广东省广州市海珠区中山大学附属中学2020-2021学年九年级上学期数学期中试卷

广东省广州市海珠区中山大学附属中学2020-2021学年九年级上学期数学期中

试卷

一、单选题（共10题；共20分）

1.一元二次方程x2﹣2x+3＝0的一次项和常数项分别是（）

A. 2和3

B. ﹣2和3

C. ﹣2x和3

D. 2x和3

2.平面直角坐标系内一点P（﹣4，3）关于原点对称的点的坐标是（）

A. （3，﹣4）

B. （4，3）

C. （﹣4，﹣3）

D. （4，﹣3）

3.二次函数y＝(x＋2)2－3的顶点坐标是（）

A. (2，－3)

B. (－2，－3)

C. (2，3)

D. (－2，3)

4.如图，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转45°后得到△A′B′C′，若∠A＝45°，∠B′＝100°，则∠BCA′的度数是（）

A. 10°

B. 15°

C. 20°

D. 25°

5.在半径为4的圆中，垂直平分半径的弦长为（）

A. B. C. D.

6.已知一元二次方程x2﹣2x﹣a＝0，当a取下列值时，使方程无实数解的是（）

A. ﹣2

B. ﹣1

C. 0

D. 1

7.如图，在中，点C为弧AB的中点，若（为锐角），则（）

A. B. C. D.

8.抛物线经过平移得到抛物线,平移过程正确的是（）

A. 先向下平移2个单位,再向左平移3个单位

B. 先向上平移2个单位,再向右平移3个单位

C. 先向下平移2个单位,再向右平移3个单位

D. 先向上平移2个单位,再向左平移3个单位.

9.从前有一个醉汉拿着竹竿进城，横拿竖拿都进不去，横着比城门宽米，竖着比城门高米，一个聪

明人告诉他沿着城门的两对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了，求竹竿的长度.若设竹竿长x米，则根据题意，可列方程（）

A. B.

C. D.

10.已知a、b、m、n为互不相等的实数，且(a+m)( a+n)＝2，(b+m)( b+n)＝2，则ab﹣mn的值为（）

A. 4

B. 1

C. ﹣2

D. ﹣1

二、填空题（共6题；共7分）

11.一元二次方程ax2+2x＝0的一个根是1，则a＝________．

12.二次函数y＝2x2﹣2x的对称轴是________．

13.在⊙O中，圆心角∠AOB＝80°，点P是圆上不同于点A、B的点，则∠APB＝________°．

14.“绿水青山就是金山银山”，为了山更绿、水更清，某区大力实施生态修复工程，发展林业产业，确保到2021年实现全区森林覆盖率达到72.6%的目标.已知该区2019年全区森林覆盖率为60%，设从2019年起该区森林覆盖率年平均增长率为x，则x＝________.

15.已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表：

x … 0 1 2 …

y … 4 3 4 …

若一次函数y＝bx﹣ac的图象不经过第m象限，则m＝________.

16.如图，△ABC为等腰直角三角形，∠B＝90°，AB＝2，把△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，连接CB1，则点B1到直线AC的距离为________.

三、解答题（共8题；共74分）

17.解方程：

（1）x2﹣x﹣1＝0；

（2）3x（1﹣x）＝2﹣2x．

18.已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根

（1）求k的取值范围；

（2）若此方程的两实数根满足，求k的值

19.如图，已知△ABC的三个顶点坐标为A（﹣2，3），B（﹣6，0），C（﹣1，0）．

（1）将△ABC绕坐标原点O旋转180°，画出图形，并写出点A的对应点A'的坐标；

（2）将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°，直接写出点A的对应点A''的坐标．

（3）请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．

20.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝110°，将△ABC绕点A顺时针方向旋转35°后能与△ADE重合，点G、F是DE分别与AB、BC的交点.

（1）求∠AGE的度数；

（2）求证：四边形ADFC是菱形.

