微积分-下册-试题及其答案
微积分期末考试题
一、填空题(每小题5分,共25分)
1、设)(y x f y x z -++=,且当0=y 时,2
x z =,则=z .
2、已知=+=)4,3(22|),ln(gradz y x z 求 .
3、求
22
1z x y =++在条件1=+y x 下的极值为 . 4、该级数∑∞
=12
2
n n n 的收敛型为 .
5、已知微分方程x y y +'
='',该方程的通解为 .
二、选择题(每小题5分,共25分)
6、222200
3sin()lim x y x y x y →→++的值为( )
A.3
B.0
C.2
D.不存在 7、已知曲线L 为过点)2,1(),1,0(),0,0(点的圆弧,则该曲线积分y y L
xe dx x e I ++=
?
)(=
( ) A.2
e B.212
+e C.2
12
-e D.22e
8
、级数1
n
n ∞
=的收敛区间为( ) A.)3,1( B.]3,1( C.]3,1[ D.)3,1[
9、已知积分
??
D
d x
y σ,其中D 是由直线
x y x y 2,==及2,1==x x 所围成的闭区域,则该
积分为( ) A.
49 B.94 C.32 D.2
3
10、已知),(y x z z =由
xy e z z
=+确定,求y x z
???2为( ) A.49 B.2
)
1(11z z z e xy
e e +-+ C.32 D.23 三、解答题(每小题10分,共50分)
11、求函数322
(,)42f x y x x xy y =-+-的极值.
12、求由于平面1,0,0=+==y x y x 所围成的柱体被平面0=z 抛物面z y x -=+62
2截得的立体体积.
13、若)(x f 为连续函数,且满足[]dt t t f t t x f x
?-+
=0
cos )(cos sin 1)(,求函数)(x f .
14、求微分方程
02)1(2
='-''+y x y x 的通解. 15、设)(22y x f y z -=
,其中)(u f 为可导函数, 证明211y z
y z y x z x =
??+??.
微积分期末考试题答案
一.填空题
1、2222x xy y y -++
解析:由题可知,
y
xy y x y x y x y x f x x x f y +-+=---=--==2)()()(,)(,02222则有时
2、
25
8256+ 解析:由题可知,,求偏导有
j i gradz y x y y z y x x x z 25
8256|,2,2)4,3(2222+=∴+=??+=?? 3、
2
3
解析:
222
(1)1222z x x x x =+-+=-+ 令'420z x =-=,得
12x =
,"40z =>,1
2x =
为极小值点.
故2
2
1z x y =++在1y x =-下的极小值点为11
(,)
22,极小值为32
4、收敛
解析:由比值判别法有12
1
422)1(22)1(lim
22212<==+=?++∞→n n n n n n n n n ,此时该级数收敛. 5、212)1(2
1
C e C x x +++-
解:令y p '=,p y '='',方程化为x p p +='
,于是
)(1)1()1(C dx e x e p dx
dx +??=---?)
(1C dx e x e x x +=-?
])1([1C e x e x x ++-=-x e C x 1)1(++-= ?2121)1(21
])1([C e C x dx e C x dx p y x x +++-=++-==??
二、选择题 6、 A
解析;由等价无穷小,有2
2
2
2
~)sin(y x y x ++,则该极限为33lim 0
0=→→y x .
7、B
解析:由题可知,该曲线积分与积分路径无关,则作图有
)2,0( 此时, 2
1
)1()(21
2
+=++=++=??
?e dy e dx x xe dx x e I y y y L )0,1(
8、D.
解析:令2t x =-,幂级数变形为n n ∞
=1lim 1
n t n n n a R a →∞+===.
当1-=t 时,级数为0
(1)n
n ∞
=-∑收敛;
当1=t 时,级数为1n ∞
=.
故1
n
n ∞
=)1,1[-=t I ,
则1
n n ∞
=的收敛区间为[1,3)x I =.
9、A
解析:
221x x D
y
y d dx dy
x x
σ=??
??.
2139
24xdx =
=?
10、B
解析:设
(,,)z
F x y z z e xy =+-,则
x F y
=-,
y F x
=- ,1z
z F e =+
11x z z z z F y y x F e e ?-=-=-=?++, 11y z z z F z x x
y F e e ?-=-=-=?++
22
2111(1)1(1)z z z z
z z
z z e y e z y
e xy y
x y y e e e e ?+-??
?????===-
????++++??
三、解答题
11、 解:322
(,)42f x y x x xy y =-+-,则
2(,)382x f x y x x y
=-+,
(,)22y f x y x y
=-,
(,)68
xx f x y x =-,
(,)2xy f x y =,
(,)2yy f x y =-,
求驻点,解方程组23820220x x y x y ?-+=?
-=?,
,得
)0,0(和(2,2).
