湖北省武汉市2021届新高考数学一模试卷含解析

湖北省武汉市2021届新高考数学一模试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知椭圆C ：()22

2210x y a b a b

+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点()11,P x y ，()11,Q x y --在椭

圆C 上，其中1>0x ，10y >，若22PQ OF =

，

113

QF PF ≥，则椭圆C 的离心率的取值范围为（ ） A

．10,2??

?????

B

．(

2??

C

．12??

?

??

D

．(

1??

【答案】C 【解析】 【分析】

根据22PQ OF =可得四边形12PFQF 为矩形, 设1PF n =,2PF m =,根据椭圆的定义以及勾股定理可得

()22242c m n n m a c =+-,再分析=+m n t n m

的取值范围,进而求得(

)222422c a c <≤-再求离心率的范围

即可. 【详解】

设1PF n =,2PF m =,由1>0x ,10y >,知m n <,

因为()11,P x y ,()11,Q x y --在椭圆C 上,222PQ OP OF ==, 所以四边形12PFQF 为矩形,12=QF

PF ；

由

11QF PF ≥,

1m n

≤<,

由椭圆的定义可得2m n a +=,2224m n c +=①, 平方相减可得(

)22

2mn a c

=-②,

由①②得()

22222

42c m n m n

mn n m a c +==+-； 令=+m n

t n m ,

令m v n ?=

∈????

,

所以1432,3t v v ??=+

∈ ? ??

, 即

()

222443

232c a c <≤-, 所以()

2222

2233

a c c a c -<≤

-, 所以()

22223

113

e e e -<≤

-, 所以

21

4232

e <≤-, 解得

2

312

e <≤-. 故选：C 【点睛】

本题主要考查了椭圆的定义运用以及构造齐次式求椭圆的离心率的问题,属于中档题.

2．如图，点E 是正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱DD 1的中点，点F ，M 分别在线段AC ，BD 1（不包含端点）上运动，则（ ）

A ．在点F 的运动过程中，存在EF//BC 1

B ．在点M 的运动过程中，不存在B 1M ⊥AE

C ．四面体EMAC 的体积为定值

D ．四面体FA 1C 1B 的体积不为定值 【答案】C 【解析】 【分析】

采用逐一验证法，根据线线、线面之间的关系以及四面体的体积公式，可得结果. 【详解】 A 错误

由EF ?平面AEC ，1BC //1AD

而1AD 与平面AEC 相交，

故可知1BC 与平面AEC 相交，所以不存在EF//BC 1 B 错误，如图，作11B M BD ⊥

由11,,AC BD AC BB BD BB B ⊥⊥?=

又1,BD BB ?平面11BB D D ，所以AC ⊥平面11BB D D 又1B M ?平面11BB D D ，所以1B M AC ⊥ 由OE //1BD ，所以1B M OE ⊥

AC OE O =I ，,AC OE ?平面AEC

所以1B M ⊥平面AEC ，又AE ?平面AEC 所以1B M AE ⊥，所以存在 C 正确

四面体EMAC 的体积为1

3

M AEC AEC V S h -?=

?? 其中h 为点M 到平面AEC 的距离，

由OE //1BD ，OE ?平面AEC ，1BD ?平面AEC 所以1BD //平面AEC ，

则点M 到平面AEC 的距离即点B 到平面AEC 的距离， 所以h 为定值，故四面体EMAC 的体积为定值

D 错误

由AC //11A C ，11A C ?平面11A C B ，AC ?平面11A C B 所以AC //平面11A C B ，

则点F 到平面11A C B 的距离1h 即为点A 到平面11A C B 的距离， 所以1h 为定值

所以四面体FA 1C 1B 的体积111111

3

F A C B A C B V S h -?=??为定值 故选：C 【点睛】

本题考查线面、线线之间的关系，考验分析能力以及逻辑推理能力，熟练线面垂直与平行的判定定理以及性质定理，中档题.

