判断或证明线面平行的或垂直常用方法

同学们早上先把下面知识点看完然后做后面的四个题。

做完后再看看另一个知识点解析几何常见题型。

都发布在作业里面。

线线平行的证明方法：
三线间平行的传递性，三角形中位线，平行四边形对边平行且相等，梯形的上下底平行，棱柱圆柱的侧棱平行且相等，两平行面被第三面所截交线平行，成比例（相似）证平行等等。

判断或证明线面平行的常用方法包括：
(1)利用线面平行的定义，一般用反证法；
(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)，其关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；
(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)；
(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．
【垂直类证明方法总结】
证垂直的几种方法：勾股定理、等腰（边）三角形三线合一、菱形对角线、矩形（含正方形）、90度、相似三角形（与直角三角形）、圆直径对的圆周角、平行线、射影定理（三垂线定理）、线面垂直、面面垂直等
证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法(若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面)．解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；
1.．如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面BB1C1C是菱形，其对角线的交点为O，且AB=AC1，AB⊥B1C.
（1）求证：AO⊥平面BB1C1C；
（2）若BB1=2，且∠B1BC=∠B1AC=60°，求三棱锥C1−ABC的体积.
2.如图，四棱锥P−ABCD中，平面PDC⊥底面ABCD，△PDC是等边三角形，底面ABCD 为梯形，且∠DAB=60°，AB△CD，DC=AD=2AB=2.
（△）证明：BD⊥PC△
（△）求A到平面PBD的距离.
3.如图，在几何体ABCDEFG中，底面四边形ABCD是边长为4的菱形，AC∩BD=O，∠ABC= 60°，AF//DE//CG，AF⊥平面ABCD，且AF=DE=4，CG=1.
（1）证明：平面FBD⊥平面GBD；
（2）求三棱锥G−DEF的体积.
4.
已知数列{a n}的通项公式为a n=n，S n为其前n项和，则数列{a n+1
S n S n+1
}的前8项和为__________．答案1.（1)∵四边形BB1C1C是菱形，∴B1C⊥BC1,∵AB⊥B1C,AB∩BC1=B,
∴B1C⊥平面ABC1，又AO⊂平面ABC1，∴B1C⊥AO．∵AB=AC1,O是BC1的中点，
∴AO⊥B1C，∵B1C∩BC1=O，∴AO⊥平面BB1C1C.
（2）菱形BB1C1C的边长为2，又∠B1BC=60°,∴ΔBB1C是等边三角形，则B1C=2.
由（1）知，AO⊥B1C，又O是B1C的中点，∴AB1=AC，
又∠B1AC=60°,∴ΔAB1C是等边三角形，则AC=AB1=B1C=2.在RtΔACO中，AO=
√AC2−CO2=√3
2
×2=√3，
∴V C
1−ABC =V A−BCC
1
=
1
3
SΔBCC
1
⋅AO=
1
3
×
1
2
⋅2⋅2⋅sin120°⋅√3=1
2.（Ⅰ）由余弦定理得BD=√12+22−2×1×2cos60°=√3，
∴BD2+AB2=AD2，∴∠ABD=90°，BD⊥AB,∵AB//DC,∴BD⊥DC.又平面PDC⊥底面ABCD，平面PDC∩底面ABCD=DC，BD⊂底面ABCD，
∴BD⊥平面PDC，
又PC⊂平面PDC，∴BD⊥PC.
（Ⅱ）设A到平面PBD的距离为ℎ.
取DC中点Q，连结PQ,∵△PDC是等边三角形，∴PQ⊥DC.
又平面PDC⊥底面ABCD，平面PDC∩底面ABCD=DC，PQ⊂平面PDC，∴PQ⊥底面ABCD，且PQ=√3，
由（Ⅰ）知BD⊥平面PDC，又PD⊂平面PDC，∴BD⊥PD.
∴V A−PBD=V P−ABD，即1
3×1
2
×√3×2×ℎ=1
3
×1
2
×1×√3×√3.
解得ℎ=√3
2
.
3.（1）因为AF⊥平面ABCD，所以AF⊥BD，
又AC⊥BD，AF∩AC=A，所以BD⊥平面AOF，
所以BD⊥OF.
因为四边形ABCD是边长为4的菱形，∠ABC=60°，
所以ΔABC与ΔADC均为等边三角形，AC=4.
所以OG2=OC2+GC2=5，OF2=OA2+AF2=20，FG2=AC2+(AF−GC)2=25，则OG2+OF2=FG2，
所以OF⊥OG，
又BD⊥OF，OG∩BD=O，
所以OF⊥平面GBD，
又OF⊂平面FBD，
所以平面FBD⊥平面GBD.
（2）因为GC//DE，DE⊂平面ADEF，GC⊄平面ADEF，
所以GC//平面ADEF，
所以V G−DEF=V C−DEF，
取AD的中点H，连接CH，则CH=√3
2
×4=2√3，CH⊥AD，
由AF⊥平面ABCD，所以AF⊥CH，又AF∩AD=A，
所以CH⊥平面ADEF.
所以V C−DEF=1
3SΔDEF⋅CH=1
3
×1
2
×4×4×2√3=16
3
√3.
即三棱锥G−DEF的体积为16
3
√3.
4.由等差数列前n 项和公式可得：S n =n(n+1)2，则S n+1=(n+1)(n+2)2，
由数列的通项公式可得：a n+1=n +1，
∴a n+1
S n S n+1=4n(n+1)(n+2)=2[1n(n+1)−1(n+1)(n+2)]，
则数列{a n+1S
n S n+1}的前8项和为： 2[(11×2−12×3)+(12×3−13×4)+⋯+(18×9−19×10)]=2×(12−190)=4445.
【点睛】
本题考查的核心是裂项求和，使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．。