(完整版)数学模型第四版课后答案姜启源版
姜启源编《数学模型》第四版_第七章_稳定性模型
设x(t)是方程的解，若从x0 某邻域的任一初值出发，
都有
lim
t
x(t)
x0
,
称x0是方程(1)的稳定平衡点.
不求x(t), 判断x0稳定性的方法——直接法
F (x0 ) 0 x0 稳定 F (x0 ) 0 x0 不稳定
第六页，共61页。
产量模型 x(t) F (x) rx(1 x ) Ex N
c2 )
p2N 2
第九页，共61页。
捕捞 过度
• 封闭式捕捞追求利润R(E)最大
• 开放式捕捞只求利润R(E) > 0
ER
r (1 2
c) pN
R(E) T (E) S(E)
pNE (1
E ) cE
令
=0
r
c Es r(1 pN )
R(E)=0时的捕捞强度Es=2ER
~ 临界强度
临界强度下的渔场鱼量
x1 (t )
r1x1 (1
x1 N1
)
x2 (t)
r2 x2 (1
x 2
N
)
2
• 两种群在一起生存时，乙对甲增长的阻滞作用
与乙的数量成正比; 甲对乙有同样的作用.
模型
x1 (t )
r1 x1 1
x1 N1
1
x2 N2
x2 (t)
r2 x2 1
2
x1 N1
x2 N2
对于消耗甲的资源而言，
乙(相对于N2)是甲(相对于 N1) 的 1 倍.
建模
h(x)=Ex, E~捕捞强度
记 F(x) f (x) h(x)
有捕捞情况下渔场 鱼量满足
x(t) F (x) rx(1 x ) Ex
姜启源版《数学模型》第四章习题第题
姜启源版《数学模型》第四章习题第7题一、问题重述某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割后出售。
从钢管厂进货时得到的原料钢管的长度都是1850mm现有一客户需要15根290mm 28根315mm 21根350mn和30根455mn的钢管。
为了简化生产过程，规定所使用的切割模式的种类不能超过4种，使用频率最高的一种切割模式按照一根原料钢管价值的1/10增加费用，使用频率次之的切割模式按照一根原料钢管价值的2/10增加费用，依次类推，且每种切割模式下的切割次数不能太多（一根钢管最多生产5根产品）。
此外，为了减少余料浪费，每种切割模式下的余料不能超过100mm 为了使总费用最小，应如何下料？二、基本假设1、假设所研究的每根钢管的长度均为1850mm勺钢管。
2、假设每次切割都准确无误。
3、假设切割费用短时间内不会波动为固定值。
5、假设钢管余料价值为0。
6假设一切运作基本正常不会产生意外事件。
四、模型建立根据题目要求，不妨假设叫左勺王％,于是得到目标函数:4min M X i 1 0.1ii 1需求量的约束:每一种切法不能超过限制1850,余料不超过100(即产品加起来不小于1750)极限情况下，根数的范围:D j le n jj 11850 一根原料钢管最多生产5根产品：4r j5,i 1,2,3,4j 1钢管根数和切割方法都为非负整数：r ijZ ,x iZ五、模型求解model :!数学模型132页题7; sets :!定义4种切割模式，每种模式用 x(i)根管材；qiegemoshi/m1..m4/:x; !定义四种长度，每种有需求；cha ngdu/cd1..cd4/:le n,dema nd;!定义切法矩阵，行为模式，列为需要的长度类型 ；lin ks(qiegemoshi,cha ngdu):r; en dsets!目标函数，每种切割模式按切割频率增加 10%的费用；min = @sum(qiegemoshi(i):x(i)*(1+i*0.1)); !假设4种切法，一种比一种切得少；@for (qiegemoshi(i)|i#lt#4:x(i)>=x(i+1)); !需求量的约束； @for (changdu(j)：约束条件如下:x-i x 2 x 3x 4(4.1 )D j ，j 1,2,3, 4(4.2 )41750r ij le n j j 11850,i 123,4(4.3)D j1850 len j(4.4)@sum(qiegemoshi(i):r(i,j)*x(i))>=demand(j));! 整数约束;@for (qiegemoshi(i): @gin (x(i)));@for (links(i,j): @gin (r(i,j)));! 