函数与方程 知识梳理

函数与方程

【考纲要求】

1.了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．

2.根据具体函数的图像，能够用二分法求相应方程的近似解．

3.理解函数与方程之间的关系，并能解决一些简单的数学问题。 【知识网络】

【考点梳理】

1．函数零点的理解

（1）函数的零点、方程的根、函数图象与x 轴的交点的横坐标，实质是同一个问题的三种不同表达形式，方程根的个数就是函数零点的个数，亦即函数图象与x 轴交点的个数． （2）变号零点与不变号零点

①若函数()f x 在零点x 0左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数()f x 的变号零点． ②若函数()f x 在零点x 0左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数()f x 的不变号零点．

③若函数()f x 在区间[a ，b]上的图象是一条连续的曲线，则()()0f a f b ?<是()f x 在区间（a ，b ）内有零点的充分不必要条件．

要点诠释：如果函数最值为0，则不能用此方法求零点所在区间。 2．用二分法求曲线交点的坐标应注意的问题

（1）曲线交点坐标即为方程组的解，从而转化为求方程的根．

（2）求曲线()y f x =与()y g x =的交点的横坐标，实际上就是求函数()()y f x g x =-的零点，即求()()0f x g x -=的根．

要点诠释：如果函数的图象不能画出，应通过适当的变形转换成另外的函数。 3．关于用二分法求函数零点近似值的步骤需注意的问题

（1）第一步中要使：①区间长度尽量小；②()f a 、()f b 的值比较容易计算且()()0f a f b ?<．

函数与方程 函数的零点

二分法

函数与方程的关系

（2）根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点与求相应方程的根是等价的．对于求方程()()f x g x =的根，可以构造函数()()()F x f x g x =-），函数()F x 的零点即为方程()()f x g x =的根． 【典型例题】

类型一、判断函数零点的位置

例1.函数f(x)＝2x

＋3x 的零点所在的一个区间是 ( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1) D ．(1,2) 解析：∵f(0)＝1>0，f(－1)＝5

2

-

<0，∴选B. 答案：B

点评：求函数的零点就是求相应方程的实数根，一般可以借助求根公式或因式分解等方法，求出方程的根，从而得到函数的零点.

举一反三：

【变式】已知函数()log (0,1)a f x x x b a a =+->≠且，当234a b <<<<时，函数()f x 的零点

*0(,1),x n n n N ∈+∈,则n = ．.

解：用数形结合法 log a x x b =-+ 作出 2log y x =及3log y x =的图象， 作出 3y x =-+及4y x =-+

由图象可知，当(2,3)a 在内变动，(3,4)b 在内变动时，显然对数函数图象与直线y x b =-+的公共点皆在区间(2,3)内，即函数()f x 的零点0(2,3)x ∈，故2n =．

类型二、确定函数零点的个数

例2.二次函数2

y ax bx c =++中，0ac <，则函数的零点的个数是( ) A.1 B.2 C.0 D.无法确定 解法1：2

0,40ac b ac <∴?=->Q ∴方程2

0ax bx c ++=有两个不相等的实数根 ∴函数2

y ax bx c =++有两个零点，选B. 解法2：()00ac a f =?

()()

000000a a f f >????或，

不论哪种情况，二次函数图象与x 轴都有两个交点，所以函数有两个零点.选B. 点评：可以利用函数图象或方程的判别式.

举一反三：

【变式】设函数f (x )＝4sin(2x ＋1)－x ，则在下列区间中函数f (x )不存在零点的是( ) A ．[－4，－2] B ．[－2,0] C ．[0,2]

D ．[2,4]

解析：本题判断f(x)＝0在区间内是否成立，即4sin(2x ＋1)＝x 是否有解．如图：

显然在[2,4]内曲线y ＝4sin(2x ＋1)，当x ＝54π－12时，

y ＝4，而曲线y ＝x ，当x ＝54π－1

2<4，有交

点，故选A.