21.如图，△ABC内接于⊙O，∠B=600，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP=AC．

（1）求证：PA是⊙O的切线；

（2）若PD= ，求⊙O的直径．

22.网络销售已经成为一种热门的销售方式为了减少农产品的库存，某市长亲自在某网络平台上进行直播销售板栗．为提高大家购买的积极性，直播时，板栗公司每天拿出2000元现金，作为红包发给购买者．已知该板栗的成本价格为6元/kg，每日销售量y（kg）与销售单价x（元/kg）满足关系式：y＝﹣100x+5000．经

销售发现，销售单价不低于成本价格且不高于30元/kg．当每日销售量不低于4000kg时，每千克成本将降低1元．设板栗公司销售该板栗的日获利为W（元）．

（1）请求出日获利W与销售单价x之间的函数关系式；

（2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？

23.如图1，AC⊥CH于点C，点B是射线CH上一动点，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE（点D对应点C）．

（1）延长ED交CH于点F，求证：FA平分∠CFE；

（2）如图2，当∠CAB＞60°时，点M为AB的中点，连接DM，请判断DM与DA、DE的数量关系，并证明．

24.如图，抛物线过，两点．

备用图

（1）求该抛物线的解析式；

（2）点P是抛物线上一点，且位于第一象限，当的面积为3时，求出点P的坐标；

（3）过B作于C，连接OB，点G是抛物线上一点，当时，

请直接写出此时点G的坐标．

答案解析部分

一、单选题

1.【答案】C

2.【答案】D

3.【答案】B

4.【答案】A

5.【答案】D

6.【答案】A

7.【答案】B

8.【答案】D

9.【答案】B

10.【答案】C

二、填空题

11.【答案】-2

12.【答案】直线x＝

13.【答案】40或140

14.【答案】10%

15.【答案】3

16.【答案】

三、解答题

17.【答案】（1）解：x2﹣x﹣1＝0，

解得：x1＝，x2＝．

（2）解：3x(1﹣x)＝2﹣2x．

3x(1﹣x)＝2(1﹣x)，

(3x﹣2)( 1﹣x)＝0，

3x﹣2＝0，1﹣x＝0，

解得：x1＝，x2＝1．

18.【答案】（1）解：根据题意得△＝（2k?1）2?4k2＞0，

解得k＜；

（2）解：根据题意得x1＋x2＝2k?1，x1x2＝k2，

∵（x1?1）（x2?1）＝5，

∴x1x2?（x1＋x2）＋1＝5，

即k2?（2k?1）＋1＝5，

整理得k2?2k?3＝0，解得k1＝?1，k2＝3，

∵k＜，

∴k＝?1．

19.【答案】（1）如图所示：△A′B′C′，即为所求，A′（2，﹣3）；

故答案为：（2，﹣3）；

（2）如图，A″的坐标为（﹣3，﹣2）；

故答案为：（﹣3，﹣2）；

（3）如图，第四个顶点D的坐标为（3，3）或（﹣7，3）或（﹣5，﹣3）．故答案为：（3，3）或（﹣7，3）或（﹣5，﹣3）．

20.【答案】（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝110°，

∴∠B＝∠C＝（180°﹣110°）＝35°，

由旋转的性质得：∠D＝∠B＝35°，∠BAD＝35°，

∴∠AGE＝∠D+∠BAD＝35°+35°＝70°；

（2）证明：∵将△ABC绕点A顺时针方向旋转35°后能与△ADE重合，

∴AD＝AB，AE＝AC，∠D＝∠B＝35°＝∠C，∠BAD＝35°，

∴∠DAC＝∠BAD+∠BAC＝35°+110°＝145°，

∴∠DAC+∠D＝180°，∠DAC+∠C＝180°，

∴AC∥DF，AD∥CF，

∴四边形ADFC是平行四边形，

又∵AB＝AC，

∴AD＝AC，

∴四边形ADFC是菱形.