每一种切法不能超过限制1850 ，余料不超过100( 即产品加起来不小于@for1750 ) (qiegemoshi(i):@sum(changdu(j):r(i,j)*len(j))>=1750);@for (qiegemoshi(i): @sum(changdu(j):r(i,j)*len(j))<=1850);! 极限情况下，最多22 根，最少19 根; @sum(qiegemoshi:x)>=19;@sum(qiegemoshi:x)<=22;! 一根原料钢管小于5 根产品; @for (qiegemoshi(i):@sum(changdu(j):r(i,j))<=5);data : demand=15 28 21 30; len=290 315 350 455;enddataend在lingo11 中运行，得到如下结果：Local optimal solution found.Objective value: 21.50000Objective bound: 21.50000Infeasibilities: 0.000000Extended solver steps: 155Total solver iterations: 20017Variable Value Reduced CostX( M1) 14.00000 -0.1000000X( M2) 4.000000 0.000000X( M3) 1.000000 0.1000000X( M4) 0.000000 0.2000000LEN( CD1) 290.0000 0.000000LEN( CD2) 315.0000 0.000000LEN( CD3) 350.0000 0.000000LEN( CD4) 455.0000 0.000000DEMAND( CD1) 15.00000 0.000000DEMAND( CD2) 28.00000 0.000000DEMAND( CD3) 21.00000 0.000000DEMAND( CD4) 30.00000 0.000000QIEFA( M1, CD1) 1.000000 0.000000QIEFA( M1, CD2) 2.000000 0.000000 QIEFA( M1, CD3) 0.000000 0.000000 QIEFA( M1, CD4) 2.000000 0.000000 QIEFA( M2, CD1) 0.000000 0.000000 QIEFA( M2, CD2) 0.000000 0.000000 QIEFA( M2, CD3) 5.000000 0.000000 QIEFA( M2, CD4) 0.000000 0.000000 QIEFA( M3, CD1) 2.000000 0.000000 QIEFA( M3, CD2) 0.000000 0.000000 QIEFA( M3, CD3) 1.000000 0.000000 QIEFA( M3, CD4) 2.000000 0.000000 QIEFA( M4, CD1) 1.000000 0.000000 QIEFA( M4, CD2) 0.000000 0.000000 QIEFA( M4, CD3) 3.000000 0.000000 QIEFA( M4, CD4) 1.000000 0.000000。
姜启源编数学模型第四版
一般模型 x(t) ~甲方兵力，y(t) ~乙方兵力
模型 假设
• 每方战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力. • 每方非战斗减员率与本方兵力成正比. • 甲乙双方的增援率为u(t), v(t).
x(t) f (x, y) x u(t), 0
tm~传染病高潮到来时刻
tm
1
ln
1 i0
1
t i 1 ?
(日接触率) tm
病人可以治愈！
第6页/共76页
模型3
传染病无免疫性——病人治愈成 为健康人，健康人可再次被感染. SIS 模型
增加假设 3）病人每天治愈的比例为 ~日治愈率
建模 N[i(t t) i(t)] Ns(t)i(t)t Ni(t)t
di
dt
i(1 i)
i
i[i (1 1 )]
i(0) i0
/
~ 日接触率 1/ ~感染期
~ 一个感染期内每个病人的
有效接触人数，称为接触数.
