高等工程数学讲义(矩阵理论部分)
高等工程数学考试题及参考解答(仅供参考)
考试题及参考解答(参考) 一、填空题（每小题3分，共15分） 1，设总体X 服从正态分布(0,4)N ，而12 15(,,)X X X 是来自X 的样本，则22 110 22 11152() X X U X X ++=++服从的分布是_______ . 解：(10,5)F ． 2，?n θ是总体未知参数θ的相合估计量的一个充分条件是_______ . 解：??lim (), lim Var()0n n n n E θθθ→∞ →∞ ==． 3，分布拟合检验方法有_______ 与____ ___. 解：2 χ检验、柯尔莫哥洛夫检验． 4，方差分析的目的是_______ . 解：推断各因素对试验结果影响是否显著． 5，多元线性回归模型=+Y βX ε中，β的最小二乘估计?β的协方差矩阵?βCov()=_______ . 解：1?σ-'2Cov(β) =()X X ． 二、单项选择题（每小题3分，共15分） 1，设总体~(1,9)X N ，129(,, ,)X X X 是X 的样本，则___B___ . （A ） 1~(0,1)3X N -； （B ）1 ~(0,1)1X N -； （C ） 1 ~(0,1) 9X N -； （D ~(0,1)N ． 2，若总体2(,)X N μσ，其中2σ已知，当样本容量n 保持不变时，如果置信度1α-减小，则μ的 置信区间____B___ . （A ）长度变大； （B ）长度变小； （C ）长度不变； （D ）前述都有可能. 3，在假设检验中，就检验结果而言，以下说法正确的是____B___ . （A ）拒绝和接受原假设的理由都是充分的； （B ）拒绝原假设的理由是充分的，接受原假设的理由是不充分的； （C ）拒绝原假设的理由是不充分的，接受原假设的理由是充分的； （D ）拒绝和接受原假设的理由都是不充分的. 4，对于单因素试验方差分析的数学模型，设T S 为总离差平方和，e S 为误差平方和，A S 为效应平方和，则总有___A___ . （A ）T e A S S S =+； （B ） 22 (1)A S r χσ -；
矩阵论课程教学大纲
《矩阵论》课程教学大纲 一、课程基本信息 课程编号： xxxxx 课程中文名称：矩阵论 课程英文名称：Matrix Theory 课程性质：学位课 考核方式：考试 开课专业：工科各专业 开课学期：1 总学时：36学时 总学分： 2学分 二、课程目的和任务 矩阵论是线性代数的后继课程。在线性代数的基础上，进一步介绍线性空间与线性变换、欧氏空间与酉空间以及在此空间上的线性变换，深刻地揭示有限维空间上的线性变换的本质与思想。为了拓展高等数学的分析领域，通过引入向量范数和矩阵范数在有限维空间上构建了矩阵分析理论。 从应用的角度，矩阵代数是数值分析的重要基础，矩阵分析是研究线性动力系统的重要工具。为了矩阵理论的实用性，对于矩阵代数与分析的计算问题，利用Matlab计算软件实现快捷的计算分析。 三、教学基本要求（含素质教育与创新能力培养的要求） 通过本课程的学习，使学生在已掌握本科阶段线性代数知识的基础上，进一步深化和提高矩阵理论的相关知识。并着重培养学生将所学的理论知识应用于本专业的实际问题和解决实际问题的能力。 本课程还要求学生从理论上掌握矩阵的相关理论，会证明简单的一些命题和结论，从而培养逻辑思维能力。要求掌握一些有关矩阵计算的方法，如各种标准型、矩阵函数等，为今后在相关专业中实际应用打好基础。 四、教学内容与学时分配 (一) 线性空间与线性变换 8学时 1. 理解线性空间的概念，掌握基变换与坐标变换的公式；
2. 掌握子空间与维数定理，了解线性空间同构的含义； 3. 理解线性变换的概念，掌握线性变换的矩阵表示。 (二) 内积空间 6学时 1. 理解内积空间的概念，掌握正交基及子空间的正交关系； 2. 了解内积空间的同构的含义，掌握判断正交变换的方法； 3. 理解酉空间的概念，会判定一个空间是否为酉空间 4. 掌握酉空间与实内积空间的异同； 5. 掌握正规矩阵的概念及判定定理和性质。 (三) 矩阵的对角化与若当标准形 6学时 1. 掌握矩阵相似对角化的判别方法； 2. 理解埃尔米特二次型的含义； 3. 会求史密斯标准形； 4. 会求若当标准型。 (四) 矩阵分解4学时 1. 会求矩阵的三角分解和UR分解； 2. 会求矩阵的满秩分解和单纯矩阵的谱分解； 3. 了解矩阵的奇异值和极分解。 (五) 向量与矩阵的重要数字特征4学时 1. 理解向量范数、矩阵范数； 2. 有限维线性空间上向量范数的等价性； 3. 向量范数与矩阵范数的相容性。 (六) 矩阵分析 4学时 1. 理解向量和矩阵的极限的概念； 2. 掌握矩阵幂级数收敛的判定方法； 3. 理解矩阵的克罗内克积； 4. 会求矩阵的微分与积分。 (七) 矩阵函数 4学时 1. 理解矩阵多项式的概念； 2. 掌握由解析函数确定的矩阵函数； 3. 掌握矩阵函数的计算方法。 五、教学方法及手段（含现代化教学手段） 本课程的所有授课内容，均使用多媒体教学方式，教案采用PowerPoint编写，教师使
