人教版高中数学必修二《祖暅原理与空间几何体体积》
祖暅原理与几何体的体积说课课件2023-2024学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
问题探究4
学生自主探究锥体与柱体体积关系，通过切
割柱体发现体积之比关系，培养学生作图、
空间想象能力，培养直观想象的核心素养
问题探究4
动态展示几何体切割过程，强化学生几何感
知，培养直观想象的核心素养
问题探究5
从柱体、锥体类比到球体体积问题，学生自
主探究
问题探究5
深化探究过程，如何选择合适底面，
转化模型
严谨板演学生研究几何体过程，提
供引导和直观图象，规范学生作图
问题探究5
动态演示“倒锥体”的形成过程
总结
7
Part seven
教学评价
7
教学评价
8
Part eight
设计理念
8
设计理念
2.“学——教——评”一致性
1
2
3
教学环节1
教学环节2
教学环节3
教学环节4
教学环节5
教学环节3
问题链
量
数学史展示
深化祖暅原理的认识，从古代数学家的辉煌
中体会自豪感，实现立德树人目的。
问题探究2
通过对比，由特殊到一般，由学生给出柱体
体积公式。
问题探究3
通过类比柱体研究过程，探究不同锥体之间
的不变特征。
问题探究3
通过类比柱体研究过程，探究不同锥体之间
的不变特征。
学生自主探究等高处截面面积相等，
归纳概括能力，提升数学抽象素养，激发学生探究数学的兴趣；
2．运用祖暅原理推导柱体、锥体体积公式，经历从特殊到一
般的数学归纳演绎过程，认识柱体、锥体的体积公式，体会转化与
化归思想，提升直观想象、逻辑推理素养；
3．能用祖暅原理求解不规则几何体的体积，经历由实际问题
祖暅原理与几何体的体积ppt课件
【概念生成】 1.祖暅原理 (1) “幂势既同,则积不容异”,即“夹在两个平行平面间的两个几何体,如果 被平行于这两个平面的任意平面所截,两个截面的面积 总相等, 那么这两个几 何体的体积一定 相等” . (2) 作用: 等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积 相等.
2.柱体、锥体、台体和球的体积公式 其中S ′ 、S分别表示上、下底面的面积,h表示高, r ′ 和r 分别表示上、下底面 圆的半径,R表示球的半径.
(1)利用转换底面以便于找到几何体的高,从而求出几何体的体积. (2)利用等体积法可求点到平面的距离.
【定向训练】
如 图 所 示 , 已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为1 , 且AA1⊥底面ABC,则三棱
锥B1-ABC1的体积为
.
【解析】三棱锥B1-ABC1的体积等于三棱锥A-B1BC1的体积,三棱锥A-B1BC1 的高为 , 底面积为 , 故其体积为
【定向训练】 若一圆柱与圆锥的高相等, 且轴截面面积也相等, 那么圆柱与圆锥的体积之
比为 ( )
A.1
B.
C.
D.
【解析】选D.设圆柱底面半径为R,圆锥底面半径r , 高都为h,由已知得2Rh=rh,
所以r=2R.
故V柱∶V锥=πR2h∶ πr2h= .
探究点二 等体积法的应用 【典例2】如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E为线段B1C上的一点,求 三棱锥A-DED1的体积.
1.若一个球的表面积为4 π , 则这个球的体积是 ( )
【解析】选B.设球的半径为R,则4πR2=4π,解得R=1,于是 V= πR3= .