3．已知函数()2sin()(0,0)3f x x A ωωπ

=->>，将函数()f x 的图象向左平移3

π个单位长度，得到函数()

g x 的图象，若函数()g x 的图象的一条对称轴是6x π

=，则ω的最小值为

A ．

1

6

B ．

23

C ．53

D ．

56

【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】

将函数()f x 的图象向左平移3

π个单位长度，得到函数()2sin()33g x x ωωππ

=+

-的图象，因为函数()g x 的图象的一条对称轴是6

x π=

，所以sin(

)16

3

3ωωπππ+

-=±，即,6332

k k ωωππππ

+-=+π∈Z ，所以

52,3

k k ω=+∈Z ，又0>ω，所以ω的最小值为

5

3

．故选C ． 4．明代数学家程大位（1533~1606年），有感于当时筹算方法的不便，用其毕生心血写出《算法统宗》，可谓集成计算的鼻祖．如图所示的程序框图的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”问题．执行该程序框图，若输出的y 的值为2，则输入的x 的值为（ ）

A ．

7

4

B ．

5627

C ．2

D ．

164

81

【答案】C 【解析】 【分析】

根据程序框图依次计算得到答案.

34y x =-，1i =；34916y y x =-=-，2i =；342752y y x =-=-，3i =；

3481160y y x =-=-，4i =；34243484y y x =-=-，此时不满足3i ≤，跳出循环，

输出结果为243484x -，由题意2434842y x =-=，得2x =． 故选:C 【点睛】

本题考查了程序框图的计算，意在考查学生的理解能力和计算能力.

5．某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为（ ）

A ．6.25%

B ．7.5%

C ．10.25%

D ．31.25%

【答案】A 【解析】 【分析】

由折线图找出水、电、交通开支占总开支的比例，再计算出水费开支占水、电、交通开支的比例，相乘即可求出水费开支占总开支的百分比. 【详解】

水费开支占总开支的百分比为250

20% 6.25%250450100

?=++.

故选：A 【点睛】

本题考查折线图与柱形图，属于基础题.

6．已知数列{}n a 的首项1(0)a a a =≠，且+1n n a ka t =+，其中k ，t R ∈，*n N ∈，下列叙述正确的是（ ）

A ．若{}n a 是等差数列，则一定有1k =

B ．若{}n a 是等比数列，则一定有0t =

C ．若{}n a 不是等差数列，则一定有 1k ≠

D ．若{}n a 不是等比数列，则一定有0t ≠

【解析】 【分析】

根据等差数列和等比数列的定义进行判断即可. 【详解】

A ：当0,k t a ==时，+1n a a =，显然符合{}n a 是等差数列，但是此时1k =不成立，故本说法不正确；

B ：当0,k t a ==时，+1n a a =，显然符合{}n a 是等比数列，但是此时0t =不成立，故本说法不正确；

C ：当1k =时，因此有+1n n n n a a ka t a t -=+-==常数，因此{}n a 是等差数列，因此当{}n a 不是等差数列时，一定有1k ≠，故本说法正确；

D ：当 0t a =≠时，若0k =时，显然数列{}n a 是等比数列，故本说法不正确. 故选：C 【点睛】

本题考查了等差数列和等比数列的定义，考查了推理论证能力，属于基础题. 7．已知函数321()(0)3f x ax x a =

+>．若存在实数0(1,0)x ∈-，且012x ≠-，使得01()()2

f x f =-，则实数a 的取值范围为（ ） A ．2(,5)3

B ．2

(,3)(3,5)3

? C ．18(,6)7

D ．18

(

,4)(4,6)7

? 【答案】D 【解析】 【分析】

首先对函数求导，利用导数的符号分析函数的单调性和函数的极值，根据题意，列出参数所满足的不等关系，求得结果. 【详解】

()22f x ax x '=+，令()0f x '=，得10x =，22

x a

=-．

其单调性及极值情况如下：

若存在0

111,,022x ???

?∈--

?- ? ?

????，使得()012f x f ??

=- ???

， 则()21

221112a a f f ?-<-?

?

?->-?????-<-? ?

???

（如图1）或3122a a -<-<-（如图2）．

（图1）

（图2）

于是可得()18,44,67a ??∈? ???

，

故选：D. 【点睛】

该题考查的是有关根据函数值的关系求参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有利用导数研究函数的单调性与极值，画出图象数形结合，属于较难题目.

