八年级数学下册17.1.2 分式的基本性质(2)教案华东师大版
八年级数学下册 分式及其基本性质(第1课时)教案华东师大版
分式及其基本性质(1)知识技能目标1.使学生理解分式的概念，能正确判断一个代数式是否为分式，分清分式和整式的区别，了解有理式的概念；2.理解并掌握判断一个分式有意义、无意义及值为零的方法；3.使学生理解分式的基本性质．通过对比分数和分式基本性质的异同点，渗透类比的思想方法，学会用运动、变化的观点分析问题．过程性目标1.让学生在判断和识别整式与分式的实践过程中，理解并掌握分式的概念．2.让学生体会从分数变化到分式的运动过程，从中感悟类比的思想方法．情感态度目标通过学生比较熟悉的分数入手进行教学，降低教学难度，提高学生的学习兴趣，培养学生类比与比较的思维能力．重点和难点重点：分式的概念．难点：一个代数式不是不分式的判断．教学过程一、创设情境做一做(1)面积为2平方米的长方形一边长3米，则它的另一边长为米；(2)面积为S平方米的长方形一边长a米，则它的另一边长为米；(3)已知正方形的周长是a cm，则一边的长是____cm，面积是____cm2；(4)一箱苹果售价p元，总重m千克，箱重n千克．则每千克苹果的售价是元．想一想两个数相除，不能整除时结果可用分数表示．当两个整式不能整除时，它们的商怎样表示呢？二、探究归纳1.分式的概念问在上面所列出的代数式中，哪些是整式？哪些不是？同于前面学过的整式，是两个分母含有字母的代数式．在实际应用中，某些数量关系只用整式来表示是不够的，我们需要学习新的式子，以满足解决实际问题的需求．我们称这两个代数式为分式．其中A叫做分式的分子(numerator)，B叫做分式的分母(denominator)．从分式的意义中，应注意以下三点：(1)分式是两个整式相除的商，分数线可以理解为除号，并含有括号的作用；(2)分式的分子可以含有字母，也可以不含有字母，但分母必须含有字母；(3)分式分母的值不能为零．如果分母的值为零，那么分式就无意义．整式和分式统称为有理式(rational expression)，即分式是有理式的一部分．在有理式中可以包含加、减、乘、除四种运算，但在整式中除式不能含有字母．例1 下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？解属于整式的有：(2)、(4)；属于分式的有：(1)、(3)．想一想识别一个有理式是分式还是整式的关键是什么？关键是观察分母是否含有字母．如果分母不含字母，就是整式；如果分母含有字母，就是分式，与分子是否含字母无关．2.分式的基本性质回忆分数的基本性质是什么？分数的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的数，分数的值不变．分式和分数也有类似的性质．分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．想一想分数的基本性质与分式的基本性质有什么区别？在分数的基本性质中，分子与分母是都乘以（或除以）同一个不等于零的数，分数的值不变，这个“数”是一个具体的、唯一确定的值；而在分式的基本性质中，分式的分子与分母则是都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变，“整式”的值是随整式中字母的取值不同而变化的，所以它的值是变化的．从分数到分式是把“数”引伸到“式”．分数是分式的特殊情形，即当分式的分子和分母均为数，并且分母是不等于零的数，就成为分数．三、实践应用例2当x取什么值时，下列分式有意义？分析分式有意义的条件是分母的值不能等于零，从此条件出发可以考虑分式何时无意义，从而确定x的值．解(1)当分式的分母x-2＝0时，这个分式无意义，(2)分式的分母4x＋1＝0时，这个分式无意义，例4 下列等式的右边是怎样从左边得到的？问请同学观察(1)和(2)，等式从左边到右边，分式的分子与分母都经过了怎样的变换？变换后，为什么分式的值不变？答等式(1)的左边分式的分子与分母都乘以不等于零的整式c而得到右边的分式．等式(2)的左边分式的分子与分母都除以不等零的整式x而得到右边的分式．变换后分式的值不变，这是依据分式的基本性质，即分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．注题中所给出的分式，它的分母的值不能等于零，这是隐含条件．试一试填空：例5 如果把下列分式中x、y的值均扩大为原来的2倍，分式的值如何变化？分析把x、y变为2x、2y，分别代入原分式计算后再观察变化．四、交流反思有理式是分式还是整式的关键是观察分母是否含有字母．如果分母不含字母，就是整式；如果分母含有字母，就是分式，与分子是否含字母无关．2.因为分式中的分子与分母都是整式，整式的值是随着式中字母取值的不同而变化，要使分式的值为零，必须使分子的值为零而分母的值不为零．3.在分式的基本性质中，要注意其中的“都”、“同”和“不”等关键词语．“都”是指分式的分子与分母共同乘以（或除以）一个不等于零的整式；“同”是指分式的分子与分母乘以（或除以）的整式必须相同；“不”是指分式的分子与分母乘以（或除以）的整式的值不能等于零．分式的基本性质是分式变形和运算的理论依据．五、检测反馈1.指出下列有理式中，哪些是整式，哪些是分式？2.当x取什么数时，下列分式有意义？3.在下列各分式中，当x等于什么数时，分式的值是零？当x等于什么数时，分式没有意义？4.填空：(1)若某梨园m平方米产梨n千克,则平均每平方米产梨千克；(2)m千克盐溶于n千克水,所得盐水的含盐量是（用分式表示）；(3)若工厂原计划a天完成b件产品，若现在需要提前x天完成，则现要每天要比原来多生产产品件；(4)一货车送货上山，上山的速度为x千米/时，下山的速度为y千米/时，则该货车的平均速度是千米/时（用分式表示）．5.把下列各有理式分别填入相应的圈内：6.写出下列各等式中未知的分子或分母：。
