初中将军饮马问题题型总结(全)
初中涉及将军饮马问题题型总结
题型一：将军饮马之单动点 1. 三角形中的将军饮马
【真题链接1.】（2017?天津）
如图，在ABC ?中，AB AC =，AD 、CE 是ABC ?的两条中线，P 是AD 上一个动点，则下列线段的长度等于BP EP +最小值的是( )
A ．BC
B ．CE
C ．AD
D ．AC
【解析】
解：如图连接PC ，
AB AC =，BD CD =， AD BC ∴⊥， PB PC ∴=，
PB PE PC PE ∴+=+，
PE PC CE +，
P ∴、C 、E 共线时，PB PE +的值最小，最小值为CE 的长度，故选：B ．
B
B
【真题链接2.】（2020?天津一模）
如图，ABC ?是等边三角形，2AB =，AD 是BC 边上的高，E 是AC 的中点，P 是AD 上的一个动点，则PE PC +的最小值为( )
A ．1
B ．2
C
D
．
【解析】 解：如图，
连接BE 交AD 于点P '，
ABC ?是等边三角形，2AB =，AD 是BC 边上的高，E 是AC 的中点，
AD ∴、BE 分别是等边三角形ABC 边BC 、AC 的垂直平分线，
P B P C ∴'='，
P E P C P E P B BE '+'='+'=，
根据两点之间线段最短，
点P 在点P '时，PE PC +有最小值，最小值即为BE 的长．
BE == 所以P E P C '+'
故选：C ．
B
B
【真题链接3.】（2019秋?东至县期末）
如图，在ABC ?中，AB AC =，4BC =，面积是16，AC 的垂直平分线EF 分别交AC ，AB 边于E ，F 点，若点D 为BC 边的中点，点M 为线段EF 上一动点，则CDM ?周长的最小值为( )
A ．6
B ．8
C ．10
D ．12
【解析】解：连接AD ，AM ．
ABC ?是等腰三角形，点D 是BC 边的中点， AD BC ∴⊥，
11
41622
ABC S BC AD AD ?∴=
=??=，解得8AD =， EF 是线段AC 的垂直平分线，
∴点C 关于直线EF 的对称点为点A ， MA MC ∴=，
AD AM MD +，
AD ∴的长为CM MD +的最小值，
CDM ∴?的周长最短11
()84821022
CM MD CD AD BC =++=+
=+?=+=． 故选：C ．
A
A
【真题链接4.】（2019?陕西）
如图，在正方形ABCD 中，8AB =，AC 与BD 交于点O ，N 是AO 的中点，点M 在BC 边上，且6BM =．P 为对角线BD 上一点，则PM PN -的最大值为 ．
【解析】
如图所示，以BD 为对称轴作N 的对称点N '，连接PN '，MN '， 根据轴对称性质可知，PN PN '=，
PM PN PM PN MN ''∴-=-，
当P ，M ，N '三点共线时，取“=”， 正方形边长为8，
AC ∴=
O 为AC 中点，
AO OC ∴==
N 为OA 中点，
ON ∴=，
ON CN ''∴==
AN '∴=
6BM =，
862CM AB BM ∴=-=-=，
∴
1
3
CM CN BM AN '=='， ////PM AB CD ∴，90CMN '∠=?， 45N CM '∠=?，
∴△N CM '为等腰直角三角形， 2CM MN '∴==，
即PM PN -的最大值为2，故答案为：2．
【真题链接5.】（2019秋?黔东南州期末）
如图，在ABC
?中，3
AB=，4
AC=，5
BC=，EF是BC的垂直平分线．点P是EF上的动点，则||
PA PB
-的最大值为．
【解析】
如图，延长BA交EF于P'，此时||
PA PB
-的值最大．||
PA PB
∴-的最大值3
AB
==．
故答案为：3．
B
2. 菱形、矩形、正方形中的将军饮马
【真题链接6】（2019春?息县期末）
如图，在菱形ABCD 中，6AB =，60ABC ∠=?，M 为AD 中点，P 为对角线BD 上一动点，连接PA 和PM ，则PA PM +的最小值是 ．
【解析】
解：如图，点A 关于BD 的对称为点C ，连接CM 交BD 于点P ，连接AP ，
则CM 就是PA PM +的最小值。
在菱形ABCD 中，6AB =，60ABC ∠=?，M 为AD 中点，AC BD ⊥， 60ADC ∴∠=?，DA DC = DAC ∴?是等边三角形，
CM AD ∴⊥，
6AC AD AB ∴===，
CM ∴==，
故答案为：
D
B
B