第7页/共76页
模型3
di/dt
di i[i (1 1 )]
dt
接触数 (感染期内每个
病人的有效接触人数)
i
i
>1
i0
>1
1
1-1/
接触率
N[i(t t) i(t)] [s(t)]Ni(t)t
di si
dt
s(t) i(t) 1
di
i(1 i)
dt
i(0) i0
第5页/共76页
模型2
i
di
i(1 i)
dt
i(0) i0
Logistic 模型
1
i(t)
姜启源第四版数学模型-第7章
F(x)0
x N(1E),x0
平衡点
0
r1
稳定性判断 F (x 0 ) E r , F (x 1 ) r E
E r F (x 0 ) 0 ,F (x 1 ) 0 x0稳定,x1不稳定
E r F (x 0 ) 0 ,F (x 1 ) 0 x0不稳,定 x1稳定
x2 1 2 2 2
A
fx1 gx1
fx2 P0
g x2
2 p q 0
p
(
f x1
g) x2
P0
q
det
A
p>0且q>0
p<0或q<0
平衡点 P0稳定(对(2),(1)) 平衡点 P0不稳定(对(2),( Nx22
x1(t)f(x1,x2) x2(t)g(x1,x2) (1)
x (t)f(x0,x0)x ( x0)f(x0,x0)x ( x0)
1
x 1 1 2 1 1
x2 1 2 2 2
x (t)g(x0,x0)x ( x0) g(x0,x0)x ( x0) (2 )
2
x 1 1 2 1 1
过度 支出 S(E)cE r
=0 临界强度Es
pN/2cpN(c/Np2c/N) Es Es1E*经济学捕捞过度
pNE S(E)
pNE/2 S(E)
cpN/2 (p2c/N)
T(E)
Es Es2 E*生态学捕捞过度 0
Es1 E*
Es2 r
E
捕鱼业的 在自然增长和捕捞情况的合理假设下建模. 持续收获 用平衡点稳定性分析确定渔场鱼量稳定条件,
f (x , x ) 0
姜启源等编《数学模型》第四版课件第1章
河
小船(至多2人) 3名商人
3名随从
决策~ 每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员. 要求~在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经 有限步使全体人员过河.
模型构成
xk~第k次渡河前此岸的商人数
yk~第k次渡河前此岸的随从数 sk=(xk , yk) ~过程的状态 xk, yk=0,1,2,3;
( x y ) 30 750 ( x y ) 50 750
求解
x=20 y =5
答：船速为20km/h.
航行问题建立数学模型的基本步骤
• 作出简化假设（船速、水速为常数）
• 用符号表示有关量（x, y分别表示船速和水速） • 用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以 时间）列出数学式子（二元一次方程）
dz x z , t 2, dt x 1100e t , z (2) 236.5
λ=0.1386 (不变)，μ =0.1155×2=0.2310
z(t ) 1650e0.1386t 1609.5e0.2310t , t 2
施救方案
1200 1000 x(t) 800
k=1,2,…
S ~ 允许状态集合 S={(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2}
uk~第k次渡船上的商人数
vk~第k次渡船上的随从数
uk, vk=0, 1, 2;
k=1,2,…
dk=(uk , vk) ~过程的决策 D ~允许决策集合 D={(u , v) u+v=1, 2, u, v=0, 1, 2} 状态因决策而改变
14电气照明是建筑电气技术的基本内容是保证建筑物发挥基本功能的必要条件合理的照明对提高工作效率保证安全生产和保护视力都具有重要的意义数学建模的一般步骤模型准备模型假设模型构成模型求解模型分析模型检验模型应用了解实际背景明确建模目的搜集有关信息掌握对象特征形成一个比较清晰的问题电气照明是建筑电气技术的基本内容是保证建筑物发挥基本功能的必要条件合理的照明对提高工作效率保证安全生产和保护视力都具有重要的意义针对问题特点和建模目的作出合理的简化的假设在合理与简化之间作出折中用数学的语言符号描述问题发挥想像力使用类比法尽量采用简单的数学工具数学建模的一般步骤电气照明是建筑电气技术的基本内容是保证建筑物发挥基本功能的必要条件合理的照明对提高工作效率保证安全生产和保护视力都具有重要的意义模型求解各种数学方法软件和计算机技术
数学建模_姜启源第四章__数学规划模型
DO RANGE(SENSITIVITY) ANALYSIS?