答案：A

例3.（2015 安徽三模）定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，()()12

log 1,[0,1)

13,[1,)

x x f x x x ?+∈?=??--∈+∞?，则关

于x 的函数()()()01F x f x a a =-<<的所有零点之和为（ ） A ．21a

- B ．21a

-- C ．12a -- D ．12a -

答案：D

【解析】当10-x ≤<时，10x ≥->，当1x ≤-时，1x -≥，()f x Q 为奇函数

0x

13,(,1]

x x f x f x x x ?--+∈-?=--=??-+--∈-∞-?画出()y f x =和()01y a a =<<的图像如图所示：

共有5个交点，设其横坐标从左到右分别为1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，则

12

32x x +=-，4532x x +=，而()132

log 1x a --+=即()23log 1x a -+= 312a x ∴-= 即312a x =-

所以1234512a

x x x x x ++++=-，故选D.

举一反三：

【变式1】（2015 河东区一模）函数()2ln f x x x =--在定义域内零点的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 答案：C

【解析】由题意，函数()f x 的定义域为()0,+∞；

求函数()2ln f x x x =--在定义域内零点的个数等价于求函数ln y x =和函数2y x =-的图像在

()0,+∞上的交点个数，在同一个坐标系下画出两个函数的图像如下：

由图得，两个函数图像有两个交点，故对应函数有两个零点.故选C.

【变式2】已知函数2()1f x x =-，()g x x a =+.若方程()()0f x g x -=有两个不相等的实根，求实数a 的取值范围。

解析：方法一：2()1y f x x ==-2

2

1x y ?+=（0y ≥）的图象是圆心为(0,0)，半径1r =的半圆，

2()1f x x =-、()g x x a =+的图象如下：

设圆心到直线()y g x x a ==+距离为d , 则直线与圆相切时，12

d =

=，解得2a = 由上图知：当12a ≤<

11a -≤<时，二者只有一个公共点，

∴实数a 的取值范围：2)a ∈.

类型三、用二分法求函数的零点的近似值

例4.求函数()3

2

236f x x x x =+--的一个正数零点(精确到0.1).

解：由于()()160,240f f =-<=>，可取区间[]1,2作为计算的初始区间，用二分法逐步计算，列区间

中

中点函

由上表计算可知，区间[1.6875，1.75]的长度1.75-1.6875=0.0625<0.1，所以可以将1.6875的近似值1.7作为函数零点的近似值.

点评：应首先判断x 的取正整数时，函数值的正负，使正整数所对应的区间尽量小，便于利用二分法求其近似值.

举一反三：

【变式1】用二分法求函数()25f x x =-的一个正零点（精确到0.01）

解：⑴由()()21, 2.5 1.25f f =-=，()()2 2.50f f ?<可知函数的一个正零点在[]2,2.5区间中； ⑵取[]2,2.5的区间中点2.25；

⑶计算()2.25 5.062550.0625f =-=；

⑷由于()()2 2.250f f ?<，则有零点的新区间为[]2,2.25 ⑸取[]2,2.25的区间中点2.125；

⑹计算()2.125 4.49442550.505575f =-=-；

⑺由于()()2.125 2.250f f ?<，则有零点的新区间为[]2.125,2.25； ⑻取[]2.125,2.25的区间中点2.1875；

⑼计算()2.1875 4.785156350.248437f =-=-；

⑽由于()()2.1875 2.250f f ?<，则有零点的新区间为[]2.1875,2.25； ⑾取[]2.1875,2.25的区间中点2.21375；

⑿计算()2.21375 4.90068950.099311f =-=-；

⒀由于()()2.21375 2.250f f ?<，则有零点的新区间为[]2.21375,2.25； ⒁取[]2.21375,2.25的区间中点2.231875

⒂计算()2.231875 4.98126650.018734f =-=-；

⒃由于()()2.231875 2.250f f ?<，则有零点的新区间为[]2.231875,2.25； ⒄取[]2.231875,2.25的区间中点2.2409375； ⒅计算()2.2409375 5.02208150.022081f =-=； ⒆由于()()2.231875 2.24093750f f ?<，

⒇由于()()2.23640625 2.24093750f f ?<，则有零点的新区间为[]2.236406255,2.2409375；又因为零点要求精确到0.01，而区间两端点近似值相同都是2.24，所以函数()25f x x =-的一个正零点为：2.24.