2.某组合体的直观图如图所示,它的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,若图
人教A版高中数学必修二《祖暅原理与几何体的体积》教学设计
探究与发现祖暅原理与几何体的体积一、教学内容分析本节是必修2第一章的“探究与发现”内容，是在学生已经初步学习了柱体、锥体、球体的体积公式的基础之上对体积公式的由来的进一步探究，主要内容为用祖暅原理推导柱体、锥体、球体的体积公式；通过模型演示，利用祖暅原理，推广到柱、锥、球体的体积计算.通过学习，使学生感受几何体体积的求解过程，初步了解解决空间几何体问题的思想方法,逐步提高解决空间几何体问题的能力。
二、学生学习况情分析学生是在义务教育阶段学习的基础上展开的，具有一定的直观感知、操作确认、度量计算等方法。
他们的思维正从属于经验性的逻辑思维向抽象思维发展，但仍需要依赖一定的具体形象的经验材料来理解抽象的逻辑关系。
同时思维的严密性还有待加强。
三、设计思想1、由祖暅原理推导柱、锥以及球的体积．其结构图如下：2.结合参加我校组织的两个课题《对话——反思——选择》和《新课程实施中同伴合作和师生互动研究》的研究，在本课的教学中我努力实践以下两点：⑴.在课堂活动中通过同伴合作、自主探究培养学生积极主动、勇于探索的学习方式。
⑵.在教学过程中努力做到生生对话、师生对话，并且在对话之后重视体会、总结、反思，力图在培养和发展学生数学素养的同时让学生掌握一些学习、研究数学的方法。
3.通过课堂教学活动向学生渗透数学思想方法，让学生在数学活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要；同时通过本节课的学习，培养学生主动学习、合作交流的意识。
四、教学目标根据任教班级学生的实际情况，本节课我确定的教学目标是：（1）理解祖暅原理的含义，理解利用祖暅原理计算几何体体积的方法；（2）在发现祖暅原理的过程中，体会从“平面”到“空间”的类比、猜想、论证的数学思想方法；体会祖暅原理中由“面积都相等”推出“体积相等”的辩证法的思想；（3）在推导棱柱体积公式的过程中，理解从特殊到一般，从一般到特殊的归纳演绎的数学思想方法是学习数学概念的基本方法；掌握棱柱、棱锥、球体的体积公式；（4）通过介绍我国古代数学家对几何体体积研究的成果，激发学生的民族自豪感，提高学生学习数学的兴趣.五、教学重点与难点教学重点：理解祖暅原理的含义，以及柱体、锥体、球体的体积公式的探究；教学难点：运用祖暅原理推导几何体体积，学生探究能力的培养。
人教版高中数学必修二《祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积》
在展示评价后，若你仍有补充， 我们奖励 20 分
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题 号 方式
自探一 板书 自探二 板书
展示分工
第五组 第一组
点评分工
展示要求：
1.书面展示要板书工整、规范、快速; 2.组长结合本组情况，适当选派代表; 3.非展示同学继续讨论，完成后结合展示点评，迅速记
积为____。
5，0
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总结本节课内容，重点，难点！ 总结本节课同学们的表现！
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课后探究
利用祖暅原理探究台体的体积公式。 球、柱、台、锥体体积之间的关系。
课后作业：完成课时作业1。
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学习目标:
（1）能够利用祖暅原理求柱体和锥体的体积。 （2）能够利用祖暅原理求球体的体积。
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祖暅原理 “幂势既同，则积不容异”
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探究一
如图，下面是底面积都等于S，，高都等于 h的任意棱柱，圆柱和长方体，你能用祖暅 原理推导柱体的体积公式吗？
V长方体 S底h
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结论 半径为R的球 的体积公式是
V球
4 3
R3
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质疑再探
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运用拓展
1.类比祖暅原理,如图所示,在平面直角坐标系中, 图1是一个形状不规则的封闭图形,图2是一个上 底为1的梯形,且当实数t取[0,3]上的任意值时，直 线y=t被图1和图2所截得的两线段长始终相等， 则图1的面积为___.
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原创1：11.1.6 祖暅原理与几何体的体积
1
＝
tan60°
∴AD＝
3，
∴R－r＝ 3 ，BD＝A1D·tan 60°＝3 3 ，
∴R＋r＝3 3 ，∴R＝2 3 ，r＝ 3 ，h＝3.
1
∴V圆台＝ π(R2＋Rr＋r2)h
3
1
＝ π×[(2
3
3)2＋2 3 × 3 ＋( 3)2]×3＝21π.
典例精析
新知探索
锥体的体积
直三棱柱可以分成三个三棱锥，如果锥体的底面积为S,高为h，
1
3
则锥体的体积计算公式为V锥体= Sh.
C1
B1
A1
A
B1
C1
B
C
A1
B
C
C1
C
A
B
A
新知探索
台体的体积
棱台与圆台统称为台体.
V台体=V大锥体- V小锥体
新知探索
台体的体积
已知四棱台上、下底面面积分别为S1,S2，而且高为h，求这个棱台的体积.
典例精析
题型六：补体法求几何体的体积
例6 一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线
长分别为2和3，则该几何体的体积为（
A.5π
B.6π
C.20π
D.10π
）
【解析】用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，
如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.
3
2πr=2π
h2+r2=4
1
3，所以它的体积为 ×π×12×
3
3=
3
π.