21.【答案】（1）解：证明：连接OA，

∵∠B=600，∴∠AOC=2∠B=1200。

∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=300。

又∵AP=AC，∴∠P=∠ACP=300。

∴∠OAP=∠AOC﹣∠P=900。∴OA⊥PA。

∵OA是⊙O的半径，∴PA是⊙O的切线。

（2）解：在Rt△OAP中，∵∠P=300，

∴PO=2OA=OD+PD。

又∵OA=OD，∴PD=OA。

∵PD= ，∴2OA=2PD=2 。

∴⊙O的直径为2 。．

22.【答案】（1）当y≥4000，即﹣100x+5000≥4000，

∴x≤10，

∴当6≤x≤10时，W＝（x﹣6+1）（﹣100x+5000）﹣2000＝﹣100x2+5500x﹣27000，当10＜x≤30时，W＝（x﹣6）（﹣100x+5000）﹣2000＝﹣100x2+5600x﹣32000，综上所述：W＝；

（2）当6≤x≤10时，W＝﹣100x2+5500x﹣27000＝﹣100（x﹣）2+48625，

∵a＝﹣100＜0，对称轴为x＝，

∴当6≤x≤10时，y随x的增大而增大，即当x＝10时，W最大值＝18000元，

当10＜x≤30时，W＝﹣100x2+5600x﹣32000＝﹣100（x﹣28）2+46400，

∵a＝﹣100＜0，对称轴为x＝28，

∴当x＝28时，W有最大值为46400元，

∵46400＞18000，

∴当销售单价定为28元时，销售这种板栗日获利最大，最大利润为46400元．23.【答案】（1）如图1中，

∵△ADE由△ABC旋转得到，

∴AC＝AD，∠ACF＝∠ADE＝∠ADF＝90°，AF=AF

∴(HL)，

，FA平分∠CFE；

（2）结论：，

理由如下：如图2中，延长AD交BC于F，连接CD，

∵AC＝AD，∠CAD＝60°，

∴△ACD为等边三角形，

∴AD＝CD＝AC，

∵∠ACF＝90°，∠CAF＝60°，

∴∠AFC＝30°，

∴AD＝AC＝AF，

∴AD＝DF，

∴D为AF的中点，

又∵M为AB的中点，

∴DM＝FB，即FB=2DM

在Rt△AFC中，FC＝AC= AD，

，

∴．

24.【答案】（1）把点A（4，0），B（1，3）代入抛物线y=ax2+bx

得

解得

∴抛物线表达式为：y=-x2+4x；

（2）设P点横坐标为m，

当1＜m＜4时，如图，过点P作PM∥y轴，交AB于点M，连接BP、AP，

由于A（4，0），B（1，3）

∴，

∴PM=2，

设直线AB的解析式为y=kx+b，

将A（4，0），B（1，3）代入y=kx+b，

，

解得，

∴直线AB的解析式为y=-x+4，

设，，

则PM= ，

∴，

解得，m=2或m=3，

∴P点坐标为或

当0＜m＜1时，如图，过点P作PN∥x轴，交AB于点N，连接BP、AP，

∴，

∴PN=2，

设，

则N点横坐标为m+2，∴，

由于PN两点纵坐标相同，

∴，

解得，（舍去），

∴P点坐标为，

综上所述，点P坐标为，，.

（3）如下图，过点A作AE⊥x轴，过点G作GE⊥y轴，交AE于点E，

易得∠BAC=45°，

若，

则∠OBC=∠GAE，

∴△BOC∽△AGE，即AE=3GE，设，则

解得，n=3或n=4（舍去）

∴G ，

如下图，连接AG交BC于点F，

若，

则∠OBC=∠GAO，

易得，△OBC≌△FAC，

∴F（1,1）

可得直线AF的解析式为

联立解析式

解得，x=4（舍去）或x= ，

∴G ，

综上所述，G ，G .