平面单元-等效结点荷载计算PPT

②
43
2④
13
1
5
6
3、解方程组，求节点位移； 4、根据节点位移求出应力。
a
a
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3. 总体刚度矩阵的形成与特点 —整体分析的一般步骤
1、建立整体刚度矩阵
上图中的结构有六个节点，共有12个节点位移分量(自由度) 和12个节点力分量，它们之间的关系为：
Ka P 即：
k1,1
k2,1
将载荷转移到节点上，必须遵循静力等效的原则。静力等效是指 原载荷与节点载荷在任意虚位移上做的虚功相等。前面推导时使用的 能量泛函пp对{ae}进行变分之后产生的{δae}实际上就是虚位移，以上公 式可以适用于任意复杂的荷载情况。
如果单元为线性单元（如，本章的三节点三角形单元），则可以 采用直接的静力等效法和虚功等效法。
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1. 位移函数
若令：
N1
1 2A
(a1
b1 x
c1 y )
N2
1 2A
(a2
b2 x
c2 y)
N3
1 2A
(a3
b3 x
c3 y)
插值函数 矩阵或形 函数矩阵
u
u
v
N1
0
0 N1
N2 0
0 N2
N3 0
插值函数的性质：
1 . N i ( x j , y j ) ij i , j 1 , 2 ,其3 中
最终确定6个待定系数：
12 3
1 2A
a1
b1
c1
a2 b2 c2
a3 b3 c3
uu12 u3
54 6
1 2A
a1 b1 c1
a2 b2 c2
a3 b3 c3
vv12 v3
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其中：
1. 位移函数
1 x1 y1
2 A 1 x2 y2 1 x3 y3
k11,1
k12,1
k1,2 k2,2
k11,2 k12,2
k1,11 k2,11
k11,11 k12,11
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k1,12 a1 P1
k2,12
a2
P2
总体刚度方程 中的自由度与 节点位移之间 的对应关系
k11,12
a11
k12,12 a12
1. 位移函数
v2
2
(x2, y2)
u2
y v3
3
u3
(x3, y3)
v1
(x1, y1) 1 u1
x
u1
v1
节 点 的 位 移 向 量 ：
ae
u v
2 2
u
3
v 3
u v
1 4
2x 5x
3y 6y
六个节点位移只能确定六个多项式的系数，
所以取这样的位移函数。该位移函数，将
a1 x2 y3 x3 y2
为2A第1行各 个元素的代 数余子式
b1 y2 y3
1,2,3轮 换
c1 x3 x2
u
1 2A
[
(
a1
b1 x
c1 y )u1
(a2
b2 x
c2 y)u2
(a3
b3 x
c3 y)u3 ]
1 v 2 A [(a1 b1 x c1 y )v1 (a2 b2 x c2 y )v2 (a3 b3 x c3 y )v3 ]
P11
P12
a1 a2
u1
v1
P1 P1x
P2
P1 y
a1
1
u
6
P11
9
P6
x
a12 v6 P12 P6 y
3. 总体刚度矩阵的形成与特点 —整体分析的一般步骤
2、根据支承条件修改整体刚度矩阵。
建立整体刚度矩阵时，每个节点的位移当作未知量看待，
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1. 位移函数－例题
例题：图示等腰三角形单元，求其插值函数矩阵[N]。
y 2 (0,a)
3 (0,0)
a1 x2 y3 x3 y2 0 b1 y2 y3 a c1 x3 x2 0
a2 x3 y1 x1 y3 0 b2 y3 y1 0 c2 x1 x3 a
x 1 (a,0)
没有考虑具体的支承情况，因此进行整体分析时还要针对 支承条件加以处理。
在上图的结构中，支承条件共有四个，即在节点1、4、6 的四个支杆处相应位移已知为零：u1=u4=v4=v6=0
建立节点平衡方程时，应根据上述边界条件进行处理。
单元内部任一点的位移设定为坐标的线性 函数，该位移模式很简单。其中α1-6为广 义坐标或待定系数，可据节点1、2、3的
位移值和坐标值求出。
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1. 位移函数
将节点位移带入：
u1 1 2x1 3 y1 v1 4 5x1 6 y1 u2 1 2x2 3 y2 v2 4 5x2 6 y2 u3 1 2x3 3 y3 v3 4 5x3 6 y3
1 2A
(a3
b3 x
c3 y)
1 a2
(a 2
ax
ay)
1
x a
y a
x
[N
]
a
0
y a
0 1 x y aa
0
0
x a
0
y a
0
1
x a
y a
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2. 关于节点等效力的一点说明
连续弹性体离散为单元组合体时，需把弹性体承受的任意分布的 载荷都向节点转移，而成为节点等效载荷（或节点等效力）。如果弹 性体承受的载荷全都是集中力，则将所有集中力的作用点取为节点， 就不存在转移的问题，集中力就是节点等效载荷。但实际问题往往受 有分布的面力和体力，都不可能只作用在节点上。因此，必须进行载 荷转移。如果集中力的作用点未被取为节点，该集中力也要向节点转 移。
a3 x1 y2 x2 y1 a 2 b3 y1 y2 a c3 x2 x1 a
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1. 位移函数－例题
三角形的面积：
a2 A
2
N1
1 2A
(a1
b1 x
c1 ya
N2
1 2A
(a2
b2 x
c2 y)
1 a2
(0
0
ay)
y a
N3
2. N1 N 2 N 3 1
N I N 1 I N 2 I N 3
3.
N
的
i
阶
数
与
假
设
的
N
：插
i
值
函
数
（
形
状
函
数
）
位 移 函 数 阶 数14.相10.同2020
4. 数 值 在 0－ 1之 间
u1
v
1
0
N3
u v
2 2
N
ae
u
3
v 3
I为 二 阶 单 位 矩 阵
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3. 总体刚度矩阵的形成与特点 —整体分析的一般步骤
P1y
1
2
a
①
P3y
图示结构的网格共有四个单元 和六个节点。在节点1、4、6共 有四个支杆支承。结构的载荷 已经转换为节点载荷。
整体分析的四个步骤：
23
P2x
1 2
a
13
3
P3x
③2
1、建立整体刚度矩阵；
2、根据支承条件修改整体刚度 矩阵；