中科大高等工程数学总结
，,,x=0或负整数，都为无穷大.。,=。f(x)在[-T/2,T/2]上满足除去有限个第一类间断点外处处连续，分段单调，单调区间个数有限f(x)~+,=2/T. =dx,=,=.f(x)=,,周期T.付氏积分公式的三角形式f(x)==,其中a()=, b()=.=。重要结论：对单方脉冲函数f(x)=E,|x|0).L[]=1/(s-k),(Res>k). L[sin]=. L[]=,(>-1,Res>0). L[]=对函数f(x),存在M>0,>0,使|f(t)|M,则在Res>上L[f(t)]存在。拉普拉斯微分L[]=F(s)-f(0)- …-(0).积分性质L[f(t)/]=(积分n次), L[]=F(s). L[=F(s-a), [Re(s-a)>]. L[f(t-)]=. L[f(at)]=.存在,则f()=.sF(s)所有奇点都在s平面左半边,则有f(+)=.留数定理,使奇点全在Res<范围内,当s, 时,F(s)0,有=(为有限个的所有孤立奇点).F(s)=,A(s)n次,B(s)m 次,n
环境工程专业硕士研究生培养方案
环境工程专业硕士研究生培养方案 （2018年修订） 专业代码：083002 一、培养目标 1. 具有过硬的政治理论素养，坚定正确的政治方向，拥护中国共产党的领导；坚持四项基本原则，热爱祖国、遵纪守法、坚持真理、献身科学、学风正派、身心健康，有良好的道德品质和团结合作精神。 2. 具有正确的学术思想和良好的科学素养，了解环境科学的发展进程与趋势，勇于探索、创新；具有高度的环境意识和环境保护事业赋予的责任感，能够面向国际环境科学研究的前沿，为社会主义现代化建设服务。 3. 具备环境工程方面扎实的基础知识及解决实际环境问题的技能和能力；熟悉本专业发展前沿和学术动态；具备从事高等学校、科研机构、政府部门、环保企业单位的教学、研究及管理工作的能力。具备环境工程设计、施工和运营管理的能力。 4. 具有从事本学科科研领域研究方案设计、环境污染防治与修复原理技术研究及成果转化的能力，能够解决实际环境问题。 二、研究方向 本专业主要研究方向： 1.水污染控制技术 2.大气污染控制技术 3.固体废物资源化 4.土壤污染修复技术 三、学习年限 基本学习年限为三年。硕士学位必修课和选修课的学习需用一年时间完成，至少获得34学分（其中必修课不少于23学分）；另约二年时间进行科学研究，完成硕士学位论文并通过答辩。如果研究生在三年中尚未完成学业，经批准最多可延长三年。 四、课程设置 见课程设置表。 五、课程学习
研究生的必修课（A、B、C）均为考试课程，选修课（D）可根据情况采取考试或考查的方式进行考核。考试课程按百分制评定成绩，学位课75分为合格；考查课程按优秀（90—100分）、良好（80—89分）、中等（70—79分）、及格（60—69分）和不及格（60分以下）五级记分制评定成绩。考核成绩由主讲教师评定并签名后交学院研究生教学秘书，登记在《研究生成绩登记表》中。 六、学位论文 学位论文的选题应体现本学科领域的前沿性和先进性，要与导师的科研任务相结合，符合国家社会经济发展的需求。研究生须在导师指导下，通过调查研究和查阅文献，确定自己的学位论文题目及研究提纲。 学位论文工作必须在导师的指导下，由研究生独立完成，应注意培养研究生的文献查阅能力、实验能力、数据分析与处理能力等。学位论文一般应包括：中、外文摘要、引言和评述、主要研究内容和结果的讨论，以及参考文献和必要的附录。学位论文实行盲审制度，研究生必须在答辩前一个半月递交毕业论文。盲审论文送审两份，若送审评议结果有一份不合格，经院学位委员会确认达不到学位论文要求，学生将延期一年再递交论文盲审通过后答辩；如果评议结果中有修改后再送审要求，修改后再送审，通过后方可答辩。学位论文答辩委员会由具有高级专业技术职务的专家5－7人组成，答辩委员会主席由校外专家担任，导师不参加学位论文答辩委员会。 七、培养方式与方法 硕士生的培养采取系统理论学习、进行科学研究和参加实践活动相结合的方法。既要使研究生牢固掌握基础理论和专门知识，又要培养他们具有从事科学研究、高校教学或独立担负专门业务工作的能力。在指导方式上采取导师个别指导和院系集体培养相结合，既要发挥导师的指导作用，又要善于利用院系集体培养的优势。 导师应教书育人，为人师表，全面关心研究生的成长，深入了解研究生各方面的情况，对研究生的困难应及时给予帮助或向有关部门反映。对研究生的学习和科研应严格要求，根据他们的原有基础和具体情况制订相应的培养措施，着重培养他们的自学能力和独立工作能力，并培养他们实事求是的科学态度和勤奋严谨的工作作风。 研究生应积极参加院系组织的学术讲座、学术报告和学术讨论会等有关学术活动（不少于10次，且不少于全部学术活动总数的60%），扩大自己的知识面和提高自己的学术水平。每次学术报告的参加者要有记录。院系要为研究生定期安排学生之间的讨论会和报告会，使他们在实践中得到锻炼并提高自身的表达能力和写作能力。
