高一数学期中考试题及答案

江苏四星学校石庄中学高一数学期中考试

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在相应位置上

1．已知集合2{|1,},{|ln(2)}P y y x x R Q x y x ==+∈==-，则P Q =I

_______________． (2,+)∞

2.方程组??

?=-=+9

12

2

y x y x 的解集是 .

(){}4,5-

3.设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()23x f x =-，则(2)f -= .

-1

4．幂函数()x f y =的图象经过点()81,2--，则满足()27=x f 的x 的值为

3

1

5．函数y =f （x ）是定义在[a ，b ]上的增函数，期中a ，b ∈R ，且0

零点，设函数F （x ）=f 2（x ）+f 2（-x ），则对于F （x ）有如下四个说法： ①定义域是[-b ，b ]； ②是偶函数； ③最小值是0； ④在定义域内单调递增 其中正确的说法的个数有 2

6.. 已知集合}023|{2=+-=x ax x A

.若A 中至多有一个元素，则a 的取值范围是

9|,08a a a ??≥=????

或

7.函数y x a =-的图象关于直线3x =对称.则a = ▲ 3

8. 已知函数2(4)

()(1)(4)

x x f x f x x ?<=?-≥?, 则(5)f _____________ 8

9.已知函数2()3f x ax bx a b =+++是偶函数，且其定义域为［1,2a a -］，则a+b=

3

1

10.函数x x f 3log 2)(-=的定义域是 ]9,0(

11．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，则(6)f 的值为 0 提示：(6)(42)(4)(22)(2)(0)0

f f f f f f =+=-=-+==-=

12． 已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()1f x x =-，那么不等式1()2

f x <

的解集是 13

(,)[0,

)22

-∞-U

提示：设0x <，则0x ->，()1()f x x f x -=--=-，∴ ()1f x x =+，且(0)0f =

0x =或0112x x

112x x >???-

x ≤≤

13．13. 对于任意实数x ，符号[x]表示x 的整数部分，即[x]是不超过x 的最大整数”.在实数轴R （箭头向右）上[x]是在点x 左侧的第一个整数点，当x 是整数时[x]就是x.这个函数[x]叫做“取整函数”，那么[log 21]+[log 22]+[log 23]+[log 24]+…+[log 21024]= ★_

8204

14. 设函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当x 0≥时，f(x)=x 2

, 若对任意的

x []2,+∈t t 不等式f(x+t))(2x f ≥恒成立，则实数

t 的取值范围

是 .2≥t

二、解答题：(15+15+15+15+15+15=90分)

15．计算：（1）2lg 25lg 2lg 50(lg 2)+?+ (2) (221

)41-(-1999)0

-(332

)83-+(2)2

3-

解：（1）原式＝22lg5lg 2(1lg5)(lg 2)2lg5lg 2(1lg5lg 2)2lg52lg 22+?++=+++=+= (2)

2

1

16. 已知函数f(x)=x 2+2ax+2, x []5,5-∈.

(1)当a=-1时，求函数的最大值和最小值；

(2) 若y=f(x)在区间[]5,5- 上是单调 函数，求实数 a 的取值范围。 解：（1）最大值 37, 最小值 1

(2)a 5≥或a 5-≤

17. 如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大

A

B

C

D

M

N P

的矩形花坛AMPN ，要求B 在AM 上，D 在AN 上，且对角线MN 过C 点，已知|AB |＝3米，|AD |＝2米，

（1）设AN 的长为x 米，用x 表示矩形AMPN 的面积？

（2） 要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，则AN 的长应在什么范围内？ . 解：（1）设AN 的长为x 米（x >2）

∵

|DN||DC||AN||AM|=，∴|AM |＝32

x

x - ∴S AMPN ＝|AN |?|AM |＝232x x - --

（2）由S AMPN > 32 得 2

32

x x - > 32 ，

∵x >2，∴2332640x x -+>，即（3x －8）（x －8）> 0

∴8

283

x x <<

> 或 即AN 长的取值范围是8(2)(8)3

∞U ，，+

18（本小题满分15分）已知函数)()14(log )(4R ∈++=k kx x f x

是偶函数。 （I ）求k 的值；

（II ）若方程m m x f 求有解,0)(=-的取值范围 解：（I ）由函数).()(,)(x f x f x f -=可知是偶函数

.

