数学的发展历史

数学的发展历史

当我们开始认识这个世界时，数学就和我们在一起了。我们在进入小学之前，就已经开始认识和使用阿拉伯数字，这就是进入数学殿堂的开端，至今大家已经掌握了大量的数学知识，那么数学知识是如何产生和发展的呢？数学是一门古老的学科，了解一些他的过去和现在，可以帮助我们更好的理解他，在这里我们就简单地谈一谈数学的过去现在和未来。

我们怀着探索的精神踏入数学史中，感受到了数学家们刻苦钻研和勇于开拓的精神，并且对数学的发展轨迹有了一定的理解。以下是对其发展历史的概况：

一、数学起源与早期发展（前3500-前500)

数与形概念的产生。

记数法：手指计数，石头记数，结绳记数，刻痕记数，书写记数。早期的记数系统：古埃及的象形数字，巴比伦楔形数字，中国甲骨文数字（最早的十进位制），希腊阿提卡数字，中国筹算数字，印度婆罗门数字，玛雅数字。

几何学的起源古埃及：丈量土地古印度：宗教实践古中国：天文观测。美索不达米亚数学（巴比伦数学）主要成就：60进制的位值记数法，数学用表（平方、开方），面积和体积计算，联立方程组，够股数。埃及数学古文字有3种：象形文字，僧侣文，通俗文。莱因德纸草书（84个问题）莫斯科纸草书（25个问题）算数与代数种有特色的成果：记数符号、单位分数、倍乘法、除法、二次方程组、几何级数（有限项）、算术级数。几何成果：历法、面积（三角形、梯形、矩形）与体积公式。中国古代数学算筹记数：十进位制、四则运算、高位算起甲骨文记载：序数概念，用一到十、百、千、万共13个单字记10万以内数（河南安阳出土）《周易》即《易经》河图（1~10）洛书（1~9）二进制《墨经》：点、线、面、体、圆的描述与部分性质，分数——半数、少半、多半《庄子天下篇》极限思想“一尺之锤，日取其半，万世不竭”《史记》运筹思想“运筹策于帷幄之中，决胜于千里之外”《孙子兵法》运筹观念运用“田忌赛马”

二、古代希腊数学（前600-5世纪）

古希腊在数学史中占有不可分割的地位。古希腊人十分重视数学和逻辑。希腊数学的发展历史可以分为三个时期。第一期从伊奥尼亚学派到柏拉图学派为止，约为公元前七世纪中叶到公元前三世纪；第二期是亚历山大前期，从欧几里得起到公元前146年，希腊陷于罗马为止；第三期是亚历山大后期，是罗马人统治下的时期，结束于641年亚历山大被阿拉伯人占领。古希腊的地理范围，除了现在的希腊半岛外，还包括整个爱琴海区域和北面的马其顿和色雷斯、意大利半岛和小亚细亚等地。公元前5、6世纪，特别是希、波战争以后，雅典取得希腊城邦的领导地位，经济生活高度繁荣，生产力显著提高，在这个基础上产生了光辉灿烂的希腊文化，对后世有深远的影响。从古代埃及、巴比伦的衰亡，到希腊文化的昌盛，这过渡时期留下来的数学史料很少。不过希腊数学的兴起和希腊商人通过旅行交往接触到古代东方的文化有密切关系。伊奥尼亚位于小亚细亚西岸，它比希腊其他地区更容易吸收巴比伦、埃及等古国积累下来的经验和文化。在伊奥尼亚，氏族贵族政治为商人的统治所代替，商人具有强烈的活动性，有利于思想自由而大胆地发展。城邦内部的斗争，帮助摆脱传统信念在希腊没有特殊的祭司阶层，也没有必须遵守的教条，因此有相当程度的思想自由。这大大有助于科学和哲学从宗教分离开来。古希腊第一位科学家—泰勒斯。米利都是伊奥尼亚的最大城市，也是泰勒斯的故乡，泰勒斯是公认的希腊哲学鼻祖。早年是一个商人，曾游访巴比伦、埃及等地，很快就学会古代流传下来的知识，并加以发扬。以后创立伊奥尼亚哲学学派，摆脱宗教，从自然现象中去寻找真理，以水为万物的根源。当时天文、数学和哲学是不可分的，泰勒斯同时也研究天文和数学。他曾预测一次日食，促使米太(在今黑海、里海之南)、吕底亚(今土耳其西部)两国停止战争，多数学者认为该次日食发生在公元前585年5月28日。他在埃及时曾利用日影及比例关系算出金字塔的高，使法老大为惊讶。泰勒斯在数学方面的

贡献是开始了命题的证明，它标志着人们对客观事物的认识从感性上升到理性，这在数学史上是一个不寻常的飞跃。伊奥尼亚学派的著名学者还有阿纳克西曼德和阿纳克西米尼等。他们对后来的毕达哥拉斯有很大的影响

三、中世纪的中国数学、印度数学、阿拉伯数学（3世纪-14世纪）

到公元6世纪，随着希腊文明被毁灭，欧洲社会坠入了黑暗的中世纪，欧洲的科学在长达千余年间处于萧条局面。于是，数学也随着科学中心的东移，在中国、印度、阿拉伯各国得到发展，在初等数学的各个方面都取得了辉煌在成就。这里我们着重介绍印度数学和阿拉伯数学。印度数学，它的起源与其他古老民族的数学一样，也是在农业生产需要的基础上产生的。但是，有特殊的因素促使它的发展。印度盛行婆罗门祭礼，加之佛教的四处传播，贸易的频繁交往，使印度数学与近东、中国的数学相互融合，相互促进。印度数学以算术、代数为轴心，几何则偏重计算，没有演绎证明，这与古希腊数学以算术——几何为轴心大不相同。正因为如此，约从5世纪到12世纪，印度数学对算术、代数作的贡献十分重大，直接影响了后来世界数学的发展。在算术方面，印度数学广泛使用了十进位值制记数法，并发明了印度——阿拉伯数学符号，一直到现在世界各国都在使用。在此基础上，才得以形成快捷的计算技术。在代数方面，印度人建立了不仅可以使用分数，而且也可以使用负数和无理数的代数学，除了在求解一般方程和不定方程方面有不少技巧，而且他们还会用缩写文字和一些记号来描述运算，把代数学放在一个比较牢固的基础上，为这个时期代数学的发展准备了条件。从公元5世纪到12世纪，印度数学家中杰出的有阿利阿伯哈塔(Aryabhata,476-550)，婆罗摩及多(Brahmagupta,598-660,又名梵藏)，马哈维拉(Mahavira,9世纪,又名大雄)，婆什迦罗(Bhaskara,1114-1185)等，其中大部分工作在天文学和占星术的著作之中，而且他们并不把自己的贡献看得重要，有人说他们对数学上的价值不敏感，也有人讲他们没有把自己的工作提高到科学演绎的高度。阿拉伯数学，专指从8世纪至15世纪在中东、北非以及西班牙等地的伊斯兰国家里，以阿拉伯文为主要文字书写的数学著作所代表的数学。其实，为阿拉伯数学作出贡献的学者不限于阿拉伯人，还有希腊人，波斯人、犹太人和基督徒。阿拉伯数学在世界数学史上占有特殊的地位，它是古希腊数学和印度数学的继承者。阿拉伯数学从公元8世纪起初创，当时在阿拔斯王朝的巴格达，有一座类似亚历山大里亚艺术宫的“智慧宫”，还有一个图书馆和一座天文台，形成了科学文化中心。许多杰出的学者被邀请来此，他们把许许多多古希腊和印度的科学著作翻译成阿拉伯文保存下来。在此基础上，大约于9世纪至13世纪，阿拉伯数学对初等数学，尤其是初等代数学和三角学作出了创造性的贡献。第一位把代数作为一门独立学科来阐述的数学家，就是阿拉伯数学家阿尔·花拉子模(Al Khowarizm,约780-840)，他引导人们开始系统地研究解方程问题。世称阿尔·花拉子模为代数学的鼻祖，拉丁文algebra(代数学)一词就起源于他的第一部代数学著作的书名。而引进三角函数，研究它们之间的，并计算出正弦表、正切表，是阿拉伯数学家阿尔·巴塔尼(Al Battani,858-929)和阿布尔·韦法(abul Wefa,940-998)等人，从此三角学有了自己独立的研究对象。到13世纪，一位百科全书式的学者纳西尔·艾德丁(Nasir Eddin,1201-1274)撰写了天文、几何、三角等多方面的著作，他的工作使平面三角、球面三角系统化，并独立于天文学。另外，改进印度数码，成为当今世界各国通用的印度——阿拉伯数字，也是阿拉伯数学家的功劳。评价阿拉伯数学在数学发展中的贡献，现在却不太一致。有人认为阿拉伯数学有很高的创造性，尤其是在代数学和三角学方面；也有人认为阿拉伯数学缺少创造性，并且他们工作无论在数量上或质量上，都比不上古希腊或现代学者。但是，阿拉伯数学将前人的遗产继承下来，并传给后代欧洲人，在数学史上继往开来的作用是被一致公认的。