2013年工程矩阵理论期末试题A卷
杭州电子科技大学研究生考试卷（A 卷） 课程名称： 工程矩阵理论 1. 在R 2?2 中，求矩阵A=a b c d ????? ?在基 12341001000000001001????????====???????????????? E E E E ，，，下的坐标. 2. 设R [x ]4是所有次数小于4的实系数多项式组成的线性空间，求多项式p (x ) = 1+2x 3在基 1，x -1，(x -1)2，(x -1)3下的坐标. 3. 设1V 和2V 是线性空间 V 的两个子空间。证明维数公式： 121212dim dim dim()dim()V V V V V V +=++ 4. 已知矩阵A 相似与矩阵B ，证明：trace(AB ) = trace(BA ). 5. 已知矩阵A = ??? ? ? ?????-311111002，（1）求多项式 2012()p λαλαλα=++使得 2012()At p A A A I e ααα=++= （2）说明多项式()p λ是二次多项式的理由 （3）利用（1） 的结果计算At e . 6. 利用初等变换把λ-矩阵 2 (1)0 00000(1)λλλλ+?????? +???? 化为 Smith 标准型。 7. 已知矩阵A = ???? ? ?????-00i 001i 10， （1）A 是对称矩阵还是反对称矩阵，或者都不是？ （2）A 是Hermite 矩阵还是反Hermite 矩阵，或者都不是？ （3）A 是正规矩阵吗？A 可对角化吗？A 可酉对角化吗？ （4）求酉矩阵U 使U H AU 为对角矩阵.
矩阵论答案
习题 一 1．（1）因 cos sin sin cos nx nx nx nx ?? ? ? -?? cos sin sin cos x x x x ????-??= cos(1) sin(1)sin(1) cos(1)n x n x n x n x ++?? ??-++?? ，故由归纳法知 cos sin sin cos n nx nx A nx nx ?? =??-?? 。 （2）直接计算得4 A E =-，故设4(0,1,2,3)n k r r =+=，则4(1)n k r k r A A A A ==-，即只需算出23,A A 即可。 （3）记J=0 1 0 1 1 0 ?????? ?????????? ，则 ， 112211111 () n n n n n n n n n n n n n n i i n i n n i n n n a C a C a C a C a C a A aE J C a J a C a a -----=-????????=+==?? ???????? n ∑。 2．设11 22 (1,0),0 a A P P a A E λλ-??===?? ?? 则由得 2 1112111 1 1 210 0 0 a λλλλλλλ?? ????==?????????????? 1时,不可能。 而由2 112222 0 0 000 0 0 a λλλλλλ?? ????==?????????????? 1时,知1i λ=±所以所求矩阵为1i PB P -， 其中P 为任意满秩矩阵，而 1231 0 1 0 1 0,,0 10 1 0 1B B B -??????===?????? --?????? 。 注：2 A E =-无实解，n A E =的讨论雷同。 3．设A 为已给矩阵，由条件对任意n 阶方阵X 有AX=XA ，即把X 看作2 n 个未知数时线 性方程AX -XA=0有2 n 个线性无关的解，由线性方程组的理论知其系数矩阵为零矩阵，
东南大学工程矩阵理论期终考试试卷09
东南大学工程矩阵理论期终考试试卷09 一、求C 中，V1=í?2′2的子空间V1,V2的交空间V1?V2及和空间V1+V2的基和维数，其ì?x ?èxy?üì?xy?ü|x,y?C,V=|x,y?Cy2í?y、 ÷÷y?t?è-y-x?t 二、欧氏空间R[x]3中的内积定义为：对"j,y?R[x]3，
