结构力学知识点汇总

结构力学知识点汇总

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1.关于∞点和∞线的下列四点结论：

(1) 每个方向有一个∞点(即该方向各平行线的交点)。 (2) 不同方向上有不同的∞点。

(3) 各∞点都在同一直线上，此直线称为∞线。 (4) 各有限远点都不在∞线上。

2.多余约束与非多余约束是相对的，多余约束一般不是唯一指定的。一个体系中有多个约束时，应当分清多余约束和非多余约束，只有非多余约束才对体系的自由度有影响。

3.W>0, 缺少足够约束，体系几何可变。W=0, 具备成为几何不变体系所要求 的最少约束数目。W<0， 体系具有多余约束。

4.一刚片与一结点用两根不共线的链杆相连组成的体系内部几何不变且无多余约束。 两个刚片用一个铰和一根不通过此铰的链杆相联，组成无多余约束的几何不变体系。 两个刚片用三根不全平行也不交于同一点的链杆相联，组成无多余约束的几何不变体系。 三个刚片用不在同一直线上的三个单铰两两相连，组成无多余约束的几何不变体系。

5.二元体规律：

在一个体系上增加或拆除二元体，不改变原体系的几何构造性质。

6.形成瞬铰（虚铰）的两链杆必须连接相同的两刚片。

7.w=s-n ，W=0,但布置不当几何可变。自由度W >0 时，体系一定是可变的。 但W ≤0仅是体系几何不变的必要条件。S=0,体系几何不变。

8..轴力FN --拉力为正；

剪力FQ--绕隔离体顺时针方向转动者为正； 弯矩M--使梁的下侧纤维受拉者为正。

弯矩图--习惯绘在杆件受拉的一侧，不需标正负号； 轴力和剪力图--可绘在杆件的任一侧，但需标明正负号。

9.剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度q 的大小 ； 弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。

10. 梁上任意两截面的剪力差等于两截面间载荷图所包围的面积； 梁上任意两截面的弯矩差等于两截面间剪力图所包围的面积。

()

()Q dM x dF x dx

=22()

()()Q

dF x d M x q y dx dx

==-FN+d FN F

N FQ+dFQ

F Q M

M+

dM

d

x d x ,,

B

A

B A B

A

x NB NA x x x QB QA y x x B A

Q

x F F q dx F F q dx M M F dx

=-=-=+?

?

?

11.分布力q(y)=0时（无分布载荷），剪力图为一条水平线；弯矩图为一条斜直线。

分布力q(y) = 常数时，剪力图为一条斜直线；弯矩图为一条二次曲线。

12.只有两杆汇交的刚结点，若结点上无外力偶作用，则两杆端弯矩必大小相等，且同侧受拉。

13.对称结构受正对称荷载作用, 内力和反力均为对称（K行结点不受荷载情况）。对称结构受反对称荷载作用, 内力和反力均为反对称。

14.三铰拱支反、内力计算公式（竖向荷载、两趾等高）

f

M

F

F

F

F

F

C

B

B

A

A

H

V

V

V

V

=

=

=

15.拱轴上内力有以下3个特点：

不管是在均布荷载下还是在集中荷载下，拱的三个内力图都是曲线图形。

在有竖向集中力作用点两侧截面，轴力图和剪力图都有突变，突变值等于相应简支梁的剪力分别在拱的轴力和剪力方向上的投影。

有集中力偶作用点两侧截面，弯矩图有突变，突变值仍等于所作用的集中力偶。

16.隔离体的形式、约束力

结点：桁架的结点法、刚架计算中已知Q求N时取结点为单元。

杆件：多跨静定梁的计算、刚架计算中已知M求Q时取杆件为单元。

杆件体系：桁架的截面法取杆件体系为单元。

?

?

?

?

cos

sin

sin

cos

H

Q

N

H

Q

Q

H

F

F

F

F

F

F

y

F

M

M

-

-

=

-

=

-

=

17.约束力的数目是由所截断的约束的性质决定的。截断链杆只有未知轴力；在平面结构中，截断梁式杆，未知力有轴力、剪力和弯矩；在铰处截断，有水平和竖向未知力。

18.选择截取单元的次序;

①主从结构,先算附属部分,后算基本部分; ②简单桁架,按去除二元体的次序截取结点;

