微积分第二章典型例题

补充知识

一、数列与其子列之间的关系

定义 从数列}u {n 中任意抽取无穷多项，并保持原有次序，这样得到的一个新数列称为数列}u {n 的一个子数列，简称子列．记作

}u {k n ： ,u ,,u ,u k 21n n n ．

其中k n 表示k

n u 在原数列}u {n 中的位置，k 表示k

n u 在子列中的位置．

例如 ：奇数子列 ,,,,1231-k u u u ， 其中12,,3,121-===k n n n k 显然k n k ≥．

下面的定理给出了数列}u {n 与其子列}u {k

n 之间的关系．

定理：对于数列}u {n ，

(1) A u lim n n =→∞

的充要条件是对}u {n 的任何子数列}u {k

n 都有A u lim k

n k =∞

→.

(2) A u lim n n =→∞

的充要条件是}u {n 的偶数子列}u {k 2和奇数子列}u {1k 2+满

足 A u lim u lim 1k 2k k 2k ==+∞

→∞

→．

(3) 若}u {n 单调，则A u lim n n =→∞

的充要条件是存在一个子数列}u {k

n 满足

A u lim k n k =∞

→．

二、数列极限与函数极限的关系

定理2.18（Heine 定理）A x f x

x =→)(lim 0

的充要条件为：

对于任意收敛于0x 的数列}{n x )(0x x n ≠，都有A )x (f lim n n =∞

→．

常用结论：若A x f x =+∞

→)(lim ，则A n f n =∞

→)(lim 。

例如：由1sin lim

=→x

x

x ，可以推出111

sin

lim

=∞→n n n ，11

1sin lim 22

=++∞→n n

n n n 等。

注（1）对于+→0x x ，-

→0x x ，∞→x ，+∞→x ，-∞→x 等情形，

只要将定理中的条件作相应修改，定理的结论仍成立．

（2）该定理建立了函数极限与数列极限之间的联系，可以将函数的极限转化为数列的极限去研究，也可以将数列的极限转化为函数的极限来讨论．

（3）用该定理可以说明某函数极限不存在。 例如：证明x 0

1

limsin x

→不存在. 证明： 取2

21)

1(π

π+

=

n x n ， π

n x n 21

)

2(=

， ,2,1n =，显然 (1)n n lim x 0→∞

=，(2)

n n lim x 0→∞

=, 但是11lim 1sin lim )

1(==∞

→∞

→n n

n x ，00lim 1sin

lim )

2(==∞

→∞

→n n

n x 。

由Heine 定理可知， x 01

limsin x

→不存在． 三、求极限的一般方法

(1) 利用极限的四则运算法则. 往往结合对函数的恒等变形,常用的具体方法有：因式分解，通分，有理化，约去公因子，三角恒等变形等；

(2) 利用无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量之间的关系（特别是利用有界变量与无穷小量的积仍是无穷小量的性质）等； (3) 利用等价无穷小量的性质； (4) 利用高阶无穷小量的性质； (5) 利用极限存在准则； (6) 利用重要极限；

(7) 利用极限与左、右极限的关系（适用于求分段函数在分段点处的极限以及用定义求极限等情形）；

(8) 利用连续性（适用于求函数在其连续点处的极限）；

思考题解答

1.用定义证明11

lim

1=→x

x 。 证：0>?ε，要使ε<-=

-|

||

1|11x x x

。 由于1→x 时的极限只与自变量邻近1的函数值有关，不妨考虑

21|1|0<

-

3

21<

|1|ε

<-x 。

取}2,21min{ε

δ=，则当δ<-<|1|0x 时ε<-11x

恒成立。 由极限定义得 11

lim

1=→x

x 。 2、利用三角函数的周期性求极限 （1）

()()

10cos 21)2(1cos lim 21)2(cos lim 1)2(cos lim 222==?

??

? ??++=-+=+∞→∞

→∞

→ππ

ππn n n n n n n n

（2）

()()

224cos 2141cos lim 2)2(cos lim 2)2(cos lim )2(cos lim 222=

=?

????

? ??++=????

?

?

++=-+=+∞→∞→∞

→∞

→ππππ

ππn n n n n n n n n n n n n n （3）

()()

11sin )1(lim 1sin )1(lim 1sin lim 222=?

??

? ??++-=-+-=+∞→∞

→∞

→ππ

ππn n n n n n

n n n n ，

其中最后一步用了?

??