早在文革期间，由于作学问比较难，吴文俊院士就开始大量阅读古书，致力于中国古代数学的研究。1977年，他发表了《中国古代数学对世界文化的伟大贡献》，明确指出近代数学之所以能发展到今天，主要是靠中国（式）的数学而非希腊（式）的数学，决定数学历史发

展进程的也主要是靠中国（式）的数学而非希腊（式）的数学。1987年，他发表了更加重要的《中国传统数学的再认识》，引起了数学界的极大兴趣。这是对数学史正本清源的研究，使人们认识到中国古代数学曾有过辉煌成就。

翻开历史，中国曾经是一个数学的国度。祖冲之、刘徽、《九章算术》、《周髀算经》、《四元玉鉴》等一批大家和著作，使中国数学曾经处于世界巅峰。正是由于这些辉煌，吴文俊院士常说：中国数学，不仅要振兴，更要复兴。

特意从国外赶来的数学家王东明，以其首批师从吴文俊院士研究机械化数学的经历，向记者说起吴文俊院士对中国古代数学的情怀，赞不绝口。他说：吴先生一直非常推崇中国古代数学的成就，吴先生讲的这个实数系统就更进一步证明了，我们在这一方面比西方早了1500年，再一次证明了中国古代数学的辉煌。吴先生认为，宋元之前我国的数学是非常发达的，我们当时的研究已经很接近现代数学中先进的理论了，但是很遗憾，由于宋、元时代，中国数学的发展中断，使中国总是与重大的数学发现擦肩而过。

当记者向王东明询问今天吴文俊院士所讲的实数系统时，他说，我们以前都认为实数系统是西方人发现的，而现在经吴文俊院士研究，实数系统早在2000多年前的《九章算术》中就出现了。这是一个新的研究成果。

数十年如一日，吴文俊院士探索的脚步一直没有停歇。他曾在拓扑学的领域里奋勇开拓。1958年，他开始对策论的研究；1967年，他专注于示嵌类理论与线性图平面的相关问题；1970年，又提出了I量度的概念……当世界电脑发展初露端倪之时，他立刻把电脑与自己所研究的中国古代算术思想联系起来，从而开辟了一条与西方迥然不同的数学机械化－定理机器证明的道路。

2001年，吴文俊获得了国家最高科技奖的殊荣，他从所获500万元人民币奖金中拨出50万元，设立“数学与天文丝路基金”，用于鼓励并资助年轻学者研究古代中国与世界进行数学交流的历史，揭示部分东方数学成果如何从中国经“丝绸之路”传往欧洲之谜。

走出会议厅，人们无不钦佩。吴文俊，一个已近耄耋之年的老人，今天再次以他对中国古代数学的痴情，向世人宣讲中国古代数学的成就，他不愧是“真正理解中国古代数学的第一人”。

四、近代数学的兴起（12世纪-17世纪）

近代数学本质上可以说是变量数学。从初等数学发展到近代数学，解析几何的发明是变量数学的第一个里程碑。正如恩格斯所说：“数学中的转折点是笛卡儿的变数。”

*笛卡尔与解析几何

法国数学家、物理学家和哲学家笛卡尔（1596-1650）。他认为，欧几里德几何过分强调证明、依赖图形，而代数又过于抽象、缺乏直观，如果两者联姻，产生数学的一个新分支，必定大有前途。他把坐标系概念与代数方程曲线的概念一结合，便产生了一个全新的数学分支——解析几何。

*费马与解析几何

解析几何的另一个创始人法国数学家费马（1601-1665），在他的着作《平面与立体轨迹·引论》中，阐述了他通过坐标系，把代数用于几何的思想。

*牛顿的微积分

英国科学家牛顿（1642-1727）。1666年牛顿写出了第一篇微积分论文《流数简论》，他把变速运动物体在任意时刻的速度看成微小时间内速度的平均值，当微小时间缩到无限小时，就是微分概念。

*莱布尼兹的微分学

德国数学家莱布尼兹（1646-1716）也是微积分的创始人。他与牛顿“流数论”的运动学背景不同，是从对几何问题的思考创立微积分。他首次使用微分记号，两年后又发表了积分学

论文，首次使用“”积分符号，这些符号一直沿用至今。

*欧拉与复变函数

瑞士数学家欧拉（1703-1783）是历史上最多产的数学家，发表着作与论文有500多种。1777年欧拉使用表示，现已成为标准的虚数符号。后来欧拉在初等函数中引进了复变数，给出了着名的欧拉公式，这一公式将数学中的5个最重要的常数联系在一起，美妙绝伦，令人赞叹。

*高斯与数论

在19世纪以前，数论只是一系列孤立的结果，但自从德国数学家高斯（1777-1855）在1801年发表了他的《算术研究》后，数论作为现代数学的一个重要分支得到了系统的发展。

*布尔代数

19世纪中叶，代数学又开辟了一个新领域——布尔代数。英国数学家布尔（1815-1864）出生鞋匠家庭，只读了小学毕业，完全靠自学成才，后来以出色的数学贡献成为大学教授。

*康托尔与集合论

集合论的创立者是德国数学家康托尔（1845-1918），从1872年起康托尔发表了一系列论文，摆脱了“数”的限制，提出了集合基本概念。集合论不仅影响了现代数学，而且也深深影响了现代哲学、逻辑等其它学科。

五、微积分的建立（14世纪-18世纪）

微积分是现代科学所必须的数学工具，他的应用遍布于作为现代科学两大支柱的相对论和量子力学的各个角落。但是量子力学的发展表明，时间和空间是不连续的，是不可以任意无限分割的，不存在小于普朗克尺度的量。这就表明，微积分赖以成立的基础实际上并不存在，用微积分描述的物理实在必然与真实世界存在偏差。量子数学的理论基于时空量子性这一根本属性。目前，量子数学正在建立当中。相信量子力学的建立会促成相对论和量子力学体系的完善，并最终解决二者的分歧。