③联合桁架,先用截面法求出连接杆的轴力,再计算其它杆。

19.虚功法的特点：

1、将平衡问题归结为几何问题求解；

2、直接建立荷载与未知力之间的关系，而不需求其它未知力。

20.应用虚功原理求静定结构某一约束力X 的方法：

1）撤除与X 相应的约束。使静定结构变成具有一个自由度的机构，使原来的约束力X 变成主动力。

2）沿X 方向虚设单位虚位移。作出机构可能发生的刚体虚位移图；利用几何关系求出其它主动力对应的虚位移。

3）建立虚功方程，求未知力。

21.临界荷载判别式

22.虚力原理：

虚功原理的关键是位移与力系是独立无关的。因此，可以把位移看成是虚设的，也可以把力系看成是虚设的，本部分正是把力系看作是虚设的，求刚体体系的位移。 步骤：

1.在拟求位移的方向上虚设单位荷载，利用平衡条件求支反力。

2.利用虚力原理列出虚力方程进行求解，由于是在所求位移处设置单位荷载，因此，这种解法又称单位荷载法。

23.虚位移原理:一个力系平衡的充分必要条件是:对任意协调位移,虚功方程成立； 虚力原理:一个位移是协调的充分必要条件是:对任意平衡力系,虚功方程成立。

24.支座位移时静定结构的位移计算

（1）沿所求位移方向加单位力，求出虚反力； （2）建立虚功方程 （3）解方程得 定出方向。 25.

式中，R 为虚拟状态中由单位荷载引起的与支座位移相应的支座反力，c 为实际状态中与相应的已知的支座位移。为反力虚功总和，当与c 方向一致时，其乘积取正；相反时，取负。

0cr i i P R tg α∑?≥在顶点左 0cr i i P R tg α∑?≤在顶点右 0cr i i P R tg α∑?≤在顶点左 0cr i i P R tg α∑?≥在顶点右 01=?∑+??k k c R k k c R ?∑-=?k k ΔR c =-∑

须注意，式中S 前面的负号，系原来推导公式时所得，不可漏掉。

26.结构位移计算的一般公式

当截面B 同时产生三种相对位移时，在i －i 方向所产生的位移，即是三者的叠加，有：

27. 这里的积分号表示沿杆件长度积分，总和号表示对结构中各杆求和。其中最后一项表示给定支座位移Ck 的影响。结构位移计算的一般公式还可用变形体的虚功原理导出：外虚功＝内虚功。

28.变形体虚功原理：各微段内力在应变上所作的内虚功总和Wi ，等于荷载在位移上以及支座反力在支座位移上所作的外虚功总和We 。

29.荷载作用下的位移计算公式

30.各类结构的位移计算公式

（1）梁与刚架：由于梁和刚架是以弯曲为主要变形

（2）桁架：桁架中杆件只受轴力作用，且每根杆件的截面面积、轴力均为常数 （3）组合结构：桁梁混合结构中，一些杆件以弯曲为主，一些杆件只受轴力 （4）拱：对于拱结构，当压力线与拱轴线相近时，应考虑弯曲变形和轴向变形

31.剪切变形和轴向变形引起的位移与弯曲变形引起的位移相比可以忽略不计。

32.图乘法应用条件：a ）EI=常数；等截面直杆； b ） 两个弯矩图至少有一个是直线。 c ）竖标yC 应取自直线图中，对应另一图形的形心处。

面积A 与竖标yC 在杆的同侧，AyC 取正号，否则取负号。

33.当图乘法的适用条件不满足时的处理方法 a)曲杆或EI=EI （x ）时，只能用积分法求位移；

b)b)当EI 分段为常数或M 、Mp 均非直线时，应分段图乘再叠加。

35.应用图乘法时的几个具体问题

1.如果两个图形都是直线图形,则标距可任取自其中一个图形。 2,如果一个图形为曲线，另一个图形为折线，则应分段考虑。 3.如图形较复杂，可分解为简单图形。

ληθ????d N d Q d M N Q M ++=++=k k c R ds )Q N M (∑-++∑

=?

ογεκ?外虚功： k

k e c R 1W ?∑+?=?内虚功：

(

)

?++∑=ds Q N M W i ογεκP P P MM NN kQQ ds ds ds EI EA GA ?=∑+∑+∑???