对
)0,0(有(0,0)80xx f =-<,(0,0)2xy f =,(0,0)2yy f =-,
于是2120B AC -=-<,所以
)0,0(是函数的极大值点,且(0,0)0f = 对(2,2)有
(2,2)4
xx f =,
(2,2)2
xy f =,
(2,2)2
yy f =-,
于是2
120B AC -=>, (2,2)不是函数的极值点。
12、解:由题可知, 抛物面 z y x -=+62
2作为曲顶面,开口向下,则 62
2
=+y x
1=+y x
将所有平面投影到Xoy 面上得此图形 ,可知 x y x -≤≤≤≤10,10,此时积分有
6
17)1(31)1()1(631663102101
0321
01022=-----=?
?? ??
--=--=????--dx x x x x y y x y dx dy y x dx V x
x
13、解:由题可知, x x f x x x f cos )(cos sin )('-=即x x x xf x f cos sin )(cos )('
=+
令x x x Q x x P cos sin )(,cos )(==,则
x
x x x x xdx
xdx ce x x e c e xde c e dx xe x c e x f sin sin sin sin sin cos cos 1sin ))
1(sin ()sin ()cos sin ()(----+-=-+=+=?+?=??
由2c ,1)0(==有f ,此时1sin 2)(sin -+=-x e x f x
14、解:这是一个不明显含有未知函数y 的方程
作变换 令 dy
p dx =,则22
d y dp dx dx =,于是原方程降阶为2(1)
20dp
x px dx +-=
分离变量2
21dp x
dx p x
=+,积分得
21
ln ln(1)ln p x C =++
即2
1(1)
p C x =+,从而 2
1(1)dy C x dx =+ ,再积分一次得原方程的通解
即 y =
3
12
()3x C x C ++
15、证明:
2
222,2f f y f y z f f xy x z '
+=??'-=??Θ, 2
22212211y z yf yf f y f f f y y z y x z x =='++'-=??+??∴.
微积分试题及答案(5)
微积分试题及答案 一、填空题(每小题2分,共20分) 1. =∞→2 arctan lim x x x . 2. 设函数??? ??=<<-=0 , 10 )21()(1 x k x ,x x f x 在0=x 处连续,则=k 。 3. 若x x f 2e )(-=,则=')(ln x f 。 4. 设2sin x y =,则=)0() 7(y 。 5. 函数2 x y =在点0x 处的函数改变量与微分之差=-?y y d 。 6. 若)(x f 在[]b a ,上连续, 则=?x a x x f x d )(d d ; =? b x x x f x 2d )(d d . 7. 设函数)3)(2)(1()(---=x x x x f ,则方程0)(='x f 有 个实根。 8. 曲线x x y -=e 的拐点是 。 9. 曲线)1ln(+=x y 的铅垂渐近线是 。 10. 若 C x x x f x ++=? 2d )(,则=)(x f 。 二、单项选择(每小题2分,共10分) 1. 设x x f ln )(=,2)(+=x x g 则)]([x g f 的定义域是( ) (A )()+∞-,2 (B )[)+∞-,2 (C )()2,-∞- (D )(]2,-∞- 2. 当0→x 时,下列变量中与x 相比为高阶无穷小的是( ) (A )x sin (B )2 x x + (C )3x (D )x cos 1- 3. 函数)(x f 在],[b a 上连续是)(x f 在],[b a 上取得最大值和最小值的( ) (A )必要条件 (B )充分条件 (C )充分必要条件 (D )无关条件 4. 设函数)(x f 在]0[a , 上二次可微,且0)()(>'-''x f x f x ,则x x f ) ('在区间)0(a ,内是( ) (A )不增的 (B )不减的 (C )单调增加的 (D )单调减少的 5. 若 C x x x f +=?2d )(,则=-?x x xf d )1(2 。 (A )C x +-2 2)1(2 (B )C x +--2 2)1(2
大一高等数学期末考试试卷及答案详解
大一高等数学期末考试试卷 一、选择题(共12分) 1. (3分)若2,0, (),0x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. (3分)已知(3)2,f '=则0 (3)(3) lim 2h f h f h →--的值为( ). (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. (3分)定积分22 π π-?的值为( ). (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. (3分)若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题(共12分) 1.(3分) 平面上过点(0,1),且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. (3分) 1 241 (sin )x x x dx -+=? . 3. (3分) 20 1 lim sin x x x →= . 4. (3分) 3223y x x =-的极大值为 . 三、计算题(共42分) 1. (6分)求2 ln(15) lim .sin 3x x x x →+ 2. (6分)设2 ,1 y x =+求.y ' 3. (6分)求不定积分2ln(1).x x dx +?
4. (6分)求3 (1),f x dx -? 其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ?≤? =+??+>? 5. (6分)设函数()y f x =由方程0 cos 0y x t e dt tdt +=??所确定,求.dy 6. (6分)设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. (6分)求极限3lim 1.2n n n →∞ ? ?+ ??? 四、解答题(共28分) 1. (7分)设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. (7分)求由曲线cos 22y x x π π??=-≤≤ ???与x 轴所围成图形绕着x 轴 旋转一周所得旋转体的体积. 3. (7分)求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. (7 分)求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().22b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--? ? 标准答案 一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A. 二、 1 31;y x =+ 2 2 ;3 3 0; 4 0. 三、 1 解 原式205lim 3x x x x →?= 5分 5 3 = 1分 2 解 22ln ln ln(1),12 x y x x ==-++ 2分