微积分的诞生，是在数学史上发生的一件具有划时代意义的事件。巧的是，在17世纪中叶，牛顿、莱布尼茨两位大数学家分别独自建立起了微积分体系的基础。历史上关于究竟是谁是微积分的真正奠基人有着很长事件的争论，目前我们普遍认为是牛顿、莱布尼茨两人分别建立起各自的体系，没有互相交流或抄袭，因此当我们谈起微积分的诞生的时候，牛顿、莱布尼茨两人都占有着举足轻重的地位。

牛顿的科学生涯中最光辉的岁月是1665年到1667年在家乡躲避瘟疫期间，在这个时间段中，他发明了流数术，也就是现在说的微积分。当时牛顿正认真研究笛卡尔的《几何学》，对里面求切线的方法产生了浓厚的兴趣。然后他翻阅了古希腊留下的求解无限小问题的文献，并将它总结为两种运算：正流数术（微分）与反流数术（积分）。牛顿毕竟是一代伟大的科学家，经过细致的研究，牛顿得以确定正流数术与反流数术的互为逆运算的关系。

微积分的诞生，是为了解决如瞬时速度、切线等问题，这些问题在微积分诞生以前主要由几何法解决（尤其像切线问题是纯几何问题）。牛顿对微积分最大的贡献在于，他大胆地采用了在解题面上远远广于几何法的代数方法。他的代数方法完全取代了卡瓦列里、巴罗等人的几何法，实现了积分的代数化。

然而，在牛顿在微积分方面做出巨大贡献的时候，也存在着很大的问题——他的微积分体系实际上还并不健全。于是他在随后的二十多年里还发表了几篇论文来完善和改进他的微积分学说。尽管如此，即使牛顿完成微积分的著作比莱布尼茨要早，但现在普遍承认是他们两人共同建立的微积分体系，一个重要原因是现代微积分采用的都是莱布尼茨的符号系统和规则。牛顿生活在英国，与欧洲大陆分离，与外界交流不如莱布尼茨方便是一个原因，不过更主要原因是牛顿在微积分的一些小细节问题上不如莱布尼茨用心，通俗地说就是：牛顿太天才了，他建立的符号系统与规则对于他理解与使用没有问题，但对于一般的人来说理解起来有些困

难，导致使用不方便。

与牛顿在数学、物理等方面都取得了巨大成就相比，莱布尼茨一生对数学、物理也有不少贡献，不过物理方面显然不能和经典物理学奠基人牛顿相提并论。但是在数学上，因为微积分的建立，他们还是享有同样高的声誉。莱布尼茨与牛顿一样，很早便认识到微分与积分互为逆运算，并给出了微积分基本定理，也就是现在人们所说的“牛顿-莱布尼茨公式”。虽然莱布尼茨在提出这个公式接近20年后才给出它的证明，但是莱布尼茨能大胆提出公式还是说明他对微积分有着敏锐的嗅觉。

经过考证，莱布尼茨所建立的微积分体系与牛顿所建立的流数术本质上是一致的。然而，牛顿从物理学问题出发，应用了运动学原理，造诣较高；莱布尼茨从几何问题出发，用分析法引进微积分，得出运算法则，比牛顿的流数术要严密得多。

正如前面所提到的，莱布尼茨之所以被人们记住，一个很重要的原因是我们现在使用的微积分符号系统是莱布尼茨所创立的。不像牛顿一代大科学家，只要有解决问题的工具就可以使用得得心应手，莱布尼茨深刻地认识到，好的数学符号能节省思维，运用符号的技巧是数学成功的关键之一。实践也证明了，莱布尼茨精心选择的微积分符号要比牛顿的更优越，更具有启示性。这些符号，也是莱布尼茨对微积分建立留下的一个巨大贡献。

牛顿和莱布尼茨共同建立了微积分体系，然而可惜的是，他们并没有进行深入的研究，把微积分弄清楚，更不用说让微积分体系变得严密了。早期的微积分体系在严密性的缺陷导致了数学史上第二次数学危机的发生，一直到19世纪初，以法国数学家柯西为主的科学家在仔细研究了微积分后，建立起极限理论后，再在德国数学家威尔斯特拉斯的完善下，使极限理论成为微积分的坚实基础，让微积分理论能继续开展起来，数学才有了灿烂的今天。

六、分析时代（18世纪-19世纪）

微积分是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。微积分是建立在实数、函数和极限的基础上的。极限和微积分的概念可以追溯到古代。到了十七世纪后半叶，牛顿和莱布尼茨完成了许多数学家都参加过准备的工作，分别独立地建立了微积分学。他们建立微积分的出发点是直观的无穷小量，理论基础是不牢固的。直到十九世纪，柯西和维尔斯特拉斯建立了极限理论，康托尔等建立了严格的实数理论，这门学科才得以严密化。微积分是与实际应用联系着发展起来的，它在天文学、力学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学个分支中，有越来越广泛的应用。特别是计算机的发明更有助于这些应用的不断发展。微积分学是微分学和积分学的总称。客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着。因此在数学中引入了变量的概念后，就有可能把运动现象用数学来加以描述了。由于函数概念的产生和运用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的，可以说它是继欧氏几何后，全部数学中的最大的一个创造研究函数，从量的方面研究事物运动变化是微积分的基本方法。这种方法叫做数学分析。本来从广义上说，数学分析包括微积分、函数论等许多分支学科，但是现在一般已习惯于把数学分析和微积分等同起来，数学分析成了微积分的同义词，一提数学分析就知道是指微积分。微积分的基本概念和内容包括微分学和积分学。微分学的主要内容包括：极限理论、导数、微分等。积分学的主要内容包括：定积分、不定积分等。微积分是与应用联系着发展起来的，最初牛顿应用微积分学及微分方程为了从万有引力定律导出了开普勒行星运动三定律。此后，微积分学极大的推动了数学的发展，同时也极大的推动了天文学、力学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展。并在这些学科中有越来越广泛的应用，特别是计算机的出现更有助于这些应用的不断发展。

