武汉大学大学物理B(上)考试试卷

2013年大学物理B （上）期中考试试卷

考试时长：90分钟

专业 班号 学号 姓名

1、（本题15分）一质量为m 的质点在O-xy 平面上运动，其位置矢量为

j t b i t a r

ωωsin cos +=(SI)

式中a 、b 、ω 是正值常量，且a ＞b ． 试求：

（1）质点在任意时刻的速率v ，以及在A 点(a ，0)时和B 点(0，b )时的速度A v 和B v

；

（2）当质点从A 点运动到B 点的过程中，合外力所做的功； （3）质点在任一时刻对于坐标原点的角动量。

2、（本题15分）已知一质量为m 的质点在x 轴上运动，质点只受到指向原点的引力的作用，引力大小与质点离原点的距离x 的平方成反比，即2

/x k f -=，k 是比例常数．设质点在

0x x =时的速率为0v ，且向x 轴正方向运动，（0x 、0v 均大于零）。试求

（1）质点能到达的最远位置坐标m ax x ；

（2）当质点在该引力的作用下，由0x 处运动到20x 处时引力做的功； （3）若以0x 处为该引力场的零势能点，求质点在20x 处的引力势能。

3、（本题15分）发射地球同步卫星时，先要让卫星在一个大的椭圆形转移轨道上运动若干圈，如图所示。设卫星质量kg 500=m ，椭圆轨道近地点的高度为

km 14001=h ，远地点的高度（也就是同步轨道的高度）km 000 362=h 。当卫星在转移轨道上运动到远

地点时再利用火箭推力使之进入同步轨道。已知：地球赤道半径km 6378=R ，地球质量

=M 5.982410?kg ，万有引力常量G 2211kg m N 1067.6--???=。试求：

（结果保留3位有效数字）

（1）以无限远处为引力势能的零势能点，求卫星在同步轨道上运动时的机械能。 （2）卫星在转移轨道上运动时，它在近地点的速率1v 和远地点的速率2v 。 4．（本题12分）质量为1m 和2m 的两物体A 、B 分别悬挂在如图所示的组合轮两端。设两轮的半径分别为R 和r ，转动惯量为别为1I 和2I ，轮轴上的摩擦可以忽略不计，轮与绳之间没有相对滑动，轻绳不可伸长。试求两物体的加速度和绳的张力。

转移轨道

5. （13分）一个摆锤由一根长为l 质量为m '的匀质细棒和一个质量也为m '的锤B 固定铆接组成，该摆锤能够在竖直平面内绕O 点无摩擦地转动，如图所示。质量为m 的弹丸A 穿过摆锤后速率由v 减小到2v 。如果摆锤能在竖直平面作一个完整的圆周运动，试求弹丸的最小速率v 。

6、（本题15分）在光滑的水平桌面上有一个弹簧振子，振子质量g m 100=，弹簧的劲度系数N/m 10=k ，振幅为10cm 。当0=t 时，位移为=0x 0.5-cm ，且向X 轴正方向运动。试求：

(1) 振子的振动表达式；

(2) 0.1=t s 时，振子的动能及系统的总能量。 7、（本题15分）已知某平面简谐波沿X 轴负向传播，波速0.3=u m/s ，周期0.2=T 。s 0=t 时刻的波形如右图所示。试求： （1）此波的波动表达式。 （2）P 点的位置坐标P x 。

2013年大学物理B （上）期中考试试卷及答案

考试时长：90分钟

专业 班号 学号 姓名

1、（本题15分）一质量为m 的质点在O-xy 平面上运动，其位置矢量为

j t b i t a r

ωωsin cos +=(SI)

式中a 、b 、ω 是正值常量，且a ＞b ． 试求：

（1）质点在任意时刻的速率v ，以及在A 点(a ，0)时和B 点(0，b )时的速度A v 和B v

；

（2）当质点从A 点运动到B 点的过程中，合外力所做的功； （3）质点在任一时刻对于坐标原点的角动量。 1解：（本题15分）

（1）因为 j t b i t a r

ωωsin cos += (SI)

? P

O

x /m

m 10/2-?y

0.1-

2

3 B

A

v

2

v O

l

m '

所以 j t b i t a t

r

v cos sin d d ωωωω+-== （m/s ） 2分

()