36.静

37.定结构温度变形的特征静定结构当温度发生变化时，各杆件均能自由变形（但不产生内力），同样可采用单位荷载法。

温度沿杆长度均匀分布，杆件不可能出现剪切变形（即微段d η=0），同时注意到实际状态的支座位移为零。

38.温度引起位移公式

dq 和du 为实际温度状态下，因材料热胀冷缩所引起的各微段的弯曲变形和轴向变形。只要能求出dq 和du 的表达式，即可利用上式求得结构的位移。

39.温度引起的变形代入公式

上下边缘温差

a 为材料的温度线膨胀系数. 温度以升高为正，轴力以拉为正

38.桁架的杆件长度因制造误差而与设计长度不符时，由此引起的位移计算与温度变化时相类似。设各杆长度的误差为Dl （伸长为正，缩短为负），则位移计算公式为

40.超静定结构特征：

超静定结构则是有多余约束的几何不变体系；

超静定结构的支座反力和截面内力不能完全由静力平衡条件唯一地加以确定 。

41.确定结构超静定次数最直接的方法是解除多余约束法，即将原结构的多余约束移去，使其成为一个（或几个）静定结构，则所解除的多余约束数目就是原结构的超静定次数。

42.1）移去一根支杆或切断一根链杆，相当于解除一个约束。 2）移去一个不动铰支座或切开一个单铰，相当于解除两个约束。 3）移去一个固定支座或切断一根梁式杆，相当于解除三个约束。

d d d d ΔM N u Qd M N u θηθ=++=+∑∑∑???

∑∑??

00

()d d d d d d Ky t M N u Qd t s N t s M h M s t N s t h θ

η

α

α

αα?=++?=+=+?∑∑∑?

??

∑∑?

?

∑∑??0N M t t A A h αα?=+∑∑

N

M

0()Ky t N M t

t A A

h

αα??=+∑∑

12t

t t -=?2

2

10t t t +=

ΔN l =?∑

4）将固定支座改为不动铰支座或将梁式杆中某截面改为铰结，相当于解除一个转动约束。

43.力法的计算步骤

1）确定基本未知量数目。力法基本未知量数=结构的多余约束数=结构的超静定次数 2）选择力法基本体系。（去多余约束） 3）建立力法基本方程。 4）求系数和自由项。（图乘法，互乘，自乘） 5）将系数和自由项代入力法方程，解方程，求多余未知力。 6）作内力图：叠加法计算控制截面的内力值。 7）校核。

44.力法的基本原理是：以结构中的多余未知力为基本未知量；根据基本体系上解除多余约束处的位移应与原结构的已知位移相等的变形条件，建立力法的基本方程，从而求得多余未知力；最后，在基本结构上，应用叠加原理作原结构的内力图。

45.n 次超静定结构的力法典型方程

方程的物理意义：基本结构在全部多余末知力和荷载共同作用下,沿每个多余末知力方向的位移,应与原结构中对应位移相等。

46.荷载作用下的平面结构，这些位移的计算式可写为

47.超静定桁架 48.

49.超静定组合结构用力法计算时，一般可将桁杆作为多余约束切断而得到其静定的基本体系。计算系数和自由项时，对桁杆应考虑轴向变形的影响；对梁式杆只考虑弯曲变形的影响，而忽略其剪切变形和轴向变形的影响。

11P M M X M =+11112211P 21122222P 1122P 000n n n n n n nn n n X X X ΔX X X ΔX X X Δδδδδδδδδδ++++=++++=++++=L L M L 222d d d i i i ii

M s N s Q s EI EA GA

μδ=++∑∑∑???

d d d i j i j i j ij

M M s N N s Q Q s EI EA GA

μδ=++∑∑∑??

?

P P P P d d d i i i i M M s N N s QQ s ΔEI EA GA μ=++∑∑∑???

1122P n n N N X N X N X N =++++L 211P 111,P N l N N l EA EA

δ=?=∑∑其中：

力法典型方程为：

1111=+P X ?δ

50.求系数和自由项

51.无弯矩状态的判别

前提条件：结点荷载； 不计轴向变形。

1、刚结点变成铰结点后，体系仍然几何不变的情况；

2、刚结点变成铰结点后，体系几何可变。但是，添链杆的不变体系在给定荷载下无内力的情况。

51.对称性

结构的几何形状、支承情况以及杆件的刚度三者之一有任何一个不满足对称条件时，就不能称超静定结构是对称结构。

52.对称的未知力产生的内力图和变形图是对称的； 反对称的未知力产生的内力图和变形图是反对称的。 故正对称图形和反对称图形相乘的结果为零。

53.对称结构在正对称荷载作用下，反对称多余力为零（只考虑正对称多余力），其内力和位移都是正对称的；在反对称荷载作用下，对称多余力为零（只考虑反对称多余力）,其内力和位移都是反对称的。

54.在支座移动、温度变化等非荷载因素作用下，对于超静定结构，由于存在多余约束，在非荷载因素作用下，一般会产生内力，这种内力称为自内力。 55.