七、代数的新生（19世纪）

抽象代数又称近世代数，它产生于十九世纪。抽象代数是研究各种抽象的公理化代数系统的

数学学科。由于代数可处理实数与复数以外的物集，例如向量、矩阵超数、变换等，这些物集的分别是依它们各有的演算定律而定，而数学家将个别的演算经由抽象手法把共有的内容升华出来，并因此而达到更高层次，这就诞生了抽象代数。抽象代数，包含有群论、环论、伽罗瓦理论、格论、线性代数等许多分支，并与数学其它分支相结合产生了代数几何、代数数论、代数拓扑、拓扑群等新的数学学科。抽象代数已经成了当代大部分数学的通用语言。被誉为天才数学家的伽罗瓦（1811-1832）是近世代数的创始人之一。他深入研究了一个方程能用根式求解所必须满足的本质条件，他提出的“伽罗瓦域”、“伽罗瓦群”和“伽罗瓦理论”都是近世代数所研究的最重要的课题。伽罗瓦群理论被公认为十九世纪最杰出的数学成就之一。他给方程可解性问题提供了全面而透彻的解答，解决了困扰数学家们长达数百年之久的问题。伽罗瓦群论还给出了判断几何图形能否用直尺和圆规作图的一般判别法，圆满解决了三等分任意角或倍立方体的问题都是不可解的。最重要的是，群论开辟了全新的研究领域，以结构研究代替计算，把从偏重计算研究的思维方式转变为用结构观念研究的思维方式，并把数学运算归类，使群论迅速发展成为一门崭新的数学分支，对近世代数的形成和发展产生了巨大影响。同时这种理论对于物理学、化学的发展，甚至对于二十世纪结构主义哲学的产生和发展都发生了巨大的影响。1843年，哈密顿发明了一种乘法交换律不成立的代数——四元数代数。第二年，Grassmann推演出更有一般性的几类代数。1857年，凯莱设计出另一种不可交换的代数——矩阵代数。他们的研究打开了抽象代数(也叫近世代数)的大门。实际上，减弱或删去普通代数的某些假定，或将某些假定代之以别的假定(与其余假定是兼容的)，就能研究出许多种代数体系。1870年，克隆尼克给出了有限阿贝尔群的抽象定义；狄德金开始使用“体”的说法，并研究了代数体；1893年，韦伯定义了抽象的体；1910年，施坦尼茨展开了体的一般抽象理论；狄德金和克隆尼克创立了环论；1910年，施坦尼茨总结了包括群、代数、域等在内的代数体系的研究，开创了抽象代数学。有一位杰出女数学家被公认为抽象代数奠基人之一，被誉为代数女皇，她就是诺特, 1882年3月23日生于德国埃尔朗根，1900年入埃朗根大学，1907年在数学家哥尔丹指导下获博士学位。诺特的工作在代数拓扑学、代数数论、代数几何的发展中有重要影响。1907-1919年，她主要研究代数不变式及微分不变式。她在博士论文中给出三元四次型的不变式的完全组。还解决了有理函数域的有限有理基的存在问题。对有限群的不变式具有有限基给出一个构造性证明。她不用消去法而用直接微分法生成微分不变式，在格丁根大学的就职论文中，讨论连续群(李群)下不变式问题，给出诺特定理，把对称性、不变性和物理的守恒律联系在一起。1920~1927年间她主要研究交换代数与「交换算术」。1916年后，她开始由古典代数学向抽象代数学过渡。1920年，她已引入「左模」、「右模」的概念。1921年写出的<<整环的理想理论>>是交换代数发展的里程碑。建立了交换诺特环理论，证明了准素分解定理。1926年发表<<代数数域及代数函数域的理想理论的抽象构造>>，给戴德金环一个公理刻画，指出素理想因子唯一分解定理的充分必要条件。诺特的这套理论也就是现代数学中的“环”和“理想”的系统理论，一般认为抽象代数形式的时间就是1926年，从此代数学研究对象从研究代数方程根的计算与分布，进入到研究数字、文字和更一般元素的代数运算规律和各种代数结构，完成了古典代数到抽象代数的本质的转变。诺特当之无愧地被人们誉为抽象代数的奠基人之一。1927－1935年，诺特研究非交换代数与「非交换算术」。她把表示理论、理想理论及模理论统一在所谓“超复系”即代数的基础上。后又引进交叉积的概念并用决定有限维枷罗瓦扩张的布饶尔群。最后导致代数的主定理的证明，代数数域上的中心可除代数是循环代数。诺特的思想通过她的学生范．德．瓦尔登的名著<<近世代数学>>得到广泛的传播。她的主要论文收在<<诺特全集>>(1982)中。1930年，毕尔霍夫建立格论，它源于1847年的布尔代数；第二次世界大战后，出现了各种代数系统的理论和布尔巴基学派；1955年，嘉当、格洛辛狄克和爱伦伯克建立了同调代数理论。到现在为止，数学家们已经研究过200多种这样的代数结构，

其中最主要德若当代数和李代数是不服从结合律的代数的例子。这些工作的绝大部分属于20世纪，它们使一般化和抽象化的思想在现代数学中得到了充分的反映。

八、几何学的变革（19世纪）

非欧几何是指不同于欧几里得几何学的一类几何体系。它一般是指罗氏几何和黎曼几何。非欧几何与欧氏几何最主要的区别在于各自的公理体系中采用了不同的平行公理。

罗氏几何的平行公理是：通过直线外一点至少有两条直线与已知直线平行。而黎曼几何的平行公理是：同一平面上的任意两条直线一定相交。

非欧几何的创建打破了欧氏几何的一统天下的局面，从根本上革新和拓广了人们对几何学观念的认识，导致人们对几何学基础的深入研究。而且对于物理学在二十世纪初所发生的关于空间和时间的物理观念的变革起了重大的作用。现在人们普遍认为宇宙空间更符合非欧几何的结论。

九、分析的严密化（19世纪）

微积分学基本定理指出，求不定积分与求导函数互为逆运算[把上下限代入不定积分即得到积分值，而微分则是导数值与自变量增量的乘积]，这也是两种理论被统一成微积分学的原因。我们可以以两者中任意一者为起点来讨论微积分学，但是在教学中，微分学一般会先被引入。微积分学是微分学和积分学的总称。它是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分。十七世纪后半叶，牛顿和莱布尼茨完成了许多数学家都参加过准备的工作，分别独立地建立了微积分学。他们建立微积分的出发点是直观的无穷小量，但是理论基础是不牢固的。因为“无限”的概念是无法用已经拥有的代数公式进行演算，所以，直到十九世纪，柯西和维尔斯特拉斯建立了极限理论，康托尔等建立了严格的实数理论，这门学科才得以严密化。学习微积分学，首要的一步就是要理解到，“极限”引入的必要性：因为，代数是人们已经熟悉的概念，但是，代数无法处理“无限”的概念。所以，必须要利用代数处理代表无限的量，这时就精心构造了“极限”的概念。在“极限”的定义中，我们可以知道，这个概念绕过了用一个数除以0 的麻烦，相反引入了一个过程任意小量。就是说，除的数不是零，所以有意义，同时，这个小量可以取任意小，只要满足在德尔塔区间，都小于该任意小量，我们就说他的极限为该数——你可以认为这是投机取巧，但是，他的实用性证明，这样的定义还算比较完善，给出了正确推论的可能性。这个概念是成功的。微积分是与实际应用联系着发展起来的，它在天文学、力学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学等多个分支中，有越来越广泛的应用。特别是计算机的发明更有助于这些应用的不断发展。客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着。因此在数学中引入了变量的概念后，就有可能把运动现象用数学来加以描述了。由于函数概念的产生和运用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的，可以说它是继欧氏几何后，全部数学中的最大的一个创造。

十、二十世纪的纯粹数学的趋势

纯粹数学是19世纪的遗产，按照罗素，英国大数学家哲学家罗素的说法，就是说，19世纪，有一个可以跟蒸汽机的使用等等电气的使用可以相提并论的一顶桂冠，就是说，纯粹数学的发现，他认为，纯粹数学主要是19世纪的产物，20世纪，纯粹数学得到了巨大的发展，纯粹数学这个前沿在20世纪不断的挺进，而且，产生出很多令人惊异的成就。比方说，我们大家都知道的哄动一时费马大定理的证明，这是300多年了，一直在前几个世纪都没有解决，但是，20世纪解决了，还有四色定理也是有100多年的历史都没有解决，但是在20世纪被解决了。那么，其他大家可能有的听得比较少的向连续统假设在某种意义上，在一定程度上，也在20世纪被解决了，还有很复杂的节是有限单群的分类定理，也是20世纪很大的成果等