() cos sin 2

2

2

2t b t a v v v y x ωωωω+=

+=

（m/s ） 1分

在A 点(a ，0) ，1cos =t ω，0sin =t ω

j b v A

ω= 2分 在B 点(0，b ) ，0cos =t ω，1sin =t ω

i a v B

ω-= 2分

（2） 由质点的动能定理，合外力的功为： 2

22

121A B KA KB mv mv E E A -=-= 222221

21ωωmb ma -=

4分 （3） v m r L

?= 2分

()m j t b i t a ?+= ωωsin cos ()j t b i t a

cos sin ωωωω+-

k mab

ω= 2分

2、（本题15分）已知一质量为m 的质点在x 轴上运动，质点只受到指向原点的引力的作用，引力大小与质点离原点的距离x 的平方成反比，即2

/x k f -=，k 是比例常数．设质点在

0x x =时的速率为0v ，且向x 轴正方向运动，（0x 、0v 均大于零）。试求

（1）质点能到达的最远位置坐标m ax x ；

（2）当质点在该引力的作用下，由0x 处运动到20x 处时引力做的功； （3）若以0x 处为该引力场的零势能点，求质点在20x 处的引力势能。

解：（1）由 2x k

dx dv mv dt dv m

f -=== 2分 得： dv k mv

dx x v x x ??=-0

20

max 01 2分

解此方程得： 2

00

max 22v mx k kx x -= 2分 （2） 因为 dx x k

dx f dA 2-=?= 3分

所以 022

00

x k

dx x k dA A x x =-==?? 2分

（3）由保守力做功=势能的减少量，可得 ()()200x E x E A P P -=0

x k

=

2分 其中()0x E P 和()20x E P 分别是质点在0x 处和20x 处的引力势能，由题意，令()0x E P =0，得：

()20x E P 0

x k

A -=-= 2分

3、（15分）发射地球同步卫星时，先要让卫星在一个大的椭圆形转移轨道上运动若干圈，如图所示。设卫星质量=m 500kg ，椭圆轨道近地点的高度为=1h 1400km ，

远地点的高度（也就是同步轨道的高度）km 000 362=h 。当卫星在转移轨道上运动到远地点

时再利用火箭推力使之进入同步轨道。已知：地球赤

道半径km 6378=R ，地球质量=M 5.982410?kg ，万有引力常量G 2211kg m N 1067.6--???=。试求：（结果保留3位有效数字）

（1）以无限远处为引力势能的零势能点，求卫星在同步轨道上运动时的机械能。 （2）卫星在转移轨道上运动时，它在近地点的速率1v 和远地点的速率2v 。 解：（1）设卫星在同步轨道上运动时的速率为t v ，则

()222

2h R v m h R mM

G t +=+ 2

2

h R M G v t += 2分 所以机械能： 2

2

21h R Mm G mv E E E t P K +-=+= 3分

2

2h R Mm

G +-

=J 1035.29?-= 2分 （2）卫星在转移轨道上运动时满足角动量守恒和机械能守恒，所以有 ()()2211h R mv h R mv +=+ 2分

2

221212121h R Mm G mv h R Mm G mv +-=+- 2分 解此方程得： ()()

=++++=1212

12h R h h R h R GM v 58.6s m /103? 2分

()()

=++++=2211

22h R h h R h R GM

v s m /1021.13? 2分

4．（本题12分）质量为1m 和2m 的两物体A 、B 分别悬挂在如图所示的组合轮两端。设两轮的半径分别为R 和r ，转动惯量为别为1I 和2I ，轮轴上的摩擦可以忽略不计，轮与绳之间没有相对滑动，轻绳不可伸长。试求两物体的加速度和绳的张力。

转移轨道

解：两物体和组合轮的受力如图所示，由牛顿运动定律和转动定律,可得： 1111a m T g m =- 1分

2222a m g m T =- 1分 ()α2121I I r T R T +=- 2分

αR a =1 2分 αr a =2 2分

求解上述方程组，可得

gR r

m R m I I r

m R m a 2

22121211+++-= 1分 gr r

m R m I I r

m R m a 2

22121212+++-= 1分 g m r m R m I I Rr m r m I I T 12

22121222211++++++= 1分 g

m r m R m I I Rr m R m I I T 22

22121121212++++++=

1分

5. （13分）一个摆锤由一根长为l 质量为m '的匀质细棒和一个质量也为m '的锤B 固定铆接组成，该摆锤能够在竖直平面内绕O 点无摩擦地转动，如图所示。质量为m 的弹丸A 穿过摆锤后速率由v 减小到2v 。如果摆锤能在竖直平面作一个完整的圆周运动，试求弹丸的最小速率v 。 解：摆锤对O 轴的转动惯量为： 2223