56.力法计算自内力时，其基本原理和分析步骤与荷载作用时相同，只是具体计算时，有以下三个特点： 第一，力法方程中的自由项是由支座移动或温度变化等因素引起基本结构多余未知力方向上的位移Dic 或Dit 等。

第二，对支座移动问题，力法方程右端项不一定为零。而是Di=Ci （Ci ，表示原结构在Xi 方向的实际位移）

第三，计算最后内力的叠加公式不完全相同。由于基本结构（是静定结构）上支座移动、温度变化时均不引起内力，因此内力全是由多余未知力引起的。最后弯矩叠加公式为

57.支座移动时的内力计算

计算支座移动引起n 次超静定结构的内力时，力法方程中第 i 个方程的一般形式可写为

58.一般来说，凡是与多余未知力相应的支座位移参数都出现在力法典型方程的右边项中，而其它的支座位移参数都出现在左边的自由项中。

22

1111d M N l x EI EA δ=+∑∑

?

（梁式杆）（桁杆）1P 1P 1P d M M N N l Δx EI EA =+∑∑

?

（梁式杆）（桁杆）i i

M M x

=∑1

n ij j ic i j X ΔC δ=+=∑

1()c k k ΔR c l l θθ=-=-?=-∑EI

l dx M EI 3132

111==?

δ

59. 称为杆件的线刚度。在支座位移时，超静定结构将产生内力和反力，其内力

和反力与各杆件刚度的绝对值成正比。

60.温度变化时的内力计算

在温度变化时，n 次超静定结构的力法方程中，第i 个方程的一般形式为

61.杆件制作误差（或材料收缩与徐变）时的自由项计算公式

62.超静定结构的位移计算

单位荷载法，不仅可以用于求解静定结构的位移，也同样适用于求解超静定结构的位移，区别仅在于内力需按计算超静定结构方法求出。

63计算超静定结构位移的基本思路:利用基本体系求原结构的位移. 计算超静定结构位移的步骤

1、解超静定结构,作超静定结构的最终内力图；

2、取原结构的任一基本结构作为虚拟状态，并作虚拟力状态下的单位内力图；

3、计算位移。

64.支座移动时超静定结构的位移计算 式中，M 为超静定结构的最后弯矩图； 和 分别为原结构的任一基本结构由于虚拟单位荷载作用产生的单位弯矩和单位反力 。

65.温度变化时超静定结构的位移计算

同样可以在其任一相应的静定基本结构上建立虚拟力状态，从而将问题转化为静定基本结构由于多余未知力和温度变化共同作用产生的位移计算。其位移公式为

M 为超静定结构的最后弯矩图； 和 为原结构的任一基本结构由于虚拟单位

荷载作用产生的单位弯矩和单位轴力。

66.超静定结构内力图的校核（根据已知变形条件校核） 根据已求得的最后弯矩图，计算原结构某一截面的位移，校核它是否与实际的已知的变形情况相符（一般常选取广义位移为零或为已知值处）。若相符，表明满足变形条件；若不相符，则表明多余未知力计算有误。

l

EI i =1n ij j it i j X ΔΔδ

=+=∑10t M N t

ΔA t A h

αα?=+∑∑

iZ ΔN l

=?∑1n ij j iZ i j X ΔΔ

δ

=+=∑d c k k

MM

Δs R c EI =-∑∑?0d d d t

MM t Δs M s t N s EI h αα?=++∑∑

∑?

?

?

66.静定结构和超静定结构在各种因素作用下的位移计算公式一览表

67. 位移法：以超静定结构中的结点位移（线位移或角位移） 作为基本未知量，根据结点的平衡条件建立位移法方程，解出基本未知量后可由结点位移与内力的关系式求出相应的杆端内力，并用平衡方程解出全部支反力和内力。