等，所以，20世纪引出来一系列很惊人的成果。跟19世纪相比，20世纪纯粹数学的发展，表现下面这样一个特征跟趋势。也就是首先，就是说，更高的抽象化，第二个特征或者叫趋势，更强的统一性，第三个趋势是更深入地对基础的探讨。我后面两个特征，实际上，本质上也是属于抽象化，所以我今天重点还是谈谈20世纪纯粹数学里面更高的抽象化这样一个趋势，那么，抽象化本来是数学的固定的特征，那么，20世纪的抽象化它跟以前的数学发展有什么不同呢？我想20世纪数学的抽象化主要是受了两大因素的推动，一个就是集合论的观点，还有一个是公理化的方法，这个是跟过去的时代是不一样的。那么，集合论的观点，我们知道，集合论本来是德国数学家康托，为了使得分析微积分严格化，而产生的这样一个分支，那么，康托是主要的代表人物，但是，康托的集合，主要是指的数的集合，或者点的集合，那么，后来呢，经过其他数学家，比如说，法国的弗莱歇，他们把集合论加以发展，发展成推广成为任意元素，这个集合的元素可以是任意的对象这样一个抽象的对象，就产生了一般的集合论，抽象的集合论，这个抽象的集合论，后来被发现，是数学各个领域的一个很有用的语言。它可以在数学各个领域里边作为一种通用的语言来描述数学的一些定理，来建立一些概念。

十一、二十一世纪应用数学的天下

“21世纪几乎肯定会把数学再转变为全人类的活动”

数学界普遍认为希尔伯特是历史上最后一个数学全才，只有他能够在1900年发表那著名的演讲，提出了23个数学上有待解决的重大问题，对20世纪的数学产生了很大的影响。

100年之后，已经没有一位数学家能够或者敢于为21世纪整个数学的发展指出方向，所以在2000年，国际数学联盟组织了来自全世界的30位数学精英，集体撰写了《数学：前沿与展望》一书，希望该书能够从总结20世纪的数学中指出21世纪数学发展的一个大致趋向。但该书在前言中就指出，此书还是有不少遗漏的地方。此书指出的方向有多少是正确的，有多少错误的，到时候才会知道。人非神仙，谁能料事如神？就是希尔伯特的演讲，经100年的实践检验，也被证明有较大的失误。

在历史上，对数学应如何发展，一直存在两种不同的意见。著名数学家庞加莱认为，数学离开物理就会走入歧途，物理学不仅迫使人们面临大量的数学问题，而且能影响我们朝着梦想不到的方向前进。而另一位数学大师希尔伯特则认为，数学的发展主要是由于数学自身产生的问题，并提出一些他认为对数学有重要影响的数学本身的问题，即著名的希尔伯特23个问题。这使得以后许多数学家沉湎于寻找这些问题的答案。

阿迪雅（前英国皇家学会主席，三一学院院长，牛顿研究所所长）认为，20世纪下半叶数学的发展已经回归到“更多的庞加莱精神。强调几何的思维，甚至在代数与数论的领域也是如此。”我认为这是21世纪数学发展总的趋向。然而这仅针对基础数学而言。20世纪中数学已渗透到人类活动的许多方面，如物理学、化学、生物学、工程学、计算机科学、经济学、控制论、决策理论……难以尽列。日本大企业喜欢从大学数学系的毕业生中招聘管理人员，认为他们有逻辑的头脑，而逻辑思维在企业管理中是至关重要的。国际上，曾有好几位国防部长（包括美国的）是数学系毕业的。阿迪雅说，“21世纪几乎肯定会把数学再转变为全人类的活动”，这是有根据的。

能否把21世纪数学的趋向说得更具体一些呢？这是大大超出我的能力所及。《数学：前沿与展望》是组织了30位最著名的数学家写成的，还是有许多遗漏的地方，特别是应用数学方面。我只能用统计的方法，根据此书中哪一方面的作者最多来预测基础数学在未来的主要趋向。

书中关于“数论”的作者最多，共有5位。看来在21世纪“数论”又将重登“数学的皇后”宝座。这与怀尔斯在20世纪末解决了历史上的大难题费尔马大定理有关。几百年来这个问题耗费了不少数学工作者的心血，毫无办法解决，以至于有一位哲学家把它称为人

类思想的极限。他的意思是说这个问题非人类的思想所能解决。所以这问题的解决不但有科学的意义，而且有哲学的意义，即极限是可以突破，正如音障可以突破一样。下一世纪主攻的难题，自然是黎曼假设（即黎曼猜想），书中有好几位作者（包括不是数论方面的作者），都提出这个世纪难题。值得注意的是，正如阿迪雅所说，费尔马大定理的证明“强调了几何的思维”，而不是用陈法解决。这说明一个真理：知新才能创新。看来肯定或否定黎曼假设的证明也将如此。

书中另一个作者最多的领域是数学物理，共有四个半。如果加上序言的作者阿迪雅（他过去一直宣传数学物理的重要性）则有五个半。为什么会有半个呢？因为其中有一位作者——丘成桐——所写的题目是“几何与分析的回顾”，其内容多半与数学物理有关。丘成桐近期的工作与现在数学物理最热门的超弦理论密切相关。当然，不论国内或国外的物理界都对超弦理论褒贬不一。2000年9月，阿迪雅在清华大学的杨振宁讲座上作报告，认为超弦理论是21世纪理论物理的主要方向。有意思的是杨振宁对超弦理论是属于不以为然之列。但是两人对21世纪的中国数学皆寄予厚望。

大概解决我学线代开始的基本上所有的困惑。。。

前不久chensh出于不可告人的目的，要充当老师，教别人线性代数。于是我被揪住就线性代数中一些务虚性的问题与他讨论了几次。很明显，chensh觉得，要让自己在讲线性代数的时候不被那位强势的学生认为是神经病，还是比较难的事情。

可怜的chensh，谁让你趟这个地雷阵？！色令智昏啊！

线性代数课程，无论你从行列式入手还是直接从矩阵入手，从一开始就充斥着莫名其妙。比如说，在全国一般工科院系教学中应用最广泛的同济线性代数教材（现在到了第四版），一上来就介绍逆序数这个“前无古人，后无来者”的古怪概念，然后用逆序数给出行列式的一个极不直观的定义，接着是一些简直犯傻的行列式性质和习题——把这行乘一个系数加到另一行上，再把那一列减过来，折腾得那叫一个热闹，可就是压根看不出这个东西有嘛用。大多数像我一样资质平庸的学生到这里就有点犯晕：连这是个什么东西都模模糊糊的，就开始钻火圈表演了，这未免太“无厘头”了吧！于是开始有人逃课，更多的人开始抄作业。这下就中招了，因为其后的发展可以用一句峰回路转来形容，紧跟着这个无厘头的行列式的，是一个同样无厘头但是伟大的无以复加的家伙的出场——矩阵来了！多年之后，我才明白，当老师犯傻似地用中括号把一堆傻了吧叽的数括起来，并且不紧不慢地说：“这个东西叫做矩阵”的时候，我的数学生涯掀开了何等悲壮辛酸、惨绝人寰的一幕！自那以后，在几乎所有跟“学问”二字稍微沾点边的东西里，矩阵这个家伙从不缺席。对于我这个没能一次搞定线性代数的笨蛋来说，矩阵老大的不请自来每每搞得我灰头土脸，头破血流。长期以来，我在阅读中一见矩阵，就如同阿Q见到了假洋鬼子，揉揉额角就绕道走。

