周期信号的频谱分析

信号与系统

实验报告

实验三周期信号的频谱分析

实验报告评分：_______

实验三周期信号的频谱分析

实验目的：

1、掌握连续时间周期信号的傅里叶级数的物理意义和分析方法；

2、观察截短傅里叶级数而产生的“Gibbs现象”，了解其特点以及产生的原因；

3、掌握各种典型的连续时间非周期信号的频谱特征。

实验内容：

（1）Q3-1 编写程序Q3_1，绘制下面的信号的波形图：

其中，0 = 0.5π，要求将一个图形窗口分割成四个子图，分别绘制cos( 0t)、cos(3 0t)、cos(5 0t)和x(t) 的波形图，给图形加title，网格线和x坐标标签，并且程序能够接受从键盘输入的和式中的项数。

程序如下:

clear,%Clear all variables

close all,%Close all figure windows

dt = 0.00001; %Specify the step of time variable t = -2:dt:4; %Specify the interval of time

w0=0.5*pi; x1=cos(w0.*t); x2=cos(3*w0.*t);

x3=cos(5*w0.*t);

N=input('Type in the number of the harmonic components N=');

x=0;

for q=1:N;

x=x+(sin(q*(pi/2)).*cos(q*w0*t))/q;

end

subplot(221)

plot(t,x1)%Plot x1

axis([-2 4 -2 2]);

grid on,

title('signal cos(w0.*t)')

subplot(222)

plot(t,x2)%Plot x2

axis([-2 4 -2 2]); grid on,

title('signal cos(3*w0.*t))')

subplot(223)

plot(t,x3)%Plot x3

axis([-2 4 -2 2])

grid on,

title('signal cos(5*w0.*t))')

subplot(224)

plot(t,x)%Plot xt

axis([-2 4 -2 2])

grid on,

title('signal xt')

（2）给程序3_1增加适当的语句，并以Q3_2存盘，使之能够计算例题1中的周期方波信号的傅里叶级数的系数，并绘制出信号的幅度谱和相位谱的谱线图。

程序如下：

% Program3_1 clear, close all

T = 2;

dt = 0.00001;

t = -2:dt:2;

x1 = ut(t) - ut(t-1-dt);

x = 0;

for m = -1:1

x = x + ut(t-m*T) - ut(t-1-m*T-dt);

end

w0 = 2*pi/T;

N = 10;

L = 2*N+1;

for k = -N: N;

ak(N+1+k) = (1/T)*x1*exp(-j*k*w0*t')*dt; end

phi = angle(ak);

subplot(211)'

k = -10:10;

stem (k,abs(ak),'k');

axis([-10,10,0,0.6]);

grid on;

title('fudupu');

subplot(212);

k = -10:10

stem(k,angle(ak),'k');

axis([-10,10,-2,2]);

grid on;

titie('xiangweipu');

xlabel('Frequency index x');

（3）反复执行程序Program3_2，每次执行该程序时，输入不同的N值，并观察所合成的周期方波信号。通过观察，你了解的吉伯斯现象的特点是：

程序如下：

clear,close all

T = 2;

dt = 0.00001;

t = -2:dt:2;

x1 = ut(t)-ut(t-1-dt);

x = 0; for m = -1:1

x = x + ut(t-m*T) - ut(t-1-m*T-dt);

end

w0 = 2*pi/T;

N = input('Type in the number of the harmonic components N = :');

L = 2*N+1;

for k = -N:1:N;

ak(N+1+k) = (1/T)*x1*exp(-j*k*w0*t')*dt; end

phi = angle(ak);

y=0;

for q = 1:L;

y = y+ak(q)*exp(j*(-(L-1)/2+q-1)*2*pi*t/T); end;

subplot(221),

plot(t,x),

title('The original signal x(t)'),

axis([-2,2,-0.2,1.2]),

subplot(223),

plot(t,y),

title('The synthesis signal y(t)'),

axis([-2,2,-0.2,1.2]),

xlabel('Time t'),

subplot(222)

k=-N:N;

stem(k,abs(ak),'k.'),

title('The amplitude |ak| of x(t)'),

axis([-N,N,-0.1,0.6])

subplot(224)

stem(k,phi,'r.'),

title('The phase phi(k) of x(t)'),

axis([-N,N,-2,2]),

xlabel('Index k')

