第五讲中值定理的证明分析

第四讲 中值定理的证明技巧

一、 考试要求

1、 理解闭区间上连续函数的性质（最大值、最小值定理，有界性定理，介值定

理），并会应用这些性质。

2、 理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理、泰勒定理，了解并会用柯西中值

定理。掌握这四个定理的简单应用（经济）。

3、 了解定积分中值定理。

二、 内容提要

1、 介值定理（根的存在性定理）

（1）介值定理 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 M 与最小值m 之间的任何值.

（2）零点定理

设f(x)在[a 、b]连续，且f(a)f(b)＜0，则至少存在一点,c ∈(a 、b)，使得f(c)=0

2、 罗尔定理

若函数)(x f 满足：

（1）)(x f 在[]b a ,上连续

（2）)(x f 在),(b a 内可导

（3）)()(b f a f =

则一定存在),(b a ∈ξ使得0)('=ξf

3、 拉格朗日中值定理

若函数)(x f 满足：

（1）)(x f 在[]b a ,上连续

（2）)(x f 在),(b a 内可导

则一定存在),(b a ∈ξ，使得))((')()(a b f a f b f -=-ξ

4、 柯西中值定理

若函数)(),(x g x f 满足:

（1）在[]b a ,上连续

（2）在),(b a 内可导

（3）0)('≠x g

则至少有一点),(b a ∈ξ使得)(')(')

()()()(ξξg f a g b g a f b f =--

5、 泰勒公式

如果函数)(x f 在含有0x 的某个开区间),(b a 内具有直到1+n 阶导数, 则当x 在

),(b a 内时, )(x f 可以表示为0

x x -的一个n 次多项式与一个余项)(x R n 之和，即 )())((!1 ))((!21))(()()(00)(200000x R x x x f n x x x f x x x f x f x f n n n +-+???+-''+-'+= 其中10)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x R ξ (ξ介于0x 与x 之间).

在需要用到泰勒公式时，必须要搞清楚三点：

1．展开的基点；

2．展开的阶数；

3．余项的形式．

其中余项的形式，一般在求极限时用的是带皮亚诺余项的泰勒公

式，在证明不等式时用的是带拉格朗日余项的泰勒公式．

而基点和阶数，要根据具体的问题来确定．

6、 积分中值定理

若f(x)在[a 、b]上连续，则至少存在一点c ∈[a 、b]，使得

b

a ?f(x)dx=f(c)(b-a)

三、 典型题型与例题

题型一 、与连续函数相关的问题（证明存在ξ使0)(=ξf 或方程f(x)=0有根）

例1、设)(x f 在[a,b]上连续，),,2,1(0,21n i c b x x x a i n ΛΛ=><<<<<，证明存在],[b a ∈ξ ，使得

n

n n c c c x f c x f c x f c f ++++++=ΛΛ212211)()()()(ξ

例2、设)(,0x f a b >>在[a,b]上连续、单调递增，且0)(>x f ，证明存在),(b a ∈ξ

使得 )(2)()(222ξξf a f b b f a =+

例3、设)(x f 在[a,b]上连续且0)(>x f ，证明存在),(b a ∈ξ使得

???==b b a a dx x f dx x f dx x f ξξ

)(2

1)()(。 例4、设)(),(x g x f 在[a,b]上连续，证明存在),(b a ∈ξ使得

??=b a dx x g f dx x f g ξ

ξξξ)()()()(

例5、 设f(x)在[0,1]上连续，且f(x)<1. 证明：210x f t dt x

-=?()在(0,1)内有且仅有一个实根。

例6、设实数n a a a ,,,21Λ满足关系式01

2)1(3121=--++--n a a a n n Λ，证明方程 0)12cos(3cos cos 21=-+++x n a x a x a n Λ，在)2

,0(π内至少有一实根。

例7、（0234，6分）

设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续，且g(x)>0,利用闭区间上连续函数的性质，证

明存在一点],[b a ∈ξ使得

??=b

a b

a dx x g f dx x g x f )()()()(ξ

题型二、 验证满足某中值定理

例8、验证函数???????>≤-=1,11,23)(2

x x

x x x f ，在[0，2]上满足拉格朗日中值定理，并求满足定理的ξ

题型三、 证明存在ξ, 使f

n ()()ξ=0(n=1,2,…)