(约束条件不变) x1系数范围(64,96)
64.000000 8.000000 16.000000 x2系数范围(48,72) RIGHTHAND SIDE RANGES CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE
模型求解
OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3460.800 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 0.000000 1.680000 X2 168.000000 0.000000 X3 19.200001 0.000000 X4 0.000000 0.000000 X5 24.000000 0.000000 X6 0.000000 1.520000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 3.160000 3) 0.000000 3.260000 4) 76.000000 0.000000 5) 0.000000 44.000000 6) 0.000000 32.000000 NO. ITERATIONS= 2
结果解释
每天销售168 千克A2 和19.2 千克B1， 利润3460.8（元） 8桶牛奶加工成A1，42桶 牛奶加工成A2， 将得到的24千克A1全部 加工成B1 除加工能力外均 为紧约束
30元可增加1桶牛奶，3元可增加1小时时间， 应否投资？现投资150元，可赚回多少？
Max z 72x1 64x2
z=c (常数) ~等值线
0
l5
Z=0
x1 D Z=2400
在B(20,30)点得到最优解 最优解一定在凸多边 形的某个顶点取得。
姜启源课后习题
第一部分 练习与思考题第1章 建立数学模型1.1 在稳定的椅子问题中，如设椅子的四脚连线呈长方形，结论如何？（稳定的椅子问题见姜启源《数学模型》第6页）1.2 在商人们安全过河问题中，若商人和随从各四人，怎样才能安全过河呢？一般地，有n 名商人带n 名随从过河，船每次能渡k 人过河，试讨论商人们能安全过河时，n 与k 应满足什么关系。
（商人们安全过河问题见姜启源《数学模型》第7页）1.3 人、狗、鸡、米均要过河，船需要人划，另外至多还能载一物，而当人不在时，狗要吃鸡，鸡要吃米。
问人、狗、鸡、米怎样过河？1.4 有3对夫妻过河，船至多载两人，条件是任一女子不能在其丈夫不在的情况下与其他的男子在一起。
问怎样过河？1.5 如果银行存款年利率为5.5%，问如果要求到2010年本利积累为100000元，那么在1990年应在银行存入多少元？而到2000年的本利积累为多少元？1.6 某城市的Logistic 模型为2610251251N N dt dN ⨯-=，如果不考虑该市的流动人口的影响以及非正常死亡。
设该市1990年人口总数为8000000人，试求该市在未来的人口总数。
当∞→t 时发生什么情况。
1.7 假设人口增长服从这样规律：时刻t 的人口为)(t x ，最大允许人口为m x ，t 到t t ∆+时间内人口数量与)(t x x m -成正比。
试建立模型并求解，作出解的图形并与指数增长模型和阻滞增长模型的结果进行比较。
1.8 一昼夜有多少时刻互换长短针后仍表示一个时间？如何求出这些时间？1.9 你在十层楼上欲乘电梯下楼，如果你想知道需要等待的时间，请问你需要有哪些信息？如果你不愿久等，则需要爬上或爬下几个楼层？1.10 居民的用水来自一个由远处水库供水的水塔，水库的水来自降雨和流入的河流。
水库的水可以通过河床的渗透和水面的蒸发流失。
如果要你建立一个数学模型来预测任何时刻水塔的水位，你需要哪些信息？第2章 初等模型2.1 学校共1000名学生，235人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432人住在C 宿舍。
数学模型第四版(姜启源)作业对于6.4节蛛网模型讨论下列问题：【范本模板】
对于6。
4节蛛网模型讨论下列问题：（1）因为一个时段上市的商品不能立即售完，其数量也会影响到下一时段的价格，所以第k+1时段的价格1+k y 由第k+1和第k 时段的数量1+k x 和k x 决定。
如果设1+k x 仍只取决于k y ，给出稳定平衡的条件，并与6.4的结果进行比较。
（2）若除了1+k y 由1+k x 和k x 决定之外，1+k x 也由前两个时段的价格k y 和1-k y 决定，试分析稳定平衡的条件是否还会放宽。