)14(log )14(log 44kx kx x x -+=++∴-

,

24log ,

21

414log 44kx kx x x x -=-=++-即 .2恒成立对一切R x kx x ∈-=∴

2

1

-=∴k

（II ）由x x f m x

2

1)14(log )(4-

+==， ).212(log 214log 4

4x

x

x x m +=+=∴

221

2≥+

x x Θ， .2

1≥∴m

故要使方程.2

1,0)(≥=-m m m x f 的取值范围为有解 19.已知二次函数()2

f x ax bx c =++.

（1）若()10f -=，试判断函数()f x 图像与x 轴交点个数；

(2)是否存在,,a b c R ∈，使()f x 同时满足以下条件①当1x =-时， 函数()f x 有最小值0；；②对x R ?∈,都有21

0()(1)2

f x x x ≤-≤-。若存在，求出,,a b c 的值，若不存在，请说明理由。 21．解：

（1）()10,0,f a b c -=∴-+=Q b a c =+

2224()4()b ac a c ac a c ?=-=+-=-Q -

当a c =时0?=，函数()f x 有一个零点； 当a c ≠时，0?>，函数()f x 有两个零点。

(2)假设,,a b c 存在，由①得2

41,024b ac b a a

--=-= ? 2

2

2,444b a b ac a ac a c ==?=?= 由②知对x R ?∈,都有21

0()(1)2

f x x x ≤-≤

- 令1x =得0(1)10f ≤-≤(1)10f ?-=(1)1f ?=1a b c ?++=

由1

2a b c b a a c

++=??

=??=?

得11,42a c b ===，

当11,42a c b ==

=时，221111

()(1)4244

f x x x x =++=+，其顶点为（－1，0）满足条件①，又21()(1)4f x x x -=-?对x R ?∈,都有2

10()(1)2

f x x x ≤-≤-，满足条件②。

∴存在,,a b c R ∈，使()f x 同时满足条件①、②。

20.已知函数2()(0,0)f x ax bx c a bc =++>≠,()0,,()()

0.

f x x F x f x x >?=?

-

（Ⅰ）若函数)(x f 的最小值是(1)0f -=，且(0)1f =，求(2)(2)F F +-的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，k x x f +>)(在区间[3,1]--恒成立，试求k 的取值范围；

（Ⅲ）令()2g x ax b =+,若(1)0g =,又()f x 的图象在x 轴上截得的弦的长度为m ，且

02m <≤，试确定c b -的符号.

解：（Ⅰ）由已知.12,0,1-=-

=+-=a

b

c b a c 且 解得1a =，2b =，

∴ 2

()(1)f x x =+ , ∴ 22

(1),(0)()(1),

(0),

x x F x x x ?+>?=?

-+

∴ 2

2

(2)(2)(21)[(21)]8F F +-=++--+=.

（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下，k x x f +>)(在区间[3,1]--恒成立,即2

10x x k ++->在区

间[3,1]--恒成立,

从而12

++

()1p x x x =++,

则函数2()1p x x x =++在区间[3,1]--上是减函数，且其最小值

min ()(1)1p x p =-=，

∴ k 的取值范围为(,1)-∞

（Ⅲ）由(1)0g =，得20a b +=，

∵ 0a > ∴20b a =-<,

设方程0)(=x f 的两根为21,x x ，则122b

x x a

+=-=,12

c x x a =,

∴12||m x x =-==

∵ 02m <≤， ∴ 01

<≤, ∴01c a

≤<，

∵ 0a >且0bc ≠， ∴ 0c >， ∴ 0c b ->