1500元，B种每台2100元，C种每台2500元． （1）若家电商场同时购进两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案． （2）若商场销售一台A种电视机可获利150元，销售一台B种电视机可获利200元，销售一台C种电视机可获利250元，在同时购进两种不同型号的电视机方案中，为了使销售时获利最多，你选择哪种方案？ 5、某车间有16名工人，每人每天可加工甲种零件5个或乙种零件4个．在这16名工人中， 一部分人加工甲种零件，其余的加工乙种零件．已知每加工一个甲种零件可获利16元，每加工一个乙种零件可获利24元．若此车间一共获利1440元，求这一天有几个工人加工甲种零件． 6、某工厂计划生产一种新型豆浆机,每台豆浆机需要3个A种零件和5个B种零件正好配套, 已知车间每天能生产A种零件4个或B种零件30个，现在要使在22天中所生产的零件全部配套，那么应该安排多少天生产甲种零件，多少天生产乙种零件？ 7、日历上爷爷生日那天的上下左右4个日期的和为80,你能说出爷爷的生日是哪天吗 一元一次方程板块 1.已知等式2(2)10a x ax -++=是关于x 的一元一次方程（即x 未知），则这个方 程的解为______ 2.方程12=+a x 与方程2213+=-x x 的解相同，则a 的值为（ ） A. －5 B . －3 C. 3 D. 5 3．若关于x 的方程a x x -=+332的解是2x =-，则代数式21a a -的值是_________ 4.关于x 的方程729+=-kx x 的解是自然数，则整数k 的值为 5.当m 取什么整数时，关于x 的方程1514()2323 mx x -=-的解是正整数？ 6、关于x 的方程143+=+x ax 的解为正整数，则a 的值为( ) A 、2 B 、3 C 、1或2 D 、2或3 7．小李在解方程135=-x a （x 为未知数）时，误将x -看作x +，解得方程的解 2-=x ，则原方程的解为___________________________． 8. 解方程 （1）x x 325.2]2)125.0(32[23=-++ （2）13 5467221--=---x x x （3）14 3)1(2111=-+-x （4）、200320042003433221=?++?+?+?x x x x 9．某公司向银行贷款40万元，用来生产某种产品，已知该贷款的利率为15%（不 计复利，即还贷款前两年利息不计算），每个新产品的成本是2.3元，售价是4元， 应纳税款是销售额的10%，如果每年生产该种产品20万个，并把所得利润（利 润＝销售额－成本－应纳税款）用来归还贷款，问需要几年后才能一次性还清？ 10．（2009年牡丹江）五一期间，百货大楼推出全场打八折的优惠活动，持贵宾 卡可在八折基础上继续打折，小明妈妈持贵宾卡买了标价为10000元的商品，共 节省2800元，则用贵宾卡又享受了 折优惠． 11．一项工程，甲单独做需x 天完成，乙单独做需y 天完成，两人合做这项工程 所需天数为（ ） Ａ．1x y + Ｂ．11x y + Ｃ．1xy Ｄ．1 11x y + 经 典 题 型 一、解方程（等式的性质）20分 1、x x 232-=- 2、463127.253.13?-?-=-+-x x x x 3、x x 21-=- 4、x 355-= 5、15=-x 6、1835+=-x x 7、x x 237+= 8、x x x 58.42.13-=-- 9、26473-=+-x x x 10、x x x 910026411-=-+ 11、x x x x 43987--=+- 12、x x x 25.132-=+- 13、x x 3.15.67.05.0-=- 14、3.05.064-=-+-x x x 15、15 2+-=-x x 16、35 36+-=-x x 17、3 223=x 18、168421x x x x x ++-+ = 19、4 32214+=-x x 20、x x x 3 212-=- 二、解方程（去括号）30分 1、4)1(2=-x 2、5)1(10=-x 3、95)3(+=--x x 4、)12(1)2(3--=+-x x x 5、)15(2)2(5-=+x x 6、)4(3)2()1(2x x x -=+-- 7、1)1(234+-=+x x 8、x x x 31)1(2)1(-=--+ 9、)1(3)14(6)2(2x x x -=--- 10、)1(9)15(3)2(4x x x -=--- 11、)12(3)32(21+-=+-x x 12、x x x 31)1(2)1(-=--+ 13、)9(76)20(34x x x x --=-- 14、)3()2(2+-=-x x 15、)1(72)4(2--=+-x x x 16、)43(23)165(2--=+-x x x 17、)12(41)2(3--=+--x x x 18、)4(12)2(24+-=-+x x x 19、)1(9)14(3)2(2x x x -=--- 20、)1(9)14(3)2(2y y y -=--+ 21、)9(76)20(34x x x x --=-- 22、17}20]8)15(4[3{2=----x 23、2)]}4(8[2{3]5)4(3[2----=-+--x x x x x x 24、)1(3 2)1(2121-=??????--x x x 一元一次方程经典题型 1．以y 为未知数的方程c b ay 52=()0,0≠≠b a 的解是 （ ） A ．a bc y 10= B ．c bc y 52= C ．a bc y 25= D ．