例9、设)(x f 在[a,b]上可导且0)()(<''-+b f a f ，证明至少存在一个

),(b a ∈ξ使得0)(='ξf

例10、设)(x f 在[0,3]上连续，在（0,3）内可导，且1)3(,3)2()1()0(==++f f f f ，

证明存在一个)3,0(∈ξ使得0)(='ξf

例11、设)(x f 在[0,2]上连续，在（0，2）内具有二阶导数且

12112

()lim 0,2()(2)cos x f x f x dx f x π→==?，证明存在)2,0(∈ξ使得0)(=''ξf

题型四、 证明存在ξ, 使G f f (,(),())ξξξ'=0

(1) 用罗尔定理

1) 原函数法:

例12、设)(),(x g x f 在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且)),((0)(b a x x g ∈≠'，求证

存在),(b a ∈ξ使得)

()()()()()(ξξξξg f b g g f a f ''=--

例13、（0134）设f(x)在[0,1]上连续，(0,1)内可导，且

?>=-k x k dx x f xe k f 10

11,)()1(

证明：在(0,1)内至少存在一点ξ, 使 ).()1()(1ξξξf f --='

例14、 设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)f(b)>0,f(a)?+

),20 g(x)在[a,b]上连续，试证对?∈'=ξξξξ(,),()()().a b f g f 使得.

*例15、 设f(x)在[0，1]上连续，在（0，1）内一阶可导，且?

?==101

00)(,0)(dx x xf dx x f . 试证：),1,0(∈?ξ使得 )()1()(1ξξξf f -+='.

2) 常微分方程法:

例16、设)(x f 在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且λ==)()(b f a f ，证明存在

),(b a ∈ξ使得λξξ=+')()(f f

例17、设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且 f(0)=0, f(1)=1, 证明：对任意实数λξ,)必存在（，∈01 , 使得'--=f f ()[()]ξλξξ1

(2) 直接用拉格朗日或柯西中值定理

例18、设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，求证存在ξ∈(,)a b ，使得

bf b af a b a

f f ()()()()--='+ξξξ

例19、设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，求证存在ξ∈(,)a b ，使得

1)],()([)()

(1

1≥'+=--n f nf b f a f a b a b n n n ξξξξ

例20、设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导)0(b a <<，求证存在ξ∈(,)a b ，

使得 f b f a b a

f ()()ln ()-='ξξ

例21、设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导)0(b a <<，求证存在ξ∈(,)a b ，

使得 f b f a b a a ab b f ()()()()--=++'2223ξξ

题型5、 含有''f ()ξ(或更高阶导数)的介值问题

例22、 设f(x)在[0,1]上二阶可导，且f(0)=f(1), 试证至少存在一个ξ∈(,)01, 使

''='-f f ()()ξξξ

21

例23、（012，8分）设)(x f 在)0](,[>-a a a 上具有二阶连续导数，f(0)=0

(1) 写出f(x)的带拉氏余项的一阶麦克劳林公式。

(2) 证明在],[a a -上至少存在一个η使得

?-=''a

a dx x f f a )(3)(3η

例24、 设f(x)在[－1, 1]上具有三阶连续导数，且f(-1)=0, f(1)=1, f '(0)=0, 证明: 在(-1,1)内存在一点ξ，使得'''=f ().ξ3

题型6、 双介值问题F (,,)ξηΛ=0

例25、例1、设)(x f 在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，b a <<0，

求证存在),(,b a ∈ηξ使得)(2)()(b a f f +'='η

ηξ

例26、（051，12分）已知函数)(x f 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且

1)1(,0)0(==f f

证明：（1）存在)1,0(∈ξ，使得ξξ-=1)(f

（2）存在两个不同的点)1,0(,∈?η使得1)()(=''?ηf f

题型7、 综合题

例27、（011，7分）

设函数)(x f 在（-1,1）内具有二阶连续导数，且0)(≠''x f ，试证

（1） 对于(-1,1)内的任意0≠x ,存在唯一的)1,0()(∈x θ使得 ()(0)(())f x f xf x x θ'=+成立

（2）2

1)(lim 0=→x x θ

例28、试证明若)(x f 在[a,b]上存在二阶导数，且0)()(='='b f a f ，则存在

),(b a ∈ξ使得)()()

(4)(2a f b f a b f --≥''ξ

*例29、设e

a

e a b e b e a b ----=ln ln 110ξ

ξ