4

31l m l m l m I I I '='+'=

+=锤杆 3分 以弹丸和摆锤作为一个系统，弹丸A 在穿过锤B 的瞬间，系统的角动量守恒，即 02

ωI l v

m

mvl += 4分 在摆锤上摆到最高点的过程中，假设角速度恰好为0，由机械能守恒，得

()gl m l g m gl m gl m I '='+'='+2

7

223212120ω 4分 由此可解的，弹丸的最小速度为 gl m

m v 24'

= 2分

6、（本题15分）在光滑的水平桌面上有一个弹簧振子，振子质量g m 100=，弹簧的劲度系数N/m 10=k ，振幅为10cm 。当0=t 时，位移为=0x 0.5-cm ，且向X 轴正方向运动。试求：

(1) 振子的振动表达式；

(2) 0.1=t s 时，振子的动能及系统的总能量。

解（1）由题意知，m 10.0=A

rad/s 1010.010===m k ω 2分

又0=t 时 m 05.0cos 0-==?A x 1分 0sin 0>-=?ωA v 1分 由此得

4π?= 2分

所以振动方程为 ()m 3410cos 10.0π+=t x 2分 （2）因为物体的振动速度为

()m /s 3410sin 0.1π+-==t dt dx v 2分

动能 ()J 1099.43410sin 1.021

21222-?=+??==

πmv E K 2分 总能量 J 100.51.0102

1

21222-?=??==KA E 3分

注：因振动方程错误，导致动能求错时，若没有新的错误不扣分。

7、（本题15分）已知某平面简谐波沿X 轴负向传播，波速0.3=u m/s ，周期0.2=T 。s 0=t 时刻的波形如右图所示。试求：（1）此波的波动表达式。（2）P 点的位置坐标P x 。

解：（1）由图可知，m 100.12

-?=A ，在坐标原点0=x 处，s 0=t 时刻

()23cos 0,00A A y ==? 1分

()0sin 0,00>-=?ωA v 1分 由此可得 60π?-= 2分 所以波动表达式为： ()???

?

??+??? ??+=02cos ,?πu x t T A t x y 2分

()()m 6cos 10

0.12

ππ-+?=-x t 2分

（2）由波形图可作出O 点和P 点在s 0=t 时刻的旋转矢量图，如图所示 2分 又P 点振动相位超前，O 点落后，即 3

52π

λ

π

??=

=

-P O P x 3分

即 m 0.5=x 1分

6、（本题20分）在光滑的水平桌面上有一个弹簧振子，振子质量g m 100=，弹簧的劲度系数N/m 10=k ，振幅为10cm 。当0=t 时，位移为0.5-cm ，且向X 轴正方向运动。试求：(1) 振子的振动表达式；(2) 0.1=t s 时，振子的动能及系统的总能量；(3)振子由起始位置到第二次到达平衡位置（0=x ）时所需的时间。 解（1）由题意知，m 10.0=A

rad/s 1010.010===m k ω 2分

又0=t 时 m 05.0cos 0-==?A x 0sin 0<-=?ωA v 由此得

2π?= 3分

所以振动方程为 ()m 3210cos 10.0π+=t x 2分 （2）因为物体的振动速度为

()m /s 3210sin 0.1π+-==t dt dx v 2分

动能 ()J 1025.2210sin 1.021

21222-?=+??==

πmv E K 2分 总能量 J 100.51.0102

1

21222-?=??==KA E 3分

注：因振动方程错误，导致动能求错时，若没有新的错误不扣分。 （3）当振子由起始位置到第二次到达x =0处时，对应的旋

转矢量由0A 转到了2A

处，如图所示 2分

所以： 6

1110π

ω=?=?t t 2分 即 s 60

11π

=?t s 576.0= 2分