c bc y 10= 2．要使415+ m 与??? ??+415m 互为相反数，那么m 的值是 （ ） A ．0 B ．203 C ．201 D ．20 3- 3.已知05432=+-n x 是关于x 的一元一次方程，则.____________=n 4．若79b a x 与12437---y x b a 是同类项，则.___________,__________==y x 5．若2-是关于x 的方程a x x -= +243的解，则._________1100100=-a a 6、若关于x 的方程230m mx m --+=是一元一次方程，则这个方程的解是 . 6、已知：()2135m --有最大值，则方程5432m x -=+的解是 . 7、方程456,x y -=用含x 的代数式表示y 得 ，用含y 的代数式表示x 得 。 3、解方程20.250.1x 0.10.030.02 x -+=时，把分母化为整数，得 。 2、方程23(1)0x -+=的解与关于x 的方程 3222k x k x +--=的解互为倒数，求k 的值 。 7． .222 .01.05.0=+-x x 6.3.1从实际问题到方程 一、本课重点，请你理一理 列方程解应用题的一般步骤是： （1）“找”：看清题意，分析题中及其关系，找出用来列方程的____________； （2）“设”：用字母（例如x ）表示问题的_______； （3）“列”：用字母的代数式表示相关的量，根据__________列出方程； （4）“解”：解方程； （5）“验”：检查求得的值是否正确和符合实际情形，并写出答案； （6）“答”：答出题目中所问的问题。 二、基础题，请你做一做 1. 已知矩形的周长为20厘米，设长为x 厘米，则宽为（ ）. A. 20-x B. 10-x C. 10-2x D. 20-2x 2.学生a 人，以每10人为一组，其中有两组各少1人，则学生共有（ ）组. A. 10a －2 B. 10－2a C. 10－(2－a) D.(10+2)/a 解一元一次方程（含答案） 1、71 2＝＋x ； 2、825＝－x ； 3、7233＋＝＋x x ； 4、735－＝＋x x ； 解：（移项） （合并） （化系数为1） 5、914211－＝ －x x ； 6、2749＋＝－x x ；7、162＝＋x ； 8、9310＝－x ； 解：（移项） （合并） （化系数为1） 9、x x －＝－324； 10、4227－＝＋－x x ；11、8725＋＝－x x ；12、32 1 41＋＝－x x 解：（移项） （合并） （化系数为1 13、1623 ＋＝x x 14、253231＋＝－x x ；15、152＋＝－－x x ； 16、23 312＋＝－－x x 解：（移项） （合并） （化系数为1） . 17、 4 75.0＝）＋＋（x x ； 18、2－41）＝－（x ； 19、511）＝－（x ； 20、212）＝－－－（x ； 解：（去括号） （移项） （合并） （化系数为1） 21、)12(5111＋＝＋x x ； 22、32034）＝－（－ x x . 23、5058＝）－＋（x ； 24、293）＝－（x ； 解：（去括号） （移项） （合并） （化系数为1） 25、3－243）＝＋（x ； 26、2－122）＝－（x ； 27、443212＋）＝－（x x ； 28、3 232 36）＝＋（－x ； 解：（去括号） （移项） （合并） （化系数为1） 29、x x 2570152002＋）＝－（ ； 30、12123）＝＋（x .31、452x x ＝＋； 32、3 4 23＋＝－x x ； 解：（去分母） （去括号） （移项） （合并） （化系数为1） 精心整理一、知识要点梳理 知识点一：方程和方程的解 1.方程：含有_____________的______叫方程 注意：a.必须是等式b.必须含有未知数。 易错点：（1）.方程式等式，但等式不一定是方程；（2）.方程中的未知数可以用x表示，也可以用其他字母表示；（3）.方程中可以含多个未知数。 考法：判断是不是方程： 例：下列式子：(1).8-7=1+0(2). 1、一元一次方程： 一元一次方程的标准形式是：ax+b=0(其中x是未知数，a,b是已知数，且a≠0)。 要点诠释： 一元一次方程须满足下列三个条件： （1）只含有一个未知数； （2）未知数的次数是1次； （3）整式方程． 2、方程的解： 判断一个数是否是某方程的解：将其代入方程两边，看两边是否相等． 知识点二：一元一次方程的解法 1、方程的同解原理（也叫等式的基本性质） 等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。 如果，那么；(c为一个数或一个式子)。 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。 如果，那么；如果，那么 要点诠释： 分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数，分数的值不变。 即：（其中m≠0） 特别须注意：分数的基本的性质主要是用于将方程中的小数系数（特别是分母中的小数）化为整数，如方程：－=1.6，将其化为：－=1.6。方程的右边没有变化，这要与“去分母”区别开。 2、解一元一次方程的一般步骤： 解一元一次方程的一般步骤 变 形 步 骤 具体方法变形根据注意事项 去分母方程两边都乘以 各个分母的最小 公倍数 等式性质 2 1．不能漏乘不含分母的项； 2．分数线起到括号作用，去 掉分母后，如果分子是多项 式，则要加括号 去括号先去小括号，再 去中括号，最后 去大括号 乘法分配 律、去括 号法则 1．