阵100的秩。 ???÷五、假设矩阵A=?002÷、 ?÷è? 1、求A的广义逆矩阵A； At 2、求一个次数不超过2的多项式f，使得f=Ae、 + 六、假设f是n维酉空间V上的线性变换，若对任意 a,b?V，有 b,=)a ) 1、证明：在V的标准正交基下，f的矩阵为Hermite矩阵； 2、证明：存在V的一组标准正交基，使得f的矩阵为对角阵。 七、假设s′n矩阵A的秩为r ，证明A2￡AF￡2。 八、假设A是A?C+s′n的广义逆矩阵，证明：Cn=K?R，其中， K,R分别表示矩阵A的核空间和A+的值域、 九、假设A,B都n阶Hermite矩阵、 1、如果A是正定的，证明：存在可逆矩阵C，使得 CHAC,CHBC都是对角阵； 2、如果A,B都是半正定的，并且A的秩r=n-1，证明：存在可逆矩阵C，
高等工程数学 试题 答案
《高等工程数学》试题 一、 设总体X 具有分布律 其中(01)θθ<<为未知参数，已知取得了样本值1231,2,1x x x ===，求θ的矩估计和最大似然估计. 解：（1）矩估计：2222(1)3(1)23EX θθθθθ=+?-+-=-+ 14 (121)33 X =++= 令EX X =，得5?6 θ=. （2）最大似然估计： 2 2 5 6 ()2(1)22L θθθθθθθ=??-=- 45ln() 10120d d θθθθ=-= 得5?6 θ= 二、（本题14分）某工厂正常生产时，排出的污水中动植物油的浓度)1,10(~N X ，今阶段性抽取10个水样，测得平均浓度为10.8（mg/L ），标准差为1.2（mg/L ），问该工厂生产是 否正常？（220.0250.0250.9750.05,(9) 2.2622,(9)19.023,(9) 2.700t αχχ====） 解： （1）检验假设H 0：σ2 =1，H 1：σ2 ≠1； 取统计量：20 2 2 )1(σ χs n -= ； 拒绝域为：χ2≤)9()1(2975.022 1χχ α=-- n =2.70或χ2 ≥2025.022 )1(χχα=-n =19.023， 经计算：96.121 2.19)1(22 2 2 =?=-= σχs n ，由于)023.19,700.2(96.122∈=χ2， 故接受H 0，即可以认为排出的污水中动植物油浓度的方差为σ2=1。 （2）检验假设101010 ≠'='μμ：，：H H ； 取统计量：10 /10S X t -=~ )9(2 αt ；
拒绝域为2622.2)9(025.0=≥t t ；1028.210 /2.1108.10=-= t <2.2622 ，所以接受0 H '， 即可以认为排出的污水中动植物油的平均浓度是10（mg/L ）。 综上，认为工厂生产正常。 三、 在单因素方差分析中，因素A 有3个水平，每个水平各做4次重复实验，完成下列方差分析表，在显著水平0.05α=下对因素A 是否显著做检验。 解： 0.95(2,9) 4.26F =，7.5 4.26F =>，认为因素A 是显著的. 四、 现收集了16组合金钢中的碳含量x 及强度y 的数据，求得 0.125,45.7886,0.3024,25.5218xx xy x y L L ====，2432.4566yy L =. （1）建立y 关于x 的一元线性回归方程01 ???y x ββ=+； （2）对回归系数1β做显著性检验（0.05α=）. 解：（1）1 25.5218 ?84.39750.3024 xy xx l l β== = 1 ??35.2389y x ββ=-= 所以，?35.238984.3975y x =+ （2）1?2432.456684.397525.5218278.4805e yy xy Q l l β=-=-?= 2 278.4805 ?19.8915214 e Q n σ ===- ?5 4. 46σ==
东南大学《工程矩阵理论》06(下)工程矩阵理论统考试卷(A)
工程矩阵理论试卷（A ） 2006年10月 系别 学号 姓名 成绩 一． （20%）记22C ?为复数域C 上的22?矩阵全体在通常的运算下所构成的复数域上的线性空间，矩阵1100A -??= ??? ，{}22|V X C AX XA ?=∈=。 1．证明V 是22C ?的子空间，并求V 的基和维数； 2．假设22C ?的子空间0|,a W a b C a b b ????=?∈?? ?-???? ，求W 的基和维数； 3．求,V W V W +?的基和维数。 二． （12%）假设矩阵000 0050000310031A ?? ? ?= ?- ?-??，试求A 的广义逆矩阵A +。 三． （16%）设矩阵101101000A ?? ?=- ? ??? 。 1. 分别求A 的特征多项式及Jordan 标准型； 2. 写出A 的最小多项式； 3. 将At e 表示成关于A 的次数不超过2的多项式，并求At e 。 四． （20%）记22C ?为复数域C 上的22?矩阵全体在通常的运算下所构成的复数域上的 线性空间，对固定的矩阵22,A B C ?∈，定义22C ?上的变换如下：对任意22X C ?∈， ()f X AXB =。 1. 证明：对给定的矩阵22,A B C ?∈，f 是22C ?上的线性变换； 2. 设1011,1000A B ????== ? ????? 。分别求11122122,,,E E E E 在f 下的像，并求f 在22C ?的基11122122,,,E E E E 下的矩阵M ；