8．如图，ABC V 中260A B ∠=∠=?，点D 在BC 上，30BAD ∠=?，将ABD △沿AD 旋转得到三棱锥

B AD

C '-，分别记B A '，B

D '与平面ADC 所成角为α，β，则α，β的大小关系是（ ）

A ．2αβα<≤

B ．23αβα≤≤

C ．2βα≤，23αβα<≤两种情况都存在

D ．存在某一位置使得3a β>

【答案】A 【解析】 【分析】

根据题意作出垂线段，表示出所要求得α、β角，分别表示出其正弦值进行比较大小，从而判断出角的大小，即可得答案． 【详解】

由题可得过点B 作BE AD ⊥交AD 于点E ，过B ′作CD 的垂线，垂足为O ，则易得B AO α=∠'，

B DO β=∠'．

设1CD =，则有2BD AD ==，1DE =，3BE =

∴可得23AB AB '==，2B D BD '==．

sin ,sin OB OB AB DB αβ''

=

=''

Q ， sin 3sin βαα∴=>，βα∴>；

Q 3]OB '∈，∴1

sin [0,]2

α∈； Q 2sin 22sin cos 2sin 1sin αααα==-，

21[3,2]sin α-，∴sin 23sin ααβ=…，

2αβ∴…．

综上可得，2αβα

本题考查空间直线与平面所成的角的大小关系，考查三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．

9．已知12,F F 是双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的左右焦点，过1F 的直线与双曲线的两支分别交于,A B 两

点（A 在右支，B 在左支）若2ABF ?为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）

A ．3

B ．5

C ．6

D ．7

【答案】D 【解析】 【分析】

根据双曲线的定义可得2ABF ?的边长为4a ，然后在12AF F ?中应用余弦定理得,a c 的等式，从而求得离心率． 【详解】

由题意122AF AF a -=，212BF BF a -=，又22AF BF AB ==， ∴114AF BF AB a -==，∴12BF a =， 在12AF F ?中2

22

12

12122cos60F F AF AF AF AF =+-?，

即2

2

2

1

4(6)(4)2642

c a a a a =+-???228a =，∴． 故选：D ． 【点睛】

本题考查求双曲线的离心率，解题关键是应用双曲线的定义把A 到两焦点距离用a 表示，然后用余弦定理建立关系式．

10．圆锥底面半径为5，高为2，SA 是一条母线，P 点是底面圆周上一点，则P 点到SA 所在直线的距离的最大值是（ ） A ．

25

3

B ．

45

3

C ．3

D ．4

【答案】C 【解析】

分析：作出图形，判断轴截面的三角形的形状，然后转化求解P 的位置，推出结果即可.

详解：圆锥底面半径为5，高为2，SA 是一条母线，P 点是底面圆周上一点，P 在底面的射影为O ；

543SA =+=，OA SO >，过SA 的轴截面如图：

90ASQ ∠>?，过Q 作QT SA ⊥于T ，则QT QS <，在底面圆周，选择P ，使得90PSA ∠=?，则P 到

SA 的距离的最大值为3，故选：C

点睛：本题考查空间点线面距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力，解题的关键是作出轴截面图形，属中档题．

11．函数f x x 2()cos(2)3

π

=+的对称轴不可能为（ ） A ．6

5x π=-

B ．3

x π

=-

C ．6

x π

=

D ．3

x π

=

【答案】D 【解析】 【分析】

由条件利用余弦函数的图象的对称性，得出结论． 【详解】

对于函数()2cos 23f x x π?

?=+ ??

?，令22,3x k k Z ππ+

=∈，解得,23k x k Z ππ=-∈， 当1,0,1k =-时，函数的对称轴为65x π

=-，3x π=-，6

x π=. 故选：D. 【点睛】

本题主要考查余弦函数的图象的对称性，属于基础题． 12．给定下列四个命题：

①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；

④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中，为真命题的是( )

A ．①和②

B ．②和③

C ．③和④

D ．②和④ 【答案】D 【解析】 【分析】

利用线面平行和垂直，面面平行和垂直的性质和判定定理对四个命题分别分析进行选择． 【详解】

当两个平面相交时，一个平面内的两条直线也可以平行于另一个平面，故①错误；由平面与平面垂直的判定可知②正确；空间中垂直于同一条直线的两条直线还可以相交或者异面，故③错误；若两个平面垂直，只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故④正确．综上，真命题是②④.