分配律应满足分配到每一 项 2．注意符号，特别是去掉括 号 移项把含有未知数的 项移到方程的一 边，不含有未知 数的项移到另一 边 等式性质 1 1．移项要变号； 2．一般把含有未知数的项移 到方程左边，其余项移到右 边 合并同类项把方程中的同类 项分别合并，化 成“b ax=”的形 式（0 ≠ a） 合并同类 项法则 合并同类项时，把同类项的 系数相加，字母与字母的指 数不变 未知数的系方程两边同除以 未知数的系数a， 得 a b x= 等式性质 2 分子、分母不能颠倒 一元一次问题 课时一简单一元一次方程 我们学过这样填括号的题，如（）+ 8 = 15 。括号里的数怎样求解呢？ 这个我们可以利用加减法的关系来求解.我们知道，一个加数+ 另一个加数= 和，那么求其中一个加数，就可以用和减去另一个加数.因为15 - 8 = 7 ，所以括号里填7. 括号里的未知数还可以用x 来表示，那么上面那个式子就可以变成 x + 8 = 15 x = 15 - 8 ， x = 7 这就是运用一元一次方程来解决问题，显得十分简便，本讲内容主要介绍它的意义和作用. 1. 概念 （1）方程：含有未知数的等式，叫做方程； （2）方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解； （3）解方程：求方程的解得过程叫做解方程. 2. 解方程的依据 解方程主要依据加法与减法、乘法与除法的互逆关系： 一个加数= 和- 另一个加数 被减数= 差+ 减数减数= 被减数- 差 一个因数=积÷另一个因数 被除数=商×除数 除数=被除数÷商 3. 解方程的一般步骤 (1) 根据四则运算中各部分之间的相互关系，求出X (2) 把X的值代入原方程检验 例 1 在2x+1、3+5=6+2、x—1c5、3x=15 中，________________________ 是方 程，这个方程的解是_____________________ . 分析方程必须符合两个条件：一是“等式”，二是“含有未知数” ?2x?1 虽含有 未知数，但不是等式；3 ^6 2虽是等式，但没有未知数；X -仁：5虽有未知数，但不 是等式；3x∕5既是等式，又含有未知数，所以它是方程.当X =5 时，左右两边的值都是 15,所以X =5是方程3x=15的解. 说明方程是等式，等式不一定是方程? 例2解方程2χ?5=17 解把2x看成一个加数，根据“ 一个加数=和-另一个加数”得 2x =17 -5， 化简得：2x=12， 把X看成一个因数，根据“ 一个因数=积÷另一个因数”得 Xf 2， 化简得：X = 6 2x 5 =17 解: 2x =17 -5 2x =12 X =12 “2 X = 6 4 一元一次方程经典题型 1.以y 为未知数的方程2ay = 5c (a ≠ 0, b≠ 0)的解是（） b A.y =10bc a B. y = 2bc 5c C. y = 5bc 2a D.y =10bc c 2.要使5m +1 与 ? + 1 ? 互为相反数，那么m 的值是（） 5 m ? 4 ?? A.0 B.3 20 C.1 20 D.-3 20 3.已知4x 2n-3+ 5 = 0 是关于x 的一元一次方程，则n =. 4．若9a x b7与- 7a3x-4b 2y-1是同类项，则x =, y =. 5．若- 2 是关于x 的方程3x + 4 =x -a 的解，则a100- 2 1 =. a100 6、若关于x 的方程mx m-2-m + 3 = 0 是一元一次方程，则这个方程的解是. 6、已知：1-(3m-5)2有最大值，则方程5m - 4 = 3x + 2 的解是. 7、方程4x - 5 y= 6, 用含x 的代数式表示y 得，用含y 的代数式表示x 得。 2x 0.25 -0.1x 3、解方程+= 0.1时，把分母化为整数，得。 0.03 0.02 2、方程2 -3(x +1) = 0 的解与关于x 的方程 7．0.5x - 0.1 + 2x = 2. 0.2 k +x 2 -3k - 2 = 2x 的解互为倒数，求k 的值。 6.3.1从实际问题到方程 一、本课重点，请你理一理 列方程解应用题的一般步骤是： （1）“找”：看清题意，分析题中及其关系，找出用来列方程的；（2）“设”：用字母（例如x）表示问题的； （3）“列”：用字母的代数式表示相关的量，根据列出方程； （4）“解”：解方程； （5）“验”：检查求得的值是否正确和符合实际情形，并写出答案； （6）“答”：答出题目中所问的问题。 二、基础题，请你做一做 1.已知矩形的周长为20 厘米，设长为x 厘米，则宽为（）. A. 20-x B. 10-x C. 10-2x D. 20-2x 2.学生a 人，以每10 人为一组，其中有两组各少1 人，则学生共有（）组. A. 10a－2 B. 10－2a C. 10－(2－a) D.(10+2)/a 三、综合题，请你试一试 第三章一元一次方程单元复习与巩固 知识点一：一元一次方程及解的概念 1、一元一次方程： 一元一次方程的标准形式是：ax+b=0(其中x是未知数，a,b是已知数，且a≠0)。 要点诠释： 一元一次方程须满足下列三个条件： （1）只含有一个未知数； （2）未知数的次数是1次； （3）整式方程． 2、方程的解： 判断一个数是否是某方程的解：将其代入方程两边，看两边是否相等． 类型一：一元一次方程的相关概念 1、已知下列各式： ①2x－5＝1；②8－7＝1；③x＋y；④x－y＝x2；⑤3x＋y＝6；⑥5x＋3y＋4z＝0；⑦＝8；⑧x＝0。 