3. 假设1011,1000A B ????== ? ????? ，求f 的值域()R f 及核子空间()K f 的各一组 基及它们的维数； 4. 问：22()()C R f K f ?=⊕是否成立？为什么？ 五． (12%)设矩阵21000403A x ?? ?= ? ???，32020003y B ?? ?= ? ??? 。 1. 根据x 的不同的值，讨论矩阵A 的所有可能的Jordan 标准形； 2. 若A 与B 是相似的，问：参数,x y 应满足什么条件？试说明理由。 六． (10%)假设3R 的由12,ξξ 生成的子空间12(,)V L ξξ=，其中 12(0,1,0),(1,0,2)ξξ== 。设(1,0,1)η=。在V 中求向量0η，使得 0min V ξηηηξ∈-=-。 七． (10%)证明题 1. 证明：Hermite 阵和酉矩阵都是正规阵。试举一例说明存在这样的正规阵，它既不 是Hermite 矩阵，也不是酉矩阵。 2. 若n 维列向量n C α∈的长度小于2，证明：4H I αα-是正定矩阵。
上海交大研究生矩阵理论答案
n k r n n 1 2 习题 一 1．（ 1）因 cosnx sin nx sin nx cosnx cosx sin x sin x = cosx cos(n sin(n 1)x 1)x sin( n cos(n 1)x 1)x ，故由归纳法知 cosnx sin nx A 。 sin nx cosnx （ 2）直接计算得 A 4 E ，故设 n 4 k r (r 0,1,2,3) ，则 A n A 4 k A r ( 1) A ， 即 只需算出 A 2, A 3 即可。 0 1 0 1 （ 3 ）记 J= ，则 ， 1 0 n 1 n 1 2 n 2 n a C n a C n a C n a n C 1 a n 1 C n 1a A n (aE J ) n n C i a i J n i i 0 n n a n 。 C 1a n 1 a n 2. 设 A P 1 a 2 P 1(a 1,0),则由A 2 E 得 a 1时, 1 1 1 1 0 1 2 1 2 1 0 2 不可能。 1 而由 a 1 0时, 2 1 知 1 所以所求矩阵为 PB P 1 ， 其中 P 为任意满秩矩阵，而 i i 2 2 2 1 0 1 0 1 0 B 1 , B 2 , B 3 。 0 1 0 1 1 注： A 2 E 无实解， A n E 的讨论雷同。 3. 设 A 为已给矩阵，由条件对任意 n 阶方阵 X 有 AX=XA ，即把 X 看作 n 2 个未知数时线 性方程 AX XA=0 有 n 2 个线性无关的解， 由线性方程组的理论知其系数矩阵为零矩阵， 1
东南大学《工程矩阵理论》试卷09-10-A
一. （10％）求22×C 的子空间12,V V 的交空间12V V ∩及和空间12V V +的基和维数，其中，V x ∈?． 12,y ?????? |,|,C V x ???=∈??????x y x y x y y x ??=??????y C ??二. （10%）欧氏空间3[]R x 中的内积定义为：对3(),()[]x x R x ?ψ?∈， )1 1(),()()(x x ?ψ?<>∫x ?ψ=x dx 。令1α=，x β=，2x η=， (,)W L αβ=。求η在W 中的正投影，即求0W η∈，使得 0min W ξηηη∈ξ?=?． 三. （20%）在22×矩阵空间22C ×上定义线性变换f 如下：对任意矩阵22X C ×∈， ?，其中，a 为234a a a a ?()f X ??=?? X 的迹()tr X 。 1. 求f 在22C ×的基11122122,,,E E E E 下的矩阵M ； 2. 分别求f 的值域()R f 及核子空间()K f 的基及维数； 3. 求f 的特征值及相应的特征子空间的基； 4. 问：是否存在22C ×的基，使得f 在这组基下的矩阵为对角阵？为什么？ 四. （10%）根据参数,a b 不同的值，讨论矩阵b ??的Jordan 标准形，并求矩阵100的秩。 1702001a A ???=????? ()A I ?五. （14%）假设矩阵． 101002101A ????=?????? 1. 求A 的广义逆矩阵A + ； 2. 求一个次数不超过2的多项式()f λ，使得()At f A Ae =． 六. （10%）假设f 是n 维酉空间V 上的线性变换，若对任意,V αβ∈，有())((),)(,f f αβα=β。 1. 证明：在V 的标准正交基下，f 的矩阵为Hermite 矩阵； 2. 证明：存在V 的一组标准正交基，使得f 的矩阵为对角阵。 七. （8%）假设s n ×矩阵A 的秩为r ，证明22F A A A ≤≤。