解:（1)设1+k y 由1+k x 和k x 的平均值决定，即价格函数表示为：)2(11k k k x x f y +=++ 则 0),2(0101>-+-=-++ααx x x y y k k k 0),(001>-=-+ββy y x x k k消去y, 得到 012)1(22x x x x k k k +=++++αβαβαβ ,k=1，2，….该方程的特征方程为022=++αβαβλλ与6.4节中 )2(11-++=k k k y y g x 时的特征方程一样， 所以0〈αβ〈2, 即为0p 点的稳定条件。
（2）设 )2(11k k k x x f y +=++ )2(11-++=k k k y y g x ， 则有 0),2(0101>-+-=-++ααx x x y y k k k 0),2(0101>-+=--+ββy y y x x k k k 消去y ，得到0123)1(424x x x x x k k k k +=++++++αβαβαβαβ 该方程的特征方程为02423=+++αβαβλαβλλ令λ=x ,αβ=a ， 即求解三次方程0a 2ax ax 4x 23=+++ 的根 在matlab 中输入以下代码求解方程的根x ：syms x asolve(4*x^3+a*x^2+2＊a*x+a==0,x)解得 1x = （36＊a^2 — 216＊a — a^3 + 24＊3^（1/2）＊（-a^2＊（a — 27））^（1/2)）^（1/3）/12 — a/12 + (a*(a — 24))/（12＊（36*a^2 — 216＊a — a^3 + 24*3^（1/2)＊(-a^2＊（a — 27）)^（1/2))^(1/3）)；2x = -（2＊a*(36*a^2 - 216＊a — a^3 + 24＊3^（1/2）＊（—a^2＊(a - 27））^（1/2）)^（1/3） — 3^（1/2)*a*24＊i — 3^（1/2）*（36＊a^2 — 216＊a — a^3 + 24＊3^(1/2）＊(—a^2*(a — 27））^(1/2))^(2/3）*i - 24＊a + 3^(1/2)＊a^2*i+ (36*a^2 - 216＊a - a^3 + 24＊3^（1/2）*(-a^2＊（a — 27）)^（1/2）)^（2/3) + a^2)/（24*(36*a^2 — 216*a - a^3 + 24＊3^(1/2)＊（-a^2*（a — 27））^（1/2）)^（1/3））；3x =—（2＊a*（36*a^2 - 216*a — a^3 + 24＊3^（1/2)*(-a^2*（a - 27))^（1/2))^(1/3) + 3^(1/2)＊a ＊24*i + 3^（1/2）*(36＊a^2 - 216＊a — a^3 + 24*3^(1/2）＊(-a^2*(a - 27））^（1/2))^(2/3)*i — 24＊a - 3^（1/2)＊a^2＊i + (36＊a^2 - 216＊a - a^3 + 24*3^(1/2）*(-a^2＊（a - 27))^(1/2))^（2/3) + a^2）/（24＊（36＊a^2 — 216＊a — a^3 + 24*3^（1/2）*（—a^2*(a -27）)^(1/2）)^(1/3））；其中1x 为实根，2x 与3x 为一对共轭虚根。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1 2 3 4 5
A
B
C
235117.578.3 58.75 …
333166.511183.25 …
43221614410886.4
将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A、B、C行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位.你能解释这种方法的道理吗？
但 及 均有 ，即 不稳定；
③当 时，得到两个平衡点：
，
易知 ， ，
平衡点 不稳定，平衡点 稳定.
2 ．最大持续产量的数学模型为：
即 ，易得 此时 ，但 这个平衡点不稳定.
要获得最大持续产量，应使渔场鱼量 ,且尽量接近 ,但不能等于 .
《数学模型》第七章作业
（2008年12月4日）
1．对于7.1节蛛网模型讨论下列问题：
S取最大值.
由 解得
此时 ＝20 ＝350（元）
2.某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱的体积、重量以及可获利润如下表：
货物
体积
（立方米/箱）
重量
（百斤/箱）
利润
（百元/箱）
甲
5
2
20
乙
4
5
10
已知这两种货物托运所受限制是体积不超过24立方米，重量不超过13百斤.试问这两种货物各托运多少箱，使得所获利润最大，并求出最大利润.