类型四、函数与方程综合应用

例5.定义域为R 的偶函数f(x)，当x>0时，f(x)＝lnx －ax(a ∈R)，方程f(x)＝0在R 上恰有5个不同的实数解．

(1)求x<0时，函数f(x)的解析式；

(2)求实数a 的取值范围． 解析：(1)设x<0，则－x>0， ∵f(x)是偶函数，

∴f(x)＝f(－x)＝ln(－x)＋ax(x<0)． (2)∵f(x)是偶函数，

∴f(x)＝0的根关于x ＝0对称，又f(x)＝0恰有5个实数根，则5个根有两正根，两负根，一零根，且两正根与两负根互为相反数，

∴原命题可转化为：当x>0时，f(x)的图像与x 轴恰有两个不同的交点． 下面就x>0时的情况讨论． ∵f′(x)＝1

x

－a ，

∴当a≤0，f′(x)>0，f(x)＝lnx －ax 在(0，＋∞)上为增函数， 故f(x)＝0在(0，＋∞)上不可能有两个实根． a>0时，令f′(x)＝0，x ＝1

a .

当0

a 时，f′(x)>0，f(x)递增，

当x>1

a

时，f′(x)<0，f(x)递减，

∴f(x)在x ＝1

a

处取得极大值－lna －1，则要使f(x)在(0，＋∞)有两个相异零点，如图．

∴只要：－lna －1>0，即lna<－1，

得：a ∈? ??

??0，1e . 举一反三：

【变式】已知函数f(x)＝4x

＋m·2x

＋1有且仅有一个零点，求m 的取值范围，并求出该零点． 解析：∵f(x)＝4x

＋m·2x

＋1有且仅有一个零点， 即方程(2x )2

＋m·2x ＋1＝0仅有一个实根． 设2x

＝t(t>0)，则t 2

＋mt ＋1＝0. 当Δ＝0时，即m 2

－4＝0，

∴m ＝－2时，t ＝1；m ＝2时，t ＝－1不合题意，舍去， ∴2x

＝1，x ＝0符合题意． 当Δ>0，即m>2或m<－2时， t 2

＋mt ＋1＝0有两正根或两负根， f(x)有两个零点或无零点不合题意． ∴这种情况不可能．

综上可知：m ＝－2时，f(x)有唯一零点，该零点为x ＝0.

【巩固练习】

1．若函数)(x f y =在区间[],a b 上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（ ） A ．若0)()(>b f a f ，不存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ；

B ．若0)()(

C ．若0)()(>b f a f ，有可能存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ；

D ．若0)()(

2．若1x 是方程lg 3x x +=的解，2x 是310=+x x 的解，则21x x +的值为（ ） A ．

23 B ．32 C ．3 D ．3

1 3.（2014 东营一模）对任意实数a,b 定义运算“?”：,1

,1

b a b a b a a b -≥??=?

-

若函数()y f x k =+的图像与x 轴恰有三个不同交点，则k 的取值范围是（ ） A. ()2,1- B. []0,1 C. [2,0)- D. [2,1)-

4．设()833-+=x x f x

,用二分法求方程()2,10833∈=-+x x x

在内近似解的过程中得

()()(),025.1,05.1,01<>

A ．(1,1.25)

B ．(1.25,1.5)

C ．(1.5,2)

D ．不能确定 5．直线3y =与函数26y x x =-的图象的交点个数为（ ） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个

6．若方程0x a x a --=有两个实数解，则a 的取值范围是（ ） A ．(1,)+∞ B ．(0,1) C ．(0,2) D ．(0,)+∞

7．函数f(x)＝e x

＋x －2的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1) D ．(1,2)

8．若方程2ax 2

－x －1＝0在(0,1)内恰有一解，则a 的取值范围为( ) A ．a<－1 B ．a>1 C ．－1

9.若函数2

()2f x x x a =++没有零点，则实数a 的取值范围是（ ） A.1a < B.1a > C.1a ≤ D.1a ≥

10.设函数()3f x x bx c =++是[-1，1]上的增函数，且11022f f ????