其中方程的个数是( ) A、5 B、6 C、7 D、8 [变式1]判断下列方程是否是一元一次方程： -2x2+3=x （2）3x-1=2y （3）x+=2 （4）2x2-1=1-2(2x-x2) [变式2]已知：(a-3)(2a+5)x+(a-3)y+6＝0是一元一次方程，求a的值。 [变式3]（2011重庆江津）已知3是关于x的方程2x－a=1的解,则a的值是( ) A．－5 B．5 C．7 D．2 知识点二：一元一次方程的解法 1、方程的同解原理（也叫等式的基本性质） 等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。 如果，那么；(c为一个数或一个式子)。 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。 如果，那么；如果，那么 要点诠释： 分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数，分数的值不变。 即：（其中m≠0） 特别须注意：分数的基本的性质主要是用于将方程中的小数系数（特别是分母中的小数）化为整数， 初一上数学一元一次方程经典应用题(较难) 1.（9分）“水是生命之源”，市自来水公司为鼓励用户节约用水，按以下规定收取水费： （1）某用户1月份共交水费65元，问1月份用水多少吨？ （2）若该用户水表有故障，每次用水只有60%记入用水量，这样在2月份交水费43. 2元，该用户2月份实际应交水费多少元？（1））∵40×1+0.2×40=48＜65，∴用水超过40吨， 设1月份用水x吨，由题意得： 40×1+（x-40）×1.5+0.2x=65，解得：x=50，答：1月份用水50吨． （2）∵40×1+0.2×40=48＞43.2，∴用水不超过40吨， 理工作。假设每个人的工作效率相同那么先安排整理的人员有多少人 等量关系为：所求人数1小时的工作量+所有人2小时的工作量=1，把相关数值代入即可求解．【解析】设先安排整理的人员有x人， 依题意得：． 解得：x=10． 答：先安排整理的人员有10人． 3公园推出集体购票优惠票价的办法其门票价目如下表 七(1)、(2)两班共104人其中七(1)班人数多于七(2)班,但都不超过70人),准备周末去公园玩若两班都以班为单位购票一共要支付1140元. （1）如果两班联合起来作为一个团体购票那么比以班为单位购票节约几元 （2）试问两班各有多少名学生 （3）如果七(1)班有10人不能前往旅游那么又该如何购票才最省钱 【解析过程】 （1）570-104×4=570-416=154（元）；所以比以班为单位购票可以节约154元钱． （2）设七(1)班有学生x人，七(2)班有学生y 人． 根据不同的票价，可以得到x+y=104， ①x=53时，5×104=520（元）舍去， ②54≤x＜100时，,5x+6（104-x）=570， 解得：x=54 ③100＜x＜104时，4x+6（104-x）=570， x=27（舍去），综上所述：七(1)班有学生54人，七(2）班有学生50人． （3）若少10人，则购买94张票，即5×94=470（元）； 若购买101张票，则为101×4=404（元）． 所以购买101张票合算． 4．某家电商场计划用9万元从生产厂家购进50台电视机．已知该厂家生产 3 种不同型号的电视机，出厂价分别为A种每台1500元，B种每台2100元，C种每台2500元．（1）若家电商场同时购进两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案．（2）若商场销售一台A种电视机可获利150元，销售一台B种电视机可获利200元， 一元一次方程的应用 1、列方程解应用题的基本步骤和方法： 注意： （1）初中列方程解应用题时，怎么列简单就怎么列（即所列的每一个方程都直接的表示题意），不用担心未知数过多，简化审题和列方程的步骤，把难度转移到解方程的步骤上． （2）解方程的步骤不用写出，直接写结果即可． （3）设未知数时，要标明单位，在列方程时，如果题中数据的单位不统一，必须把单位换算成统一单位，尤其是行程问题里需要注意这个问题． 2、设未知数的方法： 设未知数的方法一般来讲，有以下几种： （1）“直接设元”：题目里要求的未知量是什么，就把它设为未知数，多适用于要求的未知数只有一个的情况； （2）“间接设元”：有些应用题，若直接设未知数很难列出方程，或者所列的方程比较复杂，可以选择间接设未知数，而解得的间接未知数对确定所求的量起中介作用． （3）“辅助设元”：有些应用题不仅要直接设未知数，而且要增加辅助未知数，但这些辅助未知数本身并不需要求出，它们的作用只是为了帮助列方程，同时为了求出真正的未知量，可以在解题时消去．（4）“部分设元”与“整体设元”转换：当整体设元有困难时，可以考虑设其一部分为未知数，反之亦然，如：数字问题． 模块一：数字问题 （1）多位数字的表示方法： 一个两位数的十位数字、个位数字分别为a 、b ，（其中a 、b 均为整数，19a ≤≤，09b ≤≤）则这个两位数可以表示为10a b +． 一个三位数的百位数字为a ，十位数字为b ，个位数字为c ，（其中均为整数，且19a ≤≤，09b ≤≤，09c ≤≤）则这个三位数表示为：10010a b c ++． （2）奇数与偶数的表示方法：偶数可表示为2k ，奇数可表示为21k +（其中k 表示整数）． （3）三个相邻的整数的表示方法：可设中间一个整数为a ，则这三个相邻的整数可表示为1,,1a a a -+． 【例1】 一次数学测验中，小明认为自己可以得满分，不料卷子发下来一看得了96分，原来是由于粗心把 一个题目的答案十位与个位数字写颠倒了，结果自己的答案比正确答案大了36，而正确答案的个位数字是十位数字的2倍．