3
课堂小结
底面积
公式
课件1：11.1.6 祖暅原理与几何体的体积
[解] 设正方体边长为 a，圆柱高为 h，底面半径为 r，
则有a2π2＝rhπ＝r24，a2，
① ②
由①得 r＝ ππa，
由②得 πrh＝2a2，∴V 圆柱＝πr2h＝2ππa3，
∴V
正方体∶V
圆柱＝a3∶2
π
πa3＝
2π∶1＝
π∶2.
类型2 求锥体的体积 【例 2】 如图，三棱台 ABC-A1B1C1 中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱 锥 A1-ABC，三棱锥 B-A1B1C，三棱锥 C-A1B1C1 的体积之比．
5．一个正三棱锥底面边长为 6，侧棱长为 15，求这个三棱锥体积． [解] 如图所示，正三棱锥 S-ABC. 设 H 为正三角形 ABC 的中心，连接 SH，则 SH 的 长即为该正三棱锥的高．连接 AH 并延长交 BC 于 E， 则 E 为 BC 的中点，且 AE⊥BC. ∵△ABC 是边长为 6 的正三角形， ∴AE＝ 23×6＝3 3.∴AH＝32AE＝2 3.
(3)柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系
(4)求台体的体积转化为求锥体的体积．根据台体的定义进行 “补形”，还原为锥体，采用“大锥体”减去“小锥体”的方法求台 体的体积．
2．球的截面问题的解题技巧 (1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为 平面中圆的问题． (2)解题时要注意借助球半径 R，截面圆半径 r，球心到截面的距 离 d 构成的直角三角形，即 R2＝d2＋r2.
(1)充分利用多面体的截面及旋转体的轴截面，构造直角三角形， 从而计算出底面积和高．
(2)由于柱体的体积仅与它的底面积和高有关，而与柱体是几棱 柱，是直棱柱还是斜棱柱没有关系，所以我们往往把求斜棱柱的体积 通过作垂直于侧棱的截面转化成求直棱柱的体积．
人教A版高中数学必修二《祖暅原理与几何体的体积》教学设计
人教A版高中数学必修二《祖暅原理与几何体的体积》教学设计教学设计教学内容：祖暅原理与几何体的体积教学目标：1.了解祖暅原理的概念和应用；2.掌握计算常见几何体（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球体）的体积的方法；3.培养学生的计算和推理能力。
教学步骤：Step 1：导入1.引入教学内容，让学生思考：“你们知道什么是祖暅原理吗？它有什么应用？”引导学生回忆班级物品的统计情况，引入祖暅原理的概念。
2.出示一个长方体，引导学生思考：“怎样计算这个长方体的体积？”引导学生通过计算长方体三个相邻边的列表，得出体积为长×宽×高。
Step 2：学习祖暅原理1.让学生阅读课本上的相关内容，理解祖暅原理的概念。
2.让学生观察范例，并通过范例了解祖暅原理的应用方法。
3. 给学生提供一些实际问题，让他们用祖暅原理来解决问题。
例如：“班级有40个男生和30个女生，他们的平均身高分别是170cm和165cm，计算整个班级的平均身高。
”引导学生将男生的身高乘以男生人数，女生的身高乘以女生人数，然后累加起来再除以总人数。
Step 3：计算几何体的体积1.教师出示一个正方体，引导学生思考：“这个正方体的哪些参数对于计算体积很重要？”引导学生通过讨论得出正方体的体积公式为a³。
2.让学生观察范例，并通过范例学习计算正方体的体积。
3.教师出示一个圆柱，引导学生思考：“这个圆柱的哪些参数对于计算体积很重要？”引导学生通过讨论得出圆柱的体积公式为πr²h。
4.让学生观察范例，并通过范例学习计算圆柱的体积。
5.类似地，教师出示一个圆锥和一个球体，引导学生讨论并得出计算体积的公式。
Step 4：综合运用1. 让学生回答一些综合运用的问题，例如：“一个长方体的体积是30cm³，它的长、宽、高是3cm、2cm、5cm，求它的长、宽、高各增加2cm 后的体积。
”2.制作一些模型，让学生根据模型的参数计算它们的体积。
教学设计1：11.1.6 祖暅原理与几何体的体积