第三章1（2008年10月14日）
1.在3.1节存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用,重新确定最优订货周期和订货批量．证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样，而在允许缺货模型中最优订货周期和订货批量都比原来结果减少．
解：设购买单位重量货物的费用为 ,其它假设及符号约定同课本．
对于不允许缺货模型，每天平均费用为：
解：设安排生产甲型微波炉 件,乙型微波炉 件,相应的利润为S.
则此问题的数学模型为：
max S=3x +2y
s.t.
这是一个整线性规划问题
用图解法进行求解
可行域为：由直线 ：2x+3y=100, :4x+2y＝120
及x=6,y=12组成的凸四边形区域.
直线 ：3x+2y=c在此凸四边形区域内平行移动.易知：当 过 与 的交点时, S取最大值.
(2)恒速静脉滴注(持续时间为 ): 设滴注速率为 解得
(3) 口服或肌肉注射:
3种情况下的血药浓度曲线如下：
第五章3（2008年11月18日）
8.在5.5节香烟过滤嘴模型中,
(1) 设
求
(2) 若有一支不带过滤嘴的香烟,参数同上,比较全部吸完和只吸到 处的情况下，进入人体毒物量的区别.
解
，
(2) 对于一支不带过滤嘴的香烟,全部吸完的毒物量为
(2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率 增援,重新建立模型,讨论如何判断双方的胜负规战争模型可近似表示为:
现求(1)的解: (1)的系数矩阵为
.
再由初始条件，得
又由
其解为
(1)
即乙方取胜时的剩余兵力数为
又令
注意到 .
(2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率 增援.则
解：由题意可得贮存量 的图形如下：
贮存费为
又
, 贮存费变为
于是不允许缺货的情况下，生产销售的总费用（单位时间内）为
.
, 得
易得函数 取得最小值，即最优周期为：
. 相当于不考虑生产的情况.
. 此时产量与销量相抵消，无法形成贮存量.
第三章2（2008年10月16日）
3．在3.3节森林救火模型中，如果考虑消防队员的灭火速度 与开始救火时的火势 有关，试假设一个合理的函数关系，重新求解模型.
令 ， 解得
由 ， 得
与不考虑购货费的结果比较，Ｔ、Ｑ的最优结果没有变．
对于允许缺货模型，每天平均费用为：
令 ， 得到驻点：
与不考虑购货费的结果比较，Ｔ、Ｑ的最优结果减少．
2．建立不允许缺货的生产销售存贮模型．设生产速率为常数 ，销售速率为常数 ， ．在每个生产周期Ｔ内，开始的一段时间 一边生产一边销售，后来的一段时间 只销售不生产，画出贮存量 的图形.设每次生产准备费为 ，单位时间每件产品贮存费为 ，以总费用最小为目标确定最优生产周期，讨论 和 的情况.
解：按分段价格，单位时间内的销售量为
又 .于是总利润为
=
=
, 得到最优价格为:
在销售期T内的总销量为
于是得到如下极值问题：
利用拉格朗日乘数法，解得：
即为 的最优值.
第三章3（2008年10月21日）
6.某厂每天需要角钢100吨，不允许缺货.目前每30天定购一次，每次定购的费用为2500元.每天每吨角钢的贮存费为0.18元.假设当贮存量降到零时订货立即到达.问是否应改变订货策略？改变后能节约多少费用？
只吸到 处就扔掉的情况下的毒物量为
4．在5.3节正规战争模型（3）中，设乙方与甲方战斗有效系数之比为
初始兵力 相同.
(1) 问乙方取胜时的剩余兵力是多少,乙方取胜的时间如何确定.
(2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率 增援,重新建立模型,讨论如何判断双方的胜负.
解:用 表示甲、乙交战双方时刻t的士兵人数,则正规战争模型可近似表示为:
解：已知：每天角钢的需要量r=100(吨);每次订货费 ＝2500（元）;
每天每吨角钢的贮存费 ＝0.18（元）.又现在的订货周期T ＝30（天）
根据不允许缺货的贮存模型：
得：
令 ，解得：
由实际意义知：当 （即订货周期为 ）时，总费用将最小.