工程应用数学课程总结
《工程应用数学》课程总结论文 一、知识点的框架与体系 经过了一个学期的工程应用数学的学习，我学到了许多新的高数知识。对于以后专业网络知识的进一步学习有一定的帮助。下面是工程应用数学上所学知识的框架。 第一章函数与极限 第一章介绍了函数（初等函数、复合函数）、极限（数列与函数的极限，极限的相关性质，极限的运算法则和存在准则）、无穷小的性质及应用（强调了等阶无穷小的替换）、函数的连续性（函数的间断点及其类型四类：可去间断点、跳越间断点、无穷间端点、振荡间断点）、有限闭区间上连续函数的性质及应用（最值定理、有界性定理、零点定理）。 第二章一元函数微分学 第二章介绍了导数的定义、函数的可导性与连续性之间的关系、函数的求导（求导法则、反函数求导法、复合函数求导法则）、高阶导数定义及求法、隐函数的导数和由参数方程确定的函数的导数、函数的微分（微分的几何意义微分公式与微分运算法则、复合函数的微分法则、微分近似计算法）微分中值定理（罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒中值定理）、洛比达法则（求极限时使用它方便求解）、函数的极值与最值、曲线的凹凸性与拐点、曲线整体形状的研究（微分作图）、弧微分与曲率。 第三章一元函数积分学
第三章介绍了定积分与不定积分的性质与概念、变上线函数、牛顿-莱布尼茨公式、求不定积分与定积分（基本积分列表、两类换元积分法、分布积分法、有理函数的积分*函数分解法、分配法、三角函数转换*/）、反常积分（无穷限的反常积分、无界限函数的反常积分）定积分几何应用（求面积、体积以及平面曲线的弧长）。 第四章常微分方程 第四章介绍了微分方程的基本概念、一阶微分方程（可分离变量的微分方程、齐次方程）一阶线性微分方程（非齐次方程、齐次方程的通解）、二阶线性微分方程、某些特殊类型高阶微分方程及解法（p=f(x)型、y``=f(x,y`)型，y``=f(y,y`)型）。 二、高数学习对专业知识的帮助 网络工程专业无疑要进行程序的编写，然而，在对某些问题编程时，需要用到高等数学的一些思想，辅助完成程序的编写。在以后学专业课的时候，高数充当着工具的重要角色，大家都知道无论做什么工具是十分重要的，所以为了将来更好的发展专业课的学习，我们从现在起就要好好学习高数。 三、学习工程应用数学的体会 四章的知识点主要都是围绕极限、导数、不定（定）积分展开的，对于这几章的学习最主要的就是要多练习和多运用知识点，同时还要在课堂上认真听讲。我觉得在高数的学习中，多变的公式以及灵活的试题和解答过程极大的培养了我们的应用能力，同时他们与高中的知识衔接的很好，使我能很快的适应大学高数的学习。最后我希望我能
《矩阵论》教学大纲
《矩阵论》教学大纲 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
《矩阵论》课程教学大纲 一、课程性质与目标 （一）课程性质 《矩阵论》是数学专业的选修课，是学习经典数学的基础，又是一门最具有实用价值的数学理论。它不仅是数学的一个重要的分支，而且业已成为现代各科技领域处理大量有限维空间形式与数量关系的强有力的工具。 （二）课程目标 通过本课程的学习，使学生掌握矩阵论的基本概念，基本理论和基本运算，全面了解若干特殊矩阵的标准形及其基本性质，了解近代矩阵论中十分活跃的若干分支，为今后在应用数学，计算数学专业的进一步学习和研究打下扎实的基础。 二、课程内容与教学 （一）课程内容 1、课程内容选编的基本原则 把握理论、技能相结合的基本原则。 2、课程基本内容 本课程主要介绍了线性空间、线性映射、酉空间、欧氏空间、若当标准型、矩阵的分解、矩阵的分析、矩阵函数和广义逆矩阵等基本内容。 （二）课程教学 通过本课程中基本概念和基本定理的阐述和论证，培养高年级本科生的抽象思维与逻辑推理能力，提高高年级本科生的数学素养。 三、课程实施与评价 （一）学时、学分 本课程总学时为54学时。学生修完本课程全部内容，成绩合格，可获3学分。（二）教学基本条件 1、教师 教师应具有良好的师德和较高的专业素质与教学水平，一般应具备讲师以上职称或本专业硕士以上学位。 2、教学设备 配置与教学内容相关的图书、期刊、音像资料等。 （三）课程评价 1、对学生能力的评价 逻辑推理能力，包括逻辑思维的合理性和严密性。 2、采取教师评价为主的评价方法。 3、课程学习成绩由期末考试成绩（70%）和平时成绩（30%）构成。课程结束时评出成绩，成绩评定可分为优、良、中、及格和不及格五个等级，也可采用百分制。 四、课程基本要求 第一章线性空间和线性变换 基本内容：线性空间线性变换 基本要求： （1）理解线性空间有关内容。