11.1.6 祖暅原理与几何体的体积教学目标1.理解祖暅原理的内容.2.了解柱、锥、台体的体积公式的推导.3.掌握柱、锥、台和球的体积公式． 教学知识梳理 知识点一 祖暅原理1．内容：幂势既同，则积不容异．2．含义：夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面所截，两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积一定相等． 3．应用：等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等． 知识点二 柱、锥、台、球的体积公式其中S 1，S 212R 表示球的半径． 教学案例案例一 柱体、锥体、台体的体积例1 (1)(多选)圆柱的侧面展开图是长12 cm ，宽8 cm 的矩形，则这个圆柱的体积为( ) A ．288π cm 3B ．192π cm 3C ．288π cm 3D ．192π cm 3【答案】AB【解析】当圆柱的高为8 cm 时，V ＝π×⎝⎛⎭⎫122π2×8＝288π(cm 3)，当圆柱的高为12 cm 时，V ＝π×⎝⎛⎭⎫82π2×12＝192π(cm 3)． (2)如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为BD 1的中点，设三棱锥O －ABD 的体积为V 1，四棱锥O －ADD 1A 1的体积为V 2，则V 1V 2的值为( )A ．1 B.12 C.13 D.14【答案】B【解析】V 1＝121D ABD V －＝121B ADD V －＝1411B ADD A V －＝1211O ADD A V －＝12V 2，则V 1V 2＝12.故选B. 反思感悟 (1)常见的求几何体体积的方法 ①公式法：直接代入公式求解．②等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可． ③分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积． (2)求几何体体积时需注意的问题柱、锥、台体的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算．跟踪训练1 正四棱台两底面边长分别为20 cm 和10 cm ，侧面面积为780 cm 2.求其体积． 解 正四棱台的大致图形如图所示，其中A 1B 1＝10 cm ，AB ＝20 cm ，取A 1B 1的中点E 1，AB 的中点E ，连接E 1E ，则E 1E 为斜高．设O 1，O 分别是上、下底面的中心，连接O 1O ，则四边形EOO 1E 1为直角梯形． ∵S 侧＝4×12×(10＋20)×EE 1＝780(cm 2)，∴EE 1＝13 cm.在直角梯形EOO 1E 1中，O 1E 1＝12A 1B 1＝5 cm ，OE ＝12AB ＝10 cm ，∴O 1O ＝132－(10－5)2＝12(cm)．故该正四棱台的体积为V ＝13×12×(102＋202＋102×202)＝2 800(cm 3)．案例二 球的体积例2 (1)已知球的表面积为64π，求它的体积； (2)已知球的体积为5003π，求它的表面积．解 (1)设球的半径为r ， 则由已知得4πr 2＝64π，r ＝4. 所以球的体积V ＝43×π×r 3＝2563π.(2)设球的半径为R ，由已知得43πR 3＝5003π，所以R ＝5，所以球的表面积为S ＝4πR 2＝4π×52＝100π. 反思感悟 (1)求球的体积，关键是求球的半径R .(2)球与其他几何体组合的问题，往往需要作截面来解决，所作的截面尽可能过球心、切点、接点等．跟踪训练2 一平面截一球得到直径是6 cm 的圆面，球心到这个圆面的距离是4 cm ，则该球的体积是( ) A ．100π3 cm 3B ．208π3 cm 3C ．500π3 cm 3D ．41613π3cm 3【答案】C【解析】根据球的截面的性质，得球的半径R ＝32＋42＝5(cm)，所以V 球＝43πR 3＝500π3(cm 3)．案例三 组合体的体积例3 如图所示的几何体，上面是圆柱，其底面直径为6 cm ，高为3 cm ，下面是正六棱柱，其底面边长为4 cm ，高为2 cm ，现从中间挖去一个直径为2 cm 的圆柱，求此几何体的体积．解 V 六棱柱＝34×42×6×2＝483(cm 3)， V 圆柱＝π·32×3＝27π(cm 3)， V 挖去圆柱＝π·12×(3＋2)＝5π(cm 3)，∴此几何体的体积V ＝V 六棱柱＋V 圆柱－V 挖去圆柱＝(483＋22π)(cm 3)． 反思感悟 求组合体的表面积和体积的三个基本步骤 (1)弄清楚它是由哪些基本几何体构成的，组成形式是什么． (2)根据组合体的组成形式设计计算思路． (3)根据公式计算求值．跟踪训练3 如图所示是一个下半部分为正方体、上半部分为正棱柱的盒子(中间连通)．若其表面积为(448＋323)cm 2，则其体积为( )A ．