八年级数学下册 17.1.2 分式的基本性质(第2课时 通分)导学案 华东师大版
八年级数学下册 17.1.2 分式的基本性质（第2课时通分）导学案华东师大版17、1、2分式的基本性质（第2课时通分）班级＿＿＿＿第____小组____号姓名＿＿＿效果＿＿＿＿【学习目标】1、理解并掌握分式的基本性质，并能类比分数的通分，理解分式通分的意义；2、掌握分式通分的方法和步骤，能运用分式的基本性质进行分式的通分。
【自学指导】一、1、计算：++=_______________=________；(回顾分数的通分、根据、作用)2、提问：类似于分数的通分，你知道什么是分式的通分？二、明确目标、自学指导【自学指导】认真看第4-5页的内容，思考：（5分钟）1、分式的通分：即要求把几个________的分式分别化为与原来的分式相等的______的分式。
通分的关键是确定几个分式的________，通常取各分母的所有_____的最高次幂的____作为公分母（即______________）、如：与的最简公分母是取的最高次幂与b的最高次幂的积，即做为最简公分母，所以=___________=_________ =___________=_________2、由“例4”的第（3）题，可知，当分母是多项式时，一般应先_____________，再找最简公分母；三、检测练习：P5练习3 , P6 习题5小结：通分的方法和步骤：（1）最简公分母的系数取各分母系数的_____________；（2）最简公分母的字母因式取各分母______________________的积；(3)当分母是多项式时，一般应先_____________，再找最简公分母；四、当堂检测：1、分式，的最简公分母是_____________；2、分式，，的最简公分母为（）A、（x-1）2B、（x-1）3C、（D、3、通分：（1），；（2），（3）与（4）与。
171分式及其基本性质-1712分式的基本性质教案华东师大版八年级下
17.1.2 分式的基本性质（1）教学目标 掌握分式的基本性质，掌握分式约分方法，熟练进行约分，并了解最简分式的意义.教学重点 分式约分方法教学难点 分子、分母是多项式的分式约分（一）复习与情境导入分式的基本性质分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变. 用式子表示是： MB M A B A M B M A B A ÷÷=⨯⨯=, （ 其中M 是不等于零的整式）. 与分数类似，根据分式的基本性质，可以对分式进行约分和通分. 可类比分数的基本性质来识记.(二)实践与探索例4、下列等式的右边是怎样从左边得到的？（1）22x xy x y x x ++= （2）1121122-++=-+y y y y y （y ≠—1）. 特别提醒：对22x xy x y x x++=，由已知分式可以知道x 0≠，因此可以用x 去除以分式的分子、分母，因而并不特别需要强调0x ≠这个条件，再如1121122-++=-+y y y y y 是在已知分式的分子、分母都乘以y+1得到的，是在条件y+1≠0下才能进行的，所以，这个条件必须附加强调.例5：不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数.（1）y x y x 32213221-+； （2）ba b a -+2.05.03.0. 仔细观察分母（分子）的变化利用分式的基本性质来解题.深入理解.尝试解题.例6：约分（1）4322016xy y x -； （2）44422+--x x x 解（2）44422+--x x x ＝2)2()2)(2(--+x x x ＝22-+x x . 说明：在进行分式约分时，若分子和分母都是多项式，则往往需要先把分子、分母分解因式（即化成乘积的形式），然后才能进行约分.约分后，分子与分母不再有公因式，我们把这样的分式称为最简分式.练习：约分：2232axy y ax ；)(3)(2b a b b a a ++-；32)()(a x x a --；y xy x 242+-； 2239m m m -- ； 299198-. 先思考约分的方法，再解题，并总结如何约分：若分子和分母都是多项式，则往往需要先把分子、分母分解因式（即化成乘积的形式），然后才能进行约分.约分后，分子与分母不再有公因式，我们把这样的分式称为最简分式.（四）小结与作业 请你分别用数学语言和文字表述分式的基本性质分式的约分运算，用到了哪些知识？让学生发表，互相补充，归结为：（1）因式分解；（2）分式基本性质；（3）分式中符号变换规律；约分的结果是，一般要求分、分母不含“－”.作业：课本习题1、2各抒已见.看谁说得最全.（五）板书设计分子分母是单项式 例约分分子分母是多项式(六)教学后记17.1.2分式的基本性质（2）教学目标1．进一步理解分式的基本性质以及分式的变号法则.2．使学生理解分式通分的意义，掌握分式通分的方法及步骤；教学重点 让学生知道通分的依据和作用，学会分式通分的方法.教学难点 几个分式最简公分母的确定.