? ??++πn n 11sin 2

是无穷小量，n )1(-是有界变量，乘积仍为无穷小量。

3、设2,211=+=+u u u n n ，证明n n u ∞

→lim 存在，并求其值。

证明：12122,2u u u >+==，进而212322u u u u =+>+=，猜测

n n u u >+1，

用数学归纳法证明。假设k n =时不等式成立，即k k u u >+1，那么1+=k n 时，

11222+++=+>+=k k k k u u u u ，即不等式成立。

所以对任意自然数n ，都有n n u u >+1，即{}n u 单调增加。

由n n n u u u +<+=≤-2201，得n n u u +<22，解得20<≤n u ，所以{}n u 有界。

（或先观察22,22,2223121<+=<+=<=u u u u u ，猜测2

→lim 存在.

不妨设 A u n n =∞

→lim ，在n n u u +=+21两端令∞→n 得，A A +=2，所以

2=A .

典型例题

例1、 已知)(lim 1

x f x →存在，)(lim 23)(1

2x f x x x f x →+=，求)(x f 。 解：设A x f x =→)(lim 1

，则Ax x x f 23)(2+=，两边令1→x ，得A A 23+=，

3-=∴A ，x x x f 63)(2-=。

例2、（1）若b x ax x x =+++→1

5

lim

2-1，则=a _______,=b _______． （2）若5)(cos sin lim

0=+-→b x a

e x

x x ，则=a _______,=b _______． （3）若)(x f 在a x =连续，且2)

(lim a =-→a

x x f x ，则_______)(=a f 。 （4）已知5x

1b

ax x lim

21x =-++→，则=a _______,=b _______． 常用结论：（1）若A x g x f x =→)

()

(lim

X

，并且0)(lim X =→x g x ，则0)(lim X =→x f x 。

（2）若A x g x f x =→)

()

(lim

X

，0≠A ，并且0)(lim X =→x f x ，则0)(lim X =→x g x 。

证明：（1）00)()

()

(lim )(lim X

X =?=?=→→A x g x g x f x f x x 。 （2）00

)

()()

(lim )(lim X

X ==

=→→A

x g x f x f x g x x 。 解：（1）06)5(lim 2-1

=-=++→a ax x x ，所以6=a ， 41

)

5)(1(lim 156lim -12-1=+++=+++=→→x x x x x x b x x （2）()01lim

=-=-→a a e x x ，所以1=a 。 51)(cos lim )(cos 1sin lim

00=+=+=+-→→b b x x

x

b x e x x x x ，所以4=b 。 （3）0)(lim a

=→x f x ，由)(x f 在a x =连续得0)(lim )(a

==→x f a f x . （4）由1

lim →x 0)b ax x (2=++得，01=++b a ，即a b --=1，所以

52)1(lim 1)

1)(1(lim 11lim 1lim 112121=--=---=-++-=---+=-++→→→→a a x x

a x x x a ax x x

b ax x x x x x 从而7a -=，6b =．

例3．若n

n x x

x f 211lim

)(+-=∞→，讨论)(x f 的间断点。

解：???

??-=-<≥<<--=???

???

?><-<-=1

,111,

011,11

||,01||,2

11

||,1)(x x x x x x x x

x x x f 或，

函数的间断点只能出现在分段点处。

在1-=x 处，,2)01(,0)01(=+-=--f f 所以1-=x 为跳跃间断点。 在1=x 处，0)1(,0)01(,0)01(==+=-f f f ，所以)(x f 在1=x 连续。 总之，)(x f 的间断点为1-=x 。

例4. （1）已知0])([lim =--∞

→b ax x f x ，求x

x f x )

(lim

∞

→。 （2）若0)()21ln(lim 320=++→x x xf x x ，求x x f x )

(lim 0→。 （3）若2sin 1)(lim

20=???

?

??

--→x x x

x f x ，求)(lim 0x f x →。

解：（1）（方法一）由

01)(lim )(lim ])([lim =-

-=??????--=--∞→∞→∞→x

x b

a x

x f x b a x

x f x b ax x f x x x ，得 0)

(lim =??????--∞→x b a x

x f x ，从而a x x f x =∞→)(lim 。 （方法二）由极限与无穷小的关系得，α=--b ax x f )(，其中0lim =∞

→αx ，

从而x x b a x x f b ax x f αα++=++=)(,

)(，a x x b a x x f x x =??? ?

?

++=∞→∞→αlim )(lim

（2）由0)()21ln(lim )()21ln(lim

2203

20=++=++→→x x x f x x x x xf x x x ，得 0)()21ln(lim 220=???

??

?++→x x f x x x ，所以

220)21ln()()21ln(lim )

(lim 222200-=-=??

????+-++=→→x x x x f x x x x f x x 。 类似（1）的方法二留作练习。

（3）由2

sin 1)(lim sin 1)(lim 020=-

-=???

???--→→x

x x

x f x x x

x f x x ，得

0sin 1)(lim 0=?????