(512＋1283) cm 3B ．(216＋1283) cm 3C ．(512＋643) cm 3D ．(216＋643) cm 3 【答案】A【解析】设正方体的棱长为a cm ， 则5a 2＋2a 2＋34a 2×2＝448＋323， 解得a ＝8(cm)． ∴该几何体的体积为a 3＋34a 2·a ＝512＋1283(cm 3)． 课堂小结1．知识清单：柱体、锥体、台体、球的体积公式． 2．方法归纳：方程思想．3．常见误区：平面图形与立体图形切换不清楚． 随堂演练1．直径为6的球的表面积和体积分别是( ) A ．144π，144π B ．144π，36π C ．36π，144π D ．36π，36π【答案】D【解析】因为球的直径为6， 所以半径R ＝3，所以S 表＝4πR 2＝36π，V ＝43πR 3＝4π3×27＝36π.故选D.2.如图，圆柱形容器内盛有高度为6 cm 的水，若放入3个相同的铁球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，则球的半径为( )A ．4 cmB ．3 cmC ．2 cmD ．1 cm【答案】B【解析】由题意可得，设球的半径为r ，依题意得三个球的体积和水的体积之和等于圆柱体的体积，∴3×43πr 3＝πr 2(6r －6)，解得r ＝3，故选B.3．现有一个底面直径为20 cm 的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为 6 cm ，高为20 cm 的圆锥形铅锤，铅锤完全浸没在水中．当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降( ) A ．0.6 cm B ．0.15 cm C ．1.2 cm D ．0.3 cm 【答案】A【解析】设杯里的水下降h cm ， 由题意得π⎝⎛⎭⎫2022h ＝13×20×π×32解得h ＝0.6 cm.4．已知圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的高为________，体积为________． 【答案】8 224π【解析】设上底面半径为r ，则下底面半径为4r ，高为4r ，如图．∵母线长为10，∴102＝(4r )2＋(4r －r )2，解得r ＝2. ∴下底面半径R ＝8，高h ＝8， ∴V 圆台＝13π(r 2＋rR ＋R 2)h ＝224π.5．若一圆锥的底面半径为1，其侧面积是底面积的3倍，则该圆锥的体积为________．【答案】223π【解析】设圆锥的高为h ，母线为l ，因为S 侧＝3S 底，由S 侧＝πrl ，S 底＝πr 2，得π×1×l ＝3π×12，即l ＝3，则h ＝l 2－r 2＝22，故该圆锥的体积为V ＝13S 底·h ＝223π.。
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面 积s和高h的积。
V柱体= sh
推论 底面半径为r，高为h圆柱的体积是
V圆柱= r2h
总结 柱体体积公式及其探索思路？
柱体的体积公式Ｖ柱体＝Ｓｈ
柱体的代表 Ｖ长方体＝Ｓｈ
+
等底面积等高 的任意两个柱 体的体积相等
探究点二 锥体的体积计算公式
问题5：两个底面积相等、高也相等的棱锥
D
C
的底面面积为
1S 2
高是h,所以棱锥
C AA'DD'
B
的体积
VC A'DD
1 1 Sh 32
1 Sh 6
余下的体积
Sh 1 Sh 5 Sh 66
所以体积比为 1: 5
探究点四 球体的体积计算公式
实验:
给出如下几何模型
R
R
步骤
１．拿出圆锥 和圆柱
２．将圆锥倒立放 入圆柱
（圆锥）的体积之间有怎样的关系呢？为什么？
探究点二 锥体的体积计算公式
锥体体积公式及其探索思路？
锥体的体积公式Ｖ锥体＝?
锥体的代表 ?
等底面积等高的
+ 任意两个锥体的 体积相等
问题6：三棱柱分割
成三个三棱锥,他们三个 的体积相等吗？为什么？
A’
A’
A C’
B’
C’ B’
C 积公式
高
S为底面面积， h为柱体高
学以致用
例1：如图，在长方体 ABCD ABCD 中，
截下一个棱锥 C ADD ,求棱锥的体积与剩
余部分的体积之比。
D'
解： 长方体可以看成直四棱柱 ADD'A' BCC'B'
A'
设它的底面 ADD'A' 面积为S，高为h，
C' B'
则它的体积为V Sh 因为棱锥 C A'DD'
锥体 V 1 Sh 3
2.球的体积公式
3.计算组合体的体积时，通常将其转化为计算柱、锥、 台、球等常见的几何体的体积和.
4. 化归思想、极限思想.