正确答案是多少? 【解析】此题中数据96与列方程无关．与列方程有关的量就是小明粗心后所涉及的量． 设正确答案的十位数字为x ，则个位数字为2x ， 依题意，得(102)(102)36x x x x ?+-+=，解之得4x =． 于是28x =．所以正确答案应为48． 【答案】48 【例2】 某年份的号码是一个四位数，它的千位数字是2，如果把2移到个位上去，那么所得的新四位数比 原四位数的2倍少6，求这个年份． 【解析】设这个年份的百位数字、十位数字、个位数字组成的三位数为x ，则这个四位数字可以表示为 21000x ?+，根据题意可列方程：()1022210006x x +=?+-，解得499x = 【答案】2499年 【例3】 有一个四位数，它的个位数字是8，如果将个位数字8调到千位上，则这个数就增加117，求这个 四位数． 【解析】设由原数中的千位数字、百位数字和十位数字组成的三位数为x ，则这个四位数可以表示为108x +， 则调换后的新数可以表示为8000x +，根据题意可列方程1088000117x x +=+-，解得875x =，所以这个四位数为8758 【答案】8758 一元一次方程练习题 基本题型： 一、选择题： 1、下列各式中是一元一次方程的是（ ） A. y x -=-5 4121 B. 835-=-- C. 3+x D. 1465 34+=-+x x x 2、方程x x 23 1=+-的解是（ ） A. 31- B. 3 1 C. 1 D. -1 3、若关于x 的方程m x 342=-的解满足方程m x =+2，则m 的值为（ ） A. 10 B. 8 C. 10- D. 8- 4、下列根据等式的性质正确的是（ ） A. 由y x 3 231=- ，得y x 2= B. 由2223+=-x x ，得4=x C. 由x x 332=-，得3=x D. 由753=-x ，得573-=x 5、解方程16 110312=+-+x x 时，去分母后，正确结果是（ ） A. 111014=+-+x x B. 111024=--+x x C. 611024=--+x x C. 611024=+-+x x 6、电视机售价连续两次降价10％，降价后每台电视机的售价为a 元，则该电视机的原价为（ ） A. 0.81a 元 B. 1.21a 元 C. 21 .1a 元 D. 81.0a 元 8、某商店卖出两件衣服，每件60元，其中一件赚25%，另一件亏25%，那么这两件衣服卖出后，商店是 ( ) A .不赚不亏 B .赚8元 C .亏8元 D . 赚8元 9、下列方程中，是一元一次方程的是（ ） （A ）;342=-x x （B ）;0=x （C ）;12=+y x （D ）.11x x =- 10、方程212= -x 的解是（ ） （A ）;41-=x （B ）;4-=x （C ）;4 1=x （D ）.4-=x 11、已知等式523+=b a ，则下列等式中不一定．．． 成立的是（ ） （A ）;253b a =- （B ）;6213+=+b a （C ）;523+=bc ac （D ）.3 532+=b a 12、方程042=-+a x 的解是2-=x ，则a 等于（ ） （A ）;8- （B ）;0 （C ）;2 （D ）.8 一元一次方程典型例题 类型一、有关概念的识别和应用 什么是方程？什么是一元一次方程？等式有哪些性质？ 1. 下列算式： y y 4)1(= 2 1 41) 2(-=-x x 5)3(=+y x 72)4(22=++y xy x 7142)5(-=-? 21 ) 6(=x 其中是方程的是_____________，一元一次方程方程的是_______。 若方程(m-4)x |m-3|-2=0是一元一次方程，则m=_______。 2. 下列方程中，是一元一次方程的是（ ） （A ）2 43x x -= （B ）0=x （C ）12=+y x （D ）x x 11= - 3. x 比它的一半大6，可列方程为 。 4. 类型二、解一元一次方程 解方程的一般步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→两边同除以未知数的系数 5. 解方程21101 1510 x x +--=时，去分母后正确的是〔 〕 A 、4x+1-10x+1=1 B 、4x+2-10x-1=1 C 、4x+2-10x-1=10 D 、 4x+2-10x+1=10 6. 将下列各式中的括号去掉： (1) a+(b-c)= ； (2) a-(b-c)= ； (3) 2(x+2y-2)= ； (4)-3(3a-2b+2)= 。 7. 将方程4x+1=3x-2进行移项变形，正确的是〔 〕 A 、4x －3x=2－1 B 、4x+3x=1－2 C 、4x －3x=－2－1 D 、4x+3x=－2－1 8. 下列变形不正确的是〔 〕 A 、若2x －1=3，则2x = 4 B 、若3x =－6，则x =2 C 、若x+3=2,则x =－1 D 、若－1/2x=3,则x=－6 9. 当代数式-4x+7与代数式2x+6的值互为相反数时， x=_____；相等时，x=_____。 10. 若x=5是3x+2a=5x+2的解，则a=______。 11. 下列方程中，解为1/2的是〔 〕 A 、5(t －1)＋2＝t －2 B 、1/2x －1=0 C 、3y －2=4(y －1) D 、3 (z －1) =z －2 12. 