教学过程 教师活动 学生活动（一）复习与情境导入1．分式324x x +-中，当x 时分式有意义，当x 时分式没有意义，当x 时分式的值为0. 2．分式的基本性质.(二)实践与探索1、分式的的变号法则例1 不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“—”号：（1）a b 65--； （2）y x 3-； （3）nm -2. 例2 不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数是正数：（1）21x x -； （2）322+--x x . 注意：（1）根据分式的意义，分数线代表除号，又起括号的作用.（2）当括号前添“+”号，括号内各项的符号不变；当括号前添“—”号，括号内各项都变号.例3若x 、y 的值均扩大为原来的2倍，则分式232y x 的值如何变化？若x 、y 的值均变为原来的一半呢？2、分式的通分（1）．把分数65,43,21通分. 解126261621=⨯⨯=，129433343=⨯⨯=，1210625265=⨯⨯= （2．）什么叫分数的通分？ 先独立思考再交流总结变号法则.注意转化为例1的类型.引导学生用多种方法解题.（1） 赋值法（2）增值代入作商法答：把几个异分母的分数化成同分母的分数，而不改变分数的值，叫做分数的通分.3．和分数通分类似，把几个异分母的分式化成与原来的分式相等的同分母的分式叫做分式的通分.通分的关键是确定几个分式的公分母.4．讨论： （1）求分式4322361,41,21xy y x z y x 的（最简）公分母. 分析：对于三个分式的分母中的系数2，4，6，取其最小公倍数12；对于三个分式的分母的字母，字母x 为底的幂的因式，取其最高次幂x 3，字母y 为底的幂的因式，取其最高次幂y 4，再取字母z.所以三个分式的公分母为12x 3y 4z.（2） 求分式2241x x -与412-x 的最简公分母. 分析：先把这两个分式的分母中的多项式分解因式，即4x —2x 2= —2x （x-2），x 2—4=（x+2）（x —2），把这两个分式的分母中所有的因式都取到，其中，系数取正数，取它们的积，即2x （x+2）（x-2）就是这两个分式的最简公分母.请同学概括求几个分式的最简公分母的步骤.5．练习：填空：（1）()z y x z y x 43231221=； （2）()zy x y x 43321241=；（3）()zy x xy 4341261=. 求下列各组分式的最简公分母： （1）22265,41,32bc c a ab ； （2）；2)3(21,)3)(2(1,)2(31++--x x x x x （3）11,1,2222-++x x x x x 6、例3 通分（1）b a 21，21ab ； （2）y x -1，y x +1； 答：1．取各分式的分母中系数最小公倍数；2．各分式的分母中所有字母或因式都要取到；3．相同字母（或因式）的幂取指数最大的；4．所得的系数的最小公倍数与各字母（或因式）的最高次幂的积（其中系数都取正数）即为最简公分母.（3）221y x -，xyx +21. 分析 ：分式的通分，即要求把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式.通分的关键是确定几个分式的公分母；要归纳出分式分式是多项式如何确定最简公分母，一般应先将各分母分解因式，然后按上述的方法确定分母.练习通分：（1）231x ，xy 125；（2）x x +21，x x -21 （3）4,)2(122—x x x -.合作交流解法.板演并互批.（四）小结与作业把几个异分母的分式，分别化成与原来分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分.分式通分，是让原来分式的分子、分母同乘以一个适当的整式，根据分式基本性质，通分前后分式的值没有改变.通分的关键是确定几个分式的公分母，从而确定各分式的分子、分母要乘以什么样的“适当整式”，才能化成同一分母.确定公分母的方法，通常是取各分母所有因式的最高次幂的积做公分母，这样的公分母叫做最简公分母.（五）板书设计分子分母是单项式 例约分分子分母是多项式分母是单项式通分分母是多项式 (六)教学后记。
八年级数学下册 17.1.2 分式的基本性质(2)约分课件 华东师大版
化简下列分式(约分)
(1) (2) (3)
a 2 bc ab
32a b c 24a 2 b 3 d
3 2
约分的步骤
2
15a b 25a b
（1）约去系数的最 大公约数
（2）约去分子分母 的公因式。
自学指导2
最简分式
对于分数而 言，彻底约 分后的分数 叫什么？
小颖： 5xy 5x 2 2 20x y 20x 5xy 5xy 1 2 20x y 4x 5xy 4x 小明： •一般约分要彻底, 使分子、分母没有公因式. •彻底约分后的分式叫最简分式.
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自学指导一约分的理解8分钟
1.约分的定义：就是把分式的分子与分母中的公
因式约去, 约分的依据是分式的基本性质
约分的关键是 找公因式 约分的 方法（1）若分子分母都是单项式先找
分子分母的最大公约数，再找相同字母的最低次幂, 约去分子与分母的最大公约数，化为最简分式。（2 ）若分子分母是多项式先把多项式因式分解，再找出 分子分母的公因式
练习： P8 1.约分.