东南大学工程矩阵理论样卷及答案1
工程矩阵理论试卷样卷10a 一、假如n n A C ?∈。 1、记} { ()n n V A X C AX XA ?===。证明：()V A 是n n C ?的子空间。 2、若A 是单位矩阵，求()V A 。 3、若2n =，0011A ?? = ?-?? 。求这里V （A ）的一组基及其维数。 4、假如} { 22 ()W A X C AX O ?===。问：对上一题中的()V A 和()W A ，()()V A W A +是否为直和？ 说明理由。 解： 1、证明子空间，即为证明该空间关于加法和数乘封闭。即若有,()x y V A ∈，()()x y V A +∈，()kx V A ∈。 设,()x y V A ∈，k F ∈， ()()A x y A x A y x A y A x y A +=+=+=+，()()x y V A +∈∴ ()( )A k x k A x k x A k x A ===， ()kx V A ∈∴ ∴()V A 是n n C ?的子空间。 2、若A 是单位矩阵，则} { ()n n V A X C IX XI ?===，因为对单位阵I 来说，IX XI =恒成立，故， ()n n V A C ?=。 3、若2n =，0011A ??= ?-??，设a b X c d ?? = ??? ，有AX XA =，即， 000011110 00a b a b c d c d b b a c b d d d b a c d b d d ???????? = ??? ???--???????? -????= ? ? ---???? =?? -=??-=-? ，有0b a c d =??-=?，故0a X c a c ??= ?-??=0000a c c a ????+ ? ?-???? 故X 的一组基为00101101,???? ? ?-???? ，维数为2。
高等工程数学- 三、《高等工程数学》(博)
华中科技大学博士研究生入学考试《高等工程数学》考试大纲 1. 考试对象：工科类博士研究生入学考试者 2. 考试科目：矩阵论，数值分析，数理统计 3. 评价目标： ·考查学生对上述科目基础知识的掌握状况 ·考查学生对学科数学基础理论和方法的逻辑分析与应用能力 4. 答卷方式：闭卷、笔试 5. 题型比例： 概念题：30%；计算、证明题：70% 6. 答题时间：180分钟 7. 考试科目的内容分布: 满分100分，每科目各占1/3 8. 考试内容与考试要求： (1)了解线性空间的基本概念，掌握线性变换及其变换矩阵的性质与计算, 掌握线性空间R3上的基本正交变换。 (2)了解Jordan标准形的基本理论与方法,掌握方阵和线性变换的Jordan 矩阵计算方法,能应用Jordan化方法分析、解决相关问题。 (3)了解矩阵分解的基本思想,了解方阵的三角分解、Schur分解, 掌握满 秩分解和奇异值分解及其分解计算方法,掌握正规矩阵的分解性质。 (4)了解向量范数与矩阵范数，掌握向量与矩阵P范数的计算, 了解矩阵 函数的定义和矩阵分析的基本内容,掌握常用的矩阵函数的计算方法 及其应用。 (5)了解矩阵广义逆的概念, 掌握矩阵的M-P广义逆的定义、性质及其基 本应用。 (6)掌握插值多项式的各种构造方法及其截断误差的表示，了解三次样条 插值。 (7)掌握函数的最佳平方逼近与曲线拟合的最小二乘法，了解正交多项 式。
(8)理解代数精度的概念；掌握牛顿—柯特斯求积公式、Gauss型求积公 式的构造；了解复化求积公式及Romberg算法。 (9)理解常微分方程初值问题的数值解法，会求局部截断误差与阶；能讨 论单步法的绝对稳定性区域。 (10)掌握非线性方程求根的迭代公式的构造法并能判断其收敛性及收敛 阶。 (11)掌握求解线性方程组的高斯主元消去法及Jocabi、Gauss-Seidel迭 代法并会判别迭代的收敛性。 (12)了解抽样分布及有关内容。 (13)掌握参数估计的点估计、区间估计方法及其估计量的评价标准。 (14)掌握参数的假设检验，分布的非参数假设检验有关方法。 (15)掌握方差分析。 (16)掌握正交设计有关内容。 (17)掌握线性回归有关内容。 9. 参考书目： [1]杨明，刘先忠，《矩阵论》（第二版），华中科技大学出版社，2005. [2]李红，《数值分析》，华中科技大学出版社，2003. [3]于寅，《高等工程数学》（第三版），华中理工大学出版社，1995. .