-

?< ? ?????

，则方程()0f x =在[-1，1]内( )

A.可能有3个实数根

B.可能有2个实数根

C.有唯一的实数根

D.没有实数根 11.若已知()()0,0f a f b <>，则下列说法中正确的是( )

A.()f x 在(),a b 上必有且只有一个零点

B.()f x 在(),a b 上必有正奇数个零点

C.()f x 在(),a b 上必有正偶数个零点

D.()f x 在(),a b 上可能有正偶数个零点，也可能有正奇数个零点，还可能没有零点 12.函数()2

32f x x x =-+在区间()1,2内的函数值( )

A.大于等于0

B.小于等于0

C.大于0

D.小于0

13.如图，下列函数图象与x 轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是( )

14.三次方程3

2

210x x x +--=在下列连续整数____________之间有根. ①-2与-1 ②-1与0 ③0与1 ④1与2 ⑤2与3

15.(2015 北京高考)设函数()(

)()2,1

42,1x a x f x x a x a x ?-

①若1a =，则()f x 的最小值为 .

②若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是 .

16.（2015 赫山区校级一模）已知二次函数()f x 有两个零点0和-2,且()f x 最小值是-1，函数()g x 与

()f x 的图像关于原点对称.

（1）求()f x 和()g x 的解析式.

(2)若函数()()()h x f x g x λ=-在区间[]1,1-上是增函数，求实数λ的取值范围. 17．已知函数2

()1f x ax bx =++（, a b 为实数，0a ≠，x ∈R ）．

（1）当函数()f x 的图像过点(1, 0)-，且方程()0f x =有且只有一个根，求()f x 的表达式； （2）在（1）的条件下，当[]2, 2x ∈-时，()()g x f x kx =-是单调函数，求实数k 的 取值范围；

（3）若() 0,

()() 0,f x x F x f x x >?=?-

当0mn <，0m n +>，0a >，且函数()f x 为偶函数

时，试判断()()F m F n +能否大于0？

【参考答案与解析】

1.C 对于A 选项：可能存在；对于B 选项：必存在但不一定唯一

2.C 作出123lg ,3,10x

y x y x y ==-=的图象，23,y x y x =-=

交点横坐标为32，而123

232

x x +=?= 3.D

【解析】当()

()2141x -x -+<即23x -<<时， ()2

1f x x =- 当()

()2141x x --+≥即3x ≥或2x ≤-时，()4f x x =+

∴函数()21,23

4,2x x y f x x x x 3?--<<==?+≤-≥?

或的图像如图所示：

由图像得：2k<1-≤，函数()y f x =与y k =-的图像有3个交点,即函数()y f x k =+的图像与x 轴恰有三个公共点.故选D . 4.B ()()1.5 1.250f f ?< 5.A 作出图象，发现有4个交点

6．A 作出图象，发现当1a >时，函数x

y a =与函数y x a =+有2个交点

7.C 解法一：本题考查了函数的零点定理和导数．

∵f′(x)＝e x ＋1>0，∴函数f(x)＝e x

＋x －2在R 上单调递增， 又∵f(0)＝－1<0，f(1)＝e －1>0，即f(0)f(1)<0， ∴由零点定理知，该函数零点在区间(0,1)内．

解法二：∵f(0)＝e 0－2＝－1<0，f(1)＝e 1＋1－2＝e 1－1>0，∴f(0)·f(1)<0，故f(x)＝e x

＋x

8.B f(x)＝2ax 2

－x －1

∵f(0)＝－1<0 f(1)＝2a －2

∴由f(1)>0得a>1，又当f(1)＝0，即a ＝1时，

2x 2－x －1＝0的两根为x1＝1，x 2

＝－12不适合题意．故选B.