（ 1）
自学指导 3 练习约分 3a
3
a4
3 2
12a y x （ 2） 27ax y
x 2 y xy 2 （ 3） 2 xy
2 m （ 4） 2 m 1 1 m
1 1 2a 3ab 2b 3 已知，a b ，求分式 的值。 a ab b
17.1.2 分式的基本性质(2) ------约分
教学目标
熟练应用分式的基本性质，对分式进行 约分 会用约分法则约分 理解什么是最简分式 总结约分的步骤
分式基本性质及运算教案华东师大版数学八年级下册
课题一：分式基本性质及运算 知识点一：分式的基本性质（一）、分式的概念1．概念：一般的，如果A 、B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子A/B 叫做分式，A 为分子，B 为分母．2．分式有（无）意义的条件：（1）使分式有意义：令分母≠0按解方程的方法去求解；（2）使分式无意义：令分母=0按解方程的方法去求解；（3）分式的值为零：使分式值为零：令分子=0且分母≠0，注意：当分子等于0时，看看是否使分母等于0了，如果使分母等于0了，那么要舍去．（二）、分式的基本性质分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．字母表示：CB C ••=A B A ，C B C ÷÷=A B A ，其中A 、B 、C 是整式，C ≠0． 拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变， 即：BB A B B --=--=--=A A A 注意：在应用分式的基本性质时，要注意C ≠0这个限制条件和隐含条件B ≠0题型．（三）、分式的约分及最简分式：1．约分的概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．2．分式约分的依据：分式的基本性质．3．分式约分的方法：把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式．4．约分的结果：最简分式（分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式）．约分主要分为两类：第一类：分子分母是单项式的，主要分数字，同字母进行约分；第二类：分子分母是多项式的，把分子分母能因式分解的都要进行因式分解，再去找共同的因式约去．（四）、分式的通分及最简公分母：1．定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分．2．最简公分母：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．3．通分时，最简公分母的确定方法：（1）系数取各个分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数．（2）取各个公因式的最高次幂作为最简公分母的因式．（3）如果分母是多项式,则应先把每个分母分解因式,然后判断最简公分母．[典例强化]例1．（1）对下列分式进行约分．（2）请通分下列各组分式．例2．（1）已知a =2，b =5，求22222a ab b a b ++-的值．（2）已知x =1，y = 2，求322332412949x y x y xy x xy ++-的值． 知识点二：分式的运算1．分式的乘除运算（1）分式的乘除法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．式子表示为：db c a d c b a ••=•．分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．式子表示为：c c ••=•=÷b d a d b a d c b a （2）分式的乘方：把分子、分母分别乘方．式子表示为：n n nb a b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛ 注意：当分子、分母是多项式时，先进行因式分解再约分．2．分式的加减运算（1）分式的加减法则：同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减．式子表示为：c b a c b ±=±c a 异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减．式子表示为：bdbc ad d c ±=±b a 整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为1的分式，再通分．[典例强化]例1．化简： （1）()22222x xy y x y xy x xy x -+--÷⋅ 例2．化简：例3．化简：（1）2222112x x x x x x x x +-+÷++-+ 例4．若213111a x y a a a -=+--+，求x 、y 的值． 例5．已知：222693393x x x y x x x x+++=÷-+--．试说明：只要原式有意义，无论x 取何值，y 值均不变．知识点三：分式方程1．分式方程概念：方程中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程．（1）解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程．（2）解分式方程的一般步骤：①去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母．（产生增根的过程）②解整式方程，得到整式方程的解 ③检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中．如果最简公分母为0，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；如果最简公分母不为0，则是原方程的解．产生增根的条件是： ①是得到的整式方程的解；②代入最简公分母后值为0． 在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘以一个含未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的解（或根），这种根通常称为增根．因此，在解分式方程时必须进行检验． [典例强化] 例1．解方程： （1）22222222x x x x x x x ++--=-- （2）21622422x x x x x -++=-+- 例2．若x =1是方程()()231212x x m x x x x +++=----的增根，则m 的值为 ． 例3．（1）若关于x 的方程234393ax x x x +=--+有增根，求a 的值． （2）当a 为何值时，方程311a a x +=+无解． 