事实上，我并不是特例。一般工科学生初学线性代数，通常都会感到困难。这种情形在国内外皆然。瑞典数学家Lars Garding在其名著Encounter with Mathematics中说：“如果不熟悉线性代数的概念，要去学习自然科学，现在看来就和文盲差不多。”，然而“按照现行的国际标准，线性代数是通过公理化来表述的，它是第二代数学模型，...，这就带来了教学上

的困难。”事实上，当我们开始学习线性代数的时候，不知不觉就进入了“第二代数学模型”的范畴当中，这意味着数学的表述方式和抽象性有了一次全面的进化，对于从小一直在“第一代数学模型”，即以实用为导向的、具体的数学模型中学习的我们来说，在没有并明确告知的情况下进行如此剧烈的paradigm shift，不感到困难才是奇怪的。

大部分工科学生，往往是在学习了一些后继课程，如数值分析、数学规划、矩阵论之后，才逐渐能够理解和熟练运用线性代数。即便如此，不少人即使能够很熟练地以线性代数为工具进行科研和应用工作，但对于很多这门课程的初学者提出的、看上去是很基础的问题却并不清楚。比如说：

* 矩阵究竟是什么东西？向量可以被认为是具有n个相互独立的性质（维度）的对象的表示，矩阵又是什么呢？我们如果认为矩阵是一组列（行）向量组成的新的复合向量的展开式，那么为什么这种展开式具有如此广泛的应用？特别是，为什么偏偏二维的展开式如此有用？如果矩阵中每一个元素又是一个向量，那么我们再展开一次，变成三维的立方阵，是不是更有用？

* 矩阵的乘法规则究竟为什么这样规定？为什么这样一种怪异的乘法规则却能够在实践中发挥如此巨大的功效？很多看上去似乎是完全不相关的问题，最后竟然都归结到矩阵的乘法，这难道不是很奇妙的事情？难道在矩阵乘法那看上去莫名其妙的规则下面，包含着世界的某些本质规律？如果是的话，这些本质规律是什么？

* 行列式究竟是一个什么东西？为什么会有如此怪异的计算规则？行列式与其对应方阵本质上是什么关系？为什么只有方阵才有对应的行列式，而一般矩阵就没有（不要觉得这个问题很蠢，如果必要，针对m x n矩阵定义行列式不是做不到的，之所以不做，是因为没有这个必要，但是为什么没有这个必要）？而且，行列式的计算规则，看上去跟矩阵的任何计算规则都没有直观的联系，为什么又在很多方面决定了矩阵的性质？难道这一切仅是巧合？

* 矩阵为什么可以分块计算？分块计算这件事情看上去是那么随意，为什么竟是可行的？

* 对于矩阵转置运算AT，有(AB)T = BTAT，对于矩阵求逆运算A-1，有(AB)-1 = B-1A-1。两个看上去完全没有什么关系的运算，为什么有着类似的性质？这仅仅是巧合吗？

* 为什么说P-1AP得到的矩阵与A矩阵“相似”？这里的“相似”是什么意思？

* 特征值和特征向量的本质是什么？它们定义就让人很惊讶，因为Ax =λx，一个诺大的矩阵的效应，竟然不过相当于一个小小的数λ，确实有点奇妙。但何至于用“特征”甚至“本征”来界定？它们刻划的究竟是什么？

这样的一类问题，经常让使用线性代数已经很多年的人都感到为难。就好像大人面对小孩子的刨根问底，最后总会迫不得已地说“就这样吧，到此为止”一样，面对这样的问题，很多老手们最后也只能用：“就是这么规定的，你接受并且记住就好”来搪塞。然而，这样的问题如果不能获得回答，线性代数对于我们来说就是一个粗暴的、不讲道理的、莫名其妙的规则集合，我们会感到，自己并不是在学习一门学问，而是被不由分说地“抛到”一个强制的世界中，只是在考试的皮鞭挥舞之下被迫赶路，全然无法领略其中的美妙、和谐与统一。直到多年以后，我们已经发觉这门学问如此的有用，却仍然会非常迷惑：怎么这么凑巧？

我认为，这是我们的线性代数教学中直觉性丧失的后果。上述这些涉及到“如何能”、“怎么会”的问题，仅仅通过纯粹的数学证明来回答，是不能令提问者满意的。比如，如果你通过一般的证明方法论证了矩阵分块运算确实可行，那么这并不能够让提问者的疑惑得到解决。他们真正的困惑是：矩阵分块运算为什么竟然是可行的？究竟只是凑巧，还是说这是由矩阵这种对象的某种本质所必然决定的？如果是后者，那么矩阵的这些本质是什么？只要对上述那些问题稍加考虑，我们就会发现，所有这些问题都不是单纯依靠数学证明所能够解决的。像我们的教科书那样，凡事用数学证明，最后培养出来的学生，只能熟练地使用工具，却欠缺真正意义上的理解。

自从1930年代法国布尔巴基学派兴起以来，数学的公理化、系统性描述已经获得巨大的成功，这使得我们接受的数学教育在严谨性上大大提高。然而数学公理化的一个备受争议的副作用，就是一般数学教育中直觉性的丧失。数学家们似乎认为直觉性与抽象性是矛盾的，

因此毫不犹豫地牺牲掉前者。然而包括我本人在内的很多人都对此表示怀疑，我们不认为直觉性与抽象性一定相互矛盾，特别是在数学教育中和数学教材中，帮助学生建立直觉，有助于它们理解那些抽象的概念，进而理解数学的本质。反之，如果一味注重形式上的严格性，学生就好像被迫进行钻火圈表演的小白鼠一样，变成枯燥的规则的奴隶。

对于线性代数的类似上述所提到的一些直觉性的问题，两年多来我断断续续地反复思考了四、五次，为此阅读了好几本国内外线性代数、数值分析、代数和数学通论性书籍，其中像前苏联的名著《数学：它的内容、方法和意义》、龚升教授的《线性代数五讲》、前面提到的Encounter with Mathematics（《数学概观》）以及Thomas A. Garrity的《数学拾遗》都给我很大的启发。不过即使如此，我对这个主题的认识也经历了好几次自我否定。比如以前思考的一些结论曾经写在自己的blog里，但是现在看来，这些结论基本上都是错误的。因此打算把自己现在的有关理解比较完整地记录下来，一方面是因为我觉得现在的理解比较成熟了，可以拿出来与别人探讨，向别人请教。另一方面，如果以后再有进一步的认识，把现在的理解给推翻了，那现在写的这个snapshot也是很有意义的。

因为打算写得比较多，所以会分几次慢慢写。也不知道是不是有时间慢慢写完整，会不会中断，写着看吧。

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今天先谈谈对线形空间和矩阵的几个核心概念的理解。这些东西大部分是凭着自己的理解写出来的，基本上不抄书，可能有错误的地方，希望能够被指出。但我希望做到直觉，也就是说能把数学背后说的实质问题说出来。

首先说说空间(space)，这个概念是现代数学的命根子之一，从拓扑空间开始，一步步往上加定义，可以形成很多空间。线形空间其实还是比较初级的，如果在里面定义了范数，就成了赋范线性空间。赋范线性空间满足完备性，就成了巴那赫空间；赋范线性空间中定义角度，就有了内积空间，内积空间再满足完备性，就得到希尔伯特空间。