解方程： (1) 5(x+2)=2(2x+7) (2) 3(x －2)=x －(7－8x) (3) 9232344=---x x (3) 15 .08 402.013.0=---x x 类型三、应用题 列一元一次方程解应用题的一般步骤： 1) 审题：； 一元一次方程专题训练经典练习题 一、解下列一元一次方程 1、2x+2=3x+6 2、 3x-11=25 3、2（x-1）+3（1-x）=0 4、5x（2-3.140）=2（x-6） 5、0.8x +2=1.6x-2 6、10%（x+2）=1 7、2（x+5）=3（x-6） 8、1-2（x-3）=3（x+2） 9、3（x-1）=2（x+2）+（1-x） 10、4x-[2+（3x-6）]=1 11、2x-20%（x+3）=12÷10 12、7x+5（x-2）= 2（x+10） 13、4x-4=2（2+x）-3（x+1） 14、1- 1 2 x=2 15、3- 1 3 x=2（x+1） 16、2（x- 3 4 ）=8-x 17、1 2 （2x+1）+1=2（2-x） 18、x- 1 3 （x-5）= 2 3 19、-x= -3（x-4） 20、7x·（5 - 4·1 2 ）= 5+x 21、0.1+x 2 =2 22、 x-1 0.2 =3（x-1） 23、x-1 0.3 + x+2 0.3 =2 24 、 1 2 + 1 3 x = 2 3 +1 25、2x-1 0.5 = 2- 3x+2 0.3 26、错误! =3x 27、错误! =3 28、错误! =错误! 29、1 2 { 1 3 [ 1 4 （x+1）+1]+2} =2 30、 2 5 （300+x）- 3 5 （200+x）=400· 1 10 二、一元一次方程应用题 1、一艘船在两个码头之间航行，水流的速度是3千米/时，顺水航行需要2小时，逆水航行需要3小时，求两码头之间的距离。 2、小华从家里骑自行车到学校。若每小时行15千米，可比预定时间早到15分钟；若每小时行9千米，可比预定时间晚到15分钟；求从家里到学校的路程有多少千米？ 3、小兵由A地到B地，若以每小时12千米的速度，他将比原计划的时间迟到20分，若以每小时15千米的速度前进，则比原计划的时间早4分钟到达B地，求A、B两地间的距离。 4、甲、乙两人同时从A地前往相距25.5千米的B地，甲骑自行车，乙步行，甲的速度比乙的速度的2倍还快2千米/时，甲先到达B地后，立即由B地返回，在途中遇到乙，这时距他们出发的时间时已过了3小时。求两人的速度。 5、甲、乙两人在400米长的环形跑道上跑步，甲分钟跑240米，乙每分钟跑200米，二人同时同地同向出发，几分钟后二人相遇？ 6、一项工程，甲单独做要10天完成，乙单独做要15天完成，两人合做4天后，剩下的部分由乙单独做，还需要几天完成？ 7、一架飞机飞行在两个城市之间，风速为每小时24千米，顺风飞行需要2小时50分钟，逆风飞行需要3小时，求两城市间的距离。 8、有一段道路清洁工作,甲单独干需用15小时完成,乙单独干需用12小时完成,若甲先干1小时、乙又单独干4小时,剩下的工作两人合作,问:再用几小时可全部完成任务? 9、张华划船到县城办事，已知他在静水中划船的速度为10千米/时，早上逆水到县城用了9小时，下午返回时，顺水用了6小时，求该河的水流速度。 10、励志中学共有3个大餐厅和4个小餐厅，同时开放1个大餐厅、2个小餐厅，可供1680名学生就餐；同时开放2个大餐厅、1个小餐厅，可供2280名学生就餐．求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐。 11、某车间每天能制作甲种零件500只，或者乙种零件250只，甲、乙两种各一只配成一套产品，现要在30天内制作最多的成套产品，则甲、乙两种零件各应制作多少天？ 一元一次方程 知识点梳理 1．一元一次方程的有关概念 （1）一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0，这样的方程叫做一元一次方程. 2．等式的基本性质 （1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得的结果仍是等式。 用字母表示若a=b ，则a+m=b+m ,a-m=b-m （2）等式的两边都乘以同一个数或都除以同一个数（除数不为0），所得的结果仍是等式. 用字母表示：若a=b,则am=bm, n a =n b (n 不为0) 3．解一元一次方程的基本步骤： 例1、解方程（1）y-5 22-= 例2、由两个方程的解相同求方程中子母的值 已知方程104x x =-的解与方程522x m +=的解相同，求m 的值. 例3 、解方程知识与绝对值知识综合题型 解方程：73 | 12|=-x 一元一次方程应用题（找出等量关系） 一 、列一元一次方程解应用题的一般步骤 （1）审题：弄清题意．（2）找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系．（3）设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，?然后利用已找出的等量关系列出方程．（4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值．（5）检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，?是否符合实际，检验后写出答案． 1、数字问题 要搞清楚数的表示方法：一个三位数的百位数字为a ，十位数字是b ，个位数字为c （其中a 、b 、c 均为整数，且1≤a ≤9， 0≤b ≤9， 0≤c ≤9）则这个三位数表示为：100a+10b+c 。 例1、 若三个连续的偶数和为18，求这三个数。 