例4．甲、乙两人准备整理一批新到的实验器材．若甲单独整理需要40分钟完工；若甲、乙共同整理20分钟后，乙需再单独整理20分钟才能完工．（1）问乙单独整理多少分钟完工？ （2）若乙因工作需要，他的整理时间不超过30分钟，则甲至少整理多少分钟才能完工？知识巩固练习[随堂基础巩固]1．当x 有何值时，下列分式有意义（1）44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x （5）xx 11- 2．当x 取何值时，下列分式的值为0．（1）31+-x x （2）42||2--x x （3）653222----x x x x 3．计算xx x x x x x x 22222662----÷+-+-（1）x x 311=-； （2）0132=--x x ； 5．已知：31=+x x ，求1242++x x x 的值． [课时跟踪训练]1．当x 取何值时，下列分式有意义：（1）3||61-x （2）1)1(32++-x x （3）x 111+2．当x 为何值时，下列分式的值为零：（1）4|1|5+--x x （2）562522+--x x x 3．甲、乙两班学生参加植树造林，已知甲班每天比乙班多植5棵树，甲班植80棵树所用的天数与乙班植70棵树所用的天数相等，若设甲班每天植树x 棵，则根据题意列出的方程是（ ）A ．x x 70580=- B ．57080+=x x C ．x x 70580=+ D ．57080-=x x 4．已知234a b c ==，则233a b c a b c +--+的值为（ ） A ．－57 B ．57 C ．97 D ．－97 5．若a ，b 都是正数，且1a －1b =2a b +，则22ab a b -=______． 6．计算：（1）42232)()()(a bc ab c c b a ÷-⋅-； （2）22233)()()3(x y x y y x y x a +-÷-⋅+； 7．解下列方程：（1）021211=-++-x x x x ； （2）3423-=--x x x ； 8．先化简，再求值：（1）当56,1949x y =-=-时，代数式4422222x y y x x xy y x y --⋅-++的值为多少？ （2）已知：311=-b a ，求aab b b ab a ---+232的值． 9．（1）若23111x A B x x x -=--+-，求A ，B 的值．（2）若1)1)(3()3(-=---x x x a x a 成立，求a 的取值范围．10．（1）k 为何值时，方程343-=--x k x x 会产生增根? （2）若关于x 的方程4233k x x x-+=--有增根，试求k 的值．。
八年级数学下册17.1分式及其基本性质课件华东师大版
在烹饪中，我们经常需要将食材等量分配；在时间管理中，我
们也会将一天的时间分成若干个时间段。
分数在商业中的应用
02
在商业中，分数的应用也十分广泛，例如折扣的计算、利息的
计算等。
分数在科学实验中的应用
03
在化学、物理等科学实验中，我们经常需要使用分数来表示物
质的浓度、比例等。
分式在数学建模中的应用
分式在解决实际问题中的应用
分式的乘方
分式乘方法则
$(frac{a}{b})^n = frac{a^n}{b^n}$
注意事项
分式的乘方运算后，要进行约分。即：$frac{a^n}{b^n} = frac{a}{b} times frac{a}{a} times ldots times frac{a}{a}$（共n个）
04 分式方程及其解法
利用加减消元或代入消元的方法， 消去多元分式方程中的多个未知 数，得到一个或多个一元分式方 程，然后求解得到未知数的值。
参数方程法
利用参数方程表示未知数，通过 消去参数得到一个或多个一元一 次分式方程，求解得到未知数的
值。
05 分式在实际生活中的应用
分数在日常生活元一次分式方程的解法
去分母法
将分式方程转化为整式方 程，通过求解整式方程得 到分式方程的解。
换元法
通过引入新的变量来消去 分母，将分式方程转化为 整式方程。
参数方程法
利用参数方程表示未知数， 通过消去参数得到一元一 次方程，求解得到未知数 的值。
一元二次分式方程的解法
公式法
配方法
利用一元二次方程的求根公式，求解 一元二次分式方程。
分式的乘除法
分式乘法法则
分式乘分式，用分子的积作为分子， 分母的积作为分母。即：$frac{a}{b} times frac{c}{d} = frac{a times c}{b times d}$
16.1.2分式的基本性质2通分 教学设计--2022-2023学年华东师大版八年级数学下册
16.1.2 分式的基本性质2：通分教学设计教学目标： - 了解分式的通分概念 - 学会进行分式的通分运算 - 掌握分式通分的基本技巧 - 能够运用分式通分解决实际问题教学准备： - 教材《数学》华东师大版八年级下册 - 教案、PPT等教学辅助工具 - 黑板、粉笔或白板、马克笔 - 学生练习册教学过程：一、导入（5分钟）在黑板或PPT上展示一个简单的例子，并询问学生是否知道分式的通分：例子：8的2倍是多少？ 12的3倍是多少？引导学生理解通分的概念，并与学生讨论相关应用。
二、引入新知（10分钟）1.通过提问引导学生回顾分式的基本概念，例如：分子、分母等。
2.出示一个简单的分式表达式，如 1/4 、3/7 ，并提问：这两个分式之间有什么共同之处？3.引导学生思考两个分式的分母是否相同？如果分母相同，我们就可以进行怎样的运算？三、学习新知（25分钟）1.给出几个例子，如：2/5 、3/4 ，并要求学生将这两个分式通分。
2.引导学生思考通分的意义以及方法，提醒学生需要将分子和分母同时乘以一个相同的数。
3.出示屏幕上的表格，示范如何通分，逐步演示通分的步骤。
原分式通分后的分式2/58/203/415/205/625/304.指导学生根据示例进行练习，提供一些类似的分式供大家进行通分练习。
四、拓展应用（20分钟）1.引导学生运用分式通分解决实际问题。
–例子1：小明用 3/4 条布制作了一件衣服，小红用 2/3 条布制作了一件相同款式的衣服，我们可以用什么分数表示两人总共使用的布料的比例？–例子2：班级有 30 名男生和 40 名女生，男生占班级总人数的几分之几？2.让学生借助分式通分原理，计算出相应的结果。
3.鼓励学生将问题转化为分式的形式，然后进行通分和运算。
五、总结归纳（10分钟）1.总结本节课所学的内容：分式的通分及其基本性质。
2.与学生一起回顾通分的思路和计算方法。
3.强调知识的应用和意义，提醒学生在实际问题中如何运用通分解决问题。
华东师大版初中八下17.1.2分式的基本性质ppt课件A
——通分
回顾一
1.分式的基本性质是什么？：
分式的分子与分母都乘以（或除以)同一个不等于零的整式,分 式的值不变。
2.用符号怎样表示