68.超静定结构计算总原则:欲求超静定结构先取一个基本体系,然后让基本体系在受力方面和变形方面与原结构完全一样。

69.杆端力和杆端位移的正负规定

①杆端转角θA 、θB ，弦转角β＝Δ/l 都以顺时针为正。 ②杆端力的表示方法和正负号的规定

弯矩：MAB 表示AB 杆A 端的弯矩。对杆端而言，顺时针为正，逆时针为负；对结点而言，顺时针为负，逆时针为正。剪力：QAB 表示AB 杆A 端的剪力。

70.有几个未知结点位移就应建立几个平衡方程； 单元分析、建立单元刚度方程是基础；

当结点作用有集中外力矩时，结点平衡方程式中应包括外力矩。

71.用位移法计算有侧移的刚架时，基本思路与无侧移刚架基本相同，但在具体作法上增加了一些新内容：

（1）在基本未知量中，要包括结点线位移； （2）在杆件计算中，要考虑线位移的影响；

（3）在建立基本方程时，要增加与结点线位移对应的平衡方程。

72.1)结点角位移数：

结构上可动刚结点数即为位移法计算的结点角位移数。 2)结构独立线位移：

每个结点有两个线位移，为了减少未知量，引入与实际相符的两个假设。

P

B A

QBA<0

QAB>0

73.线位移数也可以用几何方法确定。

将结构中所有刚结点和固定支座，代之以铰结点和铰支座，分析新体系的几何构造性质，若为几何可变体系，则通过增加支座链杆使其变为无多余联系的几何不变体系，所需增加的链杆数，即为原结构位移法计算时的线位移数。

74.由单位杆端位移引起的杆端力称为形常数(即刚度系数，是只与截面尺寸和材料性质有关的常数)。

75.位移法计算步骤可归纳如下：

1）确定基本未知量；

2）由转角位移方程，写出各杆端力表达式；

3）在有结点角位移处，建立结点的力矩平衡方程，

在有结点线位移处，建立截面的剪力平衡方程，

得到位移法方程；

4）解方程，求基本未知量；

5) 将已知的结点位移代入各杆端力表达式，得到

杆端力；

6）按杆端力作弯矩图。

76结点集中力作为各柱总剪力，按

各柱的侧移刚度分配给各柱。——剪力分配法

77.位移法方程的含义：基本体系在结点位移和荷载共同作用下，产生的附加约束中的总约束力(矩)等于零。实质上是平衡条件。

78.

再由结点矩平衡求附加刚臂中的约束力矩，由截面投影平衡求附加支杆中的约束力。

()

1(

)

i i P

M M

?

?=

由形常数作引起的弯矩图，由载常数作荷载引起

的弯矩图

79位移法的基本体系计算步骤如下：

1）确定基本未知量； 2）确定位移法基本体系； 3）建立位移法典型方程；

4）画单位弯矩图、荷载弯矩图; 5) 由平衡求系数和自由项； 6）解方程，求基本未知量；

7）按 M=∑Mi ·Δi+MP 叠加最后弯矩图。 8）利用平衡条件由弯矩图求剪力；由剪力图求轴力。 9）校核平衡条件。

80. 与线位移相应的位移法方程是沿线位移方向的截面投影方程。方程中的系数和自由项是基本体系附加支杆中的反力，由截面投影方程来求。

81.力矩分配法的理论基础是位移法，故力矩分配法中对杆端转角、杆端弯矩、固端弯矩的正负号规定与位移法相同，即都假设对杆端顺时针旋转为正号、对结点或附加刚臂逆时针旋转为正号。作用于结点的外力偶荷载、作用于附加刚臂的约束反力矩，也假定为对结点或附加刚臂顺时针旋转为正号。

82.在结点上的外力矩按各杆分配系数分配给各杆近端截面，各杆远端弯矩分别等于各杆近端弯矩乘以传递系数。

传递系数 =远端弯矩/近端弯矩 分配系数

83.用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架计算步骤: 第一，计算单跨超静定梁的固端弯矩；

第二，计算结点处各杆端的弯矩分配系数；将不平衡弯矩（固端弯矩之和）反号后，在结点处按分配系数进行分配。

第三，计算各杆件由近端向远端传递的弯矩传递系数。在各杆上按传递系数进行传递。 第四，将各杆的固端弯矩、分配弯矩、传递弯矩相加，即得各杆的最后弯矩。作内力图。

∑

=A

Aj

Aj S S μ1

=∑μ

84.无剪力分配法应用条件

适用于刚架中除两端无相对线位移的杆件（无侧移杆）外，其余杆件都是剪力静定杆件的有侧移刚架。

可以解只有一根竖柱的刚架，且横梁端部的链杆应与柱平行的问题。但也可以推广到单跨多层对称刚架等问题。