?

--→x x x f x ，故2)(lim 0=→x f x 。 类似（1）的方法二留作练习。

例5 、求极限???

?

? ??+++→x x e e x

x x sin 12lim 41

0． 解：

1)12(lim sin 12lim )00(0410=-=???

?

? ??-++=--

-→→x x

x x x x e e f

110sin 12lim sin 12lim )00(43

40410=+=?

??

?

? ??+++=????? ??+++=---→→++x x e e e x x e e f x x x x x x x ＋， 所以原极限等于1．

例6、 讨论函数?????

≥+π-<=0

x x 2

0x x 1arctan )x (f 2在定义域内的连续性．

解： 因为)x (f 在)0,(-∞，),0(+∞为初等函数，

所以)x (f 在)0,(-∞),0(+∞ 内连续．

在0x =处，

2x 1

arctan lim )x (f lim 0x 0x π-==-

-

→→，2)x 2(lim )x (f lim 20x 0x π-=+π-=+

+

→→，2

)0(f π-=

所以)0(f )x (f lim )x (f lim 0x 0x ==+

-

→→，从而)x (f 在0x =处连续，

因此函数)x (f 在),(+∞-∞内连续．

例7 设?????????≤>-=00,2arcsin 1)(2tan x ae x x

e x

f x x

在0x =处连续，求a 的值. 解： 22

x x

tan lim 2x arcsin

e 1lim )x (

f lim 0x x tan 0

x 0x -=-=-=++

+→→→， a ae )0(f 0==， 所以2a -=.

例8 设 3

10

)(1lim e x x f x x

x =??? ?

?

++→ ，求x

x x x f 10)(1lim ??? ?

?+→ . 解： 因为3x

x )x (f x 1ln lim x

10

x e e x )x (f x 1lim 0x ==??

?

?

?+

+?

?? ?

?

++→→，

所以 3x

x )x (f x 1ln lim

0x =?

?? ??

++→， 可以得到 0x

)

x (f lim

x =→， 又因为 3x )x (f lim 1x

x )x (f x lim x x )x (f x 1ln lim

20x 0x 0x =+=+=??? ??++→→→， 所以 2x )x (f lim 20x =→，故 2)

()

(0102

)(1lim )(1lim e x x f x x f x x f x f x x x x =???

????

?

?

?

? ??+=??? ??+→→.

例9 设)x (f 在]b ,a [上连续且)b (f )a (f =.证明至少存在一点∈ξ)b ,a (，使得下式成立,

)2

()(a

b f f -+

=ξξ.

证明：构造辅助函数??

?

??-+

-=2a b x f )x (f )x (F ，则 ??

?

??+-=??? ??-+-=2b a f )a (f 2a b a f )a (f )a (F ，

()b f 2b a f 2a b 2

b a f 2b a f 2b a F -???

??+=??? ??-++-??? ??+=??? ??+，

若0)a (F 2b a F ==??

? ??+，只需取2b a +=

ξ； 若??

?

??+2b a F 和)a (F 都不等于零，则二者一定异号, 由零点定理可得在在)b ,a (内至少存在一点ξ， 使得??

?

?

?-+

ξ=ξ2a b f )(f 成立.

例10 求极限x

x x

x x 2222lim --∞→+-. 解：由于12121lim 2222lim

x

2x

2x x x x x x =+-=+---+∞→--+∞→； 11

212lim 2222lim x 2x 2x x x x x x -=+-=+--∞→---∞→， 所以 x

x x

x x 2222lim --∞→+-不存在. 例11 求极限 x

2sin x

tan 1x tan 1lim 0x --+→

解: )

x tan 1x tan 1(x 2sin x

tan 2lim

x 2sin x tan 1x tan 1lim

0x 0

x -++=--+→→ 2

1)x tan 1x tan 1(x 2x 2lim

0x =-++=→. 例12 求极限 n

1

tan n )1n (lim 1n n n -∞→+ .

解: e n n n n n n

n n

n n n n n n n =???

??+=+=+∞→-∞→-∞→11lim 1)1(lim 1tan )1(lim 11. 例13 设10x 1=，n 1n x 6x +=+， ,2,1n =，问数列}{n x 的极限是否存在，若存在，求其值.

解: 由10x 1=及4x 6x 12=+=，知21x x >.

假设对正整数k ，有1k k x x +>，则有

2k 1k k 1k x x 6x 6x +++=+>+=，

由归纳法知对一切正整数n 都有1n n x x +>，即}x {n 为单调递减数列， 又因为0x n >，即}x {n 有下界，因此n n x lim ∞

→存在.

不妨设 A x lim n n =∞→，则有 0A >，A 6A +=，所以3A =.