A A M B BM
A AM B BM
M是不等于零的整式
回顾二
怎样进行约分： （１）若分子﹑分母都是单项式，则约去分子、分母 的公因式； （２）若分子﹑分母含有多项式，则先将多项式分解 因式，然后约去分子﹑分母的公因式．
答案展示
1 b 1 a 解： 2 2 2 , 2 2 2 (1) a b a b ab a b
1 1 1 x y (4) 2 2 , x y ( x y)( x y) x y ( x y)( x y)
x 1 1 x 1 c c 2 a a 2 b b2 (5) 1 , 2 (2) , , 2 x x x( x 1)( x 1) x x x( x 1)( x 1) ab abc bc abc ac abc x 1 x y 1 x y (6) 1 x 1 , 1 2 2 2 (3) , x x x( x 1) x 2 x 1 x( x 1)2 x y ( x y)( x y) x y ( x y)( x y)
通分：把几个异分母分数化成与原来相等的同分母 分数叫通分。 类似于分数的通分，我4 通分。 x y x y xy 解：
1 1 y 2 y2 3 2 2 3 4 3 2 x y x y y x y 1 1 xy xy 2 3 3 4 x2 y3 x y xy x y 1 1 x 2 x2 3 4 4 4 2 xy xy x x y
1.各分母系数的最小公倍数 最简公分母 2所有因式的最高次幂
2023年华师大版八年级数学下册第十六章《分式的基本性质》学案 (2)
新华师大版八年级数学下册第十六章《分式的基本性质》学案课题及总课时第2课时 16.1.2分式的基本性质学习目标 1.理解分式的基本性质。
2.会用分式的基本性质将分式约分和通分。
3.了解分式的概念。
学习重点1、分式的基本性质。
2、利用分式的基本性质约分，将一个分式化简为最简分。
学习难点分式基本性质的灵活运用。
学法指导自主探究，合作学习预习案预习质疑知识回顾1、复述分式的概念。
2、当x 时，分式x/2x-3有意义。
3、4/8=1/2的依据是什么？根据下面的导学内容，自学教材p3-4（一）、理解分式的基本性质：1．请同学们考虑：与相等吗？与相等吗？为什么？2．说出与之间变形的过程，与之间变形的过程，并说出变形依据？3．分数的基本性质是：思考：类比分数的基本性质，你能想出分式有什么性质吗？【归纳】：分式的基本性质：分式的分子与分母同乘以（或除以）一个的整式，分式的值不变。
可用式子表示为：4．学习课本P3 例3小结：1、看分子如何变化，2、看分母如何变化，练习：(1)32386bba=()33a（2)cab++1=()cnan+探究案合作探疑（二）、会用分式的基本性质将分式约分1.最简分式:一个分式的分子和分母没有时,这个分式称为最简分式。
2．联想分数约分，由例3你能想出如何对分式进行约分吗？3.学习课本P3例3，并回答以下问题：（1）．找出分子和分母的是约分的第一步。
53159249835315924983（2）．如果分子或分母是多项式，先分解因式对约分有什么作用？（3）．约分：不改变分式的值把分子和分母的约去。
（4）．约分的理论根据是什么？曲径通幽：（1）在化简（-8ab）/（24ab2）时，小明和小亮出现了分歧，小明算的是：（-8ab）/(24ab2)=（-8）/24b，小亮算的是：（-8ab）/（24ab2）=（-8ab）/<-8ab·（-3b）>=1/(-3b)。
你对他们俩的做法有何看法？与同伴交流。
新华师版初中数学八年级下册【教学设计】分式的基本性质
16.1.2 分式的基本性质教学目标1、会根据分数的基本性质类比推导出分式的基本性质；2、理解分式的基本性质及符号法则，并会用分式的基本性质将分式变形；3、经历探索分式的基本性质的过程，体会类比这一数学思想；体验分式变形的方法与技巧，以培养学生的恒等变形的运算能力。
重点理解分式的基本性质及分式的符号法则。
难点1.灵活应用分式的基本性质将分式进行简单的变形；2.利用分式的符号法则，把分子或分母是多项式的分式变形。
一、复习旧知问题1：下列两式成立吗？为什么？分数的基本性质：分数的分子与分母同时乘以（或除以）一个不等于0的数，分数的值不变.即：对于任意一个分数b a 有：二、类比探究问题2：你认为分式“a 2a ”与“21”；分式“mn ”与“mn n 2”相等吗？（a ，m ，n 均不为0）类比分数的基本性质，你能得到分式的基本性质吗？说说看！分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘以（或除以）同一个不等于0的整式 ，分式的值不变.用公式表示为：）（0c c 4c 343≠=）（0c 65c 6c 5≠=）（0c cb c a b a c b c a b a ≠÷÷=⋅⋅=例1 ：下列等式的右边是怎样从左边得到的？（1）)0c (bc2ac b 2a ≠= ； （2)y x x y x 23=.解：（1）∵c ≠0 ∴bc2ac c b 2c a b 2a =⋅⋅=； （2） ∵x ≠0∴yx x x y x x x y x 233=÷÷=. 思考：为什么（1）中给出c ≠0 ，而（2）中没有给出 x ≠0?反馈练习： 下列各组分式，能否由左边变形为右边？（1） 与 ； （2） 与 ；（3） 与 ； （4） 与 ；（5） 与 .反思: 运用分式的基本性质应注意什么?（1）分子、分母应同时做乘、除法中的同一种运算；（2）所乘（或除以）的必须是同一个整式；（3）所乘（或除以）的整式应该不等于零.三、运用新知例2：填空)0M M B A (.M B M A B A ,M B M A B A ≠÷÷=⨯⨯=是整式，且、、其中22(1)3(1)x x y x +-y 3x ()a a b a b +-a a b -y x 2xy x 22b a b a a -+)(b a a -y 3x )()(1x y 31x x 22++（1）y xy x )(3=， )(63322y x x xy x +=+；（2）b a ab2)(1=，)0()(222≠=-b b a a b a 。
华师大版数学八年级下册《分式的基本性质》教学设计
华师大版数学八年级下册《分式的基本性质》教学设计一. 教材分析华师大版数学八年级下册《分式的基本性质》是学生在学习了分式的概念、分式的运算、分式的化简等知识的基础上进行的一节内容。
本节课的主要内容是让学生掌握分式的基本性质，包括分式的分子分母都乘或除以同一个不为0的整式，分式的值不变；分式的分子分母都加或都减同一个整式，分式的值不变；分式的分子分母都乘或除以同一个不为0的整式，分式的值不变。
通过本节课的学习，让学生能够灵活运用分式的基本性质进行分式的化简和求值等运算。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了分式的概念、分式的运算、分式的化简等知识，具备了一定的数学思维能力和逻辑推理能力。