N=1

N=3

通过观察我们了解到：如果一个周期信号在一个周期有内断点存在，那么，引入的误差将除了产生纹波之外，还将在断点处产生幅度大约为9%的过冲（Overshot），这种现象被称为吉伯斯现象（Gibbs phenomenon）。即信号在不连续点附近存在一个幅度大约为9%的过冲，且所选谐波次数越多，过冲点越向不连续点靠近。

(4)计算如图的傅里叶级数的系数

程序如下：

clc,clear,close all

T=2;

dt=0.00001;

t=-3:dt:3;

x=(t+1).*(u(t+1)-u(t))-(t-1).*(u(t)-u(t-1));

x1=0; for m=-2:2

x1=x1+(t+1-m*T).*(u(t+1-m*T)-u(t-m*T))-(t-1-m*T).*(u(t-m *T)-u(t-1-m*T));

end

w0=2*pi/T;

N=10;

L=2*N+1;

for k=-N:N;

ak(N+1+k)=(1/T)*x*exp(-j*k*w0*t')*dt;

end

phi=angle(ak);

plot(t,x1);

axis([-4 4 0 1.2]);

grid on;

title('The signal x1(t)'); xlabel('Time t (sec)'); ylabel('signal x1(t)');

（5）仿照程序3_1，编写程序Q3_5，以计算x2(t) 的傅里叶级数的系数（不绘图）。

程序如下：

clc,clear,close all

T=2;

dt=0.00001;

t=-3:dt:3;

x=ut(t+0.2)-ut(t-0.2-dt);

x2=0;

for m=-1:1

x2=x2+ut(t+0.2-m*T)-ut(t-0.2-m*T)-ut(t-0.2-m*t-dt); end

w0=2*pi/T;

N=10;

L=2*N+1

for k=-N:N;

ak(N+1+k)=(1/T)*x*exp(-j*k*w0*t')*dt;

end

phi=angle(ak);

plot(t,x2);

axis([-2.5 2.5 0 1.2]);

grid on;

title('The signal x2(t)');

xlabel('Time t (sec)');

ylabel('signal x2(t)');

（6）仿照程序3_2，编写程序Q3_6，计算并绘制出原始信号

x1(t) 的波形图，用有限项级数合成的y1(t) 的波形图，以及x1(t) 的幅度频谱和相位频谱的谱线图。

程序如下：

clc,clear,close all

T=2;

dt=0.00001;

t=-3:dt:3;

x=(t+1).*(ut(t+1)-ut(t))-(t-1).*(ut(t)-ut(t-1));

x1=0;

for m=-2:2

x1=x1+(t+1-m*T).*(ut(t+1-m*T)-ut(t-m*T))-(t-1-m*T).*(ut( t-m*t)-ut(t-1-m*t));

end

w0=2*pi/T;

N=10;

L=2*N+1;

for k=-N:N;

ak(N+1+k)=(1/T)*x*exp(-j*k*w0*t')*dt;

end

phi=angle(ak);

y=0;

for q=1:L;

y=y+ak(q)*exp(j*(q-1-N)*w0*t);

end;

subplot(221)

plot(t,x)%plot x

axis([-3 3 -0.2 1.2]);

grid on;

title('The original signal x(t)'); subplot(223)

plot(t,y)%Plot y

axis([-3 3 -0.2 1.2]);

grid on;

title('The synthesis signal y(t)'); subplot(222);

xlabel('Time i (sec)');

subplot(222);

k=-N:N;

stem(k,abs(ak),'k');

axis([-N N -0.1 0.6]);

grid on;

title('The amplitude spectrum of x(t)'); subplot(224);

k=-N:N;

stem(k,phi,'k');

axis([-N N -2 2]);

grid on;

title('The phase spectrum of x(t)');

xlabel('Frequency index k');

实验心得：

在实验的过程中，掌握连续时间周期信号的傅里叶级数的物理意义和分析方法，观察截短傅里叶级数而产生的“Gibbs现象”，了解其特点以及产生的原因，掌握各种典型的连续时间非周期信号的频谱特征。发现自己在上课时候完全是一窍不通，可能是因为自己练的不够。通过网上和书本查找资料，了解实验的过程。经过两次MATLAB的学习，已经较熟练的应用软件，但中间还有很多需要我们去学习的。

在这次实验中我体会到：实验就是一个发现错误并改正错误的过程。正因为有错误的出现才显示出实验的魅力。