又 ＝300＋100k
=353．33＋100k
－ ＝（353.33＋100k）－（300＋100k） ＝53．33.
此方法的分配结果为：
此方法的道理是：记 和 为各宿舍的人数和席位（i=1,2,3代表A、B、C宿舍）. 是每席位代表的人数，取 从而得到的 中选较大者，可使对所有的 尽量接近.
再考虑 的分配方案，类似地可得名额分配结果.现将3种方法两次分配的结果列表如下：
宿舍
（1） （2） （3）
（1） （2） （3）
(1)分别就 ， ， 这3种情况讨论渔场鱼量方程的平衡点及其稳定状况．
(2)如何获得最大持续产量，其结果与6.1节的产量模型有何不同．
解：设时刻t的渔场中鱼的数量为 ，则由题设条件知： 变化规律的数学模型为
记
(1).讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性：
由 ，得 ．
即
，
(1)的解为：
①当 ， ，(1)无实根，此时无平衡点；
解:设甲货物、乙货物的托运箱数分别为 , ,所获利润为 则问题的数学模型可表示为
这是一个整线性规划问题.
用图解法求解.
可行域为：由直线
及 组成 直线 在此凸四边形区域内平行移动.
易知：当 过 与 的交点时， 取最大值
由 解得
.
3．某微波炉生产企业计划在下季度生产甲、乙两种型号的微波炉.已知每台甲型、乙型微波炉的销售利润分别为3和2个单位.而生产一台甲型、乙型微波炉所耗原料分别为2和3个单位,所需工时分别为4和2个单位.若允许使用原料为100个单位,工时为120个单位,且甲型、乙型微波炉产量分别不低于6台和12台.试建立一个数学模型,确定生产甲型、乙型微波炉的台数,使获利润最大．并求出最大利润.
记
① 令 ，得 ， ．
平衡点为 . 又 ， ．
平衡点 是稳定的，而平衡点 不稳定.
②最大持续产量的数学模型为：
由前面的结果可得
，令
得最大产量的捕捞强度 ．从而得到最大持续产量 ，此时渔场鱼量水平 ．
3．设某渔场鱼量 (时刻 渔场中鱼的数量)的自然增长规律为：
其中 为固有增长率, 为环境容许的最大鱼量.而单位时间捕捞量为常数 .
②当 ， ，(1)有两个相等的实根，平衡点为 .
， 不能断定其稳定性.
但 及 均有 ，即 ． 不稳定；
③当 ， 时，得到两个平衡点：
，
易知： ， ， ，
平衡点 不稳定，平衡点 稳定
(2)最大持续产量的数学模型为
即 ，
易得 此时 ，
但 这个平衡点不稳定．这是与6.1节的产量模型不同之处．
要获得最大持续产量，应使渔场鱼量 ，且尽量接近 ，但不能等于 ．
（1）因为一个时段上市的商品不能立即售完，其数量也会影响到下一时段的价格，所以第 时段的价格 由第 和第 时段的数量 和 决定，如果仍设 仍只取决于 ，给出稳定平衡的条件，并与7.1节的结果进行比较.
2.与Logistic模型不同的另一种描述种群增长规律的是Gompertz模型： ．其中r和N的意义与Logistic模型相同．
设渔场鱼量的自然增长服从这个模型，且单位时间捕捞量为 ．讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性，求最大持续产量 及获得最大产量的捕捞强度 和渔场鱼量水平 ．
解： 变化规律的数学模型为
故应改变订货策略.改变后的订货策略（周期）为T = ，能节约费用约53．33元.
《数学模型》作业解答
第四章（2008年10月28日）
1.某厂生产甲、乙两种产品,一件甲产品用 原料1千克, 原料5千克；一件乙产品用 原料2千克, 原料4千克.现有 原料20千克, 原料70千克.甲、乙产品每件售价分别为20元和30元.问如何安排生产使收入最大？
《数学模型》作业答案
第二章(1)（2012年12月21日）
1．学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍.学生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：
（1）. 按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者;