但是，对于分式的基本性质的理解和运用还有一定的困难，需要通过本节课的学习和实践来进一步掌握和提高。
三. 教学目标1.让学生掌握分式的基本性质，能够灵活运用分式的基本性质进行分式的化简和求值等运算。
2.培养学生的数学思维能力和逻辑推理能力。
3.提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.分式的基本性质的理解和运用。
2.分式的化简和求值等运算的技巧和方法。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法、小组合作学习法等教学方法，引导学生通过自主学习、合作学习、探究学习等方式，掌握分式的基本性质，提高学生的数学思维能力和逻辑推理能力。
六. 教学准备1.PPT课件。
2.练习题。
3.教学视频或案例。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生回顾分式的概念和运算，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）采用PPT课件，展示分式的基本性质，让学生初步感知分式的基本性质。
3.操练（10分钟）让学生通过PPT上的练习题，亲自动手操作，进一步理解和掌握分式的基本性质。
4.巩固（10分钟）让学生通过PPT上的练习题，巩固对分式的基本性质的理解和掌握。
5.拓展（10分钟）让学生通过PPT上的练习题，运用分式的基本性质进行分式的化简和求值等运算，提高学生的数学思维能力和逻辑推理能力。
华东师大版八年级数学下册分式及其基本性质教学设计(华东师大版)
36
27 9
2 与 4 相等，因为 4
42
2 ．
36
6 62 3
6 与 2 相等，因为 6 6 3 2 ．
27 9
27 27 3 9
追问 1：通过 2 与 4 ， 6 与 2 之间的变形过程，你能说出这样变形的依据是什么吗？ 3 6 27 9
根据分式的性质，分式的分子、分母同时除了同一个不等于零的数，分式的值不变
:
（ 1） a b
；
ab
a 2b
（2） a2 b2 a 2 ab
a b．
分析：（1）从左边分式到右式， 要保证分式的值不变，需根据分式的基本性质对分式的
分子、分母同时乘以 a．
（ 2）先将分式的分子、分母分解因式，其中隐含
a b 0 ，要使分子变为 a b ，就
要分子分母同除以 a b ．
解：（ 1）∵ a b ab
M 的取值范围为什么不等于
零？
归纳： A, B, M 三个字母分别表示整式， M 是不等于零的整式 .
三、运用新知
例 1 下列等式的右边是怎样从左边得到的？
（ 1） a
ac c
0 ；（ 2） x3
x2
x 1 xz z
；（ 3）
z 0.
2b 2bc
xy y
xy xyz
（ 1）解：∵ c≠ 0，∴ a
ac
12xy
6y 2 ．
3x 3y
分析： 约分是应用分式的基本性质把分式的分子、 分母同除以同一个整式， 使分式的值
不变 .所以要找准分子和分母的公因式，约分的结果要是最简分式
.
解： (1)
25a 2bc3 15ab 2c
5abc 5ac2 5abc 3b
八年级数学下册17.1.2分式及其基本性质(第2课时)教案华东师大版
分式及其基本性质(2)知识技能目标1.使学生明确分式约分的依据，掌握约分方法，通过与分数的约分作比较，学习分式的约分，渗透“类比”的思想方法；2.使学生根据分数的通分法则及分式的基本性质，分析归纳出分式的通分法则，并能熟练掌握通分运算．过程性目标1.让学生通过回忆分数的约分和通分，类比探索分式约分和通分的方法；2.经历分式约分与通分的实际操作过程，感悟分式基本性质是分式约分与通分的依据，体会约分时的公因式与通分时的最简公分母的寻找策略．情感态度目标通过分数与分式的联系与区别的教学，使学生体会普遍联系的观点．重点和难点重点：分式的意义及其基本性质；难点：分式基本性质的灵活运用．教学过程一、创设情境问题1 下面的等式中右式是怎样从左式得到的？这种变换的根据是什么？二、探究归纳问题1中(1)式中的左边分式的分子与分母都除以2a2b2，得到右式，这里a≠0，b≠0．(2)式中的左边分式的分子与分母都除以(x＋y)，得到右式，这里(x＋y)≠0．这种变换的根据是分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．问题2中这种运算是分数的约分，运算的依据是分数的基本性质．分数的约分是把一个分数化为与它相等，但是分子、分母都比较小的分数．对于一个分数进行约分的方法是：把分子、分母都除以它们的公约数（1除外）．约分的目的是把一个分数化为既约分数．分式的约分和分数的约分类似，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．问题3中分数通分的依据是分数的基本性质．分数的通分是把几个异分母的分数分别化为与原来的分数相等的同分母的分数．分数通分的关键是确定最简公分母．类似地，把几个异分母的分式分别化成与原来分式相等的同分母的分式，叫分式的通分．分式通分的依据是分式的基本性质．分数通分的关键是确定最简公分母．三、实践应用分析(1)当分子与分母都是单项式时，公因式是系数的最大公约数与相同字母的最低次幂的乘积．所以(1)的公因式是4xy3；(2)当分子与分母都是多项式时，先将每个多项式因式分解，再确定分子与分母的公因式．所以(2)的公因式是(x－2)．注约分后，分子与分母不再有公因式时，这样的分式叫做最简分式．把一个分式进行约分的目的，是使这个分式变为最简分式或整式．分析(1)的最简公分母是a2b2；(2)的最简公分母是(x＋y)(x－y)；(3)因为x2－y2＝(x＋y)(x－y)，x2＋x y＝x(x＋y)，所以(3)的最简公分母是x(x＋y)(x－y)． (3)因为x2－y2＝(x＋y)(x－y)，x2＋x y＝x(x＋y)，注一般地，几个分式的最简公分母，通常取各分母系数的最小公倍数与所有因式的最高次幂的积．四、交流反思(1)分式的约分：当分子与分母都是单项式时，公因式是系数的最大公约数与相同字母的最低次幂的乘积；当分子与分母都是单项式时，公因式是系数的最大公约数与相同字母的最低次幂的乘积．约分后为最简分式或整式．(2)分式通分的关键是确定最简公分母．几个分式的最简公分母，通常取各分母系数的最小公倍数与所有因式的最高次幂的积．五、检测反馈1.约分：2.通分：3.填空：。
数学八年级下华东师大版17.1分式及其基本性质(2)课件
（２）a
2 a
4a 2
4
4
解：（１） 8ab2c
12 a 2b
4ab (2bc) 4ab (3a)
2bc
3a （根据什么？）
（
2
）a 2 4a 4
a2 4
(a (a2
2)2 4)
(a 2)2 (a 2)(a 2)
a a
2 2
像这样把一个分式的分子与分母的 公因式约去，叫做分式的约分.