例2、 一个两位数，个位上的数是十位上的数的2倍，如果把十位与个位上的数对调，那么所得的两位数比原两位数大36，求原来的两位数等量关系：原两位数+36=对调后新两位数 例3、有一个三位数，个位数字为百位数字的2倍，十位数字比百位数字大1，若将此数个位与百位顺序对调（个位变百位）所得的新数比原数的2倍少49，求原数。 分析：然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程． 2、日历中的规律：横行相邻两数相差____竖行相邻两数相差___。 例1、如果今天是星期三，那么一年（365天）以后的今天是星期___________ 例2、在日历表中，用一个正方形任意圈出2x2个数，则它们的和一定能被___________整除。 A 3 B 4 C 5 D 6 例3、如果某一年的5月份中，有5个星期五，且它们的日期之和为80，那么这个月的4号是星期几？ 用一元一次方程解应用题典型例题荟萃 1、分配问题： 例题1、把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本.问这个班有多少学生？ 变式1：某水利工地派48人去挖土和运土，如果每人每天平均挖土5方或运土3方，那么应怎样安排人员，正好能使挖出的土及时运走？ 变式2：某校组织师生春游,如果只租用45座客车,刚好坐满;如果只租用60座客车,可少租一辆,且余30个座位.请问参加春游的师生共有多少人? 2、匹配问题： 例题2、某车间22名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉1200个或螺母2000个，一个螺钉要配两个螺母。为了使每天的产品刚好配套，应该分配多少名工人生产螺钉，多少名工人生产螺母？ 变式1：某车间每天能生产甲种零件120个，或乙种零件100个，甲、乙两种零件分别取3个、2个才能配成一套，现要在30天内生产最多的成套产品，问怎样安排生产甲、乙两种零件的天数？ 变式2：用白铁皮做罐头盒，每张铁片可制盒身10个或制盒底30个。一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒。现有100张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，可以既使做出的盒身和盒底配套，又能充分利用白铁皮？ 3、利润问题 (1)一件衣服的进价为x元,售价为60元,利润是______元,利润率是_______. 变式：一件衣服的进价为x元,若要利润率是20%,应把售价定为________. (2)一件衣服的进价为x元,售价为80元,若按原价的8折出售,利润是______元,利润率是__________. 变式1：一件衣服的进价为60元,若按原价的8折出售获利20元,则原价是______元,利润率是__________. 变式2：一台电视售价为1100元,利润率为10%,则这台电视的进价为_____元. 变式3：一件商品每件的进价为250元，按标价的九折销售时，利润为15.2%，这种商品每件标价是多少？ 变式4：一件夹克衫先按成本提高50%标价,再以八折(标价的80%)出售,结果获利28元,这件夹克衫的成本是多少元? 变式5：一件商品按成本价提高20%标价,然后打九折出售,售价为270元.这种商品的成本价是多少? 变式6：某商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，买这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？ 4、工程问题： （1）甲每天生产某种零件80个，3天能生产个零件。 一元一次方程与实际问题典型例题 1、一套仪器由一个A部件和三个B部件构成。用13 m钢材可做40个A部件或240个B部件。现要用63 m钢材制作这种仪器，应用多少钢材做A部件，多少钢材做B部件,恰好配成这种仪器多少套？ 2、制作一张桌子要用一个桌面和4条桌腿，13 m木材可制作20个桌面，或者制作400条桌腿，现有123 m木材，应怎样计划用料才能制作尽可能多的桌子？ 3、某车间每天能制作甲种零件500只，或者制作乙种零件250只，甲、乙两种零件各一只配成一套产品，现要在30天内制作最多的成套产品，则甲、乙两种零件各应制作多少天？ 4、某人工作一年的报酬是年终给他一件衣服和10枚银币，但他干满了7个月就决定不再继续干了，结账时给他一件衣服和10枚硬币，这件衣服值多少枚银币？ 5、用A型和B型机器生产同样的产品，已知5台a型机器一天的产品装满8箱后还剩4个，7台B型机器一天的产品装满11箱后还剩1个，每台A型机器比B型机器一天多生产一个，求每箱装多少个产品？ 6、某糕点厂中秋节前要制作一批盒装月饼，每盒中装2块大月饼和4块小月饼。制作1块要用0.05kg面粉，一块小月饼要用0.02kg面粉。现共有面粉4500kg，制作两种月饼应各用多少面粉，才能生产更多的盒装月饼？ 7、一条地下管线由甲工程队单独铺设需要12天，由乙工程队单独铺设需要24天。如果由这两个工程队从两端同时施工，要多少天可以铺好这条管线？ 8、某中学的的学生自己动手整修操场，如果让七年级学生单独工作，需要7.5h完成；如果让八年级学生单独工作，需要5h完成。如果让七、八年级学生一起工作1h，再由八年级学生单独完成剩余部分，共需多少时间完成？ 9、甲组的4名工人3月份完成的工作总量比此月人均定额的4倍多20件，乙组的5名工人3月份完成的工作总量比此月人均定额的6倍少20件。 （1）如果两组工人实际完成的此月人均工作量相等，那么此月的人均定额是多少件？ （2）如果甲组工人实际完成的此月人均工作量比乙组的多2件，那么此月人均定额是多少件？ 自我测试 60分钟看看准确率 牛刀小试 相信自己一 定行 1、712＝＋x ； 2、825＝－x ； 3、7233＋＝＋x x ； 4、735－＝＋x x ； 解：（移项） （合并） （化系数为1） 5、914211－＝－x x ； 6、2749＋＝－x x ； 7、162＝＋x ； 8、9310＝－x ； 解：（移项） （合并） （化系数为1） 9、x x －＝－324； 10、4227－＝＋－x x ；11、8725＋＝－x x ；12、32 14 1＋＝－x x 解：（移项） （合并） （化系数为1 13、162 3 ＋＝x x 14、2 532 31＋＝－x x ；15、15 2＋＝－－x x ； 16、23 3 12＋＝－－x x 解：（移项） （合并） （化系数为1） . 17、 475.0＝）＋＋（x x ； 18、2－41）＝－（x ； 19、511）＝－（x ； 20、212）＝－－－（x ； 解：（去括号） （移项） （合并） （化系数为1） 21、)12(5111＋＝＋x x ； 22、32034）＝－（－x x . 23、5058＝）－＋（x ； 24、293）＝－（x ； 解：（去括号） （移项） （合并） （化系数为1） 25、3－243）＝＋（x ； 26、2－122）＝－（x ； 27、443212＋）＝－（x x ； 28、3 23 2 36）＝＋（－x ； 解：（去括号） （移项） （合并） （化系数为1） 29、x x 2570152002＋）＝－（； 30、12123）＝＋（x .31、452x x ＝＋； 32、3 4 23＋＝ －x x ； 解：（去分母） （去括号） （移项） （合并） （化系数为1） 33、）－（）＝＋（3271131 x x ； 34、）－（）＝＋（131141x x ； 35、14 2 312－＋＝－x x ； 解：（去分母） （去括号） （移项） （合并） （化系数为1 36、）＋（－）＝－（2512121 x x . 37、）＋（）＝＋（20411471x x ； 38、）－（－）＝＋（73 1211551x x . 解：（去分母） （去括号） （移项） 一、填空题 1、方程 - x=1 ,则x= 2、2x= -1,则x= 3、若63 1-=x ，则x = 4、三个连续整数的和为 -36，则最大的一个整数是 5、日历中一个竖列上相邻的三个日期的和是60，则这三天的日期分别是 二、解方程 ⑹ 412143=-x ⑺ 18 3475=--x x ⑻ ()x x 2414271-=-- ⑼ 612815-=-x x ⑽ 81475=-x ⑾ 1651312=---x x ⑿ 323121=??? ??+-x ⒀ ()()155173121-=--x x 三、列方程解应用题 ⒁ 小川今年6岁，它的祖父78岁，几年后，小川的年龄是他祖父年龄的五分之一 ⒂ 蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿，它们共有240条腿，且蜻蜓的只数是蜘蛛的2倍，问蜘蛛、蜻蜓各有多少只？ 四、选做： ⒃今天是星期二，请问经过2004天后是星期几？你是怎么推算出来的？ ⒄你能在日历中圈出一个竖列上相邻的3个数，使得它们的和是40吗？为什么？ 决策问题专题训练 1.某地电话拨号入网有两种收费方式,用户可任选一种:A、计时制：3元/时； B、包月制：50元/月（限一部个人住宅电话入网）．此外，每一种上网方式都得加通讯费1.2元/时． （1）某用户某月的上网时间为 x小时，请写出两种收费方式下该用户应该支付的费用； （2）你认为选择哪种方式较合算？ 2. 小贩用蛋糕与王大妈换鸡蛋，谈好1斤蛋糕换2斤鸡蛋，小贩将蛋糕连塑料盒称了2斤，要王大妈连塑料盒称4斤鸡蛋。如果做成这笔交易，你认为吃亏的是___________。 3. 为了准备小颖6年后上大学的5000元学费，她的父母现在就参加教育储蓄，下面有两种储蓄方式： (1)直接存一个6年期(年利率为2.88％)； (2)先存一个3年期(年利率为2.70％)，3年后将本息和自动转存一个3年期，你认为哪种储蓄方式开始存入的本息比较少？ 4.某中学新建了一栋4层的教学楼，每层有8间教室，进出这栋大楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同，安全检查中，对4道门进行了测试，当同时开启一道正门和两道侧门时，2分钟内可以通过560名学生，当同时开启一道正门和一道侧门时，4分钟内可以通过800名学生． (1)求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生？ (2)检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率将降低20％，安全检查规定，在紧急情况下全大楼的学生应在5分钟内通过这四道门安全撤离．假设这栋大楼每间教室最多有45名同学，问建造的这四道门是否符合安全规定？请说明理由． 5. 某市百货商场元月1日搞促销活动，购物不超过200元不予优惠，超过200元而不足500元的优惠10％，超过500元，其中500元按9折优惠，超过部分8折优惠，某人两次购物分别用了134元和466元．问： ①此人两次购物其物品不打折值多少钱？ ②在这次活动中他节省了多少线？ ③若此人将这两次购物合同一次购买是否更节省？为什么？一元一次方程经典应用题(较难)
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