总之，空间有很多种。你要是去看某种空间的数学定义，大致都是“存在一个集合，在这个集合上定义某某概念，然后满足某些性质”，就可以被称为空间。这未免有点奇怪，为什么要用“空间”来称呼一些这样的集合呢？大家将会看到，其实这是很有道理的。

我们一般人最熟悉的空间，毫无疑问就是我们生活在其中的（按照牛顿的绝对时空观）的三维空间，从数学上说，这是一个三维的欧几里德空间，我们先不管那么多，先看看我们熟悉的这样一个空间有些什么最基本的特点。仔细想想我们就会知道，这个三维的空间：1. 由很多（实际上是无穷多个）位置点组成；2. 这些点之间存在相对的关系；3. 可以在空间中定义长度、角度；4. 这个空间可以容纳运动，这里我们所说的运动是从一个点到另一个点的移动（变换），而不是微积分意义上的“连续”性的运动，

上面的这些性质中，最最关键的是第4条。第1、2条只能说是空间的基础，不算是空间特有的性质，凡是讨论数学问题，都得有一个集合，大多数还得在这个集合上定义一些结构（关系），并不是说有了这些就算是空间。而第3条太特殊，其他的空间不需要具备，更不是关键的性质。只有第4条是空间的本质，也就是说，容纳运动是空间的本质特征。

认识到了这些，我们就可以把我们关于三维空间的认识扩展到其他的空间。事实上，不管是什么空间，都必须容纳和支持在其中发生的符合规则的运动（变换）。你会发现，在某种空间中往往会存在一种相对应的变换，比如拓扑空间中有拓扑变换，线性空间中有线性变换，仿射空间中有仿射变换，其实这些变换都只不过是对应空间中允许的运动形式而已。

因此只要知道，“空间”是容纳运动的一个对象集合，而变换则规定了对应空间的运动。

下面我们来看看线性空间。线性空间的定义任何一本书上都有，但是既然我们承认线性空间是个空间，那么有两个最基本的问题必须首先得到解决，那就是：

1. 空间是一个对象集合，线性空间也是空间，所以也是一个对象集合。那么线性空间是什么样的对象的集合？或者说，线性空间中的对象有什么共同点吗？

2. 线性空间中的运动如何表述的？也就是，线性变换是如何表示的？

我们先来回答第一个问题，回答这个问题的时候其实是不用拐弯抹角的，可以直截了当的给出答案。线性空间中的任何一个对象，通过选取基和坐标的办法，都可以表达为向量的形式。通常的向量空间我就不说了，举两个不那么平凡的例子：

L1. 最高次项不大于n次的多项式的全体构成一个线性空间，也就是说，这个线性空间中的每一个对象是一个多项式。如果我们以x0, x1, ..., xn为基，那么任何一个这样的多项式都可以表达为一组n+1维向量，其中的每一个分量ai其实就是多项式中x(i-1)项的系数。值得说明的是，基的选取有多种办法，只要所选取的那一组基线性无关就可以。这要用到后面提到的概念了，所以这里先不说，提一下而已。

L2. 闭区间[a, b]上的n阶连续可微函数的全体，构成一个线性空间。也就是说，这个线性空间的每一个对象是一个连续函数。对于其中任何一个连续函数，根据魏尔斯特拉斯定理，一定可以找到最高次项不大于n的多项式函数，使之与该连续函数的差为0，也就是说，完全相等。这样就把问题归结为L1了。后面就不用再重复了。

所以说，向量是很厉害的，只要你找到合适的基，用向量可以表示线性空间里任何一个对象。这里头大有文章，因为向量表面上只是一列数，但是其实由于它的有序性，所以除了这些数本身携带的信息之外，还可以在每个数的对应位置上携带信息。为什么在程序设计中数组最简单，却又威力无穷呢？根本原因就在于此。这是另一个问题了，这里就不说了。

下面来回答第二个问题，这个问题的回答会涉及到线性代数的一个最根本的问题。

线性空间中的运动，被称为线性变换。也就是说，你从线性空间中的一个点运动到任意的另外一个点，都可以通过一个线性变化来完成。那么，线性变换如何表示呢？很有意思，在线性空间中，当你选定一组基之后，不仅可以用一个向量来描述空间中的任何一个对象，而且可以用矩阵来描述该空间中的任何一个运动（变换）。而使某个对象发生对应运动的方法，就是用代表那个运动的矩阵，乘以代表那个对象的向量。

简而言之，在线性空间中选定基之后，向量刻画对象，矩阵刻画对象的运动，用矩阵与向量的乘法施加运动。

是的，矩阵的本质是运动的描述。如果以后有人问你矩阵是什么，那么你就可以响亮地告诉他，矩阵的本质是运动的描述。（chensh，说你呢！）

可是多么有意思啊，向量本身不是也可以看成是n x 1矩阵吗？这实在是很奇妙，一个空间中的对象和运动竟然可以用相类同的方式表示。能说这是巧合吗？如果是巧合的话，那可真是幸运的巧合！可以说，线性代数中大多数奇妙的性质，均与这个巧合有直接的关系

上一篇里说“矩阵是运动的描述”，到现在为止，好像大家都还没什么意见。但是我相信早晚会有数学系出身的网友来拍板转。因为运动这个概念，在数学和物理里是跟微积分联系在一起的。我们学习微积分的时候，总会有人照本宣科地告诉你，初等数学是研究常量的数学，是研究静态的数学，高等数学是变量的数学，是研究运动的数学。大家口口相传，差不多人人都知道这句话。但是真知道这句话说的是什么意思的人，好像也不多。简而言之，在我们人类的经验里，运动是一个连续过程，从A点到B点，就算走得最快的光，也是需要一个时间来逐点地经过AB之间的路径，这就带来了连续性的概念。而连续这个事情，如果不定义极限的概念，根本就解释不了。古希腊人的数学非常强，但就是缺乏极限观念，所以解释不了运动，被芝诺的那些著名悖论（飞箭不动、飞毛腿阿喀琉斯跑不过乌龟等四个悖

论）搞得死去活来。因为这篇文章不是讲微积分的，所以我就不多说了。有兴趣的读者可以去看看齐民友教授写的《重温微积分》。我就是读了这本书开头的部分，才明白“高等数学是研究运动的数学”这句话的道理。

不过在我这个《理解矩阵》的文章里，“运动”的概念不是微积分中的连续性的运动，而是瞬间发生的变化。比如这个时刻在A点，经过一个“运动”，一下子就“跃迁”到了B 点，其中不需要经过A点与B点之间的任何一个点。这样的“运动”，或者说“跃迁”，是违反我们日常的经验的。不过了解一点量子物理常识的人，就会立刻指出，量子（例如电子）在不同的能量级轨道上跳跃，就是瞬间发生的，具有这样一种跃迁行为。所以说，自然界中并不是没有这种运动现象，只不过宏观上我们观察不到。但是不管怎么说，“运动”这个词用在这里，还是容易产生歧义的，说得更确切些，应该是“跃迁”。因此这句话可以改成：