9.B 由方程2

20x x a ++=的判别式小于0，可得1a >，故选B. 10.C ()f x Q 在[-1，1]上是增函数且11022f f ????

-

?< ? ?????

()0f x ∴=在11,22??

-????

上有唯一实根

()0f x ∴=在[-1，1] 上有唯一实根.故选C.

11.D 若()f x 不连续则可能没有零点，若()f x 在该区间有二重零点则可能有正偶数个零点.故选D.

12.D ()2

32f x x x =-+的两个零点是1和2，()f x 在1和2之间函数值同号.又31024f ??=-<

?

??

，故选D.

13.B 用二分法只能求变号零点，选项B 中的零点为不变号零点，不宜用二分法求解.故选B. 14.①②④

解析：令()3

2

21f x x x x =+--

()()()()()()210,100,120f f f f f f -?-<-?

15. 1[,1)[2,)2

+∞U

【解析】①当1a =时，()(

)()21,1

412,1x x f x x x x ?-

当1x <时，()21x f x =-为增函数，()1f x >-，

当1x ≥时，()()()2

3412412f x x x x ?

?=--=-- ??

?故当32x =时，()min 312f x f ??==- ???

②设()2x h x a =-，()()()42g x x a x a =--

若在1x <时，()h x 与x 轴有一个交点，所以0a >，并且当1x =时，()120h a =->，所以02a <<.而函数()()()42g x x a x a =--有一个交点，所以21a ≥，且1a < 所以

1

12

a ≤< 若函数()2x

h x a =-在1x <时，与x 轴没有交点， 则函数()()()42g x x a x a =--有两个交点，

当0a ≤时，()h x 与x 轴无交点，()g x 与x 轴无交点，所以不满足题意. 当()120h a =-≤时，即2a ≥时，()g x 与x 轴有两个交点，都满足题意 综上所述a 的取值范围是

1

12

a ≤<或2a ≥. 16.【解析】（1）Q 二次函数()f x 有两个零点0和-2.

∴设()()()2220f x ax x ax ax a =+=+>.()f x 图像的对称轴是1x =-.

()11f ∴-=-即21a a -=-1a ∴= ()22f x x x ∴=+

Q 函数()g x 的图像与()f x 的图像关于原点对称

()()22g x f x x x ∴=--=-+

(2)由（1）得()()

()()2

2

2

22121h x x x x x x x λλλ=+--+=++-

①当1λ=-时，()4h x x =满足在区间[]1,1-上是增函数； ②当1λ<-时，()h x 图像对称轴是1

1

x λλ-=+ 则

1

11

λλ-≥+，解得1λ<-； ③当1λ>-时，同理需

1

11

λλ-≤-+解得10λ-<≤.

综上，满足条件的实数λ的取值范围是(],0-∞. 17．解：（1）因为(1)0f -=，所以10a b -+=.

因为方程()0f x =有且只有一个根，所以2

40b a ?=-=. 所以2

4(1)0b b --=. 即2b =，1a =.所以2

()(1)f x x =+.

（2）因为2

2

()()21(2)1g x f x kx x x kx x k x =-=++-=--+=2

22(2)()124

k k x ---+-

． 所以当

222k -≥或2

22

k --≤时，即6k ≥或2k -≤时，()g x 是单调函数． （3）()f x 为偶函数，所以0b =. 所以2

()1f x ax =+.

所以22

1 0,

() 1 0.

ax x F x ax x ?+>?=?--

因为0mn <，不妨设0m >，则0n <.又因为0m n +>，所以0m n >->.

所以m n >-. 此时22()()()()11F m F n f m f n am an +=-=+--22

()0a m n =->.

所以()()0F m F n +>．