工程矩阵理论试题A
杭州电子科技大学研究生考试卷（A卷）课程名称：工程矩阵理论 一、单项选择题（每题4分，共20分） 1. 设A∈C m?n，对A的奇异值分解，下列说法正确的是： （1）存在且唯一（2）存在但不唯一 （3）可能不存在（4）可能存在但不唯一2. 设A∈C n?n，则A的幂序列E，A，A2/2!, A k/k!, （1）收敛于零（2）发散 （3）收敛与否与具体A有关（4）收敛 3. 设A∈C n?n满足A3= E，则下列说法正确的是： （1）A的最小多项式与特征多项式相同 （2）A不可对角化（3）A的约当标准型中约当块的数目为n （4）不能确定A是否可对角化 4. 设A为n阶方阵，则有： （1）R(A) ⊕ N(A)= C n , （2）R(A) + N(A)= C n （3）R(A) ⊕ N(A T )= C n, （4）R(A T) ⊕ N(A T)= C n 5. 设A为n阶Hermite矩阵，则： （1）A的n个特征值全大于零 （2）存在可逆矩阵P使得P H AP=E （3）存在正线上三角矩阵R使得A=R H R （4）存在酉矩阵U使得U H AU=Λ，其中Λ为实对角矩阵二、填空题（每题4分，共20分） 1. 设ε 1, ε 2 , ε 3 为3维线性空间V的一组基，σ是V到自身的一个线性变换。σ在基ε 1 , ε 2 , ε 3 下的
矩阵为???? ??????3332 31 232221 1312 11 a a a a a a a a a ，则σ在基ε3, 2ε2, 3ε1下的矩阵为。 2. 设方阵A 满足A 2 = 3A, 则sin (3A ) = 。 3. 矩阵A = diag 21312,,0203? ????? ? ????????? ?，则A 的最小多项式为 。 4. 设X = (x 1, x 2, , x n )T 为变向量，α = (a 1, a 2, , a n )T 为常向量，H = (h ij )n ?n 为常矩阵，则： ， () =HX X X T D D 。 5. 设A ∈C n ?n 为Hermite 矩阵，X ∈C n ，A 的n 个特征值为λ1，λ2， ，λn ，满足λ1 ≤ λ2 ≤ ≤ λn ， 则： X X AX X H X H 0max ≠ = 。 三、计算和证明题(1-4题，每题10分，第五题20分，共60分) 1. 已知矩阵A = 1 0111113??????-???? ， （1）求多项式212 0)(αλαλαλ++=p 使得At e I A A A p =++=2120)(ααα （2）说明多项式)(λp 是二次多项式的理由 （3）利用（1）的结果计算At e . 2. 设矩阵A 的奇异值分解为：H V U A ??????∑=000，其中),,(diag 1r σσ =∑。验证H U V A ?? ????∑=-+ 00 01是矩阵A 的Penrose-Moore 逆。 3. 证明：12121122()() A A B B A B A B ??=? 4 利用初等变换把λ-矩阵???? ??????++2)1(000000 )1(λλλλ化为Smith 标准型。 5 设方阵A 、B 满足AB = BA 证明 ( 1 ) N(A ) 是B 不变子空间 （2）()At Bt A B t e e e +=
高等工程数学课后习题答案
第六章 7、设X 1，X 2，…X n 为总体X~N （μ，σ2 ）的样本，求E[ 2 1 ) (x x n i i -∑=]，D[ 2 1 )(∑=-n i i x x ]。 解：E[2 1 )(x x n i i -∑=]=（n-1)E[ 11 -n 2 1 ) (x x n i i -∑=]=(n-1)σ 2 因为 )1(~)(22 1 2 --∑=n X x x n i i σ 所以 D[ 2 1 )(∑=-n i i x x ]= ])([ 2 1 2 σ ∑=-n i i x x D =σ22（n-1) 8、设X 1，X 2，…X 5为总体X~N （0，1）的样本， （1）试确定常数c 1、d 1，使得)(~)()(2254312211n x x x d x x c χ++++并求出n ； （2）试确定常数c 2、d 2，使得),(~)() (2 54322 2212n m F x x x d x x c +++。 解：（1）2 1 2 )(1x x n S n i i -=∑=且总体为X~N （0，1），所以c 1=21，d 1=31 因为2χ分布具有可加性，即若X i ~2 χ（i=1，……k ），且各样本相互独立，则 )(~1 2 1 ∑∑==k i i k i i n x χ，所以n=2。 （2）因为)2,0(~21N x x +，)3,0(~)(543N x x x ++， )1,0(~2 2 1N x x +， )1,0(~3 5 43N x x x ++且相互独立， 所以221]2[ x x ++2 543]3 [x x x ++)2(~2χ 因为)2(~2 2 221 χx x +， )1(~3 )(22 543χx x x ++ 所以)1,2(~) (2) (32 5432 221F x x x x x +++，所以)1,2(,2322F d c =