例1、下列代数式中，哪些是整式？
哪些是分式？
3 b 3x 2y 1
2 a 1 ab
x
2a 3b
a
5
b
a 1、分式 b的分母中的字母能取任
何实数吗？为什么？
2X-3 2、分式 X+2 中的字母X呢？可以 怎样取值呢？
（归纳）分式的意义： 1、分式中含有字母； 2、字母的取值不能使分母为零，当分母的值
（a1米），面则积它为的8平另方一米边的长a8长为方__形__一_边__长_
米；
S=8 ?
a
P
（2）买一箱苹果共计p元，若m苹果 售价是每千克m元，则此箱苹果共 有______千克
（3）双山的经济以生态为特色,双山某 村委在P平方米的鱼塘里放了1500条 鱼苗.你能用代数式表示该鱼塘平均
每平方米有15多00少条p鱼 苗1吗5p0?0
约分的基本步骤：
（１）若分子﹑分母都是单项式，则约简系数， 并约去相同字母的最低次幂；
（２）若分子﹑分母含有多项式，则先将多项式 分解因式，然后约去分子﹑分母所有的公因式．
注意：（1）约分前后分式的值要相等。 （2）约分的关键是确定 分式的分子和分母的公
因式。 （3）约分是对分子、分母的 整体进行的，也就
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17.1.2 分式的基本性质（2）
教学目标
1．进一步理解分式的基本性质以及分式的变号法则。
2．使学生理解分式通分的意义，掌握分式通分的方法及步骤；
教学重点让学生知道通分的依据和作用，学会分式通分的方法。
教学难点几个分式最简公分母的确定。
教学过程
（一）复习与情境导入
1．分式中，当x 时分式有意义，当x 时分式没有意义，当x 时分式的值为0。
2．分式的基本性质。
(二)实践与探索
1、分式的的变号法则
例1不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“—”号：
（1）；（2）；（3）.
例2不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数是正数：
（1）；（2）.
注意：（1）根据分式的意义，分数线代表除号，又起括号的作用。
（2）当括号前添“+”号，括号内各项的符号不变；当括号前添“—”号，括号内各项都变号。
例3若x、y的值均扩大为原来的2倍，则分式的值如何变化？若x、y的值均变为原来的一半呢？
2、分式的通分
（1）把分数通分。
解：，，
（2）什么叫分数的通分？
答：把几个异分母的分数化成同分母的分数，而不改变分数的值，叫做分数的通分。
3．和分数通分类似，把几个异分母的分式化成与原来的分式相等的同分母的分式叫做分式的通分。
通分的关键是确定几个分式的公分母。
4．讨论：
（1）求分式的（最简）公分母。
分析：对于三个分式的分母中的系数2，4，6，取其最小公倍数12；对于三个分式的分母的字母，字母x为底的幂的因式，取其最高次幂x3，字母y为底的幂的因式，取其最高次幂y4，再取字母z。
所以三个分式的公分母为12x3y4z。
（2）求分式与的最简公分母。
分析：先把这两个分式的分母中的多项式分解因式，即
4x—2x2= —2x（x-2），x2—4=（x+2）（x—2），
把这两个分式的分母中所有的因式都取到，其中，系数取正数，取它们的积，即2x（x+2）（x-2）就是这两个分式的最简公分母。
请同学概括求几个分式的最简公分母的步骤。
5．练习：填空：
（1）；（2）；
（3）。
求下列各组分式的最简公分母：
（1）；（2）；
（3）
6、例3 通分
（1），；（2），；
答：1．取各分式的分母中系数最小公倍数；
2．各分式的分母中所有字母或因式都要取到；
3．相同字母（或因式）的幂取指数最大的；
4．所得的系数的最小公倍数与各字母（或因式）的最高次幂的积（其中系数都取正数）即为最简公分母。
（3），.
分析：分式的通分，即要求把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式。
通分的关键是确定几个分式的公分母；要归纳出分式分式是多项式如何确定最简公分母，一般应先将各分母分解因式，然后按上述的方法确定分母。
练习
通分：
（1），；（2），（3）. 合作交
流解法,板演并互批。
（四）小结与作业
把几个异分母的分式，分别化成与原来分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。
分式通分，是让原来分式的分子、分母同乘以一个适当的整式，根据分式基本性质，通分前后分式的值没有改变。
通分的关键是确定几个分式的公分母，从而确定各分式的分子、分母要乘以什么样的“适当整式”，才能化成同一分母。
确定公分母的方法，通常是取各分母所有因式的最高次幂的积做公分母，这样的公分母叫做最简公分母。
（五）板书设计
分子分母是单项式例
约分
分子分母是多项式
分母是单项式
通分分母是多项式
(六)教学后记。