“矩阵是线性空间里跃迁的描述”。

可是这样说又太物理，也就是说太具体，而不够数学，也就是说不够抽象。因此我们最后换用一个正牌的数学术语——变换，来描述这个事情。这样一说，大家就应该明白了，所谓变换，其实就是空间里从一个点（元素/对象）到另一个点（元素/对象）的跃迁。比如说，拓扑变换，就是在拓扑空间里从一个点到另一个点的跃迁。再比如说，仿射变换，就是在仿射空间里从一个点到另一个点的跃迁。附带说一下，这个仿射空间跟向量空间是亲兄弟。做计算机图形学的朋友都知道，尽管描述一个三维对象只需要三维向量，但所有的计算机图形学变换矩阵都是4 x 4的。说其原因，很多书上都写着“为了使用中方便”，这在我看来简直就是企图蒙混过关。真正的原因，是因为在计算机图形学里应用的图形变换，实际上是在仿射空间而不是向量空间中进行的。想想看，在向量空间里相一个向量平行移动以后仍是相同的那个向量，而现实世界等长的两个平行线段当然不能被认为同一个东西，所以计算机图形学的生存空间实际上是仿射空间。而仿射变换的矩阵表示根本就是4 x 4的。又扯远了，有兴趣的读者可以去看《计算机图形学——几何工具算法详解》。

一旦我们理解了“变换”这个概念，矩阵的定义就变成：

“矩阵是线性空间里的变换的描述。”

到这里为止，我们终于得到了一个看上去比较数学的定义。不过还要多说几句。教材上一般是这么说的，在一个线性空间V里的一个线性变换T，当选定一组基之后，就可以表示为矩阵。因此我们还要说清楚到底什么是线性变换，什么是基，什么叫选定一组基。线性变换的定义是很简单的，设有一种变换T，使得对于线性空间V中间任何两个不相同的对象x 和y，以及任意实数a和b，有：

T(ax + by) = aT(x) + bT(y)，

那么就称T为线性变换。

定义都是这么写的，但是光看定义还得不到直觉的理解。线性变换究竟是一种什么样的变换？我们刚才说了，变换是从空间的一个点跃迁到另一个点，而线性变换，就是从一个线性空间V的某一个点跃迁到另一个线性空间W的另一个点的运动。这句话里蕴含着一层意思，就是说一个点不仅可以变换到同一个线性空间中的另一个点，而且可以变换到另一个线性空间中的另一个点去。不管你怎么变，只要变换前后都是线性空间中的对象，这个变换就一定是线性变换，也就一定可以用一个非奇异矩阵来描述。而你用一个非奇异矩阵去描述的一个变换，一定是一个线性变换。有的人可能要问，这里为什么要强调非奇异矩阵？所谓非奇异，只对方阵有意义，那么非方阵的情况怎么样？这个说起来就会比较冗长了，最后要把线性变换作为一种映射，并且讨论其映射性质，以及线性变换的核与像等概念才能彻底讲清楚。我觉得这个不算是重点，如果确实有时间的话，以后写一点。以下我们只探讨最常用、最有用的一种变换，就是在同一个线性空间之内的线性变换。也就是说，下面所说的矩阵，不作说明的话，就是方阵，而且是非奇异方阵。学习一门学问，最重要的是把握主干内容，迅速建立对于这门学问的整体概念，不必一开始就考虑所有的细枝末节和特殊情况，自乱阵脚。

接着往下说，什么是基呢？这个问题在后面还要大讲一番，这里只要把基看成是线性空间里的坐标系就可以了。注意是坐标系，不是坐标值，这两者可是一个“对立矛盾统一体”。这样一来，“选定一组基”就是说在线性空间里选定一个坐标系。就这意思。

好，最后我们把矩阵的定义完善如下：

“矩阵是线性空间中的线性变换的一个描述。在一个线性空间中，只要我们选定一组基，那么对于任何一个线性变换，都能够用一个确定的矩阵来加以描述。”

理解这句话的关键，在于把“线性变换”与“线性变换的一个描述”区别开。一个是那个对象，一个是对那个对象的表述。就好像我们熟悉的面向对象编程中，一个对象可以有多个引用，每个引用可以叫不同的名字，但都是指的同一个对象。如果还不形象，那就干脆来个很俗的类比。

比如有一头猪，你打算给它拍照片，只要你给照相机选定了一个镜头位置，那么就可以给这头猪拍一张照片。这个照片可以看成是这头猪的一个描述，但只是一个片面的的描述，因为换一个镜头位置给这头猪拍照，能得到一张不同的照片，也是这头猪的另一个片面的描述。所有这样照出来的照片都是这同一头猪的描述，但是又都不是这头猪本身。

同样的，对于一个线性变换，只要你选定一组基，那么就可以找到一个矩阵来描述这个线性变换。换一组基，就得到一个不同的矩阵。所有这些矩阵都是这同一个线性变换的描述，但又都不是线性变换本身。

但是这样的话，问题就来了如果你给我两张猪的照片，我怎么知道这两张照片上的是同一头猪呢？同样的，你给我两个矩阵，我怎么知道这两个矩阵是描述的同一个线性变换呢？如果是同一个线性变换的不同的矩阵描述，那就是本家兄弟了，见面不认识，岂不成了笑话。

好在，我们可以找到同一个线性变换的矩阵兄弟们的一个性质，那就是：

若矩阵A与B是同一个线性变换的两个不同的描述（之所以会不同，是因为选定了不同的基，也就是选定了不同的坐标系），则一定能找到一个非奇异矩阵P，使得A、B之间满足这样的关系：

A = P-1BP

线性代数稍微熟一点的读者一下就看出来，这就是相似矩阵的定义。没错，所谓相似矩阵，就是同一个线性变换的不同的描述矩阵。按照这个定义，同一头猪的不同角度的照片也可以成为相似照片。俗了一点，不过能让人明白。

而在上面式子里那个矩阵P，其实就是A矩阵所基于的基与B矩阵所基于的基这两组基之间的一个变换关系。关于这个结论，可以用一种非常直觉的方法来证明（而不是一般教科书上那种形式上的证明），如果有时间的话，我以后在blog里补充这个证明。

这个发现太重要了。原来一族相似矩阵都是同一个线性变换的描述啊！难怪这么重要！工科研究生课程中有矩阵论、矩阵分析等课程，其中讲了各种各样的相似变换，比如什么相似标准型，对角化之类的内容，都要求变换以后得到的那个矩阵与先前的那个矩阵式相似的，为什么这么要求？因为只有这样要求，才能保证变换前后的两个矩阵是描述同一个线性变换的。当然，同一个线性变换的不同矩阵描述，从实际运算性质来看并不是不分好环的。有些描述矩阵就比其他的矩阵性质好得多。这很容易理解，同一头猪的照片也有美丑之分嘛。所以矩阵的相似变换可以把一个比较丑的矩阵变成一个比较美的矩阵，而保证这两个矩阵都是描述了同一个线性变换。

这样一来，矩阵作为线性变换描述的一面，基本上说清楚了。但是，事情没有那么简单，或者说，线性代数还有比这更奇妙的性质，那就是，矩阵不仅可以作为线性变换的描述，而且可以作为一组基的描述。而作为变换的矩阵，不但可以把线性空间中的一个点给变换到另一个点去，而且也能够把线性空间中的一个坐标系（基）表换到另一个坐标系（基）去。而且，变换点与变换坐标系，具有异曲同工的效果。线性代数里最有趣的奥妙，就蕴含在其中。

理解了这些内容，线性代数里很多定理和规则会变得更加清晰、直觉.

https://www.360docs.net/doc/4d2774833.html,/myan/article/details/647511

https://www.360docs.net/doc/4d2774833.html,/myan/article/details/649018