反思提升：
多面体和圆柱，圆锥，圆台的表面积我们 可以用展开几何体的方式得到，球能展开 吗？你能否用我们今天学到的球的体积公 式得到球的表面积公式呢？
解： 六角螺帽的体积V是一个正六棱柱的体积V1与一个圆柱的 体积V2的差
V1 V2
3 122 6 10
4 3.14
10 2
2
10
3.74 103 0.785 103
mm3 mm3
所以一个毛坯的体积为
V 3.74103 0.785103 2.96103 mm3 2.96cm3
1 (S SS S)h 3
两个底面积相等、高也相等的棱台（圆台）的体积 相等
1
Ｖ圆台＝ 3
πh
(r12
r1r2
r22 )
反思感悟 问题8：柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？
上底扩大
上底缩小
S S
S 0
S为底面面积， S，S’分别为上、下
h为锥体高
底面面积，h 为台体
祖暅(gèng)原理：幂势既同，则积不容异。 祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体, 被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截面 (阴影部分)的面积都相等,那么这两个几何体的 体积一定相等。
应用祖暅原理可以说明：等底面积、等高的两 个柱体或椎体的体积相等.
探究点一 柱体的体积计算公式
设有底面积都等于S，高都等于h的任 意一个棱柱、一个圆柱和一个长方体，使 它们的下底面在同一个平面α内（如图）
３．取出半球和新的几何体做它们的截面
R
结论:截面面积相等
则两个几何体的体积相等
V球
4 R3
3
学以致用
例、下图是一个奖杯的三视图(单位:cm),试讲出它由那些 几何体构成,并计算这个奖杯的体积(精确到0.01cm)。
学以致用
画出奖杯的水平直观图
并计算体积
学以致用
练习2.有一堆形状规格的六角螺帽毛坯共重5.8kg，已知底面六边形边长为 12mm，高为10mm，内孔直径是10mm，那么约有毛坯多少个？（铁的比重是 7.8 g/cm3）
锥体的体积公式Ｖ锥体＝?
锥体的代表 三棱锥
等底面积等高的
+ 任意两个锥体的 体积相等
总结提升：
探究点三 台体的体积计算公式
问题7：你能根据锥体的体积计算公式推导台体的体积计算公式
设棱台上底面积为S‘， 下底面积为S，高为h， 大棱锥的高为h1，小 棱锥的高为h2，则
V VP ABC VP ABC
知道它们前后的体积相等的条件为:
1 .高度相同 2.同一层上每页纸大小(面积)一样 3.每层与放作业本的桌面平行
祖暅的介绍：
祖暅是南北朝时代著名数学家祖冲之的儿子。受家庭的 影响，尤其是父亲的影响，他从小对数学具有浓 厚的兴趣。祖冲之除了在计算圆周率方面的成就，还与 他的儿子祖暅一起，用巧妙的方法解决了柱体，锥体， 球体的体积计算。他们当时采用的原理，在西方被称为 “卡瓦列利”原理，但这是在祖氏父子以后一千多年才由 意大利数学家卡瓦列利发现的。为了纪念祖氏父子的 这一伟大发现，数学上也称这个原理为“祖暅原理”。
问题3
用平行于底的的平面截柱体，截面面积相等 吗？为什么？
棱柱、圆柱的截面性质:平行于底面的截面与底面全等.
问题4长方体的体积计算公式
能否推广到一般的棱柱（圆柱） 体积的计算呢？
由祖暅原理可知：等底面积等高的任意两个柱体的
体积 相等，而长方体的体积为V长方体= sh，所以与
长方体等底面积等高的棱柱、圆柱有如下定理：
人教版必修2
第一章 空间几何体
问题1长方体的长、宽、高分别是a、b、c，那么它的 体积是什么？ 能否用另外一种形式来表示长方体的体积呢？
V 长方体 abc
V 长方体 sh
问题2改变一下形状，底面积和高有没有改变？
如果用一个平行于水平面的平面去截这堆书，这些 水平截面的面积有什么关系？ 体积有没有改变？ 从这个事实中你得到什么启发？
约有毛坯 5.8 103 7.8 2.96 250（个）
答：这堆毛坯约有250个．
课堂小结：
1、本节课你学到了哪些数学知识？ 2、本节课你能感受到哪些数学思想？
1.柱体、锥体、 台体的体积
柱体 V Sh